高等数学《第六版》电子教案及习题 同济大学_中华文本库
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§1.1 函数
函数与极限
【目的要求】
1、了解邻域的概念；了解复合函数的概念；了解基本初等函数和初等函数； 2、会将复合函数分解成几个基本初等函数或简单函数；会将初等函数分解成几个基本初等函数 的加、减、乘、除和复合函数． 3、熟练掌握函数的四个特性． 【重点难点】 1、将几个函数复合成复合函数； 2、将复合函数和初等函数分解成几个基本初等函数或简单函数． 【教学内容】
一、 高等数学基础知识
1．高等数学与初等数学的差别
从数学史来看，微积分的产生标志着从初等数学到高等数学的飞跃．高等数学与初等数学虽然有 许多相同的地方，但也存在着许多本质上的差别． （1）两者研究的对象不同．在自然界和工程技术中，我们遇到各式各样的量．从是否变化的角 度来分，量可分为常量与变量．在某个研究过程中取同一数值的量称为常量，取不同数值的量称为变 量．如自由落体过程中物体的质量是常量，而物体下降的时间和距离都是变量；又如密闭容器中气体 的体积和分子数目是常量，但气体的温度和压力都是变量．初等数学主要讨论常量的问题，而高等数 学主要讨论变量的问题． （2）两者的研究范围不同．初等数学主要研究的是有限过程，高等数学主要研究的是无限过程． （3）两者的度量体系不同．初等数学研究的量主要是离散量，它有最小度量单位．而高等数学 研究的量主要是连续量，它无最小度量单位． （4）两者的运算体系不同．初等数学通过加、减、乘、除、乘方、开方等方法建立了常量间的 有限运算体系，并用这些运算方法解决实际问题．高等数学通过极限的方法建立了变量间的无限运算 体系，并运用“常量”和“变量”、“有限”和“无限”间的相互转换，达到解决实际问题的目的．近 代所有数学，真正“能算的”，几乎都归结为这两种运算体系． 高等数学主要研究一个连续量随另外一个连续量连续变化规律（函数）．
2．高等数学的主要内容
高等数学的主要内容是微分学与积分学．在研究变量时，微分学主要研究函数的局部性态，要在 某处附近对变量的极其微小的变化情况作出精细的分析．积分学主要研究函数的整体特征，要洞察整 个无限变化过程中变量变化的全貌． 高等数学（大学教学中惯称）组成为：
?空间解析几何 ? ? ?微分学 ? ? ? ? 高等数学 ?数学分析(极限论)?积分学 ． ? ? ? ? ?微分方程 ?无穷级数 ? ? ? ? ? ?
§1.1 函数
3．高等数学的基础概念
（1）离散量与连续量
从量的度量角度来分， 量可分为离散量和连续量． 离
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寻找更多 ""15:38:38【 转载互联网】 作者： &&|&责编：李强
&&& &为了解决用户可能碰到关于"求解同济高等数学第五版69页习题1-9的第4题第（6）小题"相关的问题，突袭网经过收集整理为用户提供相关的解决办法，请注意，解决办法仅供参考，不代表本网同意其意见,如有任何问题请与本网联系。"求解同济高等数学第五版69页习题1-9的第4题第（6）小题"相关的详细问题如下: 红框部分是如何得到的？ ===========突袭网收集的解决方案如下===========
解决方案1：一个是1-cosx的等价无穷小，一个是书上第八节例1给出的一个等价无穷小。做题多了之后自然就熟练应用了
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问：答案的第二步到第三步是怎么化的？答：改写三角函数，后面一半极限是1。经济数学团队帮你解答，请及时评价。谢谢！ ===========================================问：红框部分是如何得到的？答：一个是1-cosx的等价无穷小，一个是书上第八节例1给出的一个等价无穷校 做题多了之后自然就熟练应用了===========================================问：红框部分是如何得到的？答：参考答案上是这样写的。。。。。。 a(x) = max { f(x),g(x) } = (1/2) * ( f(x) + g(x) + | f(x) - g(x) | ) b(x) = min { f(x),g(x) } = (1/2) * ( f(x) + g(x) - | f(x) - g(x) | ) 因为 f(x) 和 g(x) 在点 x0 连续，所以 f(x) + g(x) 在点 x0...===========================================问：请教一下，画红圈的地方怎么得来的！答：如图（两个红圈的解释），这样就好理解了 ===========================================问：请教一下，画红圈的地方怎么得来的！答：分子分母同时有理化 ===========================================问：学习高数时需要一些解答提示 有其他辅导书也行答：我认为馆藏书目上各种书都有 并且可在线阅读 其网站地址是: 该书的详细地址在: 该书的相关信息是: 高等数学(工本)习题详解／陈兆斗,邢永丽编著,清华大学出版社,7-302-13912-1,详细信息高等数学全程导学及习题全解：同济大学第五版·上册／周珑主...===========================================问：高等数学（同济五版）第59页4大题四小题第69页四大题5小题怎么做？谢谢答：看来，你是认真学的了。这种题，上课时就应该问老师的。 给你个图片吧，解答全过程，有一点解释。 以后多给我点分！！！ 刚做的，拍照有点黑。 看不清了，再重新问，呵呵。 ===========================================问：或者给个免费下载地址也行答：统计第五版电子档及习题解答下载地址： /tests/267/267630.html寻电信下载一”线路，“迅雷下载”及“快车下载”线路都不能用，我刚试了我电脑上是有第六版的，要的话留下邮箱===========================================问：同济六版高等数学 第69页例六 不明白，能帮祥细讲解吗?图中划红线的那两...答：这个很简单啊！对数外边的1/x可以拿到里面变成真数的指数，然后对真数运用两个重要极限可以得到倒数第二步，在运用换底公式即可化简为1/㏑a===========================================
12345678910ΡDF版《高等数学(第2版)上册》同济大学出版社
