2013届九年级数学复习资料_百度文库
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2013届九年级数学复习资料|非​常​详​细​,​实​用
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你可能喜欢Rt△ABC中，AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论①（BE+CF）=BC②S△AEF≤S△ABC③S四边形AEDF=AD·EF④AD≥EF⑤AD与EF可能互相平分-数学试题及答案
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1、试题题目：Rt△ABC中，AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 7:30:00
Rt△ABC中，AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论①（BE+CF ）=BC ② S△AEF≤&S△ABC ③ S四边形AEDF=AD·EF④ AD ≥EF&& ⑤ AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是[&&&& ]A.1个&&&&&&B.2个&&&&&& C.3个&&&&&& D.4个
&&试题来源：黑龙江省中考真题
&&试题题型：单选题
&&试题难度：中档
&&适用学段：初中
&&考察重点：三角形全等的判定
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“Rt△ABC中，AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN..”的主要目的是检查您对于考点“初中三角形全等的判定”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中三角形全等的判定”。
4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：
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2012年数学中考压轴题及答案
1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.（1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线的对称轴为）解：设抛物线的解析式为，依题意得：c=4且
所求的抛物线的解析式为（2）连接DQ，在Rt△AOB中，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 - 5 = 2因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB即所以AP=AD - DP = AD - DQ=5 -= ，所以t的值是（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90
DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，
△DQE ∽△ABO
即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）设直线AQ的解析式为则
由此得所以直线AQ的解析式为
联立由此得
所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），　　OB＝OC ，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ...1分将A、B、C三点的坐标代入得
........................2分解得：
........................3分所以这个二次函数的表达式为：
........................3分（2）存在，F点的坐标为（2，－3）
........................4分理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）
........................4分由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F，坐标为（2，－3）
........................5分（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，－3），直线AG为．...............8分设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．........................9分当时，△APG的面积最大此时P点的坐标为，．
........................10分3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为.........1分根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为.............................................2分⑵存在。....................................................................................3分由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。............4分①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y＝4－x。..............................5分又P点(x,y)在抛物线上，∴，即............6分解得，，应舍去。∴。........................7分∴，即点P坐标为。........................8分②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。........................9分⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB＝,CD＝,BD＝,......................................................10分∴,∴∠BCD＝90°,.................................................................................11分设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，∵CF＝DF＝1,∴∠CDF＝45°,由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），∴DM∥BC,∴四边形BCDM为直角梯形, ..................12分由∠BCD＝90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。...............13分　　　　3.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．　　（1）求A、B、C三点的坐标；　　（2）求此抛物线的表达式；　　（3）求△ABC的面积；　　（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；　　（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　　　∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC　　∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）　　又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2　　∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　　∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）　　（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上　　∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得　　　解得　　∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　　（3）∵AB＝8，OC＝8∴S△ABC ＝×8×8=32　　（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，　　∵OA＝6，OC＝8，
∴AC＝10　　∵EF∥AC　
∴△BEF∽△BAC　　∴＝　　即＝
∴EF＝　　过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝　　∴＝　
∴FG＝·＝8－m　　∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）　　＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　　　自变量m的取值范围是0＜m＜8　（5）存在．
理由：　　∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，　　∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）　　∴△BCE为等腰三角形．　　4.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ......2分说明：每写对1个给1分，"直线"两字没写不扣分．⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，∴AB＝4．∴在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，　　　　　　　∴∴b＝
....................................3分当时，∴　 ....................................4分∴
............5分⑶存在．.................................6分理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．∴x＝±4．∴点M的坐标为．...9分　　　说明：少求一个点的坐标扣1分．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴点M的坐标为．
.................................12分　　　　　　说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，　　　　　　然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．　　　综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．5.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：①四边形为平行四边形；②平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知．，，． （1分），即为的中点． （2分）法二：，，． （1分）又轴，． （2分）（2）①由（1）可知，，，，． （3分），又，四边形为平行四边形． （4分）②设，轴，则，则．过作轴，垂足为，在中，．平行四边形为菱形． （6分）（3）设直线为，由，得，代入得：直线为． （7分）设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，，解得．得公共点为．所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）6.如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，　　　　∴ m=-2×(-2)-1=3.
....................................（2分）　　　　∴ B(-2,3)　　　　∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，　　　　∴ 点A的坐标为(4,0) .　　　　设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
........................（3分）　　　　将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .　　　　∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （6分）（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，则BG⊥直线x=2，BG=4.在Rt△BGC中，BC=.　　　　　∵ CE=5，　　　　　∴ CB=CE=5.
........................（9分）　　　　②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，　　　　　则点H的坐标为H(0,-5).　　　　　又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，　　　　　∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.∴ △DFB≌△DHE （SAS），　　　　　∴ BD=DE.　　　　　即D是BE的中点.
....................................（11分）（3）
....................................（12分）由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，　　　　　∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得
.∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.　　　　　∵ 动点P的坐标为(x，)，　　　　　∴ x-1=.
....................................（13分）　　　　　解得 ，.
