第 16 章16.1 与三角形中的边角关系 16.2 命题与证明 16.3 全等三角形 16.4 等腰三角形三角形（2012 广东肇庆，9，3）等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为 A．16 C．20 B．18 D．16 或 20【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三 角形的第三边长,最后求得其周长. 【答案】C 【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起. 难度较小.
（2012 广东肇庆，3，3）如图 1，已知 D、E 在△ABC 的边上，DE∥BC，∠B = 60°，∠ AED = 40°，则∠A 的度数为 AD B 图1 A．100°E CB．90°C．80°D．70°【解析】结合两直线平行，同位角相等及三角形内角和定理，把已知角和未知角联系起来， 即可求出角的度数． 【答案】C 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，及平行线的性质。（2012 山东省滨州，1，3 分）一个三角形三个内角的度数之比为 2：3：7，这个三角形一 定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【解析】三角形的三个角依次为 180°× =30°，180°× =45°，180°× =105°，所以这个三角形是钝角三角形． 【答案】选 D． 【点评】本题考查三角形内角和定理：三角形的内角和是 180°．再由三个角的大小之比可 求出三个角的大小． ( 2012 年四川省巴中市,3,3)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是 （ ） A.中线 B.角平分线 C.高 D.中位线 【解析】根据中线的定义,”连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线”,知 三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形,它们的面积相等.故选 A. 【答案】A【点评】本题考查三角形中线及三角形面积的有关概念,比较容易. (2012 广东汕头，7，3 分)已知三角形两边的长分别是 4 和 10，则此三角形第三边的长可能 是（ ）21 世纪教育网A． 5B． 6C． 11D． 16分析： 设此三角形第三边的长为 x， 根据三角形的三边关系求出 x 的取值范围， 找出符合条 件的 x 的值即可． 解答： 解：设此三角形第三边的长为 x，则 104＜x＜10+4，即 6＜x＜14，四个选项中只 有 11 符合条件． 故选 C． 点评： 本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于 第三边． （2012 年广西玉林市，8，3）如图在菱形 ABCD 中，对角线 AC、DB 相交于点 O，且 AC≠BD， 则图中全等三角形有 A．4 对 B．6 对 C．8 对 D．10 对分析：根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案． 解：图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；△AOD≌△COD，△ AOD≌△COB；△DOC≌△BOC；△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC，共 8 对．故选 C． 点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，注意掌握全等三角形的几个判定定理， 在查找时要有序的进行，否则很容易出错． 10. ( 2012 年四川省巴中市,10,3)如图 3，已知 AD 是△ABC 的 A BC 边上的高，下列能使△ABD≌ ACD 的条件是( ) △ A.AB=AC B.∠ BAC=900 C.BD=AC D.∠ B=450 【解析】由条件 A,与直角三角形全等的判定“斜边、直角边” B 可判定△ABD≌ ACD，其它条件均不能使 △ △ABD≌ ACD，故选 A △ 【答案】A 【点评】本题考查直角三角形全等的判定“斜边、直角边”应用. （2012 四川泸州，11，3 分）若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是（ ） A.3，8，4 B.4，9，6 C.15，20，8 D.9，15，8 解析：根据三角形两边之和大于第三边或两边边之差小于第三边进行判断.由于 3+4＜8，所 以不能构成三角形；因为 4+6＞9，所以三线段能构成三角形；因为 8+15＞20，所以三线段 能构成三角形；因为 9+8＞15，所以三线段能构成三角形.故选 A. 答案：A 点评： 判断三条线段能否构成三角形的边， 可以从三条线段中选较小两边之和与剩下一边比 较，和大于这边，就能够组成三角形的边.DC（2012 黑龙江省绥化市， 3 分） 4， 等腰三角形的两边长是 3 和 5， 它的周长是 ． 【解析】 解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论： ①当 3 是底边长时，周长为 5+5+3=13；②当 5 是底边长时，周长为 3+3+5=11． 