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下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．（要求：所作线段不得与图中已有的线重合）
题型：解答题难度：中档来源：不详
如图，AB=5，CD=5．则AB为一条长度是有理数的线段，CD为一条长度是无理数的线段．．
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据魔方格专家权威分析，试题“下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若..”主要考查你对&&尺规作图&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。 还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。 尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。·已知圆心和半径可作一个圆。·若两已知直线相交，可求其交点。·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。·若两已知圆相交，可求其交点。尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
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356518381081390691416926901593386711并指出“每个有理数都可以用数轴上的点来表示。但是，数轴上的点并不都表示有理数..
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由“将无理数在数轴上表示”引起的思考
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一个角为什么不能三等分 ？ 详细说明
“尺规作图不能”问题的三个证明途径 以下内容摘自《几何作图不能问题》这本书。（1）有一个定理说，有理系数三次方程X^3+a*X^2+b*X+C=0 如果没有有理根，那么它的所有实根都不能尺规图。…记为“*”定理例如三等分60°角问题，它的三分之一是20°，令x=cos20°，根据三角恒等式：cos60°=4*(cos20°)^3-3*cos20°可得：1/2=4*x^3-3*x，或8*x^3-6*x-1=0，可以证明这个方程没有有理数根（或者直接求出三个根为：cos20°，-cos40°，-cos80°，均不是有理数根），因此它的所有三个实数根都不能尺规作图。既然 不能尺规作图，那三等分60°角也就不可能尺规作图。（2）有时，对问题的一般情形进行讨论比较困难，此时如果取其一个特例进行考察，则简单得多，例如三等分任意角，可以取60°这个特例进行研究；再如那个什么“古堡”问题，李明波也是取了一个特例进行分析：特例既经证实不能作图，一般情形不能作图便是不言而喻了（但是反过来说则不对——特例能作图不等于任意情形都能作图）。（3）有的作图问题，经过分析后能够归结为已知的其它作图不能问题，则可断定该问题也属于尺规作图不能问题。例如，既然cos20°不能作图表明了60°角不能三等分，则可推知“九等分圆”作图也是不可能的。(更多相关知识可去 看）另外工程上有用了某些方法三等分角可去
其他回答 (6)
“尺规作图不能”问题的三个证明途径 以下内容摘自《几何作图不能问题》这本书。（1）有一个定理说，有理系数三次方程X^3+a*X^2+b*X+C=0 如果没有有理根，那么它的所有实根都不能尺规图。…记为“*”定理例如三等分60°角问题，它的三分之一是20°，令x=cos20°，根据三角恒等式：cos60°=4*(cos20°)^3-3*cos20°可得：1/2=4*x^3-3*x，或8*x^3-6*x-1=0，可以证明这个方程没有有理数根（或者直接求出三个根为：cos20°，-cos40°，-cos80°，均不是有理数根），因此它的所有三个实数根都不能尺规作图。既然 不能尺规作图，那三等分60°角也就不可能尺规作图。（2）有时，对问题的一般情形进行讨论比较困难，此时如果取其一个特例进行考察，则简单得多，例如三等分任意角，可以取60°这个特例进行研究；再如那个什么“古堡”问题，李明波也是取了一个特例进行分析：特例既经证实不能作图，一般情形不能作图便是不言而喻了（但是反过来说则不对——特例能作图不等于任意情形都能作图）。（3）有的作图问题，经过分析后能够归结为已知的其它作图不能问题，则可断定该问题也属于尺规作图不能问题。例如，既然cos20°不能作图表明了60°角不能三等分，则可推知“九等分圆”作图也是不可能的。(更多相关知识可去 看）另外工程上有用了某些方法三等分角可去
尺规作图不能”问题的三个证明途径 以下内容摘自《几何作图不能问题》这本书。（1）有一个定理说，有理系数三次方程X^3+a*X^2+b*X+C=0 如果没有有理根，那么它的所有实根都不能尺规图。…记为“*”定理例如三等分60°角问题，它的三分之一是20°，令x=cos20°，根据三角恒等式：cos60°=4*(cos20°)^3-3*cos20°可得：1/2=4*x^3-3*x，或8*x^3-6*x-1=0，可以证明这个方程没有有理数根（或者直接求出三个根为：cos20°，-cos40°，-cos80°，均不是有理数根），因此它的所有三个实数根都不能尺规作图。既然 不能尺规作图，那三等分60°角也就不可能尺规作图。（2）有时，对问题的一般情形进行讨论比较困难，此时如果取其一个特例进行考察，则简单得多，例如三等分任意角，可以取60°这个特例进行研究；再如那个什么“古堡”问题，李明波也是取了一个特例进行分析：特例既经证实不能作图，一般情形不能作图便是不言而喻了（但是反过来说则不对——特例能作图不等于任意情形都能作图）。（3）有的作图问题，经过分析后能够归结为已知的其它作图不能问题，则可断定该问题也属于尺规作图不能问题。例如，既然cos20°不能作图表明了60°角不能三等分，则可推知“九等分圆”作图也是不可能的。(更多相关知识可去 看）另外工程上有用了某些方法三等分角可去
现已证明，在尺规作图的前提下，此题无解。尺规定义是 尺没刻度的三等分角
古希腊三大几何问题之一。
三等分任意角的题也许比另外两个几何问题出现更早，早到历史上找不出有关的记载来。但无疑地它的出现是很自然的，就是我们自己在现在也可以想得到的。纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然地出现了。
现已证明，在尺规作图的前提下，此题无解。
三等分角的历史：
公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。
亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。
一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？
设，北门的位置为Q，南门的位置为P，卧室（圆心）为O，桥为K，
要确定北门的和桥的位置，关键是做出∠OPQ，设PO和河流的夹角是α
由 QK=QO，
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO，
又∠OQK=∠OPK
所以在△QKO中，
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π
即∠KPO=（π-2α）/3
只要能把180-2α这个角三等分，就能够确定出桥和北门的位置了。解决问题的关键是如何三等分一个角。
工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。正当大家称赞阿基米德了不起时，阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破绽的。”阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记，等于是做了刻度，这在尺规做图法则中是不允许的。
这个故事提出了一个数学问题：如何尺规三等分任意已知角，这个问题连阿基米德都没有解答出来。
利用尺规确实无法三等分一个角,但并非没有办法,利用函数曲线→蚌线可三等分任意角.