∴ ，.　　　　　∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，)....（14分）　　　　　(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．　　　　　（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对
角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）　　　　　　解：　（解析）解：（1）解法一：∵抛物线=－++经过点A（0，－4），∴=－4 ......1分又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，∴+=，
=－=6 2分由已知得（-）=25又（-）=（+）－4=－24∴ －24=25解得=±
3分当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴=－．
4分　　　　　　解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，即方程2－3+12=0的两个根．∴=， 2分∴－==5，　
解得 =± 3分　
（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
5分又∵=－－－4=－（+）+
6分∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），　　　　根据菱形的性质，点P必是直线=-3与　　　　抛物线=－--4的交点，
8分∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形．
9分四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分8.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．（1）写出直线的解析式．（2）求的面积．（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？（解析）解：（1）在中，令，， 1分又点在上的解析式为 2分（2）由，得
4分，， 5分6分（3）过点作于点7分8分由直线可得：在中，，，则， 9分10分11分此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分9.已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。　　（1）求点C的坐标；　　（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；　　（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。　　注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为解: （1）过点C作CH⊥轴，垂足为H∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB∴OB＝4，OA＝由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3∴C点坐标为（，3）（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点∴
解得：∴此抛物线的解析式为：（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点CMP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝∴P（，）作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E　　　　　　　　把代入得：∴ M（，），E（，）同理：Q（，），D（，1）要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD即，解得：，（舍）∴ P点坐标为（，）∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）10.如图，抛物线与x轴交A、B两点（A　　点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中　　C点的横坐标为2．（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；　　（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平　　　　行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；　　（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，　　　　使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是　　　　平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F　　　　点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得或∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（∵P点在E点的上方，PE=∴当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是11.如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴（2）把点坐标代入中，解得（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与轴交于，与交于．过点作轴于，易得，，，① 以为腰且顶角为角的有1个：．在中，②以为腰且顶角为角的有1个：．在中，③以为底，顶角为角的有1个，即．画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．过点作垂直轴，垂足为，显然．．于是12.如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．把A、B两点坐标代入上式，得解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合　　　　　　　　，　　　　　　∴y0,－y表示点E到OA的距离．　　　　　　∵OA是的对角线，　　　　　　∴．因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是1＜＜6．① 根据题意，当S = 24时，即．化简，得
解之，得　　　　　　故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．　　　　　　点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；　　　　　　点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．② 当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．　　　　　　
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，　　　　　　使为正方形．13.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；　　②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；　　③设是②中函数S的最大值，那么 =
.解：（1）令，则；令则．∴．∵二次函数的图象过点，∴可设二次函数的关系式为又∵该函数图象过点．∴解之，得，．∴所求二次函数的关系式为（2）∵=∴顶点M的坐标为过点M作MF轴于F∴=∴四边形AOCM的面积为10（3）①不存在DE∥OC∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．设点E的坐标为∴，∴
∴∵>2，不满足．∴不存在．②根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）现分情况讨论如下：ⅰ）当时，；ⅱ）当时，设点E的坐标为∴，∴∴ⅲ）当2 <<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得设点D的坐标为∴，∴∴=③　　14.已知：如图，抛物线经过、、三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线与抛物线相交于点E （4，m），请求出△CBE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并写出点的坐标；（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．解：（1）∵抛物线经过点、，∴．又∵抛物线经过点，∴，．∴抛物线的解析式为．　　（2）∵E点在抛物线上，　　∴m = 42-4×6+5 = -3．　　∵直线y = kx+b过点C（0， 5）、E（4， -3），　　∴
