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开心签到天数: 677 天连续签到: 1 天[LV.9]以坛为家II
高等数学有什么用？
编者按：高等数学有什么用？很多人问过我这个问题。其实大多数人在问这个问题的时候，心里已经预设了否定的答案。确实，对于大多数人来说，已经发展到了连数字都基本很少用了的一些高等数学分支，是过于虚无飘渺了。但是实际上，今天我们的生活已经完全离不开数学。甚至可以这么说，没有高等数学的发展，就不会有今天的现代社会。
& && &&&也许很多人会怀疑这点，那么我就来稍微介绍一下现在高等数学的各主要学科的“用处”。初等数学就不说了，一些如离散数学、运筹学、控制论等纯粹就是为了应用而发展起来的分支也不说了，重点介绍基础方面的。
& && &&&数学分析：主要包括微积分和级数理论。微积分是高等数学的基础，应用范围非常广，基本上涉及到函数的领域都需要微积分的知识。级数中，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等，电子产品的制造离不开它。
& && &&&实变函数（实分析）：数学分析的加强版之一。主要应用于等注重数据分析的领域。
& && &&&复变函数（复分析）：数学分析加强版之二。应用很广的一门学科，在航空力学、流体力学、固体力学、信息工程、电气工程等领域都有广泛的应用，所以工科学生都要学这门课的。
& && &&&高等代数，主要包括线形代数和多项式理论。线形代数可以说是目前应用很广泛的数学分支，数据结构、程序算法、机械设计、电子电路、电子信号、自动控制、经济分析、管理科学、医学、会计等都需要用到线形代数的知识，是目前经管、理工、计算机专业学生的必修课程。
& && &&&高等几何：包括空间解析几何、射影几何、球面几何等，主要应用在建筑设计、工程制图方面。
& && &&&分析学、高等代数、高等几何是近代数学的三大支柱。
& && &&&微分方程：包括常微分方程和偏微分方程，重要工具之一。流体力学、超导技术、量子力学、数理金融、材料科学、模式识别、信号(图像)处理 、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等领域都需要它。
& && &&&泛函分析：主要研究无限维空间上的函数。因为比较抽象，在技术上的直接应用不多，一般应用于连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等理论。
& && &&&近世代数（抽象代数）：主要研究各种公理化抽象代数系统的。技术上没有应用，物理上用得比较多，尤其是其中的群论。
& && &&&拓扑学：研究集合在连续变换下的不变性。在自然科学中应用较多，如物理学的液晶结构缺陷的分类、化学的分子拓扑构形、生物学的DNA的环绕和拓扑异构酶等，此外在经济学中也有很重要的应用。
& && &&&泛函分析、近世代数、拓扑学是现代数学三大热门分支。
& && &&&非欧几何：主要应用在物理上，最著名的是相对论。
& && &&&数论：曾经被认为是数学家的游戏、唯一不会有什么应用价值的分支。著名的哥德巴赫猜想就是数论里的。现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地——密码学。前几年破解MD5码的王小云就是数论出身。
& && &&&到目前为止，数学的所有一级分支都已经找到了应用领域，从自然科学、社会科学、工程技术到信息技术，数学的影响无处不在。如果没有高等数学在二十世纪的发展，我们平时所玩的电脑、上的网络、听的mp3、用的手机都不可能存在。当然，一般的普通大众是没必要了结这些艰深抽象的东西，但是它们的存在和发展却是必需的，总要有一些人去研究这些。
& && &&&数学，就是算术，小学直接面对数字，计算，1+1=2之类的东东，初中有了代数和方程，实际上就是用一个字母来代表一个数，这个数的具体值可以是未知的。到了高中，主要研究未知数的对应变化关系，即函数。到了大学，更进一步，研究函数值的变化规律，比如导数就是函数的变化率。最后泛函就是研究不同函数之间的变化关系了。
& && &&&数学是从具体到抽象，再抽象的过程，从自然数到集合，从集合到群，从群到拓扑，从拓扑到流形。只要你有时间，都能看懂，必竟数学家也是人，人脑是肉长的。肉长的人脑能想到的东西也就这点了。
& && &&&最难的还是数论，一个哥德巴赫猜想，整了三百年，没人想出来怎么证。搞数论，人脑估计不够用了。
& && &&&不过，对于大多数数学家来说，研究数学的目的就是为了好玩。这种心情和宅男们对galgame的感情在本质上是没有什么不同的。所谓数学的“用处”，不过是一个副产品罢了。
& && & 最后，学经管的同学们，你们找到属于自己的数学工具了吗？是否也理解为什么理工科学生转经管那么轻松了吗？正是数学积累的差距导致了思维深度和广度的差距呀！
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数学乃是分析问题的基础，掌握方法的基础
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caochong2010 发表于
数学乃是分析问题的基础，掌握方法的基础是的，亲
李攀 发表于
是的，亲对，我深有体会啊
用处很大，数学是基本的工具
学到后来许多东西都要用，高数是个基础，如学计量要用到线代的矩阵，高数是很有用。
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李攀 发表于
高等数学有什么用？
感觉那些不学高数的大学专业的学生，大学白上了
Thank you for the constructive topic.
If you take any English textbook, you will find out there are a lot of realistic cases.
Basically, the professor teach you math based on the real problem.
I believe this can make the learning less tedious.
Thank you.
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李攀 发表于
高等数学有什么用？
数学是一种工具！
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匿名不能邀请呢，要不来关注的同学们帮我邀请一些大牛来作答？说来也好笑，我从国内某top5高校理工科毕业多年，一直苦恼于高等数学学不好【毕业以后从事的事情跟高数尚未发生半点关系。。。我就是单纯奇怪一下这个事情】。自我感觉问题在于我对于高数里的东西无法做出直观的想象。厚颜无耻地说一句，高中物理我学得非常轻松而且成绩非常好，基本就是翻一遍书考试就接近满分【高考物理部分满分】，我感觉我能把书上的理论公式转变为动画片一样的场景，做题时字面的意思会自动形象化地镶嵌到那些动画片里面出现在我脑子里，就像放电影似的。但是高数就不行了，我努力多时也没法把那些公式定理形象化理解，貌似只能死记硬背。所以直接导致大学物理、电磁场电磁波等科目成绩也相当一般。是不是我的脑子学到高中就是极限了？直说也无妨，因为我发现我现在干的这活其实学到初中就能做了，赚的貌似也还可以。。。囧。。。==============我举个栗子==========最近知乎上一个很火的文章：我前面都能看懂，但是到了欧拉公式这儿就不懂了。我想不出e的iπ次是怎样形成的，后面就理解不了了。。。
