高中数学不等式公式基本不等式 设a=(2^x+3^x)/2,b=6^(x/2),c=根号((4^x+9^x)/2),且x不等于0,比较a,b,c的大小 - 教科目录网 - 文学艺术的天堂,欢迎你的光临!
高中数学不等式公式基本不等式 设a=(2^x+3^x)/2,b=6^(x/2),c=根号((4^x+9^x)/2),且x不等于0,比较a,b,c的大小
如果关于x的不等式a≤5/9x^2-10/3x+6≤b的解集是[x1,x2]∪[x3,x4]（x1&x2&x3&x4）则x1+x2+x3+x4=_百度知道
如果关于x的不等式a≤5/9x^2-10/3x+6≤b的解集是[x1,x2]∪[x3,x4]（x1&x2&x3&x4）则x1+x2+x3+x4=
所以x2,x3是方程5/9x^2-10/3x+6-a=0的两根 由韦达定理 x2+x3=6x1,x4是方程5/9x^2-10/3x+6-b=0的两根 由韦达定理 x1+x4=6所以x1+x2+x3+x4=12
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12解题过程：先将中间的2项式配方得到：（根号5/3 * x -根号5）^2+1；画出函数图象，是一个以（3，1）坐标为底部的一个二次函数，而上述不等式有解集，说明a,b存在能使得该不等式成立，所以可以在该函数图象上的Y轴任意取2点，当做a,b，观察图象可以发现，a,b 2点与图象的交点的X的值都是关于x=3这条直线对称的，所以可以得到x1+x4=3*2=6，x2+x3=3*2=6，所以可以得到最终答案：12. PS：楼上做法是将a，b的值取成1，是在Y轴上取值的一种特殊的情况，当然也是可以的
其实很简单，x1、x4 对称 ， x2、x3对称 ， 则 x1+x2+x3+x4 为4倍 对称轴的值 ，对称轴为 -b/a2, 则结果为12
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出门在外也不愁设A,B是y=若y 根号x 20053*x+2/(x+1... - 叫阿莫西中心 - 中国网络使得骄傲马戏中心！
设A,B是y=若y 根号x 20053*x+2/(x+1...
函数y=根号下（x+2)(3-x)的定义域为A,函数y=lg(k^2+4x+k+3)的定义域为B，当B真包含A时，求k的范围
函数y=根号下（x+2)(3-x)的定义域为A,函数y=lg(k^2+4x+k+3)的定义域为B，当B嫃包含A时，求k的范围
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当前分类官方群讨论、解答、交流电脑数码相关的疑难问题已知x,y满足y&=x,x+2y&=4.y&=-2,(x+1)^2+(y-1)^2=r^2(r&0).则r嘚最小值为？A9/5 B2 C3 D根号2_百度知道
已知x,y满足y&=x,x+2y&=4.y&=-2,(x+1)^2+(y-1)^2=r^2(r&0).则r的最小徝为？A9/5 B2 C3 D根号2
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作图由y&=x,x+2y&=4.y&=-2围成的三角形中，到圆心(-1,1)距离最短的点即为r的最小值所以r的最尛值=圆心到直线y=x的距离=I-1-1I/√(1+1)=√2选D希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O
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出门在外也不愁设x,y∈R,a＞1,b＞1,若a^x=b^y=3,a+b=2根号3，则1/x+1/y的最大值为?
请详细解释。
已解决&&-&&1个回答&&-&&
log(a.3)=x log(b.3)=y
所有1/x+1/y=log(3.a)+log(3.b)=log(3.ab)
由均值不等式易得ab小于等於3
所以log(3.ab)小于等于log(3.3)=1
所以最大值为1
您已收藏过该问題已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a&b&0)的离心率为根号6/3,直线l:y=-x+2根号2与以原点為圆心,以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切,求椭圓C1的方程
已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a&b&0)的离心率为根号6/3,直线l:y=-x+2根号2与鉯原点为圆心,以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切,求椭圆C1的方程
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数学领域专家已知椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1(a&b&0)的离心率为3分之根號3，直线l:y=x+2_百度知道
已知椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1(a&b&0)的离心率为3分之根号3，直线l:y=x+2
以椭圆c1的短半轴长为圆半径相切;b2=1(a&gt；（2）设椭圆C1的左焦点F1：x2/0)的离心率为&#160:y=x+2与以原点为圓心。（1）求椭圆C1的方程，求点M的轨迹C2的方程; 3汾之根号3,S在C2上，不同的两点R，且满足向量QR*向量RS=0，求向量QS的模的取值范围，直线l，动直线l2垂直l1 於点P，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆长轴；（3）设C2与x轴交于点Q;a2+y2&#47已知椭圆C1;b&gt，线段PF2垂直平分线茭l2于点M
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…（9分）∵|OS|=14(y22 8)2-64，y1），∵y2≠y1，∴y2=-（y1 16y1），S（y224，∵OR&#8226，以F2为焦点的抛物线．∴轨迹C2的方程是y2=4x
…（6分）（III）设R（y124：y=x 2与圆x2 y2=b2相切，∴RS=（y22-y124，即y2=±8时，当且仅当y12=256y12，y2）;RS=0，|OS|取得最小值85，即y1=±4等號成立，∴22=b∴b=2∴a=3，∴当y22，∴椭圆方程为x23 y22=1
…（3分）（II）由|MP|=|NF2|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线，y2-y1），∴y22-y124×y124 y1（y2-y1）=0，y2），y22≥64，y1），则OR=（y124，∵直线l，∵y22=（y1 16y1）2=y12 256y12 32≥64，∴|OS|的取值范围是[85，∴2a2=3b2，OS=（y224
嗯，是8倍根号5箌正无穷
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出门在外也不愁
说的太好了，我顶！
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0 rpc_queries2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第六章第五节证明不等式的基本方法_百度文库
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已知b c两点把线段两点A（0，-2），B（4,1），点P在X轴上，则PA+PB的最小值是
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＞＞＞阅读材料：例：说明代数式x2+1+(x-3)2+4的几何意义，并求它的最小值..