解得k = -2，b = 5．　　设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，　　当y=0时，-2x+5=0，解得x=．　　∴D点的坐标为（，0）．　　∴S=S△BDC + S△BDE==10．（3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点为所求满足条件的点．（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．理由如下：∵，∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、、、、、、、，除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点15.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB＝OA=2，∠BOD＝60°在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30°∴OD＝1，DB＝∴点B的坐标是（1，）（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：解得：∴所求抛物线解析式为（备注：a、b的值各得1分）（3）存在由
配方后得：∴抛物线的对称轴为（也可用顶点坐标公式求出）∵点C在对称轴上，△BOC的周长＝OB+BC+CO；∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O与点A关于直线对称，有CO=CA△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。设直线AB的解析式为，则有：　　解得：∴直线AB的解析式为当时，∴所求点C的坐标为（－1，）（4）设P（），则
①过点P作PQ⊥y轴于点Q， PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=，PG=，由题意可得：＝=＝
②将①代入②，化简得：＝∴当时，△PAB得面积有最大值，最大面积为。此时∴点P的坐标为16.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知点的坐标为．设的函数关系式为．又点在抛物线上，，解得．抛物线的函数关系式为（或）．（2）与始终关于轴对称，与轴平行．设点的横坐标为，则其纵坐标为，，，即．当时，解得．当时，解得．当点运动到或或或时，，以点为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则，（或），．过点作于点，可得．，，．点的坐标为．但是，当时，．不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．17.如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x 2＋bx＋c得2分解得 3分∴该抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3． 4分　　　（2）存在． 5分该抛物线的对称轴为x＝－＝－1∵抛物线交x轴于A、B两点，∴A、B两点关于抛物线的对称轴x＝－1对称．由轴对称的性质可知，直线BC与x＝－1的交点即为所求的Q点，此时△QAC的周长最小，如图1．将x＝0代入y＝－x 2－2x＋3，得y＝3．∴点C的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，将B(－3，0)，C(0，3)代入，得解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3． 6分联立
解得∴点Q的坐标为(－1，2)． 7分　　　（3）存在． 8分设P点的坐标为（x，－x 2－2x＋3）（－3＜x＜0），如图2．∵S△PBC ＝S四边形PBOC －S△BOC ＝S四边形PBOC
－×3×3＝S四边形PBOC －当S四边形PBOC有最大值时，S△PBC就最大．∵S四边形PBOC ＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC
9分　　　　　　　　　　　＝BE·PE＋(PE＋OC)·OE　　　　　　　　　　　＝(x＋3)(－x 2－2x＋3)＋(－x 2－2x＋3＋3)(－x)　　　　　　　　　　　＝－(x＋)2＋＋当x＝－时，S四边形PBOC最大值为＋．∴S△PBC最大值＝＋－＝． 10分当x＝－时，－x 2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝．∴点P的坐标为(－，)． 11分18.如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．　（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．∴a＝－ 1分∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋即y＝－x 2＋x＋． 3分　　　（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点∴xD＝－＝1，yD＝－×1 2＋×1＋＝．∴点D的坐标为(1，)．如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．∴∠DAO＝60° 4分∵OM∥AD①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．∴OP＝6∴t＝6（s） 5分②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．过点O作OE⊥AD轴于E．在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．∴t＝5（s） 6分③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．∴t＝4（s）综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．　　　　　　 7分　　　（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t． 8分∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ　　　　　　　　　　　＝×6×－×(6－2t)×t　　　　　　　　　　　＝(t－)2＋ 9分∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为． 10分此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．∴PQ＝＝＝ 11分19.如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．（1）请直接写出点C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．解：（1）C(3，2)，D(1，3)； 2分（2）设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c，把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入　　　　　　得
解得 4分　　　　　　∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x＋1； 5分（3）①当点A运动到点F（F为原B点的位置）时　　　　　　∵AF＝＝，∴t＝＝1（秒）．　　　　　　当0＜ t ≤1时，如图1．　　　　　　B′F＝AA′＝t　　　　　　∵Rt△AOF∽Rt△∠GB ′F，∴＝．　　　　　　∴B ′G＝·B ′F＝×t＝t　　　　　　正方形落在x轴下方部分的面积为S即为△B ′FG的面积S△B′FG　　　　　　∴S＝S△B′FG＝B ′F·B ′G＝×t×t＝t 2 7分　　　　　　②当点C运动到x轴上时　　　　　　∵Rt△BCC ′∽Rt△∠AOB，∴＝．　　　　　　∴CC ′＝·BC＝×＝，∴t＝＝2（秒）．　　　　　　当1＜ t ≤2时，如图2．　　　　　　∵A ′B ′＝AB＝，∴A ′F＝t－．　　　　　　∴A ′G＝　　　　　　∵B ′H＝t　　　　　　∴S＝S梯形A′B′HG＝(A ′G＋B ′H)·A ′B ′＝(＋t)·＝t－ 9分　　　　　　③当点D运动到x轴上时　　　　　　DD′＝　　　　　　t＝＝3（秒）　　　　　　当2＜ t ≤3时，如图3．　　　　　　∵A ′G＝　　　　　　∴GD′＝－＝　　　　　　∴D′H＝－　　　　　　∴S△D′GH ＝()(－)＝()2　　　　　　∴S＝S正方形A′B′C′D′ －S△D′GH＝()2－()2＝－t 2＋t－ 11分（4）如图4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积．　　　　　　∵t＝3，BB′＝AA′＝DD′＝　　　　　　∴S阴影＝S矩形BB′C′C
13分　　　　　　　　　＝BB′·BC　　　　　　　　　＝×　　　　　　　　　＝15 14分20.已知：抛物线y＝x 2－2x＋a（a ＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（