396 个回答
我觉着不管是信号与系统还是信息论或者通信原理等等号称挂人无数的难课程，以及题主表示不解的高数，之所以让大多数人学的一头雾水，都是因为大家从小到大的数学老师都比较忽视代数这一块内容仅仅以大学阶段为例，要是能把线性空间的概念讲清楚了，不管是傅里叶变换，余弦变换，拉普拉斯变换，z变换等等让人头大的，让人画图都画不明白的奇怪东西，就都有了一个简单的解释：不过是在线性空间里面找了一组“好算”的正交基罢了。比如让题主无比苦恼的欧拉公式等等，如果老师把域的理论讲清了，这不过就是个复数域跟实数域的问题罢了。所以，推荐广大被信号系统、信息论、数字信号处理等等所谓神课折磨的同学，把你的线性代数课本翻出来看一看就解决问题了，推荐本线代书：
（在知乎数学板块，但一直想回答这个问题却不知道从何说起。某些答案否定了众人对教材的抱怨，然而我认为对教材的抱怨有一定合理性。现实生活中很多真努力学了还学不懂的，教材和教师要承担一部分责任。特别是有些人我稍微跟他聊聊他就恍然大悟，说原来这个东西竟然这么简单，只能说是被不入流的老师坑了）高数级别的这种数学，是有实际应用而且怎么说也不能算难的。牛顿和莱布尼兹各自在康熙年间发明的还被后人广泛接受而且消化了的学问，能难到哪里去? 即使多元微积分里面最复杂的斯托克斯公式，也就是十九世纪末的内容。我认为真正的冲突所在于，高数其实是微积分和数学分析的混合。微积分英文是 “Calculus”, 来自拉丁文的 “演算”，本来就是像加减乘除一样的一套演算法则，记住这些简单的法则，就能干很多事情：比如记住链式求导法则、乘积法则和商法则（chain rule, product rule，quotient rule）就能给相对复杂的函数求导（类似于这种），记住一些简单的技巧（比如分部积分，部分分数）就能给一些函数求积分。然后借助导数这些概念还能有一些简单的应用——比如求某些函数的极大值极小值。这些最简单的演算法则，其实是微积分这个概念的强大之处。大家不妨想象一下高中学过的数学，其实很多函数的定义什么的都知道了，但是面对一个
这样的函数，很多高中生还是两眼一抹黑，根本不知道想了解一些性质要从哪里入手。但是懂微积分的人就不一样了，上来就可以求导，求导之后就得到了很多有用的信息，然后知道导数的正负，也就是增减性之后，函数图像也能画出来了，起码整个东西不再令人恐惧了。任何工具要得到 “强大” 的称号，必须让傻子也能用。微积分就是这样一个强大的工具。用一种画面感很强烈的语言描述，大概是这样的。在牛顿和莱布尼兹之前，欧洲的数学水平大概和一个今天能考上好大学的高三学生差不多，物理水平大概和初中生差不多，刚刚掌握了搞科学要靠做实验不能靠瞎逼逼的思想，另外还掌握了很多天文数据（牛顿出生的时候伽利略刚刚去世，微积分发明之前连牛顿三大定律都没有）。然后牛顿和莱布尼兹，给科学界一群刚刚掌握科学思想的群众发了一套像 AK-47 一样强大的武器。这武器怎么造的大家一开始也没仔细想，但是就是好用，爽，拿着这个武器去搞科学，就像开着挖掘机去挖金矿，比原来的小铲子好用多了。然后才有数学分析。数学分析怎么来的呢? 原来的武器（“微积分”）太强大了，强大得令人怀疑，于是大家不禁要问，什么时候能用什么时候不能用，挖出来的东西什么时候是金矿什么时候是狗屎，能不能有个明确的说法? 之前是靠强大的物理直觉，而且之前到处是黄金，偶尔挖到一坨狗屎也无所谓，后来黄金不好挖了，更怕挖到狗屎，所以才要搞微积分的严格化。这个就是数学分析。所以学问是有个次第的，先有微积分，再有数学分析。很多高数的书，把微积分和数学分析放在一块讲，老师也不顾这个次第，所以让学生觉得很坑。这有点像把射击和枪械制造混在一起教学，整个过程都很混乱。有个笑话反应了这种情形高数题只有两种，第一种：卧槽，这也用证？第二种：卧槽，这也能证！很多时候学生还什么都不会，就被要求严格化，这就好像在挖掘机说明书上写什么时候会挖到狗屎一样，——用户真正需要的其实是挖掘机的操作方法。原问题提到自己从 TOP5 毕业，我觉得学校好，要求高，反倒坑了一部分人。举个最简单的例子，极限的 (ε, δ)-定义，这个定义对于微积分的严格化，当然很有意义，但是它的作用是，在已经对一个极限的数值有概念的时候，证明一个极限的值确实是最初猜测的那个。如果一上来就给学生讲这个定义，基本上要看学生有多少慧根了，因为学生脑子里连 “最初猜测的那个” 的答案都没有。我曾经参与下面这个对话（文字只是大意，参与者是好学校的好学生，不是智障）“我还是想搞懂 (ε, δ)-定义，我们能不能用 (ε, δ) 证明一下在的时候极限是 3?”“那个极限不是 3，是 4.”“……”在理想的情形，学问的次第应该被尊重。学生在高中先学了微积分里面简单的内容，比如求导的法则，极大极小值，用定积分计算面积等等。上了大学再慢慢严格化或者细致化。然而，这方面没有做得特别好的——即使是美国，也有很多学生跟不上教学的节奏，跟人聊天说到数学经常就是 “I never got beyond calculus”...下面说教材和教师的问题。最好的情形当然是像孔子一样，因材施教。但那是理想状况——现状是要以工业化的形式大规模培养懂微积分的学生。另一方面，学生的时间有限（不是每个人都是数学系的还愿意死磕），而且背景又不同，所以会造成一种从四面八方不同的方向涌过来爬一座山的局面。对于这种情况，中国很多教材和教学的方法是，找一条特定的路线，然后老师带队，大家沿着固定的路线往上走。这种方法对于学生和老师的默契程度要求比较高，如果老师选的路线不对，或者老师比较笨（这种情形并不罕见），学生很容易掉队。特别是有些时候老师已经四五十岁了，选取的路线完全不适应学生的状况（比如高中教材和基础已经和老师念高中的时代完全不一样了），状况通常更糟糕。经常看见年长的教授抱怨，学生真是 “一代不如一代” 了——这里面固然有时代思潮、大学扩招之类的因素，然而假设没有发生全国规模的慢性食物中毒影响智力水平之类的事情，学生一代不如一代的可能性其实是不太高的，更有可能的反倒是老师越来越不适应现在的学生群体（这并不是中国独有的问题）。美国的教学方法（就我所见而言）则略有不同，美国的教材相当于在山腰以下，修了很多楼梯，只要大致的方向对了，不管从哪个方向来爬山，都能找到楼梯或者绳索，然后爬到半山腰集合，剩下的部分再靠老师/助教带领冲顶。所以美国微积分教材被诟病的 “话痨” 的缺点，其实是优点，这种很厚的教材本来就不需要一页一页看的，只是给不同背景学生的补充而已。美国也有老师抱怨学生一代不如一代，或者说越来越水——这种看法部分是对的，但也是老师越来越不适应现在的学生群体的一种表现。但是美国的坑死研究生的助教制度，相对地弥补了这个问题——助教和学生的年龄更接近，而且由于助教面对的学生数量相对比较少，教学也更容易个性化。其实我想象中比较理想的教育方式，是在有人指引大方向的前提下，跟高一两级的人学。比如大一的跟大三的学，大三的跟低年级研究生学，低年级研究生跟高年级研究生学，高年级研究生跟博士后学，这种情况对教学双方都有帮助，上手温故知新，下面的人也能比较快地学到实质性内容。一个年级一个年级地大班教学，其实很大一部分要看学生的造化，在中国美国都一样。（个性化教学其实是个有趣的问题，想聊聊的可以私信。）说了这么多，好的教材是什么样子呢? 中国的中小学数学教材其实都还不错，很多内容都经过了千锤百炼。