【答案】 11 或 13． 【点评】 本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积 等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形，考生 稍不留神也会写出这种不合题意的答案．难度中等．（2012 深圳市 6 ，3 分）如图 1 所示，一个 60 角的三角形纸片，剪去这个 60 角后，得 到一个四边形，则 ?1 ??2 的度数为（60° 1 2??）图1 A.120?B.180?C.?240?D.300?【解析】：考查多边形的内角和，根据公式 180 (n ? 2) 来算即可。也可以用三角形的内角 和与平角的定义来求。 【解答】：先由三角形的内角各，求出三角形另两个角的度数为 120 ，再根据四边形内角 各求出 ?1 ? ?2 ? 240 ，故选择 C??【点评】：掌握各种角度的计算方法，灵活运用相关知识，即可顺利解答。 （2012 贵州省毕节市，9，3 分）如图.在 Rt△ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 式垂足，连接 CD，若 BD=1，则 AC 的长是（ A.2 3 B.2 C.4 3 ） D. 421 世纪教育网解析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出 AD=CD，求出∠ACD、∠DCB， 求出 CD、AD、AB，由勾股定理求出 BC，再求出 AC 即可． 解答：解：∵∠A=30° ，∠B=90° ，∴∠ACB=180° -90° -30° =60° ， ∵DE 垂直平分斜边 AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30° ，∴∠DCB=60° =30° -30° ， ∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3， 在 △ BCD 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： CB= AC=3 ， 在 △ ABC 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ：AB2 ? BC 2 = 2 3 ，故选 A．点评：本题考查了线段垂直平分线，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形 的内角和定理等知识点的应用， 主要考查学生运用这些定理进行推理的能力， 题目综合性比 较强，难度适中．(2012 广安中考试题第 9 题，3 分)已知等腰△ABC 中，AD⊥ 于点 D，且 AD= BC △ABC 底角的度数为（ C ） A．45o B．75o C．45o 或 15o 9、C 思路导引：结合题意画出图形，有助于解题，注意分类讨论 解析：分类讨论， ① BC 为底边时，AB=AC,AD⊥ 当 BC,AD= ∠ ADB=90° ,所以△ABC 底角∠ ABC=45° ,B1 BC，则 2D．60o1 1 BC,而 BD=DC= BC,所以 AD=BD=DC，又 2 2ADB D CCA② BC 为腰长时，如图所示，BC=AB, AD⊥ 当 BC,AD=1 1 BC, AD= AB,所以 2 2∠ BAC=30° ,因此△ABC 底角∠ ACB=75° , 点评：等腰三角形的边、角的计算问题，如果题目无图形，注意画图，运用数形结合解答问 题，再等腰三角形问题往往有两种情况，应当分类讨论. (2012 江苏苏州，9，3 分)如图，将△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△ OB′ A′ ，若 ∠ AOB=15°，则∠ AOB′ 的度数是（ ）A． 25°B． 30°C． 35°D． 40°分析： 根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即 可． 解答： 解：∵ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△ OB′ 将△ A′ ， ∴A′ ∠ OA=45°，∠ AOB=∠ OB′ A′ =15°， ∴AOB′ A′ ∠ =∠ OA∠ OB=45°15°=30°， A′ 故选：B． 点评： 此题主要考查了旋转的性质， 根据旋转的性质得出∠ OA=45°， AOB=∠ OB′ A′ ∠ A′ =15° 是解题关键．（2012 呼和浩特，13，3 分）如图，在△ABC 中，∠B=47° ，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，则∠AEC=______°D A E C FB【解析】∵∠B=47° ，∴∠BAC+∠BCA=180° 47° C =133° ，∴∠CAD+∠ACF=360° C133° =227° 又∵AE 和 CE 是角平分线，∴∠CAE+∠ACE=113.5° ，∴∠E=180° C113.5° =66.5° 【答案】66.5 【点评】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的性质。 （2012，湖北孝感，12，3 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠ A=60° ，E，F 分别是 AB，AD 的 中点，DE，BF 相交于点 G，连接 BD，CG，有下列结论：① BGD=120° ；② ∠ BG+DG=CG； ③ BDF≌ CGB；④S△ABD ? △ △3 AB2 ．其中正确的结论有（ 4）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】根据题意，△ABD 是等边三角形，由此可推得 BG=DG=∠ EBG，∠ GCB=30° ， ∠ GBC=90° ； 因为直角三角形中 30°角所对的边等于斜边的一半，所以 BG=1 GC；显然 CG&BD，△BDF 2和△CGB 不可能全等；故① ，② ，④ 正确． 【答案】C 【点评】考查菱形的性质和轴对称及等边三角形等知识的综合应用．根据∠ A=60° 得到等边 三角形△ABD 是解本题的关键． （2012，湖北孝感，11，3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠ =36° A ，BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD 的长是（ ） A．5 ?1 2B．5 ?1 2C． 5 ? 1D． 5 ? 1【解析】根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根据相似三角形对应 边成比例即可求得．在△ABC 中，AB=AC，∠ A=36° ∠ ，∴ ABC=∠ ACB=72° ∵ 平∠ BD ABC，∴ ABD=∠ ∠ CBD=36° BD=AD=BC，∠ ，∴ BDC=72° ∴ ABC∽ BCD △ △ 故：ABUBC=BCUCD 设 AD=x，则 BC=x，CD=2-x，∴ 2Ux= xU(2-x) 解得 x= 5 ? 1 或 x= 5 ? 1 ＞AC（舍去）错误！未找到引用源。 【答案】C 【点评】题考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键． （2012 湖南衡阳市， 23， 如图， 6） AF=DC， BC∥ 请只补充一个条件， EF， 使得△ ABC≌DEF， △ 并说明理由．解析：首先由 AF=DC 可得 AC=DF，再由 BC∥ 根据两直线平行，内错角相等可得 EF ∠ EFD=∠ BCA，再加上条件 EF=BC 即可利用 SAS 证明△ ABC≌DEF． △ 答案：解：补充条件：EF=BC，可使得△ ABC≌DEF．理由如下： △ ∵ AF=DC， ∴ AF+FC=DC+FC， 即：AC=DF， ∵ EF， BC∥ ∴EFD=∠ ∠ BCA， 在△ EFD 和△ BCA 中， ，∴EFD≌BCA（SAS） △ △ ． 点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、 AAS，HL．（2012 四川泸州，23，7 分） 解析：找出三角形全等条件、再由全等三角形性质 得出线段相等. 解：在△ABC 和△EDC 中， ∵AB⊥BC，ED⊥BC， ∴∠ABC=∠EDC ∵BC=DC，∠ACB=∠DCE. ∴△ABC≌△EDC（ASA）. ∴AB=ED. 点评：本题考查了全等三角形性质与条件.解题的关键是 寻找三角形全等的条件. （2012 江苏省淮安市， 3 分） 14， 如图， △ABC 中， AB=AC， AD⊥BC， 垂足为点 D， 若∠BAC=70? ， 则∠BAD= ? ．【解析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 1 相重合（三线合一），可得∠BAD= ∠BAC=35? ． 2 【答案】35? 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用三线合一是正确解答本题的关键． （2012 山东省滨州， 4 分） 16， 如图， ABC 中， 在△ AB=AD=DC， BAD=20°， C= ∠ 则∠ ．【解析】∵ AB=AD，∠ BAD=20°，∴B= ∠==80°，∵ADC 是△ ∠ ABD 的外角，∴ADC=∠ BAD=80°+20°=100°， ∠ B+∠ ∵ AD=DC，∴C= ∠ = =40°．【答案】40°． 【点评】本题考查三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， AB=AD，又已知∠ BAD 的大小，可求出∠ B、∠ＡＤＢ的大小．又已知 AD=DC，由三角形 内角和定理可得∠ 的大小． C （2012，黔东南州，15）用 6 根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 个正三角形。 解析：用 6 根相同长度的木棒在空间中搭正三角形，可以搭成如下图所示： 答案：4 点评：本题考查了学生的空间想象能力，难度中等.（2012 云南省，5 ，3 分）如图，在 角平分线，则 ?CAD 的度数为 A． 40o? ABC 中，?B ? 67 , ?C ? 33 , AD 是? ABC 的0 0Ao B. 45o C. 50BDCo D. 55【解析】主要考查三角形的内角和是 180 ，所以 ?BAC ? 80 ;又因为 AD 是角平分线，00所以 ?CAD ? 40 ，也考查角平分线定义的理解应用；0【答案】A【点评】对于三角形的内角和定义和角平分线定义的用法，考生并不陌生，此题不难解。 18.