）；（2）如图，将△NAC沿轴翻折，若点N的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y＝x 2－2x＋a（a ＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．解：（1）M(1，a－1)，N(a，－a)． 4分（2）∵点N ′是△NAC沿轴翻折后点N的对应点　　　　　　∴点N ′与点N关于y轴对称，∴N ′(－a，－a)．　　　　　　将N ′(－a，－a)代入y＝x 2－2x＋a，得－a＝(－a)2－2×(－a)＋a　　　　　　整理得4a 2＋9a＝0，解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－． 6分　　　　　　∴N ′(3，)，∴点N到轴的距离为3．　　　　　　∵a＝－，抛物线y＝x 2－2x＋a与y轴相交于点A，∴A(0，－)．　　　　　　∴直线AN ′的解析式为y＝x －，将y＝0代入，得x ＝．　　　　　　∴D(，0)，∴点D到轴的距离为．　　　　　　∴S四边形ADCN ＝S△ACN ＋S△ACN ＝××3＋××＝ 8分（3）如图，当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC．∴将点N向上平移－2a个单位可得到点P，其坐标为(a，－a)，代入抛物线的解析式，得：－a＝(a)2－2×a＋a，整理得8a 2＋3a＝0．　　　　　　解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．　　　　　　∴P(－，) 10分当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分．　　　　　　∴OA＝OC，OP＝ON，点P与点N关于原点对称．　　　　　　∴P(－a，a)，代入y＝x 2－2x＋a，得　　　　　　a＝(－a)2－2×(－a)＋a，整理得8a 2＋15a＝0．　　　　　　解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．　　　　　　∴P(，－) 12分∴存在这样的点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(－，)或(，－)．21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax 2＋bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．① 过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？② 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．解：（1）点A的坐标为（4，8）． 1分　　　　　　将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax 2＋bx，　　　　　　得
解得a＝－，b＝4．　　　　　　∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋4x． 3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝＝，即＝＝．　　　　　　∴PE＝AP＝t，PB＝8－t．　　　　　　∴点E的坐标为（4＋t，8－t）．2　　　　　　∴点G的纵坐标为－(4＋t)2＋4(4＋t)＝－t 2＋8． 5分　　　　　　∴EG＝－t 2＋8－(8－t)＝－t 2＋t　　　　　　∵－＜0，∴当＝4时，线段EG最长为2． 7分　　　　　　②共有三个时刻． 8分　　　　　　t1＝，t2＝，t3＝40－． 11分22.如图，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．解：（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）． 2分　　　　　　抛物线的对称轴是：x＝1． 3分（2）①设直线BC的解析式为：y＝kx＋b．　　　　　　将B（3，0），C（0，3）分别代入得：　　　　　　
解得　　　　　　∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．　　　　　　当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴E（1，2）．　　　　　　当x＝m时，y＝－m＋3，∴P（m，－m＋3）． 4分　　　　　　将x＝1代入y＝－x 2＋2x＋3，得y＝4，∴D（1，4）．　　　　　　将x＝m代入y＝－x 2＋2x＋3，得y＝－m 2＋2m＋3．　　　　　　∴F（m，－m 2＋2m＋3）． 5分　　　　　∴线段DE＝4－2＝2，线段PF＝－m 2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m 2＋3m 6分　　　　　　∵PF∥DE，∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．　　　　　　由－m 2＋3m＝2，解得：m1＝2，m2＝1（不合题意，舍去）．　　　　　　∴当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形． 7分　　　　　　②设直线PF与x轴交于点M．　　　　　　由B（3，0），O（0，0），可得：OB＝OM＋MB＝3．则S＝S△BPF ＋S△CPF 8分　　＝PF·BM＋PF·OM　　＝PF·OB　　＝(－m 2＋3m)×3　　＝－m 2＋m（0≤m≤3）　　　　　　即S与m的函数关系式为：S＝－m 2＋m（0≤m≤3）． 9分23.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵点D是OA的中点，∴OD＝2，∴OD＝OC．又∵OP是∠COD的角平分线，∴∠POC＝∠POD＝45°．∴△POC≌∠POD，∴PC＝PD； 3分（2）如图，过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．　　　　　　易知点F的坐标为（2，2），故BF＝2，作PM⊥BF．　　　　　　∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM＝BF＝1．　　　　　　∴点P的坐标为（3，3）．　　　　　　∵抛物线经过原点　　　　　　∴可设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx．　　　　　　又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）　　　　　　∴
解得　　　　　　∴过O、P、D三点的抛物线的解析式为y＝x 2－2x； 7分（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE＋PD＝EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．　　　　　　∵抛物线y＝x 2－2x的顶点E的坐标（1，－1），C点的坐标（0，2）　　　　　　设CE所在直线的解析式为y＝kx＋b　　　　　　则
解得　　　　　　∴CE所在直线的解析式为y＝－3x＋2．　　　　　　联立，解得，故点P的坐标为（，）．　　　　　　△PED的周长即是CE＋DE＝； 11分（4）存在点P，使∠CPN＝90°，其坐标为（，）或（2，2）． 14分24.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4）∴可设其对应的函数关系式为y＝a(x －2)2＋4． 1分　　又抛物线经过坐标原点O（0，0），∴a(0－2)2＋4＝0． 2分　　解得a＝－1． 3分　　∴所求函数关系式为y＝－(x －2)2＋4，即y＝－x 2＋4x． 4分（2）①点P不在直线ME上，理由如下： 5分　　根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0）．　　设直线ME的解析式为y＝kx＋b，将M（2，4），E（4，0）代入，得　　
解得．　　∴直线ME的解析式为y＝－2x＋8． 6分　　当t＝时，OA＝AP＝，∴P（，）． 7分　　∵点P的坐标不满足直线ME的解析式y＝－2x＋8　　∴当t＝时，点P不在直线ME上． 8分　　②S存在最大值，理由如下： 9分　　∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA＝AP＝t．　　∴P（t，t），N（t，－t 2＋4t），∴AN＝－t 2＋4t（0≤≤3）　　∴PN＝AN－AP＝－t 2＋4t－t＝－t 2＋3t＝t(3－t)≥0 10分（ⅰ）当PN＝0，即t＝0或t＝3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD．∴S＝DC·AD＝×3×2＝3． 11分（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形．∵PN∥CD，AD⊥CD．∴S＝(CD＋PN)·AD＝(3－t 2＋3t)×2＝－t 2＋3t＋3＝－(t－)2＋（0＜t＜3）．当t＝时，S最大＝． 12分综上所述，当t＝时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积S有最大值，最大值为． 13分　　　　　　说明：（ⅱ）中的关系式，当t＝0和t＝3时也适合．25.如图1，已知抛物线y＝ax 2－2ax－3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan∠BAD＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）连结CD，求证：AD⊥CD；（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，则OH＝2，DH＝3．　　　　　　∵tan∠BAD＝1，∴AH＝DH＝3，∴AO＝3－2＝1． 1分　　　　　　∴A(－1，0)． 2分　　　　　　把A(－1，0)代入y＝ax 2－2ax－3，得a＋2a－3＝0．　　　　　　∴a＝1． 3分　　　　　　∴抛物线的解析式为y＝x 2－2x－3． 4分（2）∵y＝x 2－2x－3＝(x－1)2－4　　　　　　∴C(1，－4)． 5分　　　　　　连结AC，则AD 2＝3 2＋3 2＝18，CD 2＝(2－1)2＋(－3＋4)2＝2，AC 2＝(1＋1)2＋4 2＝20．　　　　　　