Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．
（1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长；
（2）设△APQ的面积为S，
①求△APQ的面积S与m的关系式；
②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？
（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6-t；
（2）设△APQ的面积为S，
①根据三角形的面积公式可知S△APQ=AQoAP=×2t×（6-t）=6t-t2，即S=6t-t2；
②当t=2s时，代入三角形的面积公式即可求值．
（3）①当=时=，则有t=2.4（s）；
②当=时=，则有t=（s）．
解：（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6-t；（2分）
（2）设△APQ的面积为S，
①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQoAP=×2t×（6-t）=6t-t2，即S=6t-t2，
②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQoAP=×[2×2×（6-2）]=8（cm2）；（6分）
（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当=时=，∴t=2.4（s）；
②当=时=，∴t=（s）；
综上所述，当t为2.4秒或时，
以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于P，交AC于Q,若∠B＝60°，AB＝AC＝2，设CD＝X,四边形ABDQ的面积为Y，求y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围
如图，在三角形ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于P，交AC于Q,若∠B＝60°，AB＝AC＝2，设CD＝X,四边形ABDQ的面积为Y，求y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围
补充：如图所示
补充：如图所示
补充：如图所示
分析：充分利用条件，选择适当的方法证明是等腰三角形，并利用直角三角形和正三角形的特点来确定三角形的边长与面积解：（1）△APQ为等腰三角形，理由如下：在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵P为BA延长线上一点，PD⊥BD交AC与Q点，∴∠BDQ=∠BDP=90°．∵∠QCD+∠DQC=90°，∠B+∠P=90°，∠ABC=∠ACB，∴∠P=∠DQC，又∠AQP=∠DQC，∴∠P=∠AQP，∴AP=AQ，∴△APQ为等腰三角形；（2）∵∠B=60°，AB=AC=2，∴△ABC为正三角形．∵PD⊥BC，∠C=60°，∴∠CQD=30°．∴CQ=2DC=2x，请点击采纳为答案
我想问一下，最后求y的我没有学过那个公式，真看不懂，还有其他方法吗？拜托了
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解，设运动x秒后AP=x，则PB=6-x
BQ=2x∴S(PBQ)=(1/2)*2x*(6-x)
=-x&#178+6x当且仅当x=3时，△PBQ的面积最大=9∵矩形ABCD的面积为定值，所以当三角形面积最大时，五边形APQCD的面积最小=63
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9几何综合题、代数和几何综合题(2014年)
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关键字：几何综合题、代数和几何综合题(2014年
1. (2014 广东省中山市) 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．
（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，即 ，解得：EF=10﹣ t．
S△PEF= EF?DH= （10﹣ t）?2t=﹣ t2+10t=﹣ （t﹣2）2+10
∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．
（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴ ，即 ，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．
∵PF∥AD，∴ ，即 ，解得t= ；
③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴ ，即 ，解得BM= t，
∴PM=BP﹣BM=3t﹣ t= t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（ t）2= t2．
∵FN∥AD，∴ ，即 ，解得CN= t，
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣ t=10﹣ t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣ t）2= t2﹣85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，
即：（10﹣ t）2=（ t2）+（ t2﹣85t+100）
化简得： t2﹣35t=0，
解得：t= 或t=0（舍去）
综上所述，当t= 秒或t= 秒时，△PEF为直角三角形．
几何综合题、代数和几何综合题
2. (2014 河南省) （1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
填空：①∠AEB的度数为
② 线段BE之间的数量关系是
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一 直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、 BE之间的数量关系，并说明理由。
（3）如图3，在正方形ABCD中，CD= 。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。
答案：解：（1）①60；②AD=BE. ……………………………………………………………2分
（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. ………………………………………… ……4分
（注：若未给出本 判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB
=∠DCE= 900,
∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE
∴△ ACD≌△BCE. ………………………………………………………………6分
∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC－∠CED== 900．…………………………………7分
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE………………………………………………………8分
(3) 或 …………………………………………………………10分
提示PD =1，∠BPD=900,
∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．
第一种情况： 如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，
可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,
CD= ,∴BD=2,BP= ,∴AM= PP/= (PB-BP/)=
第二种情况如图②，可得AM PP/= (PB+BP/)=
几何综合题、代数和几何综合题
3. (2014 山东省日照市)
如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y= （k≠0）的图象经过圆心P，则k=　 　．
几何综合题、代数和几何综合题
4. (2014 辽宁省锦州市) （1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图?，将?BOC绕点O逆时针方向旋转得到?B’OC’，OC’与CD交于点M，OB’与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图?，将（1）中的?BOC绕点B逆时针旋转得到?BO’C’，连接AO’、DC’，请猜想线段AO’与DC’的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图?，已知矩形ABCD和Rt?AEF有公共点A，且∠AEF=900，∠EAF=∠DAC= ，连接DE、CF，请求出 的值（用 的三角函数表示）．
答案：解：（1）BN=CM 理由如下：……………………………………………………1分
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO=CO，∠BOC=900，∠OBC=∠OCD= ×900=450.……………………2分
由旋转可知，∠B’OC’=900，∠BON=∠COM,…………………………3分
∴?BON≌?COM，∴BN=CM．……………………………………4分
AO’= DC’．………………………………………………5分
由旋转可知，∠O’BC’=∠OBC=450，∠BO’C’=∠BOC=900.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO= ×900=450，∴ ，………………6分
∴ ∠ABO’=∠OBC’,
…………………………………………7分
∴?ABO’∽?OBC’，∴ ，即AO’= DC’，……………………8分
在矩形ABCD中，∠ADC=900，
∵∠AEF=900，∴∠AEF=∠ADC
∵∠EAF=∠DAC= ，∴?AEF∽?ADC，∴ ，…………………………10分
又∵∠EAF+∠FAD=∠DAC+∠FAD，∴∠EAD=∠FAC，
∴?AED∽?AFC，∴ ……………………………………12分
几何综合题、代数和几何综合题
5. (2014 重庆市B卷) 如图1，在□ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB＝ ，AD＝7，AH＝ 。现有两个动点E、F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动。在点E、F运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E、F两点同时停止运动。设运转时间为t秒。
（1）求线段AC的长；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度 。在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′。设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M、N两点。试问：是否存在点M、N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM的长度；若不存在，请说明理由。
答案：（1）解：在Rt△ADH中，DH2=AD2-AH2
HC=DC-DH=2 , DH=2
∴H为DC中点
又∵AH⊥DC
∴AC=AD=7.
（3）①如图1，当CM=MN时
根据题意得，CF′=G′F′=C G′=14, 过点C作CJ⊥G′F′于J点
根据“三线合一”得，G′J=7,∴CJ= =7
∵∠CMN=∠MCN=∠ACH
∴tan∠CNM= tan∠MCN= tan∠ACH=
过点M作MI⊥CN于I点
∵tan∠MNN=
②当MN=NC时，则∠CMN=∠MCN=∠ACH
如图2，过点C作CT⊥G′F′于T点
由①知CT=7
∵tan∠CMN= tan∠ACH=
综上所述：CM= 或7 .