（2012 四川泸州，18，3 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若 AB=6cm， 则 BC= . 解析：在直角三角形中，根据 30°所对的直角边等于斜边 的一半，所以 BC=1 1 AB= ×6=3（cm）. 2 2答案：3cm. 点评：30°所对的直角边等于斜边的一半，是直角三角形性质， 要注意前提条件是直角三角形. （2012 湖北荆州，9，3 分）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线 BD 上一点， PE⊥ 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q．若 AB BF＝2，则 PE 的长为( )A．2 B．2 3 C． 3 D．3 E Q P A D【解析】题目中已知了△ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边 相等、三角相等、三线合一的性质。本题中，有含有 30°角的直角三角 B 形，要想到 30°角的直角边等于斜边的一半。 △ABC 是等边三角形，BD 是∠ABC 的平分线， 所以∠ABD=∠CBD=F C 第 9 题图1 ∠ABC=30°。 2在直角△QBF 中，BF＝2，∠CBD=30°,所以 BQ= 3 . FQ 是 BP 的垂直平分线,所以 BP=2BQ=2 3 在直角△PBE 中, BP=2 3 ,∠ABD =30°, 所以 PE=1 BP= 23.【答案】C 【点评】题目中已知了△ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、 三线合一的性质。本题中，有含有 30°角的直角三角形，要想到 30°的角所对的直角边等 于斜边的一半。（2012湖北黄冈，12，3）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E， 垂足为点D，连接BE，则∠EBC 的度数为________°.【解析】在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°得：∠ABC=∠C=72°. 由 AB 的垂直平分线交 AC 得 AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=72°-36°=36°. 【答案】36° 【点评】本题主要考查等腰三角形和线段中垂线的性质.难度中等. （2012 呼和浩特，13，3 分）如图，在△ABC 中，∠B=47° ，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，则∠AEC=______°D A E C FB【解析】∵∠B=47° ，∴∠BAC+∠BCA=180° =133° C47° ，∴∠CAD+∠ACF=360° C133° =227° 又∵AE 和 CE 是角平分线，∴∠CAE+∠ACE=113.5° ，∴∠E=180° C113.5° =66.5° 【答案】66.5 【点评】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的性质。（2012 山东莱芜， 15，4 分）在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，若点 P 在边 AC 上移动， 则 BP 的最小值是 .【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 因为 AB=AC=5，BC=6，所以 BD=3，所以 AD=4， 根据垂线段最短，当 BP⊥AC 时，BP 有最小值. 根据 AD ? BC ? BP ? AC 得到， 4 ? 6 ? 5BP , BP= 【答案】24 524 5【点评】本题考察了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法。考察了学生解决等 腰三角形解决等腰三角形问题常加的辅助线。本题综合性强，难度中等。 （2012 甘肃兰州，13，4 分） 如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=120° ，∠B=∠D=90° ，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ） A. 130° B. 120° C. 110° D. 100° 解析：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M， 交 CD 于 N，则 A′A″即为△AMN 的周长最小值．作 DA 延长线 AH， ∵∠EAB=120°，∴∠HAA′=60°， ∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°， 第 13 题图 ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″ =2（∠AA′M+∠A″）=2×60° =120°， 答案：B 点评： 此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形 的外角的性质和垂直平分线的性质等知识。