如果是升学锦囊里的题你可以问我，我有答案
三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即 用圆规与直尺把一任意角三等分。问题的难处在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺 （没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。这问题曾吸引着许多人去研究，但都无一成功。1837年凡齐尔（ ）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。 在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。人们还发现，只要放弃「尺 规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米得（前287－前212）发现只要 在直尺上固定一点，问题就可解决了。现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点P，命尺端为O。 设所要三等分的角是∠ACB，以C为圆心，OP为半径作半圆交角边于A，B；使O点在CA延在线移 动，P点在圆周上移动，当尺通过B时，连OPB（见图）。由于OP＝PC＝CB，所以∠COB＝∠AC B／3。这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。 另有一机械作图的方法可以三等分角，简介如下： 如右图：ABCD为一正方形，设AB均匀向CD平行移动，AD以D为中心依顺时针方向转到DC，若AB抵达DC时DA也恰好抵达DC，则他们交点的轨迹AO即曲线称为三分线。 令A是AC弧上的任一点，我们要三等分 ADC，设DA与三分线AO交于R，过R作AB之并行线交AD、BC于A、B，令T、U是AD之三等分点，过T、U作AB之并行线交三分线AO于V、W，则DV、DW必将 ADC三等分。 www2.emath.pu.edu.tw/s8805106/hippias-all.htm 参考资料：www2.emath.pu.edu.tw/s8805106/hippias-all.htm
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历史话题领域专家奇文一篇，求反驳~无理数并不存在啊！ | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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以下是正文： 一次神奇的奥秘之旅------关于“无理数”不存在的证明 我喜欢奥数；但是我从来没有想过，在不起眼的数字中，竟然埋藏着宇宙最大的奥秘。这要从“无理数”说起。 早在2年级的时候，我就听说了无理数。三年级开始学奥数，一次偶然的机会，我听奥数洪老师介绍了“无理数” ；奇怪的是，这个无理的家伙，竟然在我脑海里盘旋了好久，终于有一天，我突然发现，“无理数”并非“无理”。 为此，我和洪老师进行了一场惊动教室内外的“大辩论”。我力图证明“无理数”不存在。结果可想而知，我说服不了洪老师，洪老师也说服不了我。 转眼，我已经上了5年级；“无理数”也早被我抛之脑后。直到上周，和爸爸的一次聊天，再次激发了我的兴趣。 爸爸正在写一篇科普文章；其中涉及到很多物理学和数学知识。他告诉我，数学史上，有三次数学危机，影响了整个数学史的发展，形成了如今的三大数学流派。第一次数学危机，由希帕索斯发现“无理数”而引发；第二次数学危机，是在牛顿和莱布尼茨发明微积分之后，英国大主教贝克莱提出无穷小悖论。第三次数学危机，则是在康托尔创立集合论后，罗素提出了著名的“理发师悖论”。爸爸说，三次数学危机的根源，其实本质都是一样的：关于极限的问题。这个难题至今没有解决；人们号称的“解决”，其实都是在不断转移矛盾；爸爸把这称作“奥运火炬”现象，意思是，矛盾依然故我，只是通过不断变换的论述方式往下传递。在应用学领域，人们更多地是抱着“鸵鸟心理”，对这些难题视而不见。[r1]