但是高中教材已经开始有点坑了，反正我觉得中专生哪怕想努力都没法学下去，这种想努力还没人能帮上忙的状况其实是很糟糕的，很有必要给基础差一点的人编一套更慢的教材（给中专生编的教材其实也能帮助很多高中生的，真的）。另外国产教材，仅限微积分的话，印象中樊映川的《高等数学讲义》还不错。数学分析的话，推荐张筑生的《数学分析新讲》吧。（不过上面也说了，教材就是爬山的一条路，努力了还爬不动，可以换一本试试，别以此为借口换得太勤就行。）（偏个题，刚刚为了写这个答案，查了查樊映川何许人也，似乎也很有趣）樊映川()，原名樊盛芹，安徽舒城县桃溪镇人，现代数学教育家，1940年密歇根大学博士。1941年至1948年任国立河南大学教授，并先后兼任数理系主任、理学院院长等职。1954年由他主编的《高等数学讲义》（上、下册）出版。《讲义》内容取舍得当，系统周密，论证严谨，内容精炼，文字流畅，深受欢迎。截至1983年，累计印数上册达517.5万册，下册达448.4万册。该书先后获得全国优秀科技图书一等奖、全国高等院校优秀教材奖。他开创了理工科教材“中国化”的先河，堪称中国科技书籍出版史和中国高等教育史上的一座丰碑。最后，以上话题仅限于高数。这里并没有涉及线性代数或者概率论，“学不懂线性代数怎么办” “学不懂概率论怎么办”完全是一个可以开贴再讲的问题。其实要说教材很坑，国内很多线性代数的教材首当其冲，点到为止了。EDIT: 有朋友在评论里要求推荐教材，说实话脑子里比较空白。
的回答里好像经常有关于教材的推荐，主要针对数学系的，大家可以移步过去看一看。
感谢大家的留言，我终于意识到我为什么不满意自己这个答案了，就是因为失了“中正平和”这四个字。先不谈方法。大家总是在谈方法，我自己也总是喜欢谈方法。但是其实最残酷的回答就是：功夫没下够。大学数学比中学数学难，所以需要更多时间。如果生活中没有什么驱动，很容易就功夫没下够，从而感到难以理解。但是那些有足够需求驱动的朋友，很自然的不断的下功夫，不断的学、不断的想、不断的用，直到像呼吸一样简单，肯定就会觉得概念很自然了。“得一善，则拳拳服膺而弗失之矣。”方法总是能不断改进，但是手头有什么条件就用什么条件，不能说方法不完美就不往前走了，这才是正派武学的练法。一定要吃苦的。然后说方法。所谓学习的方法，就是几个选择的权衡：1. 到底学到什么程度算学会了。前几天在知乎看到一个答案，说学数学有两个误区。一个是已经学会了，然后不继续往后学，总在现在的思想上，拼命翻新技巧。另一个是学得不扎实，意味着想要往后学。前者常见于中学教育，后者常见于大学之上的教育。2. 理解还是背诵。定理到底要一路追根究底到可以称为公理的东西，还是记住就好。如果我讨厌死记硬背，到底要不要记忆呢？3. 看书重要还是做题重要。那么到底怎么选呢？一个基本原则是走极端一定是错的。像我第一次的回答，就过于强调理解和看书，忽略了做题和背诵，说的不客气就是哗众取宠。所以我越想越不舒服。后来补上的答案，强调另一端，看似平衡了。但没有把背后的道理说透。什么是背后的道理？只有两条。1、别走极端。2、小马过河，实事求是。不断的做，从现实中得到反馈，再改。如果目标是通过考试，那么，学到能通过就算学会了。如果不会做题，自己想想是忘了基本的定理，还是不会灵活运用。如果是忘了基础，按照自己的性格，想理解就理解，想硬记就硬记。理解不管用就硬记，硬记不管用就理解。如果是不会灵活运用，那就说明题目做的少或者做了题没有总结。如此而已。结合自己的性格、优势和最终的目标，怎么能哄着自己把功夫下够了，才是正理。稍微展开几句。知乎的答案，往往一个人一个角度，就算是最普通的角度还要包装一堆花里胡哨的东西（比如我的第一次回答）。别说数学了，就说怎么从知乎学习呢？其实也就是边思边学边做。君子务本，本立而道生。=============第二次更新分隔线===================一直想找时间修改这个答案，免得误导大家。我下面写的所有东西，都是说，在学习的过程中，除了抓住细节之外，要多想多看，建立大图景，把要学的东西和自己的知识体系挂上钩。这样才能知道为什么要学，学习的过程也会有趣一点。但是请不要觉得能看到大图景，就可以不用在乎细节了。不要觉得会吹牛，就不用做题了。这是因为我们的目标是学以致用，不是吹牛。同时，真正做够了题，你才能确保你看到的大图景是对的，而不是脑补。我说重一点，不做题，那就是民科！什么叫做掌握？对于大学生来说，学习一门课，如果不能严格遵循公式和定理，写满一张A4纸的推导过程，就不算掌握。怎么做到这种程度？认真的做题、认真的抠细节，必要的时候死记硬背，投入大量时间。这些该做的苦工，一样都少不了。原回答分隔线----------------------------------------------------------------------------------------------我不是数学专业的，只是一个像matrix67那样的数学爱好者。意见仅供参考。[理解的意义]很多同学谈到不用理解，我这里想介绍一种相反的方法，打桩法（彻底理解法）。我的记忆力很差，记不住任何不能理解的东西。所以，我一直坚持彻底理解。成果大概是：大学里面的一门数学课，在我脑子里差不多就是半页纸的概念。没有刻意去背，但是怎么也忘不掉。带着这半页纸，基本上可以把书重新写出来。同时，对于这些概念，我不是记住，而是有感情。真的有感情，因为数学从来不无聊。以线性代数为例。我看到了一个蔚为壮观的模式。首先，从物理的角度，这个世界上充满了线性变换、线性关系。微分是线性变换，这就是为什么线性代数可以用来解微分方程组。几何操作经常是线性变换，这就是为什么3d图形学经常用线性代数。物理中经常有线性关系，如牛顿定理、胡克定理、电阻上电压与电流的关系。为什么到处都是线性关系？因为物理中大量的概念都是可以叠加的，如电流、电压、重量、压力，两股电流输入，一股电流输出，则输出为输入之和。而为什么物理概念可以叠加？其本质是守恒性。为什么经常有比例关系？这个我没有好的答案，我只是虔诚的信仰这个世界是简单的，因为简单，所以美。其次，从使用的角度，只要你发现笔下的公式中包含了向量的线性组合、线性方程组、坐标变换、线性变换，不管它们是怎么来的，有没有物理意义你都可以迅速链接到线性代数这个强大的工具箱，大量使用矩阵、行列式、秩、特征向量等概念。最后，你使用线性代数的理论刷刷刷的往后推，得到一个结果。然后你往往可以享受最美妙的部分：理解结果的几何意义。这是因为线性代数链接上了几何。[什么是理解]所谓理解一个概念，就是把这个概念和已有概念建立联系。你对已有概念越熟悉，这个联系越强，你就会觉得自己越理解。楼主谈到中学的每个概念在脑子里都能画出来。这是一种最直观的理解，即把概念和生活体验建立关系。能在中学时代做到这点的同学，基本上都是好学生了。高等数学的麻烦在于：已有概念不是生活体验，而是另外一些数学概念。概念间的联系不是视觉联系，而是逻辑联系。所以，如果不能正确理解基础数学概念，后续概念也就没法理解了。同时，如果不牢牢地把握住逻辑，企图用直观来把握，就会觉得，书上说什么就是什么，我就记住把。反正我不理解。（我不是说直觉不重要，你可以从直觉出发，把这个直觉落实到严格证明，或者先看懂了严格证明，再反向去感觉直觉是什么。随着数学学习的深入，更多的直觉是来自于这后一条路。无论如何，如果忽略证明，只关心直觉，脑子就会乱成一锅粥）。我们现在以欧拉公式为例。首先，我们通过对实数域函数的分析，得到了e^x, cos(x), sin(x)的泰勒级数形式。然后，我们通过对复数域的分析，得出了i^2 = -1。然后，我们假设泰勒级数公式在复数域也成立。e^(iy)
=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....