几何综合题、代数和几何综合题
6. (2014 重庆市A卷) 已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5， ， ,垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度），当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜180°）．记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
答案：解： ,
由勾股定理
(2)当点F在线段AB上时，
当点F在线段AD上时，
（3）存在，理由如下：
①当DP=DQ时，
若点Q在线段BD的延长线上时，如答图①
有∠Q=∠1，
∴A′Q=A′B=5，∴F′Q=4＋5=9
在Rt△BF′Q中,
∴ 或 （舍）
②若点Q在线段BD上时，如答图②
有∠1=∠2=∠4
∵∠1=∠3，∴∠3=∠4，
∵∠3=∠5＋∠A′，∠A′=∠A′BQ，
∴∠3=∠5＋∠CBD=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=5
∴F′Q=5－4=1
综上所述，存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形，此时 或
几何综合题、代数和几何综合题
7. (2014 黑龙江省农垦牡丹江管理局) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
答案：解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC= BC?AC= AB?CD．
∴CD= = =4.8．
∴线段CD的长为4.8．
（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8﹣t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴PH= ﹣ t．
∴S△CPQ= CQ?PH= t（ ﹣ t）=﹣ t2+ t．
②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．
∵S△ABC= ×6×8=24，
且S△CPQ：S△ABC=9：100，
∴（﹣ t2+
t）：24=9：100．
整理得：5t2﹣24t+27=0．
即（5t﹣9）（t﹣3）=0．
解得：t= 或t=3．
∵0≤t≤4.8，
∴当t= 秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．
（3）①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8﹣t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH= QC= ．
∵△CHP∽△BCA．
解得；t= ．
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t= ．
综上所述：当t为2.4秒或 秒或 秒时，△CPQ为等腰三角形．
几何综合题、代数和几何综合题
8. (2014 福建省漳州市)
阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）理解与应用
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　 　．
（2）类比与推理
如图3，矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）拓展与延伸
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C， D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（1）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．
∵AB=BC=2，
∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE+PF=OA= ．
（2）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴OA=OB=OC=OD= ．
∵PE∥OB，P F∥AO，
∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．
∴EP+FP= ．
∴PE+PF的值为 ．
（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．
理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4．
∵DG与⊙O相切，
∴∠GDA=∠ABD．
∵∠ADG=3 0°，
∴∠ABD=30°．
∴∠AOD=2∠ABD=60°．
∴△AOD是等边三角形．
∴AD=OA=4．
同理可得：BC=4．
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．
∴PE+PF=4．
∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．
几何综合题、代数和几何综合题
9. (2014 江西省抚州市) 试题背景
已知：l∥ ∥ ∥k，平行线l与 、 与 、 与k之间的距离分别为 1、 2、 3，且 1 = 3 = 1， 2 = 2 . 我们把四个顶点分别在l、 、 、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.
探究1 ⑴ 如图1，正方形 为“格线四边形”， 于点 , 的反向延长线交直线于点 .
求正方 形 的边长.
探究2 ⑵ 矩形 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形 的宽为
. (直接写出结果即可)
探究3 ⑶ 如图2，菱形 为“格线四边形”且∠ =60°，△ 是等边三角形，
于点 ， ∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 .
⑷ 如图3，l∥k，等边三角形 的顶点 、 分别落在直线l、k上， 于点 ，且 =4 ，∠ =90°，直线 分别交直线l、k于点 、 ，点 、 分别是线段 、 上的动点，且始终保持 = ， 于点 .
猜想： 在什么范围内， ∥ ？并说明此时 ∥ 的理由.
答案：解：(1) 如图1， ∵BE⊥l ,
∴∠AEB=∠BFC=90°,
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC,
∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,
∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),
∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 ,
∴正方形的边长是
(2)如图2,3，⊿ABE∽⊿BCF,
∵BF=d3=1 ,
∴矩形ABCD的宽为 或 .
(注意：要 分2种情况讨论）
(3)如图4，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
又∠ADC=60°,
∴⊿ADC是等边三角形，
∵AE⊥k , ∠AFD=90°,
∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=A E,
∴⊿AFD≌⊿AEC(HL),
(4)如图5，当2＜DH＜4时， BC∥DE .
理由如下：
, ∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD=90°,
∵⊿ABC是等边三角形，
已知AE=AD,
∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD；
在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，
，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),
∴ BM=CM ；
几何综合题、代数和几何综合题
阅读理解与信息迁移
10. (2014 新疆建设兵团) 如图,直线 与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动.连接PQ,设运动的时间为t(s)( ).
(1)写出A、B两点的坐标；
(2)设 的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时,
的面积最大？
(3)当t为何值时,以点A、P、Q为顶点的三角形与 相似,并直接写出此时点Q 的坐标.
答案：解:(1)由 ，得A(6,0)
由 ，得B(0,8)
(2)过点Q作 ，垂足为E
由题意，得
∴当 时， 随着 的增大而增大
∴只有 ∽ 或 ∽
②下面说明不存在t的值，使 ∽
当 ∽ 时，则有
解得 ，不满足题目的要求
∴不存在t的值，使 ∽
综上所述，当 时，点A、P、Q为顶点的三角形与 相似，此时点Q的坐标为
几何综合题、代数和几何综合题
11. (2014 山西省) 如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE= ∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为　_________　．
答案： ﹣1．
几何综合题、代数和几何综合题
12. (2014 吉林省) 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm,BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到B停止，连接AP，AQ，PQ.设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）.
（1）填空：AB=
cm,AB与CD之间的距离为
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值.