“无理数”居然有这样重要的历史地位，而且至今谜底还没有揭晓；这激起了我的浓厚兴趣。在我央求下，爸爸给我讲述了“无理数”的出生史，那是一个让人叹息的“杯具” 故事： 在古希腊，有个年轻人叫毕达哥拉斯，他小时候，有一次背着柴禾上街，有一位长者见到后，说：从你捆柴禾的方法看，你很有数学天分，你长大后会成为一个了不起的学者。他不仅有天分，而且有魄力；他扔掉柴禾，渡海求学。在老师的引导下，他的数学天赋很快完全展现，他发现并定义了如：奇数，偶数，三角数，四角数，完全数，，友数，以及毕达哥拉斯数…奠基了经典数学的大厦。当然最著名的，还是毕达哥拉斯定理，即勾股定理。后来，他的兴趣向哲学拓展，形成了毕达哥拉斯学派。他的基本哲学思想是：世界是数。世界的一切现象，都是数的结构，都可以用数和数的关系式来表达。200年后，他的门徒，富有天分和独立思考精神的青年数学家，希帕索斯，发现了无理数：无限不循环小数。古希腊人们曾经信仰，世界的结构是确定和优雅的；所有的数，在一条足够长的线段上，都可以找到自己确定的位置，都可以写为一个分子和分母都是整数的分数形式。比如：整数2，可以写为：2/1；有限小数2.1可以写为21/10;而循环小数2.’1’，可写为19/9。希帕索斯发现，边长为1的等腰直角三角形的斜边 ，即√2，是一个无限不循环小数。这意味着这个后来被称为“无理数”的√2将无法得到一个确切的空间位置。毕达哥拉斯斯为大家描绘的井井有条的优雅的世界，突然变得不确定和丑陋了。希帕索斯被愤怒的同门学长们扔进大海，再也没有浮出水面。（杯具！）但是无理数却很快被人们所确认了。至今为止，我们所知道的无理数，包括大多数自然数的平方根；圆周率∏；还有著名的常数e。 这个故事深深吸引了我。我告诉爸爸，早在3年级的时候，我已经证明了“无理数不存在”。爸爸为了鼓励我独立思考的习惯，以好玩的心态，假装很“认真”地听我说出我的思想。结果让他大吃一惊：我给出的数学证明，抓住了问题的实质。爸爸说，世界的奥秘藏在“极限”中，他正在尝试用数学方法揭开这个奥秘；而我关于“无理数”的数学证明，恰好佐证了他的思想。有兴趣的朋友，不妨跟着我，一起去“无理数”世界，作一次观光游览吧。 爸爸是学英语语言文学的，他和我的数学知识加起来，不会超过一个初中生。所以，你很可能发现，我们的数学证明，很多地方，形式上可能会非常幼稚；但是爸爸说，最原始的，其实是最深奥的；而数学的源头，是哲理，而不是数学定理，所以我们也不需要太“自卑”；关键在于，我们的数学证明，有极大的启发价值；这给了我很大信心。 首先，让我们来看一下人们是如何证明“无理数”存在的。据爸爸孤陋寡闻的一点知识，基本上是用反证法：
假设（√2）不是无理数，那么（√2）可以写成最简分数p/q. 其中，p和q 都是整数，而且互质。∵（√2）∧2 = 2 ∴ （p/q）∧ 2 = p∧2 / q∧2 = 2∴
2 * q∧2 =p∧2又∵P是整数，∴p 一定是偶数，可以写成2m 的形式。∴ 2 * q∧2 = (2m)*(2m)= 4 m∧2∴ q *∧2 = 2 * m∧2∴q 也是偶数。p,q,都是偶数，这个和最初的假设p,q互质，是矛盾的。√2是有理数的假设不成立。∴ √2 是无理数。也就证明了至少存在一个以上的无理数。以上是比较经典的证明无理数的方法。 下面，轮到我来证明“无理数”不存在了。方法很简单，只要给出“无理数”以整数写成的分数形式，就ok了。证明如下：（1）
2 可以写成 2. 总之，末尾是零。（2）
按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零。[r2] 比如：1.1 * 1.1，末尾数字是1；2.2 * 2.2，末尾数字是4； 3.3*3.3，末尾数字是9； 。。。 而一个末尾是零的数的平方，末尾也一定是零；反之亦然。（3）
所以，√2的末尾，一定会出现零。而一旦出现零的末尾，即意味着不再无限循环。所以，无理数不存在。 这个证明的一个增强版或者补充说明是：（1）2 可以写成2.0000 末尾是任意个零，只要你愿意。（2）按照平方数的规律，平方数末尾有2n个零，则平方根的末尾就一定有n 个零。（3）所以，√2 的末尾，可以是任意个零，只要你愿意。换句话说，√2 的末尾，一定是零的无限循环。记作：√2= 1.。。。’0’；所以，2的平方根不是无理数。这也从另外一个角度证明了：无限不循环小数，末尾一定是很多零；所以，无限小=0。----- over！非常漂亮而且简洁明了的证明！ 那么，无理数家族还有那个著名的∏呢？对此，我早已胸有成竹。在昨天早上上学的路上，我向爸爸讲述了∏不是无理数的数学证明。这一次，他真的很认真，他对我早已经“刮目相看”！下面是我关于“∏不是无理数”的证明： ∏ 可以写成：(∏* 10 ∧n) / (10∧n) 其中，n趋向于∝(无穷大)。也就是说，∏有多少位小数位，n就相应是多少。于是：分子（∏* 10∧n）是一个整数，而分母10 ∧n 也是一个整数。这样，∏就不是无理数。Over！同样非常漂亮，简洁，明了！ 对于∏，我很快又发现了另外一个特性：当圆无限放大时，圆周和直径保持一个常数关系，即∏。当圆无限缩小时，圆周率依然不变。