∴AD 2＋CD 2＝AC 2，∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°． 7分　　　　　　∴AD⊥CD． 8分（3）设直线AD的解析式为y＝kx＋b，把A(－1，0)，D(2，－3)代入　　　　　　求得直线BC的解析式为y＝－x－1． 9分　　　　　　设点P的横坐标为x，则P(x，－x－1)，E(x，x 2－2x－3)．　　　　　　∵点P在点E的上方　　　　　　∴EP＝(－x－1)－(x 2－2x－3)＝－x 2＋x＋2＝－(x－)2＋ 10分　　　　　　∴当x＝时，线段PE长度的最大值＝． 12分（4）存在，点F的坐标分别为F1(－3，0)，F2(1，0)，F3(，0)，F4(，0)．　　　　　　　　　　　　 16分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　关于点F坐标的求解过程（原题不作要求，本人添加，仅供参考）　　　　　　如图3　　　　　　①若四边形ADQ1F1为平行四边形，则AF1＝DQ1，DQ1∥AF1．　　　　　　∴点Q1的纵坐标为－3，代入y＝x 2－2x－3，得x 2－2x－3＝－3，∴x1＝0，x2＝2．　　　　　　∵D(2，－3)，∴Q1(0，－3)，∴DQ1＝2，∴AF1＝2．　　　　　　∴F1(－3，0)．　　　　　　②若四边形AF2DQ2为平行四边形，同理可得F2(1，0)．　　　　　　③若四边形AQ3F3D为平行四边形，则AQ3＝DF3．　　　　　　∴点Q3的纵坐标为3，代入y＝x 2－2x－3，得x 2－2x－3＝3，∴x3＝，x4＝．　　　　　　－1－()＝，OF3＝2－()＝．　　　　　　∴F3(，0)．　　　　　　④若四边形AQ4F4D为平行四边形，则　　　　　　OF4＝()－()＋()＝　　　　　　∴F4(，0)．26.已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2）∴
解得　　　　　　∴二次函数的解析式y＝－x 2＋3x－2． 2分（2）当△EDB∽△AOC时，有＝或＝∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2．当＝时，得＝，∴ED＝．∵点E在第四象限，∴E1（m，）． 4分当＝时，得＝，∴ED＝2m－4．∵点E在第四象限，∴E2（m，4－2m）． 6分（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF＝AB＝1，点F的横坐标为m－1．当点E1的坐标为（m，）时，点F1的坐标为（m－1，）．∵点F1在抛物线的图象上，∴＝－(m－1)2＋3(m－1)－2．∴2m 2－11m＋14＝0，解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去）．∴F1（，－）．∴S□ABEF ＝1×＝． 9分当点E2的坐标为（m，4－2m）时，点F2的坐标为（m－1，4－2m）．∵点F2在抛物线的图象上，∴4－2m＝－(m－1)2＋3(m－1)－2．∴m 2－7m＋10＝0，解得m1＝5，m2＝2（不合题意，舍去）．∴F2（4，－6）．　　　　　　∴S□ABEF ＝1×6＝6． 12分　　　　　　注：其它解法可参照评分标准给分．27.已知：t1，t2是方程t 2＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝x 2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由t 2＋2t－24＝0，解得t1＝－6，t2＝4． 1分　　　　　　∵t1＜t2，∴A（－6，0），B（0，4）． 2分　　　　　　∵抛物线y＝x 2＋bx＋c的图象经过点A，B两点　　　　　　∴
解得　　　　　　∴这个抛物线的解析式为y＝x 2＋x＋4．　　　　　　　　　　　 4分（2）∵点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，∴y＜0，即－y＞0．　　　　　　又∵S＝2S△APO＝2××| OA|·| y |＝| OA|·| y |＝6| y |　　　　　　∴S＝－6y． 6分＝－6(x 2＋x＋4)＝－4(x 2＋7x＋6)＝－4(x＋)2＋25． 7分　　　　　　令y＝0，则x 2＋x＋4＝0，解得x1＝－6，x2＝－1．　　　　　　∴抛物线与x轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0）　　　　　　∴x的取值范围为－6＜x＜－1． 8分（3）当S＝24时，得－4(x＋)2＋25＝24，解得：x1＝－4，x2＝－3． 9分　　　　　　代入抛物线的解析式得：y1＝y2＝－4．　　　　　　∴点P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）．　　　　　　当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形．　　　　　　当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时，□OPAQ不是菱形．　　　　　　　　　　　 10分要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线y＝x 2＋x＋4上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形． 12分28.如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为D（0，）　　　　　　∴可设抛物线的解析式为y＝ax 2＋． 1分∵B（－，）在抛物线上∴a(－)2＋＝，∴a＝． 3分∴抛物线的解析式为y＝x 2＋． 5分（2）∵B（－，），C（1，0）∴BC＝＝又B′C＝BC，OA＝，∴B′C＝OA． 6分∵AC＝＝＝2∴AB＝＝＝1又AB′＝AB，OC＝1，∴AB′＝OC． 7分∴四边形AOCB′是矩形． 8分∵B′C＝，OC＝1∴点B′ 的坐标为（1，） 9分将x＝1代入y＝x 2＋得y＝∴点B′ 在抛物线上． 10分（3）存在 11分理由如下：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则解得∴直线AB的解析式为y＝ 12分∵P、F分别在直线AB和抛物线上，且PF∥AD∴设P（m，），F（m，m 2＋）∴PF＝()－(m 2＋)＝－m 2＋＋AD＝＝若四边形PADF是平行四边形，则有PF＝AD．即－m 2＋＋＝解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝． 13分当m＝时，＝×＋＝．∴存在点P（，），使四边形PADF是平行四边形． 14分29.如图1，平移抛物线F1：y＝x 2后得到抛物线F2．已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N．（1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；（2）若将已知条件中的"抛物线F1：y＝x 2"改为"抛物线F1：y＝ax 2"（如图2），"点A（2，0）"改为"点A（m，0）"，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；（3）若将已知条件中的"抛物线F1：y＝x 2"改为"抛物线F1：y＝ax 2＋c"（如图3），"点A（2，0）"改为"点A（m，c）"其它条件不变，求直线AB与轴的交点C的坐标（直接写出结论）．解：（1）四边形ABMN是正方形，其面积为2． 1分（2）四边形ABMN是菱形．当m＞0时，四边形ABMN的面积为；当＜0时，四边形ABMN的面积为-． 2分（说明：如果没有说理过程，探究的结论正确的得2分）　　　　　　理由如下：　　　　　　∵平移抛物线F1后得到抛物线F2，且抛物线F2经过原点O．　　　　　　∴设抛物线F2的解析式为y＝ax 2＋bx．　　　　　　∵抛物线F2经过点A（m，0），∴am 2＋bm＝0．　　　　　　由题意可知m≠0，∴b＝－am．　　　　　　∴抛物线F2的解析式为y＝ax 2－amx． 3分　　　　　　∴y＝a(x－)2－　　　　　　∴抛物线F2的对称轴为直线x＝，顶点N（，－）． 4分　　　　　　∵抛物线F2的对称轴与抛物线F1的交点为B，∴点B的横坐标为．　　　　　　∵点B在抛物线F1：y＝ax 2上　　　　　　∴yB＝a()2＝ 5分　　　　　　设抛物线F2的对称轴与x轴交于点P，如图1．　　　　　　∵a＞0，∴BP＝．　　　　　　∵顶点N（，－），∴NP＝|－|＝．　　　　　　∴BP＝NP． 6分　　　　　　∵抛物线是轴对称图形，∴OP＝AP．　　　　　　∴四边形ABMN是平行四边形． 7分　　　　　　∵BN是抛物线F2的对称轴，∴BN⊥OA．　　　　　　∴四边形ABMN是菱形． 8分　　　　　　∵BN＝BP＋NP，∴BN＝．　　　　　　∵四边形ABMN的面积为×OA·BN＝×|m|×　　　　　　∴当m＞0时，四边形ABMN的面积为×m×＝． 9分　　　　　　当m＜0时，四边形ABMN的面积为×(－m)×＝－． 10分（3）点C的坐标为（0，＋c）（参考图2）． 12分30.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1．　　　　　　∵抛物线经过原点，∴a(0－2)2＋1＝0，∴a＝－．　　　　　　∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋1＝－x 2＋x． 3分（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，若S△MOB ＝3S△AOB ，则△MOB的高是△AOB高的3倍，　　　　　　即M点的纵坐标是－3． 