=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)
+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)
由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,
siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....所以e^(iy) = (cosy+isiny)这个证明是不严格的，真正严格的证明方法需要重新定义复数域上的cosz和sinz函数。但是这个证明充分说明了什么叫数学意义上的理解，那就是一点直觉+一点证明。在复数域上最初我们只定义了加法和乘法。我们从直觉上甚至没法想象e^(iy)是什么，但是，既然大家都是数，我们直觉上认为（或者从美学的角度认为），如果实数域上的泰勒公式在复数域上也成立，那是很漂亮的。基于这个直觉，加上一点点证明，我们就知道怎么定义e^(iy)了。数学家们也是这样定义出高维空间中的超平面的，他们觉得超平面这样定义是美的，且与现有的平面性质吻合。不使用逻辑推导，我们根本看不到超平面。[打桩法]在介绍欧拉公式的证明的时候，我们其实已经初窥打桩法的门径了。也就是，想要理解未知概念（欧拉公式），首先找到自己认同的已知概念（实数域中的泰勒级数），然后建立两者间的联系。现在我系统的介绍一下怎么用打桩法来学习。一本书来了，找到你最有感觉的概念，学习之，即打下一棵桩。不一定非要按顺序读书。采取几个行动：看目录，找有感觉的桩。或者随机的翻开一页，读完，然后问自己这一大段到底想讲什么。既然作者不是笨蛋，他一定想讲些东西。打下几根桩后，你还可以问自己，我现在读的东西和现有的几根桩有什么关系？打桩没有任何约束。一本书上看什么都行，有图画就看看图画，有题目就看看题目。这都行。但凡能帮助你打桩产生感情的内容都可以读。但是桩打到一定程度，脑子里攒了一堆乱七八糟的直觉后，基本上整本书到处都是桩，到处都是你的卧底。这时候你就可以追逐严密性了。看清楚概念。然后看定理，其实概念的桩打牢了，大部分定理都能够自己证明出来。慢慢的就把这本书给啃了。为什么非要自己搞懂定理的证明？因为有的时候你以为你看懂了定理，但是你根本没看懂。逼着自己证明，你才会知道这个定理到底在讲什么。还有一个原因是：定理讲的是概念之间的联系，可以帮你复习概念的定义。同时如果你看不懂一个定理的证明，很可能是你对概念的内涵没有理清楚。很多时候概念的定义就那么几个字，但真是意味深远，一字不可更易。定理得证明不用背，你真的看懂了，就会发现好几个定理的证明其实是同一个技巧，而你自己会不知不觉地把技巧上升为一个概念。你根本就忘不掉这个概念。如果一个技巧只在一处用到，那说明它根本就不重要，干脆忘掉好了。一定要反复理清概念、定理之间的联系。读书的时候，很多概念、定理第一眼看过去觉得这不是显而易见的吗，然后就跳过去了。下一次又看到的时候，因为对于整本书的理解加深了，再看一遍，真有“于无声处听惊雷”的感觉，往往不起眼的一句话，串起好几个零散的概念。当然，有些内容如果一直到最后都孤零零的，和别的概念没什么关系，那很可能是这本书的重点不在这里，所以在这边的讨论很薄弱。干脆放弃也没关系。以我自己学习线性代数的过程为例，解释一下打桩法的心理变化：一、第一遍学的时候，我问自己“线性代数到底在鬼扯什么”？我回答不了。但是听说线性代数和解析几何有关系。我就去学了一本解析几何。有一半内容是中学已经学过的，所以还学得下去。学完了之后，发现书上好几处用到行列式，我就把行列式学了。二、解析几何讲坐标变换的时候，会讲过渡矩阵和矩阵乘法，所以我把线性代数的这两部分也学了。顺便理解了方阵可逆等价于对应的行列式不等于0。因为基于“行列式”和“矩阵”这两个概念，我能够理解“可逆”这个概念。矩阵的初等变换、秩什么的我不理解，所以算了。三、研究线性方程组。高斯消元法和中学学过的解方程很想，所以学了。然后我突然意识到高斯消元法就是矩阵的初等变换，也还是行列式的初等变换，所以基于“高斯消元法”和“行列式的初等变换”这两个我有感情的概念，把矩阵初等变换给学了。四、高斯消元法得出系数矩阵A的秩等于n的时候，线性方程组只有非零解。我对于线性方程组的求解还是有兴趣的，因为经常用到。既然有这么个定理，逼上梁山，把秩给学了吧。真学起来，才发现秩的性质是基于行列式这个我有感情的概念定义的，我自己认为秩其实就是行列式=0这个概念的一个推广。所以学起来轻松愉快。五、接下来是用向量空间的概念定义线性方程组的解结构。这个我以前觉得是吃饱了撑的，既然已经有了高斯消元法，问题都解决了，你还多此一举干什么。可是我学了解析几何啊，我现在知道向量空间就是空间、平面、支线这些概念了。所以我就觉得向量空间这个概念很酷阿。六、说句老实话，我觉得向量空间和向量组没有什么区别阿，光看定义根本不觉得封闭性是个多么了不起的概念。可是读完了线性方程组的解结构才知道，如果线性方程组的解结构不是一个向量空间，而是一个到处漏风的向量组，那么解结构就不能表达成向量的线性组合，一点都不漂亮。这就是为什么读定理真的可以加深对概念的理解，概念里面就是“封闭性”这三个字，到定理里面用起来才知道它其实是屠龙刀。七、我原来一直觉得“线性空间”和“向量空间”这两项内容简直是同义反复。我就问自己，为什么作者非要写两遍。后来结合解析几何，才意识到几何空间就是一个线性空间，几何空间坐标化了之后才是向量空间。而且学完线性代数后，重新去看解析几何的定理，简直焕然一新。当年辛辛苦苦证明的定理，现在就是一句话“我们一般理解的几何空间就是一个三维线性空间。”感觉爽透了。八、在学线性空间之前，我一直喜欢做标量运算，喜欢把矩阵拆成元素来玩。因为我对于矩阵的理解还是停留在线性方程组里面的一个个系数。但是线性运算等于矩阵这个定理一出来，我彻底的被震撼了。矩阵不是一个一个的元素，它就是它自己：线性运算。矩阵的意义，就是我们有了超能力，过去我们只能看一个个标量，现在我们可以把这一堆标量构成的矩阵看成一个整体，作为一个独立的单元来操作。然后就有了矩阵的相似对角化、正交对角化、SVD分解之类的东西。好吧，这几个东西就是我书上的最后两章，我一口气读完了。上面说的是一个极简版的历程，真实的心理历程，是几百个“为什么”、“胡扯”、“跳过去”、“这几个东西有什么关系”这样的问题串起来的，可是这样读完这本书后，所有的概念都活了，我看世界的眼光彻底变了。[打桩法的其他用途]其实打桩法不只可以用于数学，也可以用于任何书籍，包括文科类书籍和小说。读文科的书籍，经常读完了，只有一些印象深刻的地方留了下来。什么地方深刻？耸人听闻的地方深刻，符合自己原有观念的地方深刻。这样读还不如不读。因为你只是不断的在强化自己，或者记住一些耸人听闻（往往不对）的八卦。你的思想高度还是停留在原地。如果用打桩法追求彻底理解，读完之后，你就会知道：这本书的脉络是什么。可以怎么应用于生活中。哪些地方与我的生活体验一致，哪些地方相违背。哪里有逻辑，哪里没有逻辑。读完一本书，你的思想就直接被提升到接近作者的高度，这才是读书。此外，打桩法其实也是一个解题方法。我们解数学题的时候，这里试一下，不行，就换一种方法再试。最后的方法，往往是之前几个不成功的方法（桩）的组合。人生也是如此。理解人生没有捷径。做自己热爱的事情，认真地去做，有一天，你会发现Dots will be connected。那时候你才恍然大悟：哦，原来这就是我的人生。我的人生不是第一个点，也不是第二个点，而是所有这些连接起来的点。[扩展阅读] 学习数学，其实走到概念这一层并没有到头。你还可以问，为什么概念需要这样定义？其实是为了符合人的直觉和有用。数学家想着，我需要定义一个概念，这个概念需要具有什么样的性质（不需要证明，就像物理学家觉得这个世界应该是守恒的一样），因为只有这些性质会让我开心而且有用。你也可以尝试着自己定义概念，不过一定要有用、直观、优美，与现有理论能够有一定联系哦。此外，有的时候，经过一连串逻辑推理得到的结论，暂时没有直观的理解。就好像通过逻辑我们可以定义出高维空间中的平面、球，但是我们看不见。你是否敢相信逻辑的力量？定义概念与相信逻辑的力量，这两者在牛津通识读本的《数学》一书中讲的非常透彻，大家可以读读。看完这本书后，你就会意识到，当读完一本书后，你心中也就没有这本书了。因为这本书所讲的全部内容，都可以基于你自己的生活体验和逻辑完全推出来。数学从来都是一种壮观的模式，像崇山峻岭一样巍峨，像大海一样广阔，可是只有懂得它的人才能看见。欣赏美的最好方法是实实在在的去读数学书，但是为了给你鼓点劲，可以读读《数学的语言：化无形为可见》。