（备用图）
（第25题）
答案：解：（1）5
………………..（2分）
（2）如图①，
当 时， ．
过 P作PE⊥AC,E为垂足，
………………..（4分）
当 时， ．
设AB,CD之间距离为 ， ．
过 P作PF⊥BD，F为垂足， ．
．……………..（6分）
………………..（8分）
综上所述，
（3） 或 ．
………………..（10分）
几何综合题、代数和几何综合题
13. (2014 安徽省)
如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN=　_________　；
②求证：PM+PN=3a；
（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；
（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．
解：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，
∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，
故答案为；60°．
②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴GM= AM，HL= BP，PL= PM，NK= ND，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．
（2）如图2，连接OE，
∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM=BP=EN，
又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，
在△ONE和△OMA中，
∴△OMA≌△ONE（SAS）
（3）如图3，连接OE，
由（2）得，△OMA≌△ONE
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GON=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和∠DON中，
∴△GOE≌△NOD（ASA），
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等边三角形，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等边三角形，
∴MG=GO=MO，
∴MO=ON=NG=MG，
∴四边形MONG是菱形．
几何综合题、代数和几何综合题
14. (2014 四川省资阳市) 如图，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、 l1于点D、E(点A、E位于点B的两侧)，满足BP=BE，连结AP、CE．
(1)求证：△ABP≌△CBE；(3分)
(2)连结AD、BD，BD与AP相交于点F，如图，
①当 时，求证：AP⊥BD；(3分)
② (n＞1)时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求 的值．(5分)
答案：解：(1)易知 ，所以△ABP≌△CBE；
(2)延长AP交CE于点H，
①因为△ABP≌△CBE，所以∠PAB=∠ECB，则∠PAB+∠AEH=∠ECB+∠AEH=90°，所以AP⊥CE．因为 =2，即P是BC的中点，易得四边形BECD是平行四边形，则BD∥CE，所以AP⊥BD．
②因为 ，即BC=n?BP，所以CP=(n-1)?BP，因为CD∥BE，易得△CPD∽△BPE，所以 ，设△PBE的面积为S△PBE，△PCE的面积为S△PCE满足 ．S2=（n-1）?S，又S△PAB=S△BCE= n?S，所以S△PAE=( n+1)?S，又因为 ，所以S1=（n-1）?S△PAE，即S1=（n+1）（n-1）?S，所以 ．
几何综合题、代数和几何综合题
15. (2014 浙江省温州市) 如图，在屏幕直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为（－3，0），（0，6）．动点 从点 出发，沿 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点 从点 出发，沿射线 方向以每秒2个单位的速度运动，以 ， 为邻边构造□ ，在线段 延长线上取点 ，使 ．设点 运动时间为 秒．
（1）当点 运动到线段 的中点时，求 的值及点 的坐标；
（2）当点 在线段 上时，求证：四边形 为平行四边形；
（3）在线段 上取点 ，使 ，过点 作 ，截取 ， ，且点 ， 分别在一、四象限．在运动过程中，设□ 的面积为 ．
①当点 ， 中有一点落在四边形 的边上时，求出所有满足条件的 的值；
②若点 ， 中恰好只有一个点落在四边形 的内部（不包括边界）时，直接写出 的取值范围．
由题意得： ， ， ， ，
（1）∵ （0，6），
当 点运动到线段 的中点时， ，
∴ （0， ）．
（2）∵四边形 为平行四边形，
∴四边形 是平行四边形．
由题意可得 （0， ）， （ ，0）， （ ， ）， （ ，0），
（ ，0）， （ ，2）， （ ，0－1）．
情况一：当 在 轴上方时
（a） 在 上时，∵ 轴， 轴，∴ ∽ ，∴ ，即有 ，解得 ；
（b） 在 上时，∵ 轴， 轴，∴ ∽ ，∴ ，即有 ，解得 ；
情况二：当 在 轴上方时
（a） 在 上时，∵ 轴， 轴，∴ ∽ ，∴ ，即有 ，解得 ；
（b） 在 上时，∵ 轴， 轴，∴ ∽ ，∴ ，即有 ，解得 ；
综上，当 、 、 、 时，点 ， 中有一点落在四边形 的边上．
情况一：如下第一幅图，当 时， 恰好过 ，当 时， 在四边形 外部，而 在四边形 内部，直到 时， 点恰好在 上，故 ；
此时 ， ；
如下第二幅图，当 时， 恰好过 ，当 时， 在四边形 内部，而 在四边形 外部，直到 时， 点恰好在 上，故 ；
此时 ， ．
综上，当点 ， 中恰好只有一个点落在四边形 的内部（不包括边界）时， 或 ．
几何综合题、代数和几何综合题
16. (2014 浙江省绍兴市) 如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求 ∶ 的值．
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若 ，PD＝2OD，求 ∶ 的值．
答案：解：（1）如图，PA＝2．
（2）如图，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M，N，
∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，
∴∠BOA＝45°．
∴四边形OMPN是正方形，PM＝PN．
又∵∠APQ＝90°，
∴∠APN＝∠CPM．
∴Rt△APN≌Rt△CPM．
(3)①如图，点P在线段OB的延长线上．过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M，N，PM与直线AC的交点为F．
∵∠CMP＝∠ANP＝90°，∠APN＝∠CPM，
∴Rt△APN∽Rt△CPM．
∵∠AEC＝∠ACE ，AP⊥CP ，
∴P为CE的中点．
∵PM//y轴，
∴F，M分别为CA，OC的中点．
∵PD＝2OD，
∴PF＝2x，FM＝0．5OA＝0．5x，PM＝2．5x，CA＝2PF＝4x．
Rt△CAO中，OC＝
∴PN＝OM＝0．5OC＝
得PA∶PC＝ ∶
②点P在线段OB上，不符合题意．
③如图，点P在线段OB的反向延长线上，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M，N，PM与直线AC的交点为F．
同理可得，PM＝1．5x
CA＝2PF＝4x．
在Rt△CAO中，OC＝
，∴PN＝OM＝0．5OC＝
，∴PA∶PC＝ ∶
∴PA∶PC的值为 或 ．
（分类讨论，相似，三线合一，三角形中位线，全等三角形，特殊四边形，直角三角形斜边中线性质，…）
几何综合题、代数和几何综合题
17. (2014 浙江省宁波市) 木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面．他设计了四种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C，O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；
方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯成一个最大圆；
方案四：锯一块小矩形BCEF拼成矩形AFED下面，利用拼成的木板锯成一个尽可能大的圆．
（1）写出方案一中圆的半径；
（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？
（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．
①求y和x的函数关系式；
②当x取何值时圆的半径最大，最大半径是多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面半径最大．
答案：解：(1)方案一中圆的半径为1；.…………………………3分
（2）方案二 如图，连接O1 O2，作E O1⊥AB于E，设O1 C=x，
那么(2x)2=22+(3-2x) 2, .………………………4分
解得x= ,.…………………………4分
连接OG，∴OG⊥CD，
∵∠D=90°，
∴OG∥DE，
∴△CGO∽△CDE，
∴ ，.…………………………5分
，.…………………………6分
∴方案三的圆半径最大；.…………………………8分
（3）①当0＜x＜ 时，
y= ；.…………………………10分
≤x≤1时，
y= ；.…………………………12分
②当x= 时，y值最大，最大值为 ，
四中方案中，第四种方案圆形桌面的半径最大．.…………………………14分
几何综合题、代数和几何综合题
18. (2014 浙江省金华市) 等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E,F，连结AF，BE相交于点P.
（1）若AE=CF.
①求证:AF=BE,并求∠APB的度数.
②若AE=2,试求 的值.
（2）若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.