但是当到达一个极限，即缩减为一个点的时候，圆周等于直径，但是不为零，∏值瞬间衰变为1；[r3] 而当这个点足够小，小到没有体积的时候，∏值体现出它的双重性格：∏=0或者1。（圆周/直径，圆周等于直径的原因，圆周率=1；而分子为零的原因，圆周率=0。）由此，我们可以得出两个结论：（1）∏不是一个常数，所以也就不是“无理数”；虽然平时它很像一个“绅士”，过着极其规律的生活；但是，在某个特殊的场合，它会突然展现出它的另外一面，就像一个有着双重性格的人一样。（2）∏虽然不是“无理数”，但是它比“无理数”还要无理。它告诉我们：0=1。爸爸说，这个看似“荒谬”的结果，其实并不荒谬。在量子力学史上，海森堡有一个著名的公式：p X q ≠ q X 我的公式0=1，和海森堡的不等式，有异曲同工之妙 ；它们都在暗示着同一个秘密。这个秘密就像一个调皮聪明的孩子，平时隐藏地非常好，表现很乖；但是在远离大人们监视的“极限”场合，它解开了束缚，露出了活泼贪玩无拘无束的个性。 爸爸说，要解决数学史和物理学史上的所有难题，一定要解开这个“秘密”。一旦解开这个“谜底”，人们将发现，一切圆满天成，大自然是如此神奇美妙，美妙地不可思议，让人只有惊叹和心醉。那么如何解开这个“谜底”呢？爸爸说，要用“回溯法”！这下我可高兴了！我抢着说：回溯法我熟悉，我的信息编程可是“一级棒”！在计算机算法中，有一个基本的算法，叫“回溯法”。它是一种有次第的穷举方法。比较典型的题目，就是走迷宫。为了走出迷宫，我们从起点出发，每到一个岔路口，就标记为 (1), 然后选择一条路继续往前探索；到了下一个岔路口时，再标记（2），再选择其一继续探索。探索的原则是“深度优先搜索”法。如果走通了，就是有解。如果此路不通，就回头穷尽其他的可能性。“回溯法”的一个重要思路是：当我们在某一个方向上始终走不通的时候，我们必须回到之前的假设上，换一个可能性，重新探索。如果还不行，则要回到更前的假设上，探索其他可能性。 爸爸对我的解释很满意。 爸爸说，“回溯法”是自然科学史上最重要的方法。每一次划时代的新发现或者新理论，都是回到基本的假设上，推翻似乎那么不容置疑的“常识”，换一个可能性进行探索，只要它在逻辑上合理和自洽。由于每一次重大的回溯，都是进入一片“新大陆”，所以，每一次重大的回溯，都会带来一次潮涌般的变革，人迹罕至的山谷里，到处都是新景色，让人眼花缭乱。量子力学，就是用回溯法，推翻常识，带来了一个崭新的时代；在至今没有结束的量子力学的“淘金潮”里，“一个二流的科学家，也可以获得一流的科学成就。” 爸爸说，回溯法最大的障碍，是人们顽固的“常识”。为了打破成见，我们必须勇敢地提醒自己福尔摩斯那个非常经典，富有哲理性的话：“我的方法，就建立在这样一种假设上面：当你把一切不可能的结论都排除之后，那剩下的，不管多么离奇，也必然是事实。”（《新探案：皮肤变白的军人》）”数学和自然科学，需要福尔摩斯来探案？哈！越来越神奇了！我的好奇心，呈几何级增长。 爸爸说，数学三大危机，已经非常明显地告诉人们，最基本的矛盾，在最初的假设上；所以，必须利用回溯法解决问题；固执地按照旧的方向往前，只能迷失在越来越复杂细化的死胡同里。那么，我们应该回到哪里去呢？回到牛顿！牛顿说：Δx = 0 并且 Δx≠ 0
这个结论看似非常矛盾。但是“看似”矛盾，并不真的一定矛盾。就像量子力学史上，海森堡发现p x q≠q x p时。我们要敢于去验证这个结果。如果这个结果非常可靠，那么不管多么违反我们的常识，我们也要敢于去揭开它的面纱，了解面纱背后的真正涵义！
Δx = 0 并且 Δx≠ 0
那么，这个“矛盾”的来源，究竟是牛顿错误的假设，还是有不为人知的奥秘隐藏其中？
我们知道，微积分的应用非常广泛，而且取得了极其辉煌的战绩。这说明，牛顿微积分运算中的这个看似矛盾的假设，其实有自身的合理性。柯西的极限概念，只是一种精心的“包装”，使它看上去“很科学，很严谨”;而康托尔的“集合论”，则是“奥运火炬”现象，把矛盾传递到集合的对应关系中去。这些可以在应用上满足人们的“鸵鸟心理”，但是并没有真正去了解这个假设的真实涵义。
现在，也许是时候揭开面纱看看了。
长期以来，人们认为Δx≠ 0才是真实的，Δx = 0只是为了计算需要的一个假借。但是，人们的常识是不可靠的，应该让数理逻辑来说话。让我们试着演算一下关于无限小数的一些基本公式，看我们可以得到什么？
经过观察，我们发现：
0.’1’ = 1/9 这是一个无限循环小数。
又：0.’1’
9 = 0.’9’ = 1/9 X 9 =9/9
所以：1 – 0.’9’ = 1 – 9/9 = 1-1 = 0这是一个小学五年级学生就能够看懂的公式。我们这里做的，仅仅是让1去减0.’9’而已。
可是，这又有什么意义呢？好，问题在于：1-0.’9’意味着什么？--- 对了！意味着无穷小！