首先要明确，你是理工科而不是数学系。数学对你来说只是一个工具，而不是专业的本身。作为工具，你的主要目的是如何去使用它，而不是去研究如何去制作它。将思维脱离开数学本身，把精力放在如何使用工具上，这样会对你的专业更有帮助。如果你真的希望深入的了解数学（我就是无法接受大学前数学没低于90分的心理阴影才做的后面的选择），你可以去学学《数学分析》等数学专业的书和视频，虽然比高数更难，但看完后绝对有豁然开朗的感觉。最后说一句，不要去追求分数，因为那个是靠刷题刷出来的。
-----凌晨补充-----因为自己的能力和眼界的局限，很多东西没有办法真正说清道明，下面推荐这位真正的大神写的答案，请各位童鞋移步去看，定会有所收获。最后，再次谢过
，受教了。-----补充-----感谢童鞋们的点赞和热情讨论，短短几天时间已经有了1.4K+赞，分享的链接被保存+下载了千次以上，我觉得这个答案的火爆是可喜的，说明大家都对目前这个现状有了更清晰地认识，尤其是那些还在为梦想坚持的童鞋、更年轻的孩子们和未来孩子的家长。看到评论区里有童鞋询问中文版的情况，抱歉的说这两本书都是没有中文版的，不过如果真心要想钻研的话，英文是一个避不开的话题，其实我自己的经验就是阅读数学&机器学习相关的英文资料并不困难，首先是专业术语用来用去就那么几个，其次是电脑上可以用有道词典、金山词霸划词翻译，在pad上推荐用多看阅读，里面有内置的划词翻译功能，都很方便，慢慢养成英文阅读习惯了这一切都不再是阻碍。另外就是我的一些小心思了，现在正在生啃矩阵论，凸优化，求路过的熟悉机器学习理论的大神可以加我文末的微信，或者私信我也行。还有就是托福、GRE的大神们，求指导，求指导~~好了，再次谢过大家的热情点赞和讨论，鞠躬下台~~-----原文-----开篇 致我们那些不知被谁践踏了的葱茏岁月，和被谁蒙蔽了的数学真知。读了《Calculus With Analytic Geometry》GEORGE F. SIMMONS 2nd edition，《introduction to linear algebra》GILBERT STRANG Fourth Edition，我有时会有一种错觉，我们当年使用的同济《高等数学》、《线性代数》等国内教材是不是一种恶，而且是罪大恶极？以下文字仅代表个人不成熟的观点，我不需要你相信我或者批判我，我只是想告诉你，哦，真的还有人在这样想，而已。另外，我只是希望能够让大家尤其是初入大学的同学们知道原来高等数学在除出课本上的面目可憎之外，还能被另一种语言描绘成梦幻般的星辰大海。下面我就先用《Calculus With Analytic Geometry》2nd edition（以下简称为《CWAG》）与同济《高等数学》第六版上册做一个小比较。自然对数e的发现绝对在数学史上占有重要的意义，数学中很多重要的函数（高斯概率密度函数等）、美丽的公式（欧拉公式等），甚至是整个数学支脉（复分析等），都和它有着密不可分的联系。e的引出与指数函数的求导有着密不可分的关系，因此微积分（求导）部分对e这样一个重要的超越数的介绍应该是负有不可推卸的责任。“同济“版，在54-55页引出了e，总共花了10来行，大意是："可以证明，的极限存在且等于e,这个e是无理数，它的值为2.718...,第一节提到的指数函数y=e^x与y=In x的底就是这个常数"，over。对初学者而言，数学教育最忌讳的是“莫名其妙”的给出定义、结论，当然这么做并不是在数学逻辑上有什么错误，而是对学生缺乏最基本的人性上的关怀。将这个极限强行定义为e并没有任何在数学逻辑上值得指摘的地方，无中生有般地生硬地说下面我们讨论另一个重要极限（同济53页）也精准地没有任何错误，但是怎么不告诉我们，你们是为什么会有事没事地去研究这样一个极限，即使告诉我，你们是昨天去偷看寡妇洗澡被枣子砸到顿悟也行，你说是不？况且数学先驱们研究是真的有上下文的，有非常明确和有意义的原因的，事实上这个公式得到的背景很美，e也很美，它是上帝的杰作，它的发现远远不是同济教材中那样”正确而无用“地出现，事实上它可以来自对“对指数函数求导的过程”，它也来自一个朴素的想法，有没有一个（指数）函数，恰好它的值等于它的增长速度（）,《CWAG》花了一个大章节（8 exponential and logarithm functions）讲了指数函数和对数函数的求导，其中8.3节的标题是“the number e and the function y=e^x”，“以e为名”，不仅是对e这样一个伟大常数的敬畏之情，也是希望借此薪火传承人类如何花费千年体悟这个上帝设计的常数的心路历程，让后来者一样在仰望星空的时候心存感激，此节开篇是这么写的：The number e is often defined by the limit .This definition has the advantage of brevity but the serious disadvantage of shedding no light whatever on the significance of this crucial number. We prefer to define e differently, in a manner that reveals as clearly as possible why this number is so important. 翻译：e这个数字可以用极限来定义。这样的定义的好处是简洁，但是严重的坏处（serious disadvantage）在于无论怎么看也没有“点亮”（shedding no light）这个如此关键的数字的重要性（the significance of this crucial number）【此句对同济书实力打脸】。我们倾向于用另一种方法定义e，用一种竭尽可能揭示（reveals as clearly as possible）为什么这个数字如此重要的方法。reveals as clearly as possible，情怀如斯，感动如斯，我想写到此处，都不需要我声嘶力竭的去证明同济的写法如何不堪，写《CWAG》的教授们在“以e为名”的这一节开宗明义地替我们都说了，不经意间地都替我们说了。同济的教材（或者说国内大部分类似的教材）和《CWAG》最大的区别在于，前者只追求自己的精确和逻辑的无懈可击，不顾初学者和学生的观感和死活；后者，总是让我透过书页依稀看到这些文字的背后有一个白发苍苍的老教授用一双期冀的眼神看着我，指着身后浩渺的星空喃楠“希望我苍白的语言可以让年轻的你们窥见了数学世界的一丝璀璨星光”，然后他顿了一顿，“有时我宁愿亵渎数学的严谨，用直觉和图像，恨不得穷尽我的一切表达方式来告诉你，你看到的那些公式和结论的之所以美妙”。