5分　　　　　　∴－x 2＋x＝－3，整理得x 2－4x－12＝0，解得x1＝6，x2＝－2．　　　　　　∴满足条件的点有两个：M1(6，－3)，M2(－2，－3) 7分（3）不存在． 8分　　　　　　理由如下：　　　　　　由抛物线的对称性，知AO＝AB，∠AOB＝∠ABO．　　　　　　若△OBN∽△OAB，则∠BON＝∠BOA＝∠BNO．　　　　　　设ON交抛物线的对称轴于A′ 点，则A′ (2，－1)．　　　　　　∴直线ON的解析式为y＝－x．　　　　　　由x＝－x 2＋x，得x1＝0，x2＝6．　　　　　　∴N(6，－3)．　　　　　　过点N作NC⊥x轴于C．　　　　　　在Rt△BCN中，BC＝6－4＝2，NC＝3　　　　　　∴NB＝＝．　　　　　　∵OB＝4，∴NB≠OB，∴∠BON≠∠BNO，∴△OBN与△OAB不相似．　　　　　　同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．　　　　　　∴在x轴下方的抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似． 10分　　　　　31.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．　　（1）求点B的坐标；　　（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；　　（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．　　（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．由旋转性质知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．∴OM＝OB·cos60°＝2×＝1，BM＝OB·sin60°＝2×＝．∴点B的坐标为(1，)． 1分（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c∵抛物线过原点，∴c＝0．∴
解得∴所求抛物线的解析式为y＝x 2＋x． 3分　　　　（3）存在． 4分如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC．∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC＋OC的长最小．∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC＝AC．∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．由"两点之间，线段最短"的原理可知：此时BC＋OC最小，点C的位置即为所求．设直线AB的解析式为y＝kx＋m，将A(－2，0)，B(1，)代入，得解得∴直线AB的解析式为y＝x＋．抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，即x＝－1．将x＝－1代入直线AB的解析式，得y＝×(－1)＋＝．∴点C的坐标为(－1，)． 6分　　　　（4）△PAB有最大面积． 7分如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D．∵S△PAB ＝S△PAD＋S△PBD　　　　　　　　　　＝(yD－yP)(xB－xA)　　　　　　　　　　＝[(x＋)－(x 2＋x)](1＋2)　　　　　　　　　　＝－x 2－x＋　　　　　　　　　　＝－(x＋)2＋∴当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为． 8分此时yP＝×(－)2＋×(－)＝－．∴此时P点的坐标为(－，－)． 9分32.已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．解：（1）由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB，∴＝．　　　　　　　∴OC 2＝OA·OB＝OA(AB－OA)，即22＝OA(5－OA)．∴OA 2－5OA＋4＝0，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4． 2分∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．∴可设所求抛物线的关系式为y＝a(x＋1)(x－4)． 3分将点C(0，2)代入，得2＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－．∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y＝－(x＋1)(x－4)． 4分即y＝－x 2＋x＋2．（2）①E1(3，)，E2(，)，E3(，)． 7分关于点E的坐标求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：设直线BC的解析式为y＝kx＋b．则
解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋2．∵点E在直线BC上，∴E(x，－x＋2)．若ED＝EB，过点E作EH⊥x轴于H，如图2，则DH＝DB＝1．∴OH＝OD＋DH＝2＋1＝3．∴点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y＝－×3＋2＝．∴E1(3，)．若DE＝DB，则(x－2)2＋(－x＋2)2＝22．整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝4（舍去），x2＝．∴y＝－×＋2＝，∴E2(，)．若BE＝BD，则(x－4)2＋(－x＋2)2＝22．整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝（此时点P在第四象限，舍去），x2＝．∴y＝－×()＋2＝，∴E3(，)．②△CDP有最大面积． 8分过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3．设直线PC的解析式为y＝px＋q，将C(0，2)，P(m，n)代入，得
解得∴直线PC的解析式为y＝x＋2，∴M(2，＋2)．S△CDP＝S△CDM＋S△PDM＝xP·yM　　　＝m(＋2)　　　＝m＋n－2　　　＝m＋(－m2＋m＋2)－2　　　＝－m2＋m　　　＝－(m－)2＋∴当m＝时，△CDP有最大面积，最大面积为． 9分此时n＝－×()2＋×＋2＝∴此时点P的坐标为(，)． 10分33.如图，已知抛物线y＝x 2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．解：（1）对称轴为直线x＝－＝－2，即x＝－2； 2分令y＝0，得x 2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．∵点B的坐标为(－1，0)，∴点A的坐标为(－3，0)． 4分（2）存在，点P的坐标为(－2，3)，(2，3)和(－4，－3)． 7分（3）存在． 8分当x＝0时，y＝x 2＋4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3．∵DE∥CO，∴△AED∽△AOC．∴＝，即＝．∴DE＝1． 9分∵DE∥CO，且DE≠CO，∴四边形DEOC为梯形．S梯形DEOC＝(1＋3)×2＝4．设直线CM交x轴于点F，如图．若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则S△COF＝2即CO·FO＝2．∴×3FO＝2，∴FO＝．∴点F的坐标为(－，0)． 10分∵直线CM经过点C(0，3)，∴设直线CM的解析式为y＝kx＋3．把F(－，0)代入，得－k＋3＝0． 11分∴k＝．∴直线CM的解析式为y＝x＋3． 12分34.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示；抛物线y＝ax 2＋ax－2经过点B．　　（1）求点B的坐标；　　（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴于D．∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°．∴∠BCD＝∠CAO． 1分又∵∠BDC＝∠COA＝90°，BC＝CA．∴Rt△BCD≌Rt△CAO， 2分∴BD＝CO＝1，CD＝AO＝2． 3分∴点B的坐标为(－3，1)； 4分（2）把B(－3，1)代入y＝ax 2＋ax－2，得1＝9a－3a－2，解得a＝． 6分∴抛物线的解析式为y＝x 2＋x－2； 7分（3）存在． 8分①延长BC至点P1，使CP1＝BC，则得到以点C为直角顶点的等腰直角三角形△ACP1．9分过点P1作P1M⊥x轴．∵CP1＝BC，∠P1CM＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°．∴Rt△P1CM≌Rt△BCD， 10分∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1(1，－1)； 11分把x＝1代入y＝x 2＋x－2，得y＝－1．∴点P1(1，－1)在抛物线上． 12分②过点A作AP2⊥AC，且使AP2＝AC，则得到以点A为直角顶点的等腰直角三角形△ACP2．13分过点P2作P2N⊥y轴，同理可证Rt△P2NA≌Rt△AOC． 14分P2N＝AO＝2，AN＝CO＝1．可求得点P2(2，1)． 15分把x＝2代入y＝x 2＋x－2，得y＝1．∴点P2(2，1)在抛物线上． 16分综上所述，在抛物线上还存在点P1(1，－1)和P2(2，1)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形．35.