答案：(本题10分)
（1）①如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°, AB=AC，
又∵AE=CF，
∴△AFC≌△BEA (SAS)，
∵∠4=∠2+∠3，
∴∠4=∠2+∠1=∠BAC=60°,
即∠APB=180°-∠4=120°.
∠C=∠4=60°，∠PAE=∠CAF,
△APE∽△ACF,
∴ ，即 ，所以 .
（2）若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.
当AE=BF时，如图2，此时点P经过的路径是AB边上的高线CH.
在Rt△AHC中， ,
∴此时点P经过的路径长为 .
当AE=CF时，如图3，点P经过的路径是以A，B为端点的圆弧，且∠APB=120°,则圆心角∠AOB=120°，
过点O作OG⊥AB, 在Rt△AOG中，∠AOG=60°，
∴此时点P经过的路径长为 ,
所以，点P经过的路径长为 或 .
几何综合题、代数和几何综合题
19. (2014 浙江省金华市)
（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题.
（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”
针对小亮提出的问题,请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由.
答案：(本题10分)
（1）①∵OD=3，DE=2，∴E(2，3)，由反比例函数 ，可得k=xy=6，
∴该反比例函数的解析式是 .
②设正方形AEGF的边长为a，则 ，
解得a1=0（舍去），a2=1，
∴点F的坐标为（3，2）.
（2）两个矩形不可能全等.
当 时，两个矩形相似,
方法1: ，设 ，则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，解得 （舍去）， ，∴ ，
∴矩形AEGF与矩形DOHE的相似比为 .
方法2:设矩形AEGF与矩形DOHE的相似比为t.则 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，解得 （舍去）， ，
∴矩形AEGF与矩形DOHE的相似比为 .
几何综合题、代数和几何综合题
20. (2014 浙江省湖州市) 已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
答案：证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，
在△PMF和△PNE中， ，∴△PMF≌△PNE（ASA），
（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，
由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，
∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，
∴b+a=1+t+1﹣t=2，
∴b=2﹣a，
（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣ t，0）∴OQ=1﹣ t，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ = ，
解得，t= ，当△OEQ∽△MFP时，∴ = ，
= ，解得，t= ，
（Ⅱ）如图4，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣ t，0）∴OQ= t﹣1，
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ = ，无解，
当△OEQ∽△MFP时，∴ = ， = ，解得，t=2± ，
所以当t= ，t= ，t=2± 时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．
几何综合题、代数和几何综合题
21. (2014 浙江省杭州市) 菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O， ,动点P在线段BD上从点B向点D运动，PP′⊥AB于点P′，四边形PFBG关于BD对称。四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称，设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为 ，未盖住部分的面积为 , .
（1）用含x代数式分别表示
（2）若 ,求x.
答案：解：（1）①当
（不化简更实用）
（2）①当 得：
得： （舍去）；
解得： （舍去），
几何综合题、代数和几何综合题
22. (2014 山东省青岛市) 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC= AC＝6，OB＝OD= BD＝8．
在Rt△AOB中，AB＝ ＝10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD＝∠COD＝90°．
又∵∠FDQ ＝∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴DF＝ t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF．
即10－t＝ t，
解这个方程，得t＝ ．
答：当t＝ s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD＝AB?CG＝ AC?BD，
即10?CG＝ ×12×16，
∴S梯形APFD＝ （AP＋DF）?CG
（10－t＋ t）? ＝ t＋48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴QF＝ t．
同理，EQ＝ t．
∴EF＝QF＋EQ＝ t．
∴S△EFD＝ EF?QD＝
× t×t＝ t2．
∴y＝（ t＋48）－ t2＝－ t2＋ t＋48．
（3）若S四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40，
则－ t2＋ t＋48＝ ×96，
即5t2－8t－48＝0，
解这个方程，得t1＝4，t2＝－ （舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t＝4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ．
∴PN＝ ，BN＝ ．
∴EM＝EQ－MQ＝ ＝ ．
PM＝BD－BN－DQ＝ ＝ ．
在Rt△PME中，
PE＝ ＝ ＝ (cm)．
几何综合题、代数和几何综合题
23. (2014 山东省聊城市) 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是 （4，3）， （0，0）， （6，0），点 是 边上异于 ， 的一动点，过点 作 ∥ ，点 是 边上的任意点，连接 ， ， , ，设点 （ ，0）， 的面积为 ．
（1）求出 所在直线的解析式，并求出点 的坐标为（1，0）时，点 的坐标；
（2）求出 关于 的函数关系式，写出 的取值范围，并求出 的最大值；
（3）若 时，求出此时 点的坐标．
答案：解：
（1）设 ，将 （4，3）代入，得 ，解得 ，故 所在直线的解析式为 ．
作 轴， 轴，则 ∥ ，∴ ．
∵ ∥ ，∴ ，即有 ．
∵ （4，3）， （0，0）， （6，0）， （1，0），
∴ ， ， ， ， ， ， ，
当 时， ，
∴点 的坐标为（1，0）时，点 的坐标为（ ， ）．
（2）设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，∵ ∥ ，∴ 到 的距离 ，即 到 的距离 ．
∵ ，即 ，解得 ，
∵ ∥ ，∴ ，
∵点 是 边上异于 ， 的一动点，
，当 时， 最大，为 ．
（3）∵ ∥ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴当 时，求出此时 点的坐标为（ ，2）．
几何综合题、代数和几何综合题
24. (2014 山东省菏泽市)
几何综合题、代数和几何综合题
25. (2014 山东省东营市)
探究发现如图1, △ABC是等边三角形， ∠AEF＝60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F.当点E是BC的中点时，有AE＝EF成立；
数学思考某数学兴趣小组在探究AE， EF的关系时，运用“从特殊到一般的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B、C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE＝EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”， “点E是线段BC延长线上的任意一点”，“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”，三种情况中。任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE＝EF.
拓展应用当点E在线段BC的延长线上时，若CE＝BC，在备用图2中画出图形.并运用上述结论求出 的值.