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电子（扫描）版基本信息&电子扫描版书名: 《高等数学(第2版)上册》PDF格式作者: 出版社: 同济大学出版社定价: 28.00元出版日期: 日ISBN: 1版次: 第2版页数: 319字数: 装帧: 电子(扫描)版、PDF格式开本: &&&&&&&&&&&电子扫描版图书封面&&&&&&&&& 商品重量：399 g编辑推荐《高等数学(第2版)上册》主要强调的是微积分的运算以及运用，运用中涉及到的函数主要是初等函数。我们希望在这样一个学习过程中，初学者能够理解并接受微积分的基本思想与方法，既获得知识，获得学习其他课程的工具，也提高自己的数学素养。内容简介《高等数学(第2版)上册》分为上、下两册。上册包括函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学以及常微分方程初步等内容，下册包括无穷级数、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学以及多元函数积分学等内容。每节之后配有习题，习题按照难易程度分为A和B两级。每册书末附有习题答案。目录前言第一章 函数、极限与连续第一节 函数一、集合及其运算二、函数的概念三、函数的几种简单特性四、反函数与复合函数五、初等函数习题1―1第二节 数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质三、数列极限概念的进一步讨论习题1―2第三节 函数的极限一、函数极限的概念二、函数极限的性质三、函数极限概念的进一步讨论习题1―3第四节 极限的运算法则一、无穷小量与无穷大量二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则习题1―4第五节 极限存在准则与重要极限第六节 无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的应用习题1―6第七节 函数的连续性一、函数连续的概念二、函数的间断点三、连续函数的运算与初等函数的连续性习题1―7第八节 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理习题1―8第二章 导数与微分第一节 导数的概念一、导数概念的引出二、导数的定义三、求导数举例四、单侧导数五、可导与连续的关系习题2―1第二节 求导法则一、导数的四则运算法则二、反函数与复合函数的求导法则三、基本求导法则与导数公式四、高阶导数习题2―2第三节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、对数求导法四、相关变化率习题2―3第四节 微分及其应用一、微分的概念二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分的应用习题2―4第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、洛必达法则习题3―1第二节 导数的应用一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最大值、最小值习题3―2第三节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘一、曲线的凹凸性与拐点二、函数图形的描绘习题3―3第四节 曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径习题3―4第五节 方程的近似解习题3―5第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质习题4一l第二节 换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法习题4―2第三节 分部积分法习题4―3第五章 定积分及其应用第一节 定积分的概念与性质一、引例二、定积分的定义三、定积分的性质习题5―1第二节 微积分基本公式一、积分上限的函数及其导数二、牛顿一莱布尼兹公式习题5―2第三节 定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法习题5―3第四节 广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分习题5―4第五节 定积分在几何问题中的应用举例一、定积分的元素法二、平面图形的面积三、体积四、平面曲线的弧长习题5―5第六节 定积分在物理学中的应用举例一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力习题5―6第六章 常微分方程第一节 微分方程的基本概念习题6―1第二节 可分离变量的微分方程与齐次方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程习题6―2第三节 一阶线性微分方程习题6―3第四节 可降价的高阶微分方程一、y（n）=f（x）型的微分方程二、y"=f（x，y'）型的微分方程三、y"=（y，y'）型的微分方程习题6―4第五节 二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例二、二阶线性微分方程解的结构习题6－5第六节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程习题6－6附录I 基本初等函数的图形及其主要性质附录Ⅱ 几种常用的曲线习题答案作者介绍书摘序言我国高等学校的教学改革正在逐步地深入，教材的改革是整个教学改革的一个重要方面。本书正是按照新形势下教材改革的精神，遵循《工科类本科数学基础课程教学基本要求》（修订稿）的要求，使之能够适应更多的学校与专业对高等数学这门基础课程的具体教学要求而编写的。当前，许多高等学校以培养应用型科学技术人才为主要目标，针对这样一种具体情形，本书遵循的编写原则是：在数学内容的深度和广度方面基本达到高等工科院校《高等数学课程教学基本要求》的要求，渗透现代化教学思想和手段，特别加强学生应用能力的培养，力求做到易教、易学、易懂，故本书不仅适合新世纪应用型本科生的需要，也易为高职、高专生所乐于接受。本书的编写力图做到以下几点：（1）以显示微积分的直观性与广泛的应用性为侧重，避免过多地涉及其严格的逻辑基础方面的内容.例如，我们从直观的角度引进极限的概念（只是为了照顾某些学校或专业对本课程的较高要求，在带“*”号的条目内初步介绍了极限概念的严格的数学表述，而且仅此而已）；又例如，基本初等函数在其定义域内是连续的，这是微积分中的一个重要结论。在本书中，为了使学生能够尽早地进入到极限运算方法的学习中去，甚至在介绍函数连续的概念之前，就以“基本初等函数在其定义域内每一点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的函数值”这样一种方式，以学生在中学数学学习中所得到的相关知识为基础，直观地给出了这个结论。我们指出可以用极限的严格表述来证明这个结论，但是并没有这样做。本书主要强调的是微积分的运算以及运用，运用中涉及到的函数主要是初等函数。我们希望在这样一个学习过程中，初学者能够理解并接受微积分的基本思想与方法，既获得知识，获得学习其他课程的工具，也提高自己的数学素养。（2）在内容的取舍方面充分考虑到当前许多学校里高等数学的教学时数不可避免地被压缩的实际情况，以及计算机科学的迅速发展，本书对某些内容作了适当的精简.例如，在不定积分这部分内容中，介绍了不定积分的基本运算方法，但是在技巧性方面较之于以往传统的教材，有所不同，我们控制了例题与习题的难度；再如，对函数的作图、方程的近似解、数值积分等内容，只介绍基本原理与方法。我们还考虑到不同的学校与专业对高等数学课程的教学会有不尽相同的目标，所以在内容的编排上也尽可能地按照深浅程度等因素分条目叙述，以利于教学过程中的取舍。