1 – 0.’9’,
在我们的模糊地常识中，应该是0.’0’…小数点后面，再跟无数个零，最后，（如果有最后的话），会出现一个1。
我们曾经认为，这个结尾的1，永远找不到，因为小数位是无限拓展下去的；但是，结尾也不会等于0，所以结尾的1又是必须存在的。我们的宏观世界，就在这个非常模糊的观念中，像时钟一样继续“非常优雅非常逻辑”地走下去；只有极少数喜欢“刨根问底”的人，才隐隐约约猜到，所有的高楼大厦，其实都是海市蜃楼。哈！哈哈！越说越玄了。无穷小，又等于0，又不等于0。这个在牛顿手中迫不得已的自相矛盾的“假设”，原来就是宇宙最大的奥秘！我迫不及待地恳求爸爸告诉我，它究竟意味着什么？爸爸说：古印度有一个数论派，非常高深；中国则有易经和老子，老子说，“道生一，一生二，二生三，三生万物。”在西方，从亚里士多德到毕达哥拉斯，从贝克莱和莱布尼茨，到罗素的逻辑主义和神秘主义。人们都在探索同一件事。其实数学就是哲学，哲学就是数学；他们都是在寻找关于“无限”的真正涵义。爸爸说，但是他们最多是模模糊糊意识到了，这里面埋藏这宇宙的奥秘；至于真正的答案，只有到佛法中才能得到。佛法？！佛法，不是宗教信仰么？我的嘴巴，惊讶地几乎合不上了。从“无理数”，我们一路走来，居然走遍了数学世界，物理学世界，哲学世界，最后跑到了佛学世界！这太不可思议了。爸爸微笑着说，佛法不是宗教，佛法是一门学科，关于“智慧”的学科。佛法里有一门重要的学问，叫“因明学”，用的就是逻辑理性的方法，来探索宇宙人生的奥秘。数学，则是逻辑理性的表达符号。我已经等不急了：快把那个“谜底”告诉我吧！爸爸经不住我的央求，写给我一个神秘的公式：∞ =（⊙0, 0∈）爸爸说，（⊙0, 0∈）叫做“零非零二相性”；量子力学哥本哈根学派的“波粒二相性”解释，是这个公式的现象学版本；这个公式，是“波粒二相性”的数学版本。“零非零二相性”，好酷的名字！而且和著名的“波粒二相性”居然是同胞兄弟。我听爸爸介绍过曹天元的网络文章：“上帝掷筛子吗—量子力学史话”；我早已经对“波粒二相性”一往情深，没有想到，我竟然能够帮助爸爸一起找到数学上的等价理论：“零非零二相性”。哈哈！这回赚大了！爸爸说，他已经建立了“零非零二相性”的四则运算：（1）加法公式。1+1=2，被改写为：（⊙0, 0∈1）+ （⊙0, 0∈1）= （⊙0, 0∈2）（2）减法公式。2-1=1，则改写为：（⊙0, 0∈2）－ （⊙0, 0∈1）= （⊙0, 0∈1）（3）
乘法公式。1 X 2 = 2, 则改写为：（⊙0, 0∈1）X（⊙0, 0∈2）= （⊙0, 0∈2）（4）除法公式。 2÷1=2,则改写为：（⊙0, 0∈2）÷（⊙0, 0∈1）= （⊙0, 0∈2）以上运算中，0∈1的意思是“从零出发，拓展为现象1”； ⊙0, 读作“胜义法尔”；0∈，读作“世俗法尔”； 0∈1，读作“世俗法尔显现1”。“法尔”一词，源自古老的佛法经论，意思是“大自然本来如此”。当年释迦牟尼睹明星而悟道，叹道：“奇哉！一切众生皆具如来智慧德相，只因妄想执著，不能证得。”（⊙0, 0∈1）+ （⊙0, 0∈1）= （⊙0, 0∈2）的加法算式，则解读为：恒时不改变本质“⊙0”的同时，由因缘“0∈1”和因缘“0∈1”积聚成现象“0∈2”。在佛法中，它传统的名字是，“缘起性空”。加法公式（⊙0, 0∈1）+ （⊙0, 0∈1）= （⊙0, 0∈2） 的具体读法是：“ 胜义法尔不增不减；世俗法尔显现1，加上，世俗法尔显现1，等于，世俗法尔显现2。”而简化的读法是：“法尔显现，1加1，等于2；（胜义远离生灭，或者，胜义不变）。”我听得如痴如醉：这一切，太优雅太完美了！佛法理性如此圆融，让人惊叹；而大自然本来圆满的迷人风采，则叫人心许。 爸爸说，在这个四则运算的基础上，所有复杂的运算都可以建立。整个数学体系的所有公式，都可以按照它重新改写，成为更加普适性的公式。这个公式，完全源自佛法；它的深刻涵义，要等待时机成熟，才能揭晓。一旦人们懂得了它的深刻涵义，也就将掌握它的更多数学特性。那时候，它不仅有望解决很多历史难题，而且在涉及到极限问题的科研领域，可能带来很多突破性的进展。更重要的，爱因斯坦后半生苦苦思索了三十年，人们一代代梦寐以求的“万有理论”，2000多年来一直“深藏闺阁无人知”，也许由此将为更多的世人所熟悉；而二十世纪自然科学最伟大的两大发现，量子力学和相对论，将携手步入幸福神圣的婚姻殿堂。晕！彻底晕！我虽然已经跟不上爸爸的思路，但是我期待着他早点公布这个公式的深刻涵义；我更加期待自己早点长大，也加入到discovery的队伍中去。爸爸说，这一切，都来自他的两位上师，慈城罗珠堪布和索达吉堪布的智慧。在中世纪之前，是科学的宗教时代；在文艺复兴之后，是科学的哲学时代；将来，应该是科学的佛学时代。