答案：解：
过点E作ED//AC交AB于点D，则△BDE是等边三角形
∵∠AEC是△ABE是外角
∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAD
∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC
∠ABC＝∠AEF＝60°
∴∠EAD＝∠FEC
∵CF平分等边△ABC外角∠ACG
∴∠ACF＝∠FCG＝60°
∵∠ADE＋∠BDE＝180°
∠ECF＋∠FCG＝180°
∠FCG＝∠BDE＝60°
∴∠ADE＝∠ECF＝120°
∴BA－BD＝BC－BE
即：AD＝EC
在△ADE与△ECF中
∴△ADE≌△ECF（ASA）
①“点E是线段BC延长线上的任意一点”， 如图（图1—①）
过点E作ED//AC交BA延长线于点D，则△BDE是等边三角形
∵∠AEC是△ABE是外角
∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAD
∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC
∠ABC＝∠AEF＝60°
∴∠EAD＝∠FEC
∵CF平分等边△ABC外角∠ACG
∴∠ACF＝∠FCG＝60°
∵∠ADE＋∠BDE＝180°
∠ECF＋∠FCG＝180°
∠FCG＝∠BDE＝60°
∴∠ADE＝∠ECF＝120°
∴BA－BD＝BC－BE
即：AD＝EC
在△ADE与△ECF中
∴△ADE≌△ECF（ASA）
②若“点E是线段BC上的任意一点” ，如图（图1—②）
过点E作ED//AC交AB于点D，则△BDE是等边三角形
∵∠EAD是△ABE是外角
∴∠EAD＝∠ABC＋∠AEC
∵∠FEC＝∠AEF＋∠AEC
∠ABC＝∠AEF＝60°
∴∠EAD＝∠FEC
∵CF平分等边△ABC外角∠ACG
∴∠FCE＝60°
∵△BDE是等边三角形
∴∠EDA＝60°
∴∠EDA＝∠FCE＝60°
∴BD－BA＝BE－BC
即：AD＝EC
在△ADE与△ECF中
∴△ADE≌△ECF（ASA）
③ “点E是线段BC反向延长线上的任意一点” 如图（图1—③）
过点E作ED//AC交AB延长线于点D，则△BDE是等边三角形
∵∠ABC是△ABE是外角
∴∠ABC＝∠AEB＋∠EAD＝60°
∵∠AEF＝∠AEB＋∠FEC＝60°
∴∠EAD＝∠FEC
∵CF所在直线平分等边△ABC外角∠ACG
∴∠ECF＝∠GCH＝60°
∵△BDE是等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠EDA＝∠FCE＝60°
∴BA－BD＝BC－BE
即：AD＝EC
在△ADE与△ECF中
∴△ADE≌△ECF（ASA）
当点E在线段BC的延长线上时，若CE＝BC，如图2.
由上述结论可知：AE＝EF，∠AEF＝60°
∴△AEF是等边三角形
∵△ABC是等边三角形
∴△ABC∽△AEF
∵△BDE是等边三角形
∴AB＝BC＝CA
∴AB＝BC＝CA＝CE
∴∠CAE＝∠CEA
∴∠CAE＋∠CEA＝∠ACB＝60°
∴∠CAE＝∠CEA＝30°
∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝60°＋30°＝90°
几何综合题、代数和几何综合题
26. (2014 山东省滨州市) 如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10 ，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q。
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒。
①t为何值时，DP⊥AC？
②设 ，写出 与 之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时， 取得最小值。
答案：解：（1）∵矩形ABCD
∴AB∥CD，CD=AB=20，AD=BC=10，∠ADC=∠ABC=90°
∴∠APQ=∠CDQ，∠PAQ=∠DCQ
∴△APQ∽△CDQ
（2）①当DP⊥AC时，∵∠ADC=90°
∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90° 又∠A=∠A
∴△ADQ∽△ACD
∵∠AQP=∠ABC=90°又∠AQP=∠BAC
∴△AQP∽△ABC
∴ ，则 ，解得
即当 时，DP⊥AC
②过点Q作QE⊥AB于E，延长EQ交CD于F，则QF⊥CD，FQ+QE=10
∵△APQ∽△CDQ
∵QE⊥AB，∠ABC=90°
∴∠ABC=∠QEA=90°
∴QE∥BC ∴△AQE∽△ACB
则QF=10-QE=
当 时， 取得最小值，解得
∵ 即当P点运动到第八秒到第九秒之间时， 取得最小值。
几何综合题、代数和几何综合题
27. (2014 辽宁省沈阳市) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为 ,AB= ,∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD.
（1）求证：△AOD是等边三角形；
（2）求点B的坐标；
（3）平行于AD的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移.设直线l被 四边形OABC截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t.
①当直线l与x轴的交点在线段CD上（交点不与点以，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）；
②若m=2,请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标.
答案：解： (1)证明：过点作AM⊥x轴于点M，
∵点A的坐标为 ，∴OM=2,AM= .
∴在Rt△AOM中，tan∠AOM= = = ,∴∠AOM=60°.
由勾股定理得，OA=
∴△AOD是等边三角形.
(2)解：过点A作AN⊥BC于点N，
∵BC⊥OC，AM⊥x轴，
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC =90°.
∴四边形ANCM为矩形，∴AN=MC，AM=NC.
∵∠B=60°,AB= ,
∴在Rt△ABN中，AN=AB?sinB= =6,
∴BN=AB?cosB=
∴AN=MC=6,CN=AM= .∴OC=OM+MC=2+6=8,
BC=BN+CN= + = .
∴点B的坐标为（8， ）.
(3)① . ②(2,0),(
几何综合题、代数和几何综合题
28. (2014 辽宁省大连市) 如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．
（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
（2）求证：BE=EC；
（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．
答案：解：（1）∠DCA=∠BDE．
证明：∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA．
（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，
则有∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，
∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG．
∵AF∥EG，DF=EF，
∵EG∥AC，
（3）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，
∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DBC﹣∠DEC=∠ACB﹣∠DCE=∠DCA．
∵AC∥EG，
∴∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，
∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG
∴DG=AB=1．
∵AF∥EG，
∴△ADF∽△GDE．
∵DF=kFE，
∴DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF．
∴GE=AD= ．
过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH．
∵AB=1，∠ABC=α，
∴BH=AB?cos∠ABH=cosα．
∴BC=2cosα．
∵AC∥EG，
∴△ABC∽△GBE．
∴BE的长为 ．
几何综合题、代数和几何综合题
29. (2014 江苏省扬州市) 已知矩形ABCD的一边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在 (1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交与PB点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．
答案：解：(1) ①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=∠B=90°，
由题意知∠APO=∠B=90°，
∴∠DOA+∠OCA=90°，
又∠DPA+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠COP．
∴△OCP∽△PDA．
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴ ，∵AD=8，∴PC=4．
设 ，则AP=AB=CD=x．
∴DP=4-x．
在Rt△PDA中，根据勾股定理得
即 ，解得 ．
∴边AB的长为10．
（2）∵点P是CD边的中点，∴BP= ．
∵AB=CD=AP，∴DP= ，∵∠DAP=30°，∴∠DAB=90°∴∠PAB=60°，
∴∠OAB= ∠PAB=30°．
(3) 线段EF的长度不变，为 ，理由如下：
如图，过点M作MQ∥AB交PB于点Q．
由（1）知，AB=AP，∴∠ABP=∠APB．
∵MQ∥AB，∵∠ABP=∠MQP．
．∵∠APB=∠MQP，∴MP=MQ．
∵ME⊥BP，∴EQ= PQ，∵MQ∥AB，
∵∠N=∠FMQ， ∠FBN=∠MQP，
又BN=PM，∴△MQF≌△NBF．
∴FQ=BQ= BQ