阅读材料：例：说明代数式 x2+1 + (x-3)2+4 的几何意义，并求它的最小值．解： x2+1 + (x-3)2+4 =& (x-0)2+12& + (x-3)2+22 ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则 (x-0)2+12 可以看成点P与点A（0，1）的距离， (x-3)2+22 可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=&3& 2 ，即原式的最小值为3 2 ．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式 (x-1)2+1 + (x-2)2+9 的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B （2，3）的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式 x2+49 + x2-12x+37 的最小值为．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）（2，3）（2）10解：（1）∵原式化为的形式，∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B，1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
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据魔方格专家权威分析，试题“阅读材料：例：说明代数式x2+1+(x-3)2+4的几何意义，并求它的最小值..”主要考查你对&&轴对称，用坐标表示平移，平移，尺规作图&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
轴对称用坐标表示平移平移尺规作图
轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用:可以通过对称轴的一边从而画出另一边。 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用:关于平面直角坐标系的X,Y对称意义如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。 相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。
关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c 则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。平移后图形的位置改变,形状、大小不变。在平面直角坐标系内：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。图形平移与点的坐标变化之间的关系：（1）左右平移：原图形上的点（x、y）,向右平移a个单位（x+a,y）;原图形上的点（x、y）,向左平移a个单位（x-a,y）;（2）上、下平移：原图形上的点（x、y）,向上平移a个单位（x,y+b）;原图形上的点（x、y）,向下平移a个单位（x,y-b）。定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（3）多次连续平移相当于一次平移。（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。（5）平移是由方向和距离决定的。这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
平移的三个要点1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）
平移作用：1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。平移作图的步骤：（1）找出能表示图形的关键点；（2）确定平移的方向和距离；（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；（4）按原图的顺序，连结各对应点。 尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。 还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。 尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。·已知圆心和半径可作一个圆。·若两已知直线相交，可求其交点。·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。·若两已知圆相交，可求其交点。尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
发现相似题
与“阅读材料：例：说明代数式x2+1+(x-3)2+4的几何意义，并求它的最小值..”考查相似的试题有：
直角坐标系中,已知A(4,1),B(1.3),在x轴上求一点P,使PA+PB最小,并求这个最小值_百度知道
直角坐标系中,已知A(4,1),B(1.3),在x轴上求一点P,使PA+PB最小,并求这个最小值
b=13&#47,x=13&#47,3y=0,+PB≥,3,A&#39,A关于x轴的对称点A&#39,3)x+13&#47,B,PA+PB最小值为5,=5等号成立时,4即 P(13&#47,P为线段A‘B与x轴的交点设直线A’B为 y=kx+b
-1=4k+b3=k+b解得
k=-4&#47,0),=√(4-1)&#178,4,+(-1-3)&#178,3方程为 y=-(4&#47,P在线段A’B上,-1)PA+PB=PA&#39,(4,
其他&4&条热心网友回答
点A关于X轴的对称点为：C(4,-1)设过点C、B的直线方程为y=kx+b则有：-1=4k+b3=k+b
解得：k=-4/3 ,b=13/3所以可得：y=-4x/3+13/3 此直线与x轴的交点即为P，可得P的坐标为：(13/4,0)最小值为BC两点间的距离为：√[(4-1)^2+(-1-3)^2]=5
P(5/2,0)PA+PB=2倍根号下118
先找A(4,1)关于x=1的对称点M，然后连接MB已知两点A（0,2），B（4,1），点P是x轴上的一点，求PA+PB的最小值
已知两点A（0,2），B（4,1），点P是x轴上的一点，求PA+PB的最小值
已知两点A（0,2），B（4,1），点P是x轴上的一点，求PA+PB的最小值
要过程！！
A点关于X轴对称的A`（0.-2），连结A`B，与X轴交点为P，求A`B的距离[根号(0－4)?+((-2)－1)?=5
点A关于x轴的对称点为A'(0,-2),连接A'B根据两点间，直线最短可知PA+PB的最小值为|A'B|,点P为 A'B与x轴的交点|A'B|=√[4^2+(1-(-2))^2]=5所以最小值是5
其他回答 (8)
取A点关于x轴对称点A′(0,-2),过A′和B两点作一直线l.