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－)，且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：①点P的坐标；②△PAC的周长和面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a(x －4)2－(a≠0)，且A(x1，0)，B(x2，0)．∵y＝a(x －4)2－＝ax 2－8ax＋16a－∴x1＋x2＝8，x1x2＝16－．∴AB 2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝82－4(16－)＝36，∴a＝．∴二次函数的解析式为y＝(x －4)2－． 2分（2）①如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连结A′C交y轴于点P，连结PA，则点P为所求．令y＝0，得(x －4)2－＝0，解得x1＝1，x2＝7．∴A(1，0)，B(7，0)．∴OA＝1，∴OA′＝1．设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AD＝3，A′D＝5，DC＝．∵△A′OP∽△ADC，∴＝，即＝，∴OP＝．∴P(0，－)． 4分②∵A′C＝＝＝AC＝＝＝∴△PAC的周长＝PA＋PC＋AC＝A′C＋AC＝＋． 5分S△PAC＝S△A′AC － S△A′AP＝A′A(DC－OP)＝×2×(－)＝．　　　　　　　　　　　　 7分（3）存在． 8分∵tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°．同理，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，AC＝BC．①若以AB为腰，∠BAQ1为顶角，使△ABQ1∽△CBA，则AQ1＝AB＝6，∠BAQ1＝120°．如图2，过点Q1作Q1H⊥x轴于H，则Q1H＝AQ1·sin60°＝6×＝，HA＝AQ1·cos60°＝6×＝3．HO＝HA－OA＝3－1＝2．∴点Q1的坐标为(－2，)．把x＝－2代入y＝(x －4)2－，得y＝(－2－4)2－＝．∴点Q1在抛物线上． 9分②若以BA为腰，∠ABQ2为顶角，使△ABQ2∽△ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为(10，)．同样，点Q2也在抛物线上． 10分③若以AB为底，AQ，BQ为腰，点Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去．11分综上所述，在x轴上方的抛物线上存在点Q1(－2，)和Q2(10，)，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似． 12分36.如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得解得a＝－，b＝－，c＝．3分（2）由（1）知y＝－x 2－x＋，令y＝0，得－x 2－x＋＝0．解得x1＝－3，x2＝1．∵A(－3，0)，∴B(1，0)．又∵C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝4，BC＝2．∴tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°．同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形．又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形．∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴＝．由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴＝．∴t＝． 4分∴OM＝BM－OB＝－1＝．如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝．MH＝PM·cos60°＝×＝．∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．∴点P的坐标为(－1，)． 6分　　　　（3）存在．由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形．∵二次函数y＝－x 2－x＋的图象的对称轴为x＝－1．∴点P在对称轴上．∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴．又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN．∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．∴∠PNQ＝30°，∴QN＝＝＝．∴＝＝．∵＝tan60°＝，∴≠．∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似． 7分②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°．∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°．∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°．∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°．∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．∴△BNQ∽△ABC． 8分∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC．设对称轴与x轴的交点为D．∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的坐标为(－1，－)． 9分综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 10分37.如图①，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．　　（1）求抛物线的解析式；　　（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；　　（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．解：（1）由题意得． 1分　　　　　　　解得． 2分　　　　　　　∴所求抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3； 3分（2）存在符合条件的点P，其坐标为P(－1，)或P(－1，)　　　　　　　或P(－1，6)或P(－1，)； 7分（3）解法一：　　　　　　　过点E作EF⊥x轴于点F，设E(m，－m 2－2m＋3)（－3＜ a ＜0）　　　　　　　则EF＝－m 2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m． 8分　　　　　　　∴S四边形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE＝BF·EF ＋(EF＋OC)·OF＝(m＋3)(－m 2－2m＋3)＋(－m 2－2m＋6)(－m)． 9分＝－m 2－m＋ 10分＝－(m＋)2＋∴当m＝－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为． 11分此时y＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E点的坐标为(－，)． 12分解法二：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x，y)（－3＜ x ＜0） 8分则S四边形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE＝BF·EF ＋(EF＋OC)·OF＝(3＋x)· y＋(3＋y)(－x)． 9分　　　　　　＝(y－x)＝(－x 2－3x＋3)． 10分　　　　　　＝－(x＋)2＋∴当x＝－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为． 11分此时y＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E点的坐标为(－，)． 12分38.如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x 2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA、OC的长是方程x 2－5x＋4＝0的两个根，OA＜OC．∴OA＝1，OC＝4．∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴∴A（－1，0），C（0，－4）．∵抛物线y＝ax 2＋bx＋c的对称轴为x＝1∴由对称性可得B点坐标为（3，0）．∴A、B、C三点的坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．3分（2）∵点C（0，－4）在抛物线y＝ax 2＋bx＋c图象上，∴c＝－4． 4分将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax 2＋bx－4得解得 6分∴此抛物线的解析式为y＝x 2－x－4． 7分（3）∵BD＝m，∴AD＝4－m．