∴EF=EQ+QF= (PQ+BQ)=
由（1）知 ．
几何综合题、代数和几何综合题
30. (2014 江苏省盐城市) 如图，反比例函数的图象经过点A(－1，1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是(　　)
A． 　　B． 　　C． 　　D．
几何综合题、代数和几何综合题
31. (2014 江苏省宿迁市) 如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
(2)将图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△CAN为等腰直角三角形；
(3)将图1中△BCE绕点旋转到图3的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．
答案：解：(1)∵点M为DE的中点，∴DM=ME．∵AD∥EN，∴∠ADM=∠NEM，又∵∠DMA=∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM=MN，即M为AN的中点；
(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN，又∵DA=AB，∴AB=NE，∵∠ABC=∠NEC=135°，BC=CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC=CN，∠ACB=∠NCE，∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°，∴∠BCN+∠ACB=90°，∴∠ACN=90°，∴△CAN为等腰直角三角形；
(3)由(2)可知AB=NE，BC=CE．又∵∠ABC=360－45－45－∠DBE=270－∠DBE=270－(180－∠BDE－∠BED）=90+∠BDE+∠BED=90+∠ADM－45+∠BED=45+∠MEN+∠BED=∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论是否仍然成立．
几何综合题、代数和几何综合题
32. (2014 江苏省无锡市) 如图1，已知点A（2，0）、B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C．一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N，设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S，
①试求S关于t的函数关系式；
②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图像，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．
答案：解：（1）过C点做CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∵OC平分∠AOB，∴OE=CE=x
∴ ，∴ ，∴ ，∴C（ ， ）
M（2t，0），N（0，t）
（2）①当0<t≤1时，如图1，点M在线段OA上，此时重叠部分面积为
当1<t<2时，如图2，点M在OA的延长线上，记MN与AB交于点D，此时重叠部分面积为
求出AB直线解析式： ，MN直线解析式：
∴D点横坐标为
②如图3，当t=1时，S有最大值为1
几何综合题、代数和几何综合题
33. (2014 江苏省泰州市) 平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=－ （x＞0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b.
（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a＋b≠0，求ab的值；
（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于
或等于4的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点.请说明理由.
答案：解：（1）如图所示：
∵AB∥x轴，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=－ （x＞0）的图象上，
∴点A、B的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∵A、B的横坐标分别为a、b，
∴A、B的坐标分别为（a， ）、（b，－ ），
∴a=－b，AB=2a，
∴S△OAB= ×2a× =4；
（2）如图所示:分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为点C、D,
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴OA=OB, ∴BC2＋OC2=AD2＋OD2，
设点A、B的坐标分别为（a， ）、（b，－ ），
∴a2＋ =b2＋ ，∴a2－b2= － ，
∴a2－b2= ，
∵a＋b≠0，∴a2－b2≠0，
∴ =1，∴a2b2=4，
∵a、、b异号，∴ab=－2.
（3）如图所示:假设正方形与函数图象交于点E，
设点A的坐标分别为（a， ）,
∵正方形ACDE边长为3，AC∥x轴，
∴点C的坐标为（a－3， ）,点D的坐标为（a－3， ＋3）,
把x=a－3代入y1= ，得点E的坐标为（（a－3， ）,
∵对大于或等于4的任意实数a，有 ＋3－ = ≥0，
即DE≥0， ∴CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点.
几何综合题、代数和几何综合题
34. (2014 江苏省南通市) 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．
（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；
（2）若点G与点C重合，求线 段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．
答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠MDF=90°，
∵M为边AD中点，
在△MAE和△MDF中，
∴△MAE≌△MDF（ASA），
又∵MG⊥EM，
∴△EFG是等腰三角形；
（2）解：如图1，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，
∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，
∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，
∵CM2=EC2﹣EM2，
∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，
（3）解：如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴EM= = ，MD=AD﹣AM=4﹣a，
∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，
∴△MAE∽△MDF
∴EF=EM+FM= +
∵AD∥BC，
∴∠MGN=∠DMG，
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，
∴∠AME=∠DMG，
∴∠MGN=∠AME，
∵∠MNG=∠MAE=90°，
∴△MNG∽△MAE
∴S= EF?MG= ×
当a= 时，S有最小整数值，S=1+6=7．
几何综合题、代数和几何综合题
35. (2014 江苏省连云港市) 某数学兴趣小组对线段上的动点进行探究，已知AB=8．
如图1．点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC，BPEF
（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是求出，若不是，求出这两个面积之和的最小值．
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP与点K当点P运动时，在△APK，△ADK，△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形，请说明理由．
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8，若点P从点A出发，沿A→B→C→D，向点D运动，求点P从点A到点D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长．
（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点．请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径长及OM+OB的最小值．
答案：解： (1) 当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值；
设AP=x，则PB=8-x
(2)存在两个三角形面积相等S△APK=S△DKF．
易知△APK∽△ABF，设AP=x，
(3)当点P从点A运动到点B时，点O的运动轨迹是以A为圆心12PQ长为半径的，四分之一圆，∴求点P从点A到点D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长
l=3×(14×4×2?)=6?
（4）GH的中点O所经过的路径长为4； OM+OB= ．
几何综合题、代数和几何综合题
36. (2014 江苏省淮安市) 如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8,3），定点D的坐标为（12,0）动点P从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止。在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒.
时，△PQR的边QR经过点B；
(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
(3)如图2，过定点E(5,0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值.