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数学/化学爱好者
第一个错误出现在“按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零”，后面的就不看下去了。
爸爸是学英语语言文学的，他正在写一篇科普文章；其中涉及到很多物理学和数学知识。
在古希腊，有个年轻人叫毕达哥拉斯，他小时候，有一次背着柴禾上街，有一位长者见到后，说：从你捆柴禾的方法看，你很有数学天分，你长大后会成为一个了不起的学者。神话这个长者只能是上帝了
整篇看完，可以忽略最后的一段莫名其妙的佛法知识，就讲讲其中所谓的两个证明无理数不存在的解法。第一个，运用了“按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零。”这个我觉得有问题，一下子说不准。但是还是觉得，规律并不等于公式，能不能反推是不知道的，作者只是从现象中得到的规律，而把这个规律反过来用，是有问题的。同时原本的证明根号2是无理数的证明方法是没有问题的，如果作者可以说自己的方法是对的，同时原本的方法是错的，估计才有意义。第二个，我觉得就比较明显了，因为他在计算里面运用了无穷数。计算的思路是，圆周率乘以一个无穷数等于一个常数，那么圆周率就是一个常数……可是有谁能够认同“一个常数除以一个无穷数的结果还是一个常数”呢？反过来看明显就是不成立的。我自己想到的大概就是这两点。
数学/化学爱好者
第一个错误出现在“按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零”，后面的就不看下去了。
引用 Ekoms 的回应：第一个错误出现在“按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零”，后面的就不看下去了。嗯，我也是看到这里……
p*q!=q*p……跟0=1…有异曲同工之妙…我无力了
這麼無聊的東西也需要拿出來求反駁麼？樓上不是說得很清楚了嘛 ╮(￣▽￣")╭首先平方根末尾是零那個完全就是沒有道理的其次誰說pi的位數是有限了呢？如果是無限的怎麼能夠用10的n次方來乘？
（3）所以，√2 的末尾，可以是任意个零，只要你愿意。换句话说，√2 的末尾，一定是零的无限循环。记作：√2= 1.。。。’0’；所以，2的平方根不是无理数。这也从另外一个角度证明了：无限不循环小数，末尾一定是很多零；所以，无限小=0。--------------------------√2= 1.。。。’0’
若中间省略这三个点是无限的，讨论后面的零没有意义吧？∏ 可以写成：(∏* 10 ∧n) / (10∧n)其中，n趋向于∝(无穷大)。也就是说，∏有多少位小数位，n就相应是多少。---------------------------------------n都趋向于无穷大了，怎么还可以写成(∏* 10 ∧n) / (10∧n)　嘛　无限和有限绝对是两个概念。。
人机手谈小组管理员
漏洞太多了。。。。。。。看到pi就看不下去
在古希腊，有个年轻人叫毕达哥拉斯，他小时候，有一次背着柴禾上街，有一位长者见到后，说：从你捆柴禾的方法看，你很有数学天分，你长大后会成为一个了不起的学者。神话这个长者只能是上帝了
本来想说“缺心眼儿果然是你爸爸遗传的啊”......搜了一下发现了作者的博客..........原来最后一段才是人家的核心啊.............................
第一个，明明最初的假设是“（√2）不是无理数”，却偷换成不是无理数的推论p,q互质，无力吐槽。。。应是假设不成立，SO√2是无理数才对嘛。第二个，“按照平方数的规律，平方数的末尾是零,则平方根的末尾也一定是零。 ”，这个是从哪跑出来的？？？m^2=10s,则SQR(m)=10t(还是想表达:SQR(m^2)=10t),假如是前者，则明显不成立，假设是后者，那此规律就是直接先否定无理数的存在了，因为无理数不存在（并未给出证明，给的是自己编的规律），所以无理数不存在。这种证明太霸气了。第三个，关于兀那个，同样犯了这样的错误，因果循环互证（果然后面佛教BLABLABLA...），谁说“分子（∏* 10∧n）”是一个整数？！无限不循环该文并没有理解！如果“分子（∏* 10∧n）是一个整数”，那首先兀就不是无限不循环了，用此来证明结论犯了和第二个一样的错误。最后，我用该文的证明方式来证明此文错误：一般的，因为此文进行了很多论证，而且这些论证都是错误的，所以此文是错误的。定理给毕。
感觉就是用有限的判别方法来认识无限...混乱了...