要使△AMN 的周长最小， 即利用点的对称， 让三角形的三边在同一直线上， 作出 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′， A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″） 即可得出答案．解答本题关键是根据已知得出 M、N 的位置。 （2012?哈尔滨，题号 16 分值 3）一个等腰三角形静的两边长分别为 5 或 6，则这个等腰 三角形的周长是 ． 【解析】本题考查等腰三角的性质、三角形三边关系. 因为等腰三角两腰相等，所以其三边 可能是 5、5、6 或 6、6、5，经检验两种可能都能组成三角形，所以这个三角形周长是 16 或 17. 【答案】16 或 17 【点评】本题易忽略检验能否组成三角形，注意分类讨论思想的运用. （2012? 哈尔滨， 题号 23 分值 6） (本题 6 分如图， B 在射线 AE 上， 点 ∠CAE=∠DAE， ∠CBE= ∠ADBE． 求证：AC=AD．[来源:21 世纪教育网]【解析】本题考查三角形全等的判定及性质. ∠C=∠D AC=AD △ACB≌△ADB AB=AB ∠CAE=∠DAE ∠CBE=∠DBE ∠CAE=∠DAE【答案】证明：∵∠CBE=∠DBE，∠CAE=∠DAE， ∴∠C=∠D， 又∵AB=AB，∠CAE=∠DAE， ∴△ACB≌△ADB， ∴AC=AD. 【点评】探索线段关系，如可两线段在两个三角形中，一般考虑它们所在两个三角形是否 全等，若在同一个三角形，可考虑所对应的角的关系．（2012 年广西玉林市， 3） 17， 如图， 两块相同的三角形完全重合在一起， ∠A=30°， AC=10， 把上面一块绕直角顶点 B 逆时针旋转到△A′B′C′的位置，点 C′在 AC 上，A′C′与 AB 相交于点 D，则 C′D= .分析：根据等边三角形的判定得出△BCC′是等边三角形，再利用已知得出 DC′是△ABC 的 中位线，进而得出 DC′=1 BC=2.5. 2 1 AC=5，∴△BCC′是等边 2解：∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，∴∠C=60°，BC=BC′=三角形，∴CC′=5，∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC 的中位线， ∴DC′=1 BC=2.5，故答案为：2.5 ． 2点评：此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质，根据已知得出 DC′是△ABC 的中位线是解题关键（2012 广东肇庆， 6） 19，世纪教育网如图 5， 已知 AC⊥BC， BD⊥AD， 与 BD 交于 O， =BD． AC AC21求证：（1）BC=AD； （2）△OAB 是等腰三角形． D C OA 图5B【解析】通过观察不难发现△ACB≌ △BDA 从而得出 BC=AD，及∠C AB =∠D BA，进而 推出△OAB 是等腰三角形． 【答案】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD ∴ ∠D =∠C=90? （1 分） （4 分） C O在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，AB= BA ，AC=BD， ∴ △ACB≌ △BDA（HL） ∴BC=AD （5 分） （6 分） （7 分） A D（2）由△ACB≌ △BDA 得 ∠C AB =∠D BA ∴△OAB 是等腰三角形．B【点评】 本题考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定， 考察了学生简单的推理能 力。难度较小。 (2012 江苏苏州，23，6 分)如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥ BC，AB=CD，延长线段 CB 到 E，使 BE=AD，连接 AE、AC． （1）求证：△ ABE≌CDA； △ （2）若∠ DAC=40°，求∠ EAC 的度数．分析： （1）先根据题意得出∠ ABE=∠ CDA，然后结合题意条件利用 SAS 可判断三角形的全 等； （2） 根据题意可分别求出∠ AEC 及∠ ACE 的度数， AEC 中利用三角形的内角和定 在△ 理即可得出答案． 解答： （1）证明：在梯形 ABCD 中，∵ BC，AB=CD， AD∥ ∴ABE=∠ ∠ BAD，∠ BAD=∠ CDA， ∴ABE=∠ ∠ CDA 在△ ABE 和△ CDA 中， ∴ABE≌CDA． △ △ （2）解：由（1）得：∠ AEB=∠ CAD，AE=AC， ∴AEB=∠ ∠ ACE， ∵DAC=40°， ∠ ∴AEB=∠ ∠ ACE=40°， ∴EAC=180°40°40°=100°． ∠ 点评： 此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形及题意条 件得出一些线段之间的关系，注意所学知识的融会贯通． （2012 南京市，19，8）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=900，点 D 在 BC 的延长线上，且 BD=AB，过点 B 作 BE⊥AC，与 BD 的垂线 DE 交于点 E. （1）求证：△ABC≌△BDE； （2）△BDE 可由△ABC 旋转得到，利用尺规作出旋转中心 O（保留作图痕迹，不写作法） ，A EBCD解析： 由两线垂直，利用余角的性质，推出∠DBE＝∠A,证出△ABC≌△BDE；利用 旋转的性质，旋转中心是对应点中垂线的交点做出旋转中心 O. 