答案：解：
(1)由题意可知：AB=AQ=3，QD=1,则t=1
(2)(Ⅰ)作PF⊥BC于F，则PF=EF=OC=3
（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3，
∴四边形ABFE是正方形．
如答图2，将△AME绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM′，其中AE与AB重合．
∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，
∴∠BAM′+∠NAB=45°，
∴∠MAN=∠M′AN．
连接MN．在△MAN与△M′AN中，
∴△MAN≌△M′AN（SAS）．
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN．
设EM=m，BN=n，则FM=3﹣m，FN=3﹣n．
在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM2+FN2=MN2，即（3﹣m）2+（3﹣n）2=（m+n）2，
整理得：mn+3（m+n）﹣9=0．
延长MR交x轴于点S，则m=EM=RS= PQ= （12﹣3t），
∵QS= PQ= （12﹣3t），AQ=4﹣t，
∴n=BN=AS=QS﹣AQ= （12﹣3t）﹣（4﹣t）=2﹣ t．
代入①式，化简得：n2+4n﹣3=0，
解得n=﹣2+ 或n=﹣2﹣ （舍去）
∴2﹣ t=﹣2+
解得：t=8﹣2 ．
∴若∠MAN=45°，则t的值为（8﹣2 ）秒．
几何综合题、代数和几何综合题
37. (2014 湖南省岳阳市) 数学活动——求重叠部分的面积．
(1)问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P与等边△ABC的内心O重合，已知OA =2，则图中重叠部分△PAB的面积为
(2)探究1：在(1)的条件下，将纸片绕P点旋转至如图②所示位置．纸片两边分别与
AC，AB交于点E、F，图②中重叠部分的面积与图①中重叠部分的面积是否相等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由．
(3)探究2：如图③，若∠CAB=α(0°<αOB
∴OA=4,OB=3
……………………………………………………………1分
过D作DE⊥y于点E
∵正方形ABCD
∠DAB=90°
∠DAE+∠OAB=90°
∠ABO+∠OAB=90°
∴∠ABO=∠DAE
∴∠AED =90°=∠AOB
∴△DAE≌△ABO
…………………………………………………2分
……………………………………………………1分
（2）过点C作CM⊥x轴于点M
同上可证得△BCM≌△ABO
…………………………………………1分
……………………………………………………1分
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）
代入B(3,0),C(7,3)得
…………………………………………1分
……………………………………………………1分
(3)存在P1(3,0),P2(11,6)………………………………………………2分
几何综合题、代数和几何综合题
60. (2014 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA<OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程 的两个根.线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D.点P是直线CD上的一个动点，点Q是直线AB上的一个动点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为 AB长.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）∵
∴x1=6， x2=8-------------------------------------------------------------------------------（1分）
∴OA=6，OB=8
∴A(6，0)，B(8，0) -----------------------------------------------------------------------（2分）
（2）根据勾股定理得AB=10
∵CD是AB的垂直平分线
∴AC=5，易求C(3，4) ------------------------------------------------------------------------（1分）
由于△AOB∽△ACD
∴ ，求得AD=
∴OD=AD-OA=
∴D( ，0) -------------------------------------------------------------------------------------（1分）
由C、D坐标得yCD= x+ -----------------------------------------------------------------（1分）
（3）存在，M1 (2，-3)M2 (10，3)M3 (4，11)M4(-4，5) ----------------------------（4分）
说明，以上各题，如果有其它正确解法，可酌情给分.
几何综合题、代数和几何综合题
61. (2014 贵州省贵阳市) 如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC =45°，∠ACD =
30°，点E为CD边上中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′ E，D′ E交AC于F点，若AB = cm．
（1）AE的长为
cm；（4分）
（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（4分）
（3）求点D′ 到BC的距离．（4分）
答案：解：
（2）由上题可得：在Rt△ACD中，∠DAC =90°，点E为斜边CD边上中点，
∴ AE =DE =CE = CD = cm
∴ AE =DE =AD = cm
∴ △ADE是等边三角形
∴ ∠DAE =60°，
由对折可得：△ADE ≌ △AD′ E，
∴ ∠DAE =∠D′AE =60°，DA =D′A = cm
∵ AE = CE
∴ ∠EAC =∠ECA =30°，
∴ ∠D′AC =∠D′AE -∠EAC =30°
∴ ∠EAC =∠D′AC =30°
∵ AE = D′A = cm，AF =AF，
∴ △AEF ≌ △AD′ F，
∴ EF = D′ F，∠EFA =∠D′FA =90°
∴ 点E与点D′ 关于直线AC成轴对称，
∴ DP+EP = DP+ D′ P
∴ 当D，P，D′ 三点共线时，DP+EP有最小值，
此时连结DD′ 交AE于点G，交AC于点P，则点P即为所要找的点（如图所示），
由对折可得：D与D′ 关于直线AE成轴对称，
∴ DG=D′ G，∠DGA =∠D′GA =90°
在Rt△ADG中，∠DGA =90°，∠DAG =60°，AD = cm，
∴ DG = AD?sin∠DAG = × =6 cm，∴ DD′ =12 cm
∴ DP + EP的最小值为12 cm．
（3）连结CD′ ，BD′ ，作D′H⊥BC交BC于点H （如图所示），
∵ AE = CE ，EF⊥AC
∴ AF =CF（等腰三角形三线合一）
∵ EF = D′ F，E D′⊥AC ，
∴ 四边形AECD′ 是菱形（对角线互相平分且垂直的四边形是菱形）
∴ AD′ =CD′ ，
∵ AB =CB，D′ B = D′ B，
∴ △ABD′ ≌ △CBD′ （SSS）
∴ S△ABD′
∴ S△ABC =S△AC D′
+ S△ABD′
+ S△CBD′
= S△AC D′
+2 S△CBD′
= AC?FD′+ 2× CB?HD′
∵ S△ABC =
AC?FD′+ 2× CB?HD′=
则：12× + HD′= × ，
几何综合题、代数和几何综合题
62. (2014 广东省梅州市) 如图7，在Rt⊿ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E。设CD=x，DF=y。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当是⊿FED直角三角形时，求x的值。
答案：解：（1）∵∠B=90°，AC=60，AB=30
∴∠C=30°
∴y=sin30°CD=12x
（2）当四边形AEFD为菱形时，有AD=DF
∴AC－CD=DF，即60－x= 12x
（3）当是⊿FED直角三角形时，只能是∠FDE=90°，如图6-2
由DF⊥BC得∠2=90°，即有DE//BC，所以四边形AEFD为平行四边形，显然AE=DF；
再由DE//BC可得：∠3=∠B=90°，∠4=∠C=30°
在Rt⊿BOC中，sin∠4=AEAD= 12
∴AC－CD=2DF，即60－x= x
几何综合题、代数和几何综合题
63. (2014 广东省广州市) 如图7，梯形 中， ， ， , ， ，点 为线段 上一动点（不与点
重合）， 关于 的轴对称图形为 ，连接 ，设 ， 的面积为 ， 的面积为 ．
（1）当点 落在梯形 的中位线上时，求 的值；
（2）试用 表示 ，并写出 的取值范围；
（3）当 的外接圆与 相切时，求 的值．
答案：解：（1）如图1， 为梯形 的中位线，则 ，过点 作 于点 ，则有：
（2）如图2， 交 于点 ， 与 关于 对称，
又 与 关于 对称，
（3）如图3，当
的外接圆与 相切时，则 为切点.
的圆心落在 的中点，设为
则有 ，过点 作 ，
解得： （舍去）
几何综合题、代数和几何综合题
64. (2014 广东省珠海市) 如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连结EF与边CD相交于点G,连结BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.
(1)求证:EF//AC；
(2)求∠BEF大小；
(3)求证: .