.net/网络工程师，电子商务师
用有理数的有限适用规则来证明无理数……作者的思路适合来解直线割圆问题，可以有效的博大家一笑。。。也就是小学3年级水平没再长进。2.0000000' 等于 2，末位实质明明是2。另外那个“零非零二相性”是什么妖蛾子？从哪里刨出来的？直接拉到最后果然出现宗教了……最近抱着邪念传教的怎么这么多？那些抱着恶念和谎言传教的恶魔，死后必进尔等所称的拔舌地狱。。
Mathematica玩家
传说中的那朵堪比五道杠的奇葩？
Mathematica玩家
作为一个小学生胡乱写的东西没什么，但如果读者当真了那就有问题了。
如果没有最后一段，我也认为是小学生写的。加上最后一段，性质就完全变了。
应用数学专业
不是小学生写的
从你捆柴禾的方法看，你很有数学天分。。。我直接想起了《功夫》里周星驰买如来神掌那段儿了
1 （√2）后面肯定有零的说法，让我不禁怀疑，阁下是否学过徒手开方这一中国学生必须会的技能？2 毕达哥拉斯是牛人，但你说的太玄幻了
爸爸是学英语语言文学的，他正在写一篇科普文章；其中涉及到很多物理学和数学知识。
文章很有趣，作者不是小孩子。如果有小孩把问题思考的这么深入，肯定前途无量。
关于证明，楼上几位都说了一些，但感觉都不够系统。我来谈下我的看法：1）【第一个证明】引用 zzgyhqs 的回应：第一个，明明最初的假设是“（√2）不是无理数”，却偷换成不是无理数的推论p,q互质，无力吐槽。。。应是假设不成立，SO√2是无理数才对嘛。
朋友你仔细看啊，人家就是在证明“无理数”存在，这个证明我觉得没有错，但是没意义，脱离了无理数的实际意义。2）【关于“尾数法证明无理数不存在”】这个显然是错的。
首先，使用的公理是错的。“平方数的尾数是零，平方根的尾数也是零”本来就错，10尾数是零，平方根尾数是……我不知道。
其次，逻辑有问题，文中说“ 所以，√2的末尾，一定会出现零。而一旦出现零的末尾，即意味着不再无限循环。所以，无理数不存在。0为尾数不能决定说“不是无限不循环”，只要你愿你，你可以在任何一个无限不循环小数后面加0，这个零在这里没意义，但是该数还是无限不循环小数。事实上，√2后面可以以零为尾数，只是这个尾数不知道要加在小数点后哪一位，囧。3）【关于π非无理数的证明】找一个n，使π*10^ n变成整数，这是不可能的。作者用反证法，因此这时的π，仍然假设为无理数，无理数*非0有理数还是无理数，不可能变成整数。4）【关于圆周率突变问题】这里有个一个概念性的错误。点唯一表示的是位置，没有形状，长度、体积、面积、质量等等一切其他量。因此此时直径周长都不存在，圆周率也不存在。所以此时圆周率既是1也是0（也可以是其他任何数字），所以总结下来就是不存在。此外，如果按照这个逻辑，那么无数东西都出问题了，比如正方形面积=边长*边长，你把它缩成点，就得到任何数的平方等于0，这显然是错的。5）【关于那个“零非零二象性”】这是我第一次听到这个东西，不知道数学界是否有被广泛接受的理论依据。反正我是没看懂……有谁看懂的解释下。
生物技术学士
好好玩 的民科啊，遇到无穷大，“无理”说不清。
Mathematica玩家
引用 我叫可乐! 的回应：文章很有趣，作者不是小孩子。如果有小孩把问题思考的这么深入，肯定前途无量。关于证明，楼上几位都说了一些，但感觉都不够系统。我来谈下我的看法：1）【第一个证明】朋友你仔细看啊，人家就是在证明......对民科不必这么认真。
引用 万毒狂魔 的回应：对民科不必这么认真。呵呵 习惯了~不认真学不到东西。
有些定理成立，但它的逆定理不一定成立啊。
这个.. 需要反驳吗? 本来就是来搞笑的
希帕索斯发现，边长为1的等腰直角三角形的斜边 ，即√2，是一个无限不循环小数。这意味着这个后来被称为“无理数”的√2将无法得到一个确切的空间位置。不是可以用尺规作图在数轴上做出来么？
好长！正文其实就是证明部分（有漏洞···）…其余是插曲。但……………………敢于思考是非常酷的！！特别是像这样的！！！！
引用风飘絮的回应：希帕索斯发现，边长为1的等腰直角三角形的斜边 ，即√2，是一个无限不循环小数。这意味着这个后来被称为“无理数”的√2将无法得到一个确切的空间位置。不是可以用尺规作图在数轴上做出来么？可以作出来 但是不能在有理数域里面找到对应 所以才有了无理数
按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零这个只是在整数范围内有效吧？小数没法说，2.50的平方和2.5的平方怎么算？
四则运算公式那里笑死我了
民科无处不存在，奇文阿！
“ 所以，√2的末尾，一定会出现零。而一旦出现零的末尾，即意味着不再无限循环”出现零的末尾=不再循环？就算这样成立，也只能证明√2不是无理数理论上说，无理数是绝对存在的PS：本人对他的爸爸表示赞许。。。。
精神可嘉，但实际就…………
我对于证明的反驳：1、原文“2） 按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零。 比如：1.1 * 1.1，末尾数字是1；2.2 * 2.2，末尾数字是4； 3.3*3.3，末尾数字是9； 。。。 而一个末尾是零的数的平方，末尾也一定是零；反之亦然。（3） 所以，√2的末尾，一定会出现零。而一旦出现零的末尾，即意味着不再无限循环。所以，无理数不存在。 首先，这个数先得有末尾，才能说末尾是几吧？但无理数的另一个名字是什么呢？是无限不循环小数，也就是说，是没有末尾的。一旦有了末尾，还能叫无理数么？你说，”√2的末尾“已经就假设它不是无理数了。还证明什么？2对于π，原文：“：(∏* 10 ∧n) / (10∧n) 其中，n趋向于∝(无穷大)。也就是说，∏有多少位小数位，n就相应是多少。于是：分子（∏* 10∧n）是一个整数，而分母10 ∧n 也是一个整数。这样，∏就不是无理数。 ”当n是无穷大的时候，（∏* 10∧n）是无穷大，而不是一个整数。请楼主先分清无穷大和整数的区别再说。其实这个证明也不严谨。因为这涉及了2个无穷的问题。一个是π的小数点之后的位数，一个是你说的n。无穷大之间没有严格的平等，这个楼主是不是应该知道，只有能相比性，或者说是对应性。两个无穷大的数字可以对应，或者不可以对应。这决定那个无穷的量级更大。你的证明用一个无穷n的概念混淆了两个概念。一个概念就是刚才说的，结果不是整数，而是无穷大。另一个概念是无理数的无穷级数和你说的n的无穷级数的关系，以及他们之间相乘的结果是不是必然没有小数。后面没看，也懒得看了。
不好意思，还是忍不住看。下面的错误：原文:"可是，这又有什么意义呢？好，问题在于：1-0.’9’意味着什么？--- 对了！意味着无穷小"现代的数学早就共识，1-0."9"=0而不是无穷小。无穷小不是这样的。还是在用无穷的概念混淆是非。后面的佛法，完全没明白。等你爸爸用佛法做个计算机（不要在现在的计算机上，那不是佛法的，那个计算是错误的。）解救地球末日吧。
！！！光是从这点看来，这孩子有前途....但是要看你怎么定义无理数了...这个简直像哥德巴赫猜想一样.....