好了情怀完了，继续回来面对现实，再说说其他同济等国内书的糟糕情况。同济书非常喜欢罗列结论，譬如在“导数求导法则”这一节里三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数、多项式函数悉数登场。而反观《CWAG》在讨论导数法则时更多地只是存粹的使用多项式函数，把目光聚焦到“导数法则”一个点本身，而不要被各种奇奇怪怪的特殊函数的导数分散精神。直到前七章把导数微分积分的概念解释透彻、万事具备之后，才在第8章用一大章的篇幅说清指数对数函数（包括自然对数e），用第9章说清楚三角函数。也就是说好的书譬如《CWAG》非常忌讳颠倒逻辑去在前面的章节使用后面的符号、公式、结论，宁可使前面的陈述起来显得那么不方便、那么不完整，而一旦涉及一个新的概念，动不动就独立成章节，务必把它说透道清。而不好的例子诸如同济高数，没有任何自我约束的随意在前面章节透支后面的符号、结论，而真正需要在此处说事的时候又蜻蜓点水（比如e的故事）。线性代数方面的感触就更是深刻了，篇幅原因我不先不多说了，有兴趣同学可以看我之前的一个回答，里面大篇幅的说了一件事情，线性代数的设定真的不是像国内那些垃圾教材里面描述的好像一只孙猴子一样，像直接从石头缝里蹦出来的啊！以下内容是我作为一个受迫害妄想狂的自述：我从2009.09开始进入一个国内据说还是“很不错”的211大学计算机学院，高数教材就是同济第六版《高等数学》，线性代数也是国内教材的某个版本，第一学期我线性代数得了99分，高等数学得了96分，不是如您想象的我有多么值得炫耀，多么春风得意，而是陷入了某种撕裂般的困惑：一方面书本以及老师的课堂，以及自己的努力，让自己在解题和考试上势如破竹，觉得自己好像已经很好地掌握了高数和线代，而另一方面我对我使用的结论、公式、计算方法产生了根本性地怀疑，书上的那些结论来自哪里，又要去往何处，我天天用它们答对题目获得成绩，但是为什么偏偏我对它们本身又是如此的陌生，我似乎仍然是一个什么也不懂的人。这种撕裂的感觉伴随了大一整整一年，我想如果当年有知乎我也会来问“无法理解高等数学怎么办”，讽刺的是我还会备注上，哦，今年期末我高数差点满分了。之后，因为整个往下走的数学体系是建立在线性代数和微积分之上的，我想我也不用再赘述我的状况了，只是说我不再想“认真学数学”了，因为我觉得我再努力，无非得到的是高分带给我的撕裂感，这种撕裂的痛超过了无知的罪恶感，我彻底累了，还不如多写几行代码（我是学计算机的）。我们大学的数学体系把处在精力最充沛的年龄阶段的那么一群充满好奇心和求知欲的读书种子，放在这样一种恶劣的生长环境之下，听之任之，生死由命，而且这个事情在全国的范围发生着，并在继续发生着。韶华易逝，镜头一下子切到5、6年之后的，因为工作的原因逐步进入了数据（机器学习）行业，互联网信息的井喷，以及个人视野的逐步打开，我又逐步重新邂逅了换上英文马甲的线性代数，高等数学。惊为天人后，终于后知后觉的知道了“无法理解高等数学怎么办”的答案，遂辞职回家，潜心学习，希望有朝一日可以去到北美读上一个phd，了却年轻时未遂的心愿。这一年就是今年2016，我26了，自黑一句老当益壮，干一斤雾霾下肚，化成三分酒气，十分傻气，继续走19岁那年被耽误的旅程，7年的流年岁月，换一个迟到的醒悟。关于希望与未来前文估计大家也看的很压抑，那么我想说说我认为的“路在何方”。第一，对于个人来说，短期的解决方法就是寻找合适的诚意满满的国外数学教材。这个换不来考研多得几分，但是为你未来的留学、工作和研究打下了坚实的基础，少走很多年的弯路。第二，这个时代需要大师或者说数学的布道者，数学思想的自由和表达不受时局、国事的拘束，这里的自由是真正的自由，这里的大师是真正的大师。这些大师当然不是写《考研通关秘籍》之类的（虽然这个算是当前比较畅销的数学书了吧，讽刺如是），而是能够写出真的充满诚意的教材的大师，教材的好坏影响到的是成千上万的年轻学子，真正的大师非常知道这一点，因此就会像《CWAG》的作者文中所写一样“reveals as clearly as possible”，因为你的表述上的一点进步，影响到的千千万万学子的成长体验，未来和前途。从这一点上来说，我在文初说“同济”等国内教材为“恶”，并不为过吧。第三，我希望所有年轻学子不要重蹈我的覆辙，现在网络已经足够发达，我希望类似我的观点可以被那些年轻的孩子看到，我不是希望他们完全认同我，而是不要太去依赖唯一的教材，这些教材并不神圣，就像百度的搜索结果也并不权威一样，它们有可能都会“作恶”的。资料推荐《Calculus With Analytic Geometry》GEORGE F. SIMMONS 2nd edition链接：《introduction to linear algebra》GILBERT STRANG Fourth Edition链接：关于我我的微信号mubing_s，我在纠结如何出国读书的事情，希望有经验的大神可以指导我。我平日里如果某一块知识点（面）想清楚了，一遍会用白纸黑字写下来记录备忘，有机器学习 & 数学方面的，希望各位在数学和机器学习方面有研究的大神们可以加我。最后我有一愿吧：愿大庇天下寒士俱欢颜。
---------------------------------------------为什么看不懂大学数学------------------------------------------------因为中国的教材太差。一个国家的教学水平，整体反应在教材的水平上；一个大学的教学水平，也反应在教材水平上。全国除顶尖985学校之外，其余学校的数学水平都很不理想，绝大多数学校的数学课程都是直接从苏联数学继承过来的，三十年几乎没有任何改变，实在太差了。看了美国的教材，终于明白为什么国内学生考研数学平均分不及格，不是题目太难，而是教材太差，真的太差。可以说国内985比211好了一点点，但是常青藤系列比国内985好了一个几何量。同济版《高数》、浙大《概率统计》、同济《线代》这三套经典教材其实存在着巨大不足。他们表面听起来很高大，实际上继承了苏联空洞抽象的模式，以至于内容设置非常不合理，如果是属于应用型的《微积分》，国内的《高数》明显偏难，而且联系实际的题目太少；但是如果属于分析型的《微积分》，那内容又略显得简单和臃肿。以至于绝大部分学生毕业后基本完全忘记《高数》到底是什么，我不是说学生不认真学习或者老师差，而是教材，教材，教材，真的太差了。实际上，同济的《高数》是很抽象的，从目录来看，似乎完整的覆盖了整个《CALCULUS》体系,但是在许多关键点上，同济的编者并没有用心处理，或者说，至少没有从学生的角度去思考。可以说一切知识都是：“点到为止，宽而不精”。全书语言都过于机械数字化，当然内容都是正确的，也没有重大的错误，但正是这种”中庸精神“，少了一份灵气，少了一份让学生加深理解的辅助材料。要复制公式谁不会？但是往往是在公式之外的地方，在书本留白的边缘，在最细节的地方，最难的地方，最抽象的地方，才能看出一个作者的功力是否深厚，学问是否到家。“举重若轻”，是对一个学者的最高的赞誉和评价，可惜国内教材和教授们在这个方面，还有很长的路要走呢。同济《高数》用很准确的语言把极限定义摆出来，但是没有说明这个定义，因此很多学生都看不懂。而在英语教材中，原作者用了一段很简单的语言和几幅图片，将极限进行了解释。因为极限这个概念在牛顿---莱布尼茨的时代还没有出现， 是经过无数数学家很久的研究才确定我们今天看到的D-E定义。因此美版教材普遍都不要求“证明”，只要求“会用”。同济版《高数》中，对于双曲正余弦函数，只有寥寥几页纸，并且还带了一个星号，给人一种“欲练此功，必先自宫”的恐惧。