答案：(1)证明:∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ACFE是平行四边形
(2)解:连接
几何综合题、代数和几何综合题
65. (2014 甘肃省兰州市) 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
答案：解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2，
即四边形ABCD是勾股四边形。
几何综合题、代数和几何综合题
阅读理解与信息迁移
66. (2014 甘肃省天水市) 如图(1)，在平面直角坐标系中，点A(0,-6)，点B(6，0).Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4， .直角边CD在y轴上，且点C与点A重合. Rt△CDE沿y轴正方向平行移动.当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题：
(1)如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数.
(2)如图（3）在Rt△CDE运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长.
(3)在Rt△CDE运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值.
答案：解：(1) ∵A(0,-6)，B(6，0)
∴∠OBA=OAB=45°
在Rt△CDE中，
∴∠DEC=30°
∵∠DEC+∠BME=∠OBA
∴∠BME=15°
(2)由题意可知，在Rt△OBC中，
(3)当 时，由题意可知FM=
几何综合题、代数和几何综合题
67. (2014 福建省福州市) 如图1，点O在线段AB上，AO?2，OB?1，OC为射线，且∠BOC?60?，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.
（1）当t? 秒时，则OP?
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP?AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP?∠B，求证：AQ?BP?3.
答案：解：（1）1， ；
（2）①∵∠A 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：?ACB∽?NOM；
（3）若?ACB与?NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
答案：解：（1）∵ y = kx 过（1，4）点
∴ k = 4，反比例函数解析式为y = 4x
（2）∵ B（m，n）
∴ AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1 2分
∴ ACON = 4–nn = 4n–1
而B（m，n）在y = 4x 上
∴ ACON = m–1
而 BCOM = m–11
∴ ACON = BCOM
又∵ ∠ACB =∠NOM = 90°
∴ ΔACB∽ΔNOM 5分
（3）∵ ΔACB与ΔNOM的相似比为2
∴ m–1 = 2
∴ B点坐标为（3，43） 6分
设AB所在直线的解析式为y = kx＋b
∴ 43 = 3k＋b4 = k＋b
∴ k = –43
∴ 解析式为y = –43 x＋163
几何综合题、代数和几何综合题
76. (2014 内蒙古包头市)
如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴ = =， ==
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．
（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EOF．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EOF+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．
（3）如图，连接AF，
∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4﹣1.5t
∴S△FOE=OE?OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，
S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6
∵S△AEF=S四边形ABOF
∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，
∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，
解得t=或t=．
∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．
几何综合题、代数和几何综合题
77. (2014 内蒙古赤峰市)
如图（12），矩形OABC的顶点A、C分别在 轴和 轴上，点B的坐标为 ，双曲线 的图象经过BC的中点D，且于AB交于点E.
（1）求反比例函数解析式和E点坐标；
（2）若F是OC上一点，且以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC和△AFO相似，求F点的坐标.
解：（1）四边形ABCD是矩形，D是BC中点，
…………（1分）
设反比例函数解析式为
…………（2分）
…………（3分）
当 时， ………………（4分）
……………………（5分）
∵∠OAF=∠DFC
△AOF∽△FDC
…………（8分）
…………（10分）
…………（11分）
……………………（12分）
评分阈值：1分
几何综合题、代数和几何综合题
78. (2014 吉林省长春市) 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3 ）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
答案：解：（1）当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，
∴ ．[来源:Z,]
∴当t= 时，点N落在BD上．
（2）①如图2，
则有QM=QP=t，MB=4﹣t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴t=4﹣t．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AB=4，AD=3，
∵点O是DB的中点，
∴1×t=AD+DO=3+ ．
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜ ．
（3）①当0＜t≤ 时，如图4．
S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．
②当 ＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB= = ，
∴PG=4﹣ t．
∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣ t）= ﹣4．
∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，
∴NF= GN= （ ﹣4）= t﹣3．
∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF
=t2﹣ ×（ ﹣4）×（ t﹣3）
=﹣ t2+7t﹣6．
③当3＜t≤ 时，如图6，
∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．
∴∠PQM=∠DAB=90°．
∴PQ∥AD．
∴△BQP∽△BAD．
∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，
∴BQ= ，PQ= ．
∴QM=PQ= ．
∴BM=BQ﹣QM= ．
∵tan∠ABD= ，
∴FM= BM= ．
∴S=S梯形PQMF= （PQ+FM）?QM
= （8﹣t）2
= t2﹣ t+ ．
综上所述：当0＜t≤ 时，S=t2．
当 ＜t≤3时，S=﹣ t2+7t﹣6．
当3＜t≤ 时，S= t2﹣ t+ ．
（4）设直线DN与BC交于点E，
∵直线DN平分△BCD面积，
∴BE=CE= ．
①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，
则有△DPN∽△DHE．
∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE= ，EH=AB=4，
解得；t= ．
②点P在DO上，连接OE，如图8，
则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．
∴△DPN∽△DOE．
∵DP=t﹣3，DO= ，OE=2，
∴PN= （t﹣3）．
∵PQ= （8﹣t），PN=PQ，
∴ （t﹣3）= （8﹣t）．
解得：t= ．
③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，
则有OE=2，OE∥DC．
∴△DSC∽△ESO．
∴SC=2SO．
∴SO= = ．
∵PN∥AB∥DC∥OE，
∴△SPN∽△SOE．
∵SP=3+ + ﹣t= ，SO= ，OE=2，
∵PR∥MN∥BC，
∴△ORP∽△OEC．
，OC= ，EC= ，
∵QR=BE= ，
∴PQ=PR+QR= ．
解得：t= ．
综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 、 、 ．
几何综合题、代数和几何综合题
79. (2014 陕西省) 问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员项在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB．现在要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳．已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°?若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）符合条件的等腰三角形如图所示，有3个；BP1= ，BP2=2，BP3=4 - ;
∵E、F分别为AB、AC中点，
∴EF//BC，EF=12BC=6．
∵AD=6，AD⊥BC，
∴EF与BC间的距离为3．
∴BC上符合条件的点Q只有一个．
如图②，⊙O与BC的切点记为Q，连接OQ，
过点E作EG⊥BC，垂足为G，
∴四边形EOQG为正方形．
在Rt△EBG中，∠B=60°，EG=3，
∴BQ=3+ ．
（3）在CD上存在符合题意得点M．
如图，构造等边△ABG，作GP⊥AB于点P，AK⊥BG于点K，AK与GP交于点O，以O为圆心OA长为半径画圆，则⊙O为△ABG的外接圆，作OH⊥CD于点H．
在Rt△AOP中，AP=12AB=135，OA=90 ，OP=45 ，
又知OH=285-．
而90 >150，
∴⊙O与CD相交．
记⊙O与CD的交点为M，连接OM、MA、MB，
则∠AMB=∠AGB=60°．
∵在Rt△OHM中，HM= = ，
∴DM=400- 340(舍去)
∴CD上符合题意得点M只有一个．
∴点M就是符合要求点．
故DM=400- ≈279．63m．
几何综合题、代数和几何综合题
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