10岁孩子能想到这些东西，值得鼓励。
另外，回家才想起来，楼主还有个致命的数学基础错误。原文：“：(∏* 10 ∧n) / (10∧n) 其中，n趋向于∝(无穷大)。也就是说，∏有多少位小数位，n就相应是多少。于是：分子（∏* 10∧n）是一个整数，而分母10 ∧n 也是一个整数。”如果n设定为无穷大，则（∏* 10∧n）是无穷大，10 ∧n也不是整数，而是无穷大。这不是问题的关键，问题的关键是根据无穷大的运算规律，任何实数（或者叫有穷的数）乘以无穷大，其无穷大的级别不会变化，其差为0，其相除为1（这也解释了当圆半径无穷大或者为0，或者无穷小时，圆周率不是π，而是1）。所以在n为无穷大的时候，：(∏* 10 ∧n) / (10∧n)并不等于π，而是等于1。其实这个帖子是不是一个10岁的还在写的无所谓。但最好先补习一下无穷的相关运算规律引用苑苑思无涯的回应：不好意思，还是忍不住看。下面的错误：原文:"可是，这又有什么意义呢？好，问题在于：1-0.’9’意味着什么？--- 对了！意味着无穷小"现代的数学早就共识，1-0."9"=0而不是无穷小。无穷小不是这样的。还是在用无穷的概念混淆是非。后面的佛法，完全没明白。等你爸爸用佛法做个计算机（不要在现在的计算机上，那不是佛法的，那个计算是错误的。）解救地球末日吧。
作者说的“他和我的数学知识加起来，不会超过一个初中生”果然是实话，所谓的证明都停留在小学生的不严格类比阶段，缺乏基本的数学能力。比如“2 可以写成 2. 总之，末尾是零。（2） 按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零。 ”如果他知道2可以写作1.......他就得哭了。“当圆无限缩小时，圆周率依然不变。但是当到达一个极限，即缩减为一个点的时候，圆周等于直径，但是不为零，∏值瞬间衰变为1； ”线无论怎么缩小都是有无穷多点的线，不可能变成1个点。这孩子啊......估计是某民科发神经装小孩写的文章吧。
不值得一驳，作者就是个孩子，理解错误比较多，思维还不够清晰，逻辑性还不强。总的来说，作者还不太懂数学，很多数学的基本理念都没有具备，应该是中学基础知识没有学扎实。
平方法绝对有问题——要使√2成为整数——n到底有多少位？又是一个极限
还有——为什么人们知道√2是无理数？说不定其循环节很长？虽然有人用电子计算机算过很长时间。
点是一个无限小概念——在欧几里德几何中，这是无体积的——只能算是填充空间的XX。但又要问——如果整个平面都是被点所填充，且点有没有体积，那么如何填充？
但又有问题了——如果说无理数存在，那么在数周上，就会有一个具体的点来表示它。但无理数是无限不循环小数，即你不知道它的确切值，那么怎么用一个具体的点来描述它呢？
而且，文中说父子二人的数学知识不及中学生，怎会出来无限和∈？
不要歧视无理数啊，说不出来，不是说我不知道他的确切值。晕死。无理数在哭泣，听。在数轴上找到√2用尺规作图就能做到啊。在数轴1的地方垂直向上做直线。用圆规，以1点为圆心1为半径向上做圆与直线相交于A点，链接原点和A点。以原点为圆心，原点和A的距离为半径在数轴上做弧，与数轴相交于B点，B点就是√2。复习了一下尺规作图最基本的方法。blockquote]引用明日之光的回应：但又有问题了——如果说无理数存在，那么在数周上，就会有一个具体的点来表示它。但无理数是无限不循环小数，即你不知道它的确切值，那么怎么用一个具体的点来描述它呢？
“按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾也一定是零”这句话无论怎么看都是错的吧~
√2写成小数后没有末尾
电子工程专业
帮帮这孩子，不要让他走歪了啊，前途无量啊
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