直线l交x轴于P点.
设直线l方程为y=kx+b.过点A′(0,-2)和B(4,1)
解得k=3/4,b=-2.直线l方程为y=3/4 x-2
当y=0,x=8/3.所以P点坐标(8/3,0)
先求A关于X轴的对称点A' 连接A'B, 与X轴的交点就是了
做点A（0,2）关于x轴的对称点为A'（0，-2）
直线A'B与x轴的交点即为PA+PB的最小值点P
直线A'B的方程：
y-1=3(x-4)/4
y=0,x=8/3
点P坐标（8/3,0）
这一题很有趣的，做题过程先求出A点关于x轴对称的点A1（0，-2），在求A1B与x轴的交点也就是P点了
因为A1B=（4,3）
PA+PB的最小值=A1B=5
做题原理其实就是镜子原理。PA=PA1
&
找A关于x轴对称点（0，-2）.连接此点和B点，然后两点间距离公式
作A关于X轴对称点D(0，-2)连BD,与X轴交点为P(8/3,0)
取A关于x轴的对称点即（0,—2）点在与B连接和x轴的交点即是p点
在Y轴上画与A相对应的点，记为C,连接BC,求其直线的方程，将y=0代如，求出x,此点就是P
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理工学科领域专家李雪&&& 浙江省宁波市第七中学&&& 315040
摘要& 本文从求线段和的最小值问题入手，建立三种数学模型，通过教学培养学生初步掌握数学模型方法，提高数学素养和创新能力.
关键词& 数学模型& 模型方法& 数学素养& 思维能力
&&&&&&& &数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构. &具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式. 《数学课程标准》中提到数学课程改革的核心理念和灵魂主线是&数学应该面向全体学生，提高学生的数学素养&，笔者在平时的教学过程中重视培养学生数学思考的习惯，帮助学生学会从数学的角度去思考问题，努力揭示数学的本质. 数学模型教学能够使学生发现其中所存在的数学现象并运用数学的知识与方法去解决问题，本文试图从求线段和的最小值问题入手，探究数学模型教学.
&&&&&&& 一、两点一线型
&&&&&&& 如图1所示，已知直线l同侧有A、B两点，在直线l上找到一点P，使PA+PB最小.
&&&&&&& 解析：如图2所示，以直线l为对称轴，作点A的对称点C，连结BC，交直线l于点P，此时PA+PB最小.
&&&&&&& 在直线l上任取一点Q（不与点P重合），利用对称轴的性质可得PA=PC，QA=QC，所以PA+PB=PC+PB=BC，QA+QB=QC+QB，利用三角形两边之和大于第三边可得QC+QB&BC，即PA+PB最小.
&例1& 如图3所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为&&&&&&&&&&& .&
&&&&&&& 解析：从图3中抽象出两点一线型：点D、点M和线段AC. 根据正方形的性质可得点D和点B关于AC对称，所以连接BD交AC于一点，当N运动到此点时，DN+MN=BM最小，在Rt△BCM中利用勾股定理计算，所以最小值为.
&&&&&&& 例2& 如图4所示，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC&AB，D在AC上，且AD=2CD，点P为半径OC上的动点，那么AP+DP的最小值为&&&&&&&&&&&&&&&&&& .
&&&&&&& 解析：从图4中抽象出两点一线型：点A、点D和线段OC. 根据圆的性质和已知条件可得点A和点B关于OC对称，所以连接BD交OC于一点，当P运动到此点时，AP+DP=BD为最小，可以证得△ABD是30&直角三角形，所以最小值为.
&&&&&&& 二、一点两线型
&&&&&&& 如图5所示，已知两条直线m、n所夹的角内有一点A，可以在直线m、n上分别找到点D、E，使DA+DE+EA最小.
&&&&&&& 解析：如图6，以直线m为对称轴，作点A的对称点B，以直线n为对称轴，作点A的对称点C，连结BC，交直线m于点D，交直线n于点E，此时DA+DE+EA最小.
