高数导数公式中值定理 求f(x)导数=0在（0.3）上有多少个实根

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第四章 中值定理、导数的应用_百度文库
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第四章 中值定理、导数的应用|
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高数 微分中值定理设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=0,f(1)=1/2,f'(1/2)=0,求证存在€属于（0,1）,使得|f'''(€)|>=12
将f(0)和f(1)在x=0.5做Taylor展式即可.0=f(0)=f(0.5)+0.5f‘’(0.5)*(0.5)^2-f'''(c)/48；0.5=f(1)=f(0.5)+0.5f''(0.5)*(0.5)^2+f'''(d)/48;两式相减,化简取绝对值得24=12.故结论成立.大学数学求证题,用柯西中值定理设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0,证明：f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!,其中β∈(0,1)_百度作业帮
大学数学求证题,用柯西中值定理设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0,证明：f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!,其中β∈(0,1)
∵β∈(0,1)∴βx∈(0,x)又∵f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0根据柯西中值定理,有f（x）/x^n＝［f（x）－f（0）］/（x^n－0^n）＝f '（βx）/nβ^(n-1)又根据柯西中值定理,有[f '（βx）－f '（0）］/[nβ^(n-1)－n*0^(n-1)]＝f ''（βx）/n(n-1)β^(n-2)再根据柯西中值定理,有[f ''（βx）－f ''（0）］/[n(n-1)β^(n-2)－n(n-1)*0^(n-2)]＝f '''（βx）/n(n-1)(n-2)β^(n-3)......日复一日,年复一年,如此这般,这般如此,周而复始之后……便可得到：f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!微信号：kckaoyan
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2014年数学：高数各章节复习指导与基本公式
　　第三章：中值定理与导数的应用
　　学习要求：
　　1.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理与泰勒(Taylor)中值定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理
　　2.找我用洛必达(L'Hospital)法则求未定式极限的方法。
　　3.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及简单应用。
　　4.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
　　5.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
　　中值定理与导数的应用的基本公式与定理
　　1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点&(a&&
　　2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点&(a&&
　　3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F&(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点&，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f&(&)/F&(&)成立。
　　4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、&/&、0&&、&-&、00、1&、& 0等形式。
　　5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f&(x)&0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f&(x)&0，那么函数f(x)在[a，b]上单调减少。
　　如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f&(x)=0的根及f&(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f&(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
　　6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
　　在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。
　　定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f&(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f&(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f&(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f&(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f&(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时，f&(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f&(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。
　　定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f&(x0)=0，f&&(x0)&0那么：(1)当f&&(x0)&0时，函数f(x)在x0处取得极大值;(2)当f&&(x0)&0时，函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
　　7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]&[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)/2]&[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
　　定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f&&(x)&0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的;(2)若在(a，b)内f&&(x)&0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凸的。
　　判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f&&(x);(2)令f&&(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f&&(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f&&(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。
　　在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
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