而美版教材用图片告诉你：其实就是E^X函数跟它的反函数进行线性组合得到的。正因为这个特点，对它们的求导/求积就非常简单，后期学习概率论的时候就能感受到E^X函数的美学了。国内教材总是直接叫学生套用某某公式解题目，而忽略了公式之外的逻辑理解和推到能力，美版教材就基本相反，注重培养自我推论和归纳能力，而降低对公式的依耐性。这是两种不同教育理念的冲突，国内教材就像【授人与鱼】，美版教材就像【授人与渔】。同济《高数》几乎没有实例，完全是为了证明而证明，为了计算而计算。而美版教材从实际例子引导你思考，比如博尔特在一次110米栏比赛中，总用时12秒，那么问你，他在4.5秒的时候，具体的瞬间速度是多少？从而引申出“微分”。等学完了微分，教材又问，同样前提条件下，博尔特在8.5秒的时候，已经跑了多少米？从而引申出了“积分”。最后教材就会问，有什么方式把上面两个不相干的问题联系起来，从而引申出微积分基本公式。不要小看这一个看似简单的问题，这个问题的本质跟设计航天飞机的本质并没有任何不同，掌握这个问题的解答，也就攻克了人造卫星发射升空最困难的部分。到这里，微积分的核心思想你就完全掌握了：《微分学》研究“瞬间”、“相关变化率”的问题；而“积分学”研究“不规则运动导致的结果”的问题。《微积分》集合在一起，就是研究【变量】的问题。多元微积分，顾名思义，就是多个变量情况下的问题，但是在研究时，我们有意识地将另一个变量【临时地】视为常数，这样就将多元微积分问题简化成了一元微积分问题，其余地计算就完全一致了。同济的《线性代数》、《概率统计》整本教材也如此，十分抽象和理论化，缺少很重要的PREFACE，让学生在学习之前能对本学科有一个FRAMEWORK上的把握和掌控，基本上看完了也不知所云。美版教材无论如何都会有这些东西，并且开篇就告诉你《线代》的研究对象是“向量”，并不是所谓的“矩阵”或者“行列式”或者“特征值”，等等。如果是一维的，那就是两个向量共线；二维的，那就是两个向量形成围成一个四边形；三维的，那就是三个向量形成一个体积；四维以上的，照样是体积，但是一般不讨论。而所有的“行列式”、“矩阵”、“秩”、等等名词，都是围绕向量展开的运算，仅此而已。美版的《概率与统计》对一维的变量分布进行了非常细致的教学，五种离散随机变量，五种连续随机变量，及其相关的期望和方差，几乎占据了一半的教材内容，并附带有非常丰富的例题。而对于更加复杂的二维随机变量，及其期望和协方差，教材反而用了较少的版面，因为二维不过是两个一维变量围成的一个面积而已，其他并不明显差异，只要先扎扎实实学好一维的，二维的就很简单。其实越是学到后面，越会发现“向量”的重要性，它即出现在《线代》，也出现在《概率》，更出现在《高等微积分》中，可以说“向量”，是连接“可感知世界”与“不可感知世界”的桥梁，是数学的“核武器”。看完美国教材只有一个感受：真正好的教育是将复杂的东西简化，强化基础概念和实际应用，弱化具体计算和逻辑证明，最终让普通学生也可掌握相对深奥的理论知识，并迅速转入实际应用。国内的教育正好相反：强化具体计算和逻辑证明，却弱化了基础概念和实际应用，最终生产了许多解题高手，但他们完全不懂这些数学“有什么用？”。------------------------------------------------教材推荐---------------------------------------------------以下教材是全英文的，对英语有较高的要求。当然，优秀的教材有很多，我只列举自己看过，并且给予好评的三本基础教材。他们难度适中，编写合理，循循渐进，很适合基础较差的经管类、或者理工科的大学生。如果是初学者，请一定按照“微积分---概率论---线性代数”的流程来学习，因为“求导/求积”的运算是后期概率运算的基础。但是在《概率统计》和《线代》中，后面几章难度非常大，并且跟其他学科联系较少，所以一般学生看看即可，不需深入。由于《微积分》彻底催化了物理学和化学，因此顺带推荐三套优秀的理科教材。如果把《微积分》学好，再去学物理学或者化学，那几乎是摧枯拉朽、风卷残云一般的容易。同时推荐一套相对来说比较“偏门的”书，是因为这些书虽然对考试没用，但是对于理解本学科，具有巨大的意义。对于特别重要的核心内容有深刻的解释，从时间轨迹来说明科学家是如何把生活中的“现象”，高度提炼成为具体的“公式”，并用这些公式来改变了整个世界。推荐给有志于深入学习的学生看一看，虽然数字论证比较晦涩，但是可以不看数学证明，仅看发展过程，当作小说读一遍也会受益匪浅。------------------------------------------视频公开课推荐-------------------------------------------总所周知，国内在线数学视频太少，民间培训机构的费用又太贵，而且上课的老师基本都是本科毕业不久的年轻人，他们自己理论水平尚且不足，如何教学生？我在YOUTUBE发现了很多非常优秀的视频，特地共享出来。而国内的公开课没有推荐，是因为他们确实略显粗糙，教授的教学思路还是老一套，没有任何创新的思想，有的甚至完全照着PPT念了一通。最后看了不同的老师和学校，有可汗、中国慕课、网易公开课、MIT等等，经过了仔细的对比和考虑，给大家推荐了几个课程。相信这些视频能够对你们的学习起到一定的启蒙引导作用，也相信你们在学习知识的同时，更能感受到这几位优秀教授的人格魅力，同时也思考“为什么这么简单的知识点，国内教授和教材就是说不清楚？”。每一份视频都是自己下载再上传，小生很用心对待这这事，也希望你们用心对待这份资料。郑重感谢四位教授无私的、认真的讲解和指导，使大家在天朝这种恶心的教育制度下能享受高质量的免费教育。全部为个人原创，欢迎在不修改的前提下进行署名转载，鼓励免费传播。链接失效。。。无语----------------------------------------------最后的话----------------------------------------------------这么多点赞，确实让我很感动，但更多的是压力。由于能力有限，小生不可能几句话就总结大学数学，不可能让你们短期内成为学霸，因为《大学数学》作为一门高度完整严谨的学科，终究要靠埋头苦读和日夜刷题才能学到真功夫。小生衷心地希望这篇短文能改变你们对数学的偏见和仇恨，为你们提供一个可以前进的方向，让高数不再那么高不可攀，让所有人都感受到数学之艺术和威力。倘若将学习比作练武的话，那么教材就是练功秘籍，老师就是练功师傅。优秀的秘籍和师傅能让你事半功倍、文武双全，而劣质的秘籍和师傅则让你走火入魔、身败名裂。好了，写到这也差不多了。秘籍已经给你们提供在上面，但路始终在自己脚下，最终修炼成为丐帮帮主，亦或星宿老仙，就看各位自己了。英雄们，再会。