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《高等数学辅导(同济?第6版)(上下册合订本)》：大学数学辅导丛书
第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第二节 数列的极限一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第三节 函数的极限一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第四节 无穷小与无穷大一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第五节 极限运算法则一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第六节 极限存在准则两个重要极限一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第七节 无穷小的比较一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第八节 函数的连续性与间断点一、基本内容诠释与重要结论归纳二、典型题型归纳及解题方法与技巧第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第十节 闭区间上连续函数的性质一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟傻诙 导数与微分第一节 导数概念一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第二节 函数的求导法则一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第三节 高阶导数一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、基本内容诠释与重要结论归纳二、典型题型归纳及解题方法与技巧第五节 函数的微分一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、基本内容诠释与重要结论归纳二、典型题型归纳及解题方法与技巧第二节 洛必达法则一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第三节 泰勒公式一、基本内容诠释与重要结论归纳二、典型题型归纳及解题方法与技巧第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、基本内容诠释与重要结论归纳二、典型题型归纳及解题方法与技巧第五节 函数的极值与最大值最小值一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第六节 函数图形的描绘一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第七节 曲率一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第二节 换元积分法一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第三节 分部积分法一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第四节 有理函数的积分一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第二节 微积分基本公式一、基本内容诠释与重要结论归纳二、典型题型归纳及解题方法与技巧第三节 定积分的换元法和分部积分法一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第四节 反常积分一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第五节 反常积分的审敛法T函数一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第六章 定积分的应用第一节 定积分的元素法一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第二节 定积分在几何学上的应用一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第三节 定积分在物理上的应用一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第七章 微分方程第一节 微分方程的基本概念一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第二节 可分离变量的微分方程一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第三节 齐次方程一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第四节 一阶线性微分方程一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第五节 可降阶的高阶微分方程一、基本内容诠释与重要结论归纳二、典型题型归纳及解题方法与技巧第六节 高阶线性微分方程一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟二、典型题型归纳及解题方法与技巧第七节 常系数齐次线性微分方程一、基本热葳故陀胫匾崧酃槟……第八章 空间解析几何与向量代数第九章 多元函数分法及其应用第十章 重积分第十一章 曲线积分与曲面积分第十二章 无穷级数
高等数学课程对于大学生来说，其重要性是不言而喻的，近年来被许多部委和省市列为教学的重点评估课程之一。在全国硕士学位研究生考试中被指定为全国统考科目。然而，一方面近年来由于教学改革的实施，高等数学授课时间有所减少，受到时间限制，概念的深入探讨，知识点的融会贯通，知识面的拓展势必受到一定影响；另一方面后续课程以及研究生入学考试对高等数学的要求在教学大纲范围内有深化的趋势。如何解决这一新的矛盾，如何把大学期间高等数学的学习与研究生入学考试复习紧密衔接，为此作者根据在北京大学多年的教学实践以及硕士研究生入学考试高等数学辅导的经验，听取了广大学员的意见，以同济.第六版为蓝本，参考了北京大学、清华大学、复旦大学、上海交通大学、武汉大学、华中科技大学、浙江大学、四川大学、西安交通大学、哈尔滨工业大学、大连理工大学、东北大学、湖南大学、重庆大学、华南理工大学等高等院校的现行教材，认真编写了这本《高等数学辅导》。
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