&&&&&&& 在直线m上任取一点F（不与点D重合），在直线n上任取一点G（不与点E重合），利用对称轴的性质可得DA=DB，EA=EC，FA=FB，GA=GC，所以DA+DE+EA=DB+DE+EC=BC，FA+FG+GA=FB+FG+GC，利用两点之间线段最短可得FB+FG+GC&BC，即DA+DE+EA最小.
&&&&&&& 例3&& 如图7所示，&AOB=45&，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q、R（均不同于0），且P、Q、R不在同一直线上，求△PQR周长的最小值.&&&&&
&&&&&&& 分析：从图7中抽象出一点两线型：点P和射线OA、OB. 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连结CD，分别交OA、OB于点E、F，当点Q与点E重合，点R与点F重合时，C△PQR=PQ+QR+RP=CD最小，可以证得△COD为等腰直角三角形，所以最小值为.
&&&&&&& 三、两点两线型
&&&&&&& 如图8所示，已知两条直线m、n所夹的角内有两点A、B，在直线m、n上分别找一点E、F，使EA+EF+FB最小.
&&&&&&& 解析：如图9所示，以直线m为对称轴，作点A的对称点C；以直线n为对称轴，作点B的对称点D，连结CD，交直线m于点E，交直线n于点F，可以证明EA+EF+FB最小.
&&&&&&& 在直线m上任取一点G（不与点E重合），在直线n上任取一点H（不与点F重合），利用对称轴的性质可得EA=EC，FB=FD，GA=GC，HB=HD，所以EA+EF+FB=EC+EF+FD=CD，GA+GH+HB=GC+GH+HD，利用两点之间线段最短可得GC+GH+HD &CD，即EA+EF+FB为最小.
&&&&&&& 例4& 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）和C（5，0）两点. 若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E）再到达抛物线的对称轴上的某点（设为点F）最后运动到点A. 求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。
&&&&&&& 解析& 先求出抛物线的解析式：，并画出图形，如图10所示，从中抽象出两点两线型：点A、点M和直线x=3、直线x轴. 分别作点A关于直线x=3的对称点和点M关于直线x轴的对称点M&，连结A&M&，分别交直线x轴于点E，交直线x=3于点F，根据对称点坐标特征容易求出A&(6，3)，M&(0，)，从而得到直线A&M&的解析式：，利用点E的纵坐标为0，点F的横坐标为3，可求得，当动点P从点M出发，沿如图10所示的M&E&F&A的路径运动到点A时，总路径最短ME+EF+FA=A&M&利用两点间距离公式求得
&&&&&&& 例5& 如图11所示，已知在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1），求下列情况下的动点，使相关图形的周长最短.
&&&&&&& （1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_______时，△PAB周长最短；
&&&&&&& （2）若C（a，0）和D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_____时，四边形ABCD的周长最短；
&&&&&&& （3）设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n）使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=______，n=______（不必写解答过程）若不存在，请说明理由.&
&&&&&&& 解析& （1）从图12中抽象出两点一线型：点A、点B和直线x轴. 作点A关于直线x轴的对称点A&，连结A&B，交直线x轴于点P，根据A&（2，3），B（4，-1）求得直线A&B的解析式：，利用点P的纵坐标为0，求出.
&&&&&&& (2) 从图13中抽象出两点一线型：点A、点B和直线x轴. 因为，所以要使四边形ABDC的周长最短，只要AC+BD最短. 作点A关于直线x轴的对称点A&，将点A&向右平移3个单位长度，得到点A&P，连结A&PB，交x轴于点D，再将点D向左平移3个单位长度，得到点C，连结A&C，可以证得此时四边形ABDC周长最小，利用对称点坐标特征求得A&（2，3），再利用平移坐标特征求得A&P（5，3），根据A&P（5，3）和B（4，-1）求出直线A&PB解析式：y=4x-17，可得D，从而求得a=.&
&&&&&&& (3) 从图14中抽象出两点两线型：点A、点B和直线x轴、直线y轴. 分别作点A关于直线y轴的对称点A&和点B关于直线x轴的对称点B&，连结A&B&，分别交x轴于点M，交y轴于点N，连结AN、NM、MB，此时四边形ABMN周长最短. 利用对称点坐标特征求得A&（-2，-3），B&（4，1），从而求出直线A&B&的解析式为y=，当y=0时，求得m=；当x=0时，求得n=.
&&&&&&& 综上所述，巧妙运用一些基本图形的数学模型及其结论，可以将复杂问题简单化，使学生在较短时间内抓住问题的本质，既可以防止无关信息的负面干扰，又能从&点到点&的思维模式上升到&块到块&的思维模式，从方法论的角度提高学生思维的敏捷性，达到举一反三、触类旁通的目的. 在根据数学课程标准&要讲推理，更要讲道理&的要求，教师更应该在教学中不断创新、发掘好的方法和途径来提高学生的数学素养和创造性解决问题的能力，笔者认为数学模型教学不失为一种好的方法和途径.
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