从高中到大学，思维方式变化最大的就是数学，因为你第一次接触真正有别于加减乘除运算的东西。我的感觉是，如果你真正接纳了那些的思维方式，那么高数也可以非常图像化。具体怎么图像，还是要具体问题具体分析。所谓接纳那些思维方式，就是要通过一些已经熟知的东西去理解那些新的概念是怎么来的。你可以通过读数学史，或者有些教材也会提供，或者简单的可以通过自己思考。思考这些的目的就是让这个新的概念和相关的思维方式真正扎根于你的大脑，做到可以随时调用。比如你最后举的那个例子，要理解e^iπ怎么来的，你得先接受“解析沿拓”的思想，就是用级数来定义一个函数，并且把级数的定义域在复平面上尽可能扩展。相似地，你要理解为什么所有正整数求和可以等于－1/12。开始的时候，你不需要知道里面细节，重要的是你接受这个思路，认为这种思路是“可行的”，进而认为它是“自然的”。你可以思考，如果不用级数来定义一个函数，还有什么别的方法吗？为了做到这一点，你应该从熟悉而简单的开始，你知道怎么定义一个数的正整数次方，那是通过乘法来定义的；接着定义非正整数次乘方，那是通过扩展a^x * a^y = a^(x+y)这个规律得来的；接着定义分数次乘方，那是通过扩展(a^x)^y = a^(x*y)这个规律得来的；那么既然有理数次乘方都可以定义，为什么无理数不行呢？因为任何无理数都是有理数数列的极限啊（所以这里你又需要接受极限的概念和思维方式），于是你通过极限定义了实数次乘方。确实这么定义了，可是具体计算的时候难道每次得找一个有理数数列？于是你发现，级数是很容易扩展到实数域的（因为级数里的运算都是加减乘除，都是在实数域有良好定义的），如果你把诸如乘方运算写成级数，那么级数的极限就是乘方运算的极限，所以无理数次的乘方运算就变成了自变量为无理数的级数，这两种思路是等价的，而级数更是有了可计算性。这个时候，你应该要接受用级数定义指数函数这种思路，虽然它比起“极限”来说并不直观，但因为它们是等价的，所以你必须承认它（数学需要直观，但是它的内在逻辑并不一定是直观的，这取决于人的认知水平）。在这个过程中，前几次拓展你都已经完全接受以至于不会去想它是怎么来的了，而事实上它们和最初的定义已经有了相当的拓展，只是你也许没有注意到；但是拓展到级数这一次你也许会犯迷糊，所以在最后一步——拓展到复数域的时候，你就完全lost了，因为这次已经丧失了“取极限”这个动机（复数不是实数数列的极限，因为实数是完备的，这也是你思维上需要可以快速反应出来的一个事实哦，如果做不到，那就说明你对于实数这个概念的思考方式还没有跟上），单纯的依赖级数来定义函数，你可能会觉得莫名奇妙，在这个拓展的链条里面，有的步骤你没有完全接受就跳过了，那就是“依赖级数”的“合法性”和“必要性”，以至于后面的拓展你会更加confused。你也许还会涉及到矩阵次方，即a^M，M是个矩阵，同样通过级数定义，你还是会晕。如果你接受了这样一个通过级数来拓展定义域的思维，事实上不用你去验证这个复级数算出来是多少（你也可以试一试，这个例子不难，很容易得到欧拉公式），你就很容易接受e^iπ=-1这样一个事实，或者正整数求和＝－1/12这样的事实，你知道，这没什么大不了的，只不过你还没去证明，既然大家都承认，肯定是有大神证明过的，我就可以放心的使用。到了这个境界就够了，对于非数学系专业的人，高数能够学到这种程度，即你可以对其结论抱有自然的接纳态度，那么你就已经可以很顺畅地学习高数了。（数学系的要求会很不一样，但我觉得对于入门者这样也够了）再给你举个例子，矩阵乘法、矩阵行列式、矩阵相似变换。这几个是线性代数里的核心概念，但是很多高数学的不好的，只会背定义被推倒背公式；重要的其实是你的思维怎样从你熟知的地方怎样一步一步进入线性代数的思维，只有做好了这一步，才能真正学得得心应手。我看过一篇曾经很火的文章，里面有提到线性代数这些概念的理解问题（当然还有很多别的，都还挺值得看）里面把这些基本概念和你学之前熟知的东西联系地很不错，是大部分教材都疏漏了的一块重要知识。
推荐下北大的《数学分析新讲》吧一切不从实数系，极限开始讲的高数都是耍流氓（比如某同济高数，极限讲了几页纸，能理解才怪了。）
不用担心，题主，绝对不是你的智商问题细读你的问题，你只是无法再将一些公式用比较具象的画面在脑海中呈现，不是因为你到了极限，而是你没有过经验。这也是我们所有人都没有的经验。你能将x+y=1想象成直线，是因为你有直线这个概念，而老师告诉你这方程表示直线，而三维空间里你也有看过类似直线的东西，比如地板的一条水泥缝，所以你能够想象它。而对于X+Y+Z+W+K+E=1你能说出它是什么图形吗？显然你不能，但其实它仅仅是x+y=1向更高维度的推广，它在那个维度下和二维中的直线、三维中的平面有着同等的地位。对于生活在三维空间（此处我们就粗糙点，不再引入日常经验未能感知的维度）、四维时空的你我，要怎么去想象更高维度的图形？你所说的不能理解其实仅仅是不能数形结合地理解，你能够看懂定理的证明，其实就相当于理解了这个定理为什么是合理的，而合理的东西尽管拿去用就是了。数学系还有一门课就叫抽象代数，如果有人能具象化什么是理想什么是整环什么是域，那请尽快联系NASA。
同意这位老师部分观点。想想自己大学花在数学上的时间确实太少了。。。上学期概率论考得好挫。。微积分虽然考得看起来还行，但自己学到了多少心知肚明，显然是没有融会贯通的。 想起那句话，以大部分人的努力程度，还远未到比拼智商和天赋的那一步。而就我个人而言，就我自己的努力程度，的确还没到怪教材的那一步。。惭愧惭愧。。看了许多知友的答案后，很有兴趣硬着头皮看看美帝的教材——因为自己平时学习时也是个问题少年，思维比较发散，喜欢多问几个为什么= =
而国内有些教材貌似的确对于“为什么要这样证明？如何想到这个方法的？”这类问题叙述偏少，而这种思维个人感觉在数学学习中蛮重要的，当然，这也要多自己在练习中揣摩。另，看到
答案评论区这位知友的言论后，感觉有点嗯。。问题来了：1.教材是拿来干嘛的？ 这个问题最后说。2.人看不懂书的原因？
感觉主客观因素都得有吧。如知识储备，理解能力，花的时间，教材对不对自己的口味，看书的心情等等。。3.然后是这个非常有趣的观点：“人阅读的快感来自于信息量，没快感的事谁也做不来”，请问这位知友是如何于实践中得出的这样的真知灼见的？嗯。。抛开对于每个人不同快感的定义，以及这个观点表述的绝对性而言——就我个人浅薄的阅历的来说，个人觉得无论哪本数学教材，阅读单位篇幅所带来的信息量都比其他一般的读物都大得多的多的多呀！照这句话的逻辑，那些爱好看YY网文放松消遣的朋友，应该都来看高数教材咯~ 这信息量啧啧，那还不得爽翻啊！！好的回到第一个问题：教材干嘛使得？个人以为大部分教材不是详细的面面俱到的工具说明书，也许叫参考书更贴切？就跟大学课堂一样，尤其凸显了那句老话：师傅引进门，修行在个人嘛。一本教材不也就是某一位或者某一个团队的老师编出来的嘛。挺赞同@。。咦好吧人家匿名回答的，某知友的这段话，他评论了下 的答案，顺便自己表达了观点。链接：来源：知乎原回答：“我是觉得，教材作为一种特殊的专业书籍，必然也应该带有作者自己的风格。不同作者处理同样内容时有不同的考虑，有些作者喜欢非常简洁直接地定义、定理、应用，也有的作者喜欢苦口婆心解释动机。有的作者喜欢从具体的例子计算出发，也有的喜欢从抽象概念出发。不同的人适合不同的风格。可以说不喜欢或者不接受，但是直接说教材写的都是垃圾，未免过于激进。1.这句评论“未免过于激进”——个人觉得其实没啥。。。感觉讨论这类问题，简单地做一个价值判断，人家说是垃圾意思就是个人觉得很不喜欢呗，就像这位知友自己说的，不同人风格不同嘛。貌似没必要强求每个人在表达好恶时都时时深谙中庸，拥有一套完美的辩证唯物主义三观？好吧。。有点跑题了== 原回答：“对于高等数学的学习，这是一个构建网络状的知识体系的过程，教材能做的只可能是搭建一条主线，融会贯通必然需要自己反复理解、体会，不可能让教材把事情都做完。”2. 这句观点，个人很是赞同，一句话：不必强求一本教材面面俱到。还是自己个性化操作靠谱些。（1）现在网络啥的资源丰富，实在不行多找几本教材呗，对比着摸索下。（2）多花些时间——像我吧有时确实莫名自觉比较机智，翻翻书，应付考试问题不大，然后就懒了，然后呢即便考试考得好，也知道自己没学到啥真本事，陷入一种对自己呵呵的状态。。。对于 老师的勤奋真心挺佩服，愈加发觉勤奋也是一种能力啊。扯完了。上面这些字没有任何不友善的意思哈，就事论事罢了，嗯其实大都可以说是聊以自慰，。。。好吧，还是少自慰！要自勉啊！行动啊！年轻人！
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