在Rt△BOC中，BC 2＝OB 2＋OC 2＝3 2＋4 2＝25，∴BC＝5．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴＝，即＝．∴DE＝．过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝＝．∴＝，∴EF＝DE＝×＝4－m． 9分∴S ＝S△CDE ＝S△ADC －S△ADE　　　　　＝(4－m)×4－(4－m)(4－m)　　　　　＝－m 2＋2m　　　　　＝－(m－2)2＋2（0＜m＜4）． 10分∵－＜0∴当m＝2时，S有最大值2． 11分此时OD＝OB－BD＝3－2＝1．∴此时D点坐标为（1，0）． 12分39.如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意得6＝a(－2＋3)(－2－1)，∴a＝－2． 1分∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋3)(x－1)，即y＝－2x 2－4x＋6令－2(x＋3)(x－1)＝0，得x1＝－3，x2＝1∵点A在点B右侧，∴A(1，0)，B(－3，0)设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b，把A(1，0)、C(－2，6)代入，得解得∴直线AC的函数关系式为y＝－2x＋2． 3分（2）①设P点的横坐标为m(－2≤ m ≤1)，则P(m，－2m＋2)，M(m，－2m 2－4m＋6)． 4分∴PM＝－2m 2－4m＋6－(－2m＋2)＝－2m 2－2m＋4＝－2(m＋)2＋∴当m＝－时，线段PM长度的最大值为． 6分②存在M1(0，6)． 7分M2(－，)． 9分点M的坐标的求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）ⅰ)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CM⊥PM，△CMP∽△ANP∵点C(－2，6)，∴点M的纵坐标为6，代入y＝－2x 2－4x＋6得－2x 2－4x＋6＝6，∴x＝－2（舍去）或x＝0∴M1(0，6)（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴重合，点N与原点O重合）ⅱ)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，－2m 2－4m＋6)(－2≤ m ≤1)过C作CH⊥MN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D则△CMP∽△NAP又∵△HMC∽△CMP，△NAP∽△OAD，∴△HMC∽△OAD∴＝∵C(－2，6)，∴CH＝m＋2，MH＝－2m 2－4m＋6－6＝－2m 2－4m在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2∴D(0，2)，∴OD＝2∴＝整理得4m 2＋9m＋2＝0，解得m＝－2（舍去）或m＝－当m＝－时，－2m 2－4m＋6＝(－)2－4×(－)＋6＝　　　　　　　∴M2(－，)40如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k∵顶点C的横坐标为4，且过点D(0，)∴＝16a＋k
①又∵对称轴为直线x＝4，图象在x轴上截得的线段AB的长为6∴A(1，0)，B(7，0)∴0＝9a＋k
②由①②解得a＝，k＝∴该二次函数的解析式为y＝(x－4)2（2）∵点A、B关于直线x＝4对称，∴PA＝PB∴PA＋PD＝PB＋PD≥DB∴当点P在线段DB上时，PA＋PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求的点P，如图1设直线x＝4与x轴交于点M∵PM∥OD，∴∠BPM＝∠BDO又∠PBM＝∠DBO，∴△BPM∽△BDO∴＝，即＝，∴PM＝∴点P的坐标为(4，)（3）由（1）知点C(4，)，又∵AM＝3，∴在Rt△ACM中，tan∠ACM＝，∴∠ACM＝60°∵AC＝BC，∴∠ACB＝120°①如图2，当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N如果AB＝BQ，由△ABC∽△ABQ，得BQ＝6，∠ABQ＝120°∴∠QBN＝60°∴QN＝，BN＝3，ON＝10∴此时点Q的坐标为(10，)∵(10－4)2＝，∴点Q在抛物线上如果AB＝AQ，由对称性知Q(－2，)，且也在抛物线上②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB∴此时点Q的坐标为(4，)综上所述，在抛物线上存在点Q，使△QAB与△ABC相似点Q的坐标为(10，)或(－2，)或(4，)．41.已知，如图，抛物线y＝ax 2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵对称轴x＝－＝－． 1分又∵OC＝3OB＝3，a＞0∴C(0，－3)． 2分方法一：把B(1，0)、C(0，－3)代入y＝ax 2＋3ax＋c得：解得∴抛物线的解析式为y＝x 2＋x－3． 4分方法二：令ax 2＋3ax＋c＝0，则xA＋xB＝－3∵B(1，0)，∴xA＋1＝－3，∴xA＝－4∴A(－4，0)∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，把C(0，－3)代入得－3＝a(0＋4)(0－1)，∴a＝∴抛物线的解析式为y＝(x＋4)(x－1)即y＝x 2＋x－3． 4分（2）方法一：如图1，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，交线段AC于点M∵S四边形ABCD ＝S△ABC ＋S△ACD　　　　　　　　　　　　＝AB·OC＋DM·(AN＋ON)＝(4＋1)×3＋DM·4＝＋2DM． 5分设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把A(－4，0)、C(0，－3)代入得
解得∴直线AC的解析式为y＝－x－3． 6分设D(x，x 2＋x－3)，则M(x，－x－3)∴DM＝－x－3－(x 2＋x－3)＝－(x＋2)2＋3． 7分当x＝－2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值，最大值为：＋2×3＝． 8分方法二：如图2，过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作CC1∥x轴交抛物线于C1设D(x，x 2＋x－3)，则DQ＝－x，OQ＝－x 2－x＋3从图象可判断当点D在CC1下方的抛物线上运动时，四边形ABCD面积才有最大值则S四边形ABCD ＝S△BOC ＋S梯形AOQD －S△CDQ＝OB·OC＋(AO＋DQ)·OQ－DQ·CQ＝×1×3＋(4＋DQ)·OQ－DQ·(OQ－3)＝＋2OQ＋DQ． 5分＝－2(x 2＋x－3)－x＝－x 2－6x＋＝－(x＋2)2＋． 7分当x＝－2时，四边形ABCD面积有最大值　　　　　　　　　　　 8分（3）如图3①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，则四边形ACP1E1为平行四边形． 9分∵C(0，－3)，令x 2＋x－3＝－3解得x1＝0，x2＝3，∴CP1＝3∴P1(－3，－3)． 11分②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形． 12分∵C(0，－3)，∴设P(x，3)由x 2＋x－3＝3，解得x＝或x＝∴P2(，3)，P3(，3)． 14分综上所述，存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，点P的坐标分别为：P1(－3，－3)，P2(，3)，P3(，3)42.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(5，0)两点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为α(0°＜α≤90°)．①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？②设BP＝t，AQ＝s，求s与t之间的函数关系式．解：（1）根据题意，得．． 1分解得．． 2分∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋3x－． 3分即y＝－(x－3)2＋2．∴顶点C的坐标为（3，2）．． 4分　　　　（2）①∵CD＝DB＝AD＝2，CD⊥AB，∴∠DCB＝∠CBD＝45°． 5分ⅰ）若CQ＝CP，则∠PCD＝∠PCQ＝22.5°．∴当α＝22.5°时，△CPQ是等腰三角形． 6分ⅱ）若CQ＝PQ，则∠CPQ＝∠PCQ＝45°，此时点Q与D重合，点P与A重合．∴当α＝45°时，△CPQ是等腰三角形． 7分ⅲ）若PC＝PQ，则∠PCQ＝∠PQC＝45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．∴α＝0°，不合题意． 8分∴当α＝22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形． 9分②连接AC，∵AD＝CD＝2，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，AC＝BC＝＝． 10分ⅰ）当0°＜α≤45°时，∵∠ACQ＝∠ACP＋∠PCQ＝∠ACP＋45°．∠BPC＝∠ACP＋∠CAD＝∠ACP＋45°．∴∠ACQ＝∠BPC． 11分又∵∠CAQ＝∠PBC＝45°，∴△ACQ∽△BPC．∴＝．∴AQ·BP＝AC·BC＝×＝8． 12分ⅱ）当45°＜α＜90°时，同理可得AQ·BP＝AC·BC＝8． 13分∴s＝． 14分