证明：(1)∵BE⊥AC, ∴∠A+∠ABE=900, ∵∠ABC=900， ∴∠DBE+∠ABE=900, ∴∠A =∠DBE ∵∠ABC=∠BDE=900，BD=AB ∴△AOF≌ △DOC (2)分别作对应点 B、D 连线的中垂线、A、B 连线的垂直平分线，两线的交点即为旋转 中心 O. 点评：本题考查余角的性质、三角形全等的判定及旋转的性质与作图，考察了学生简单的推理能力. （2012 河北省 23,9 分）如图 13-1，点 E 是线段 BC 的中点，分别以 B、C 为直角顶点的△ EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在 BC 的同侧。 （1）AE 和 ED 的数量关系为______________， AE 和 ED 的位置关系为______________； （2）在图 13-1 中，以点 E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点 H 是 BC 所在直线上 的一点，连接 GH，HD，分别得到了图 13-2 和图 13-3 ①在图 13-2 中，点 F 在 BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是 1:2，H 是 BC 的中点。 求证：GH=HD，GH⊥HD。 ②在图 13-3 中，点 F 在 BE 的延长线上，△EFG 与△EAB 的相似比是 k：1，若 BC=2，请直接写 出 CH 的长是多少时，恰好使得 GH=HD 且 GH⊥ HD（用含 k 的代数式表示） 。 【解析】 （1）根据三角形全等，可知 AE 和 DE 的 数量关系是相等，位置关系是垂直。 （2）①总体 思路就是证明△HGF≌△DHC，得到 GH、HD 垂 直、相等，根据相似比为 1:2 可知 GF= EF=1 AB ， 21 1 EB ，EH=HC= EC，AB=BE=EC=DC， 2 2易得 GF=HC，FH=CD，再加两个直角，便可得到 全等三角形， 进而得到 GH 和 DH 的大小和位置关 系。②点 G 在 AE 的延长线上，也是主要证明△ HGF≌△DHC，方法如①，可得 CH=k。 【答案】解： （1）AE=ED AE⊥ED（ 2 ） ① 证 明 ： 由 题 意 ， ∠ B= ∠ C=90 ° ， AB=BE=EC=DC。 ∵△EGF 与△EAB 位似且相似比为 1:21 1 AB，EF= EB， 2 2 1 1 1 1 ∴∠GFE=∠C。 ∵EH=HC= EC ∴GF=HC，FH=EF+EH= EB+ EC= BC=EC=CD 2 2 2 2∴∠GFE=∠B=90°，GF= ∴△HGF≌△DHC ∴GH=HD，∠GHF=∠HDC 又∵∠HDC+∠DHC=90° ∴∠GHF+∠DHC=90° ∴∠GHD=90° ∴GH⊥HD ②CH 的长为 k。 【点评】此题属于操作推理题，难度放在了（2）的第一小问，证明三角形全等时，找相等 的两条边。近几年来河北省的中考题以全等为主，相似为辅，在教学中，加以注意，多训练 学生。难度偏大。（2012 贵州遵义，12,4 分）一个等腰三角形的两条边分别为 4cm 和 8cm，则这个三角形的 周长为 ．解析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分： （1）当等腰三角形的腰为 4cm； （2）当等腰三角形的腰为 8cm；两种情况讨论，从而得到其周长． 解： （1）当等腰三角形的腰为 4cm，底为 8cm 时，不能构成三角形． （2）当等腰三角形的腰为 8cm，底为 4cm 时，能构成三角形，周长为 4+8+8=20cm． 故这个等腰三角形的周长是 20cm． 故答案为：20cm． 答案： 20cm 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目 一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行答 案，这点非常重要，也是解题的关键． （2012 河南，13，3 分）如图，点 A,B 在反比例函数 y ?k (k ? 0, x ? 0) 的图像上，过点 xA,B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M,N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC,△AOC 的面积为 6，则 k 值为 解析：根据题意知△AOC 的面积看作△AOM 与△ACM 面积之和；△ACM△的面积是△AOM 的 2 倍，所以△AOM 的面积是 2，故 k=4. 答案：4 点评： 根据反比例函数中 k 的几何意义， 要算出图象上面点向两个坐标轴引垂线所围成 的矩形面积.（2012 河南，14，3 分）如图，在 Rt ? ABC 中， ?C ? 90 , AC ? 6, BC ? 8. 把△ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90°得到△ A?B ?C ? ， ?C? 交 AB 于点 E， AD=BE， 若 则△ A?DE A 的面积为 14. 解 析 ： 由 勾 股 定 理 知 AB=10 ， 利 用 △ A ′ DE 与 △ ACB 相 似 ， 可 以 得 出?DE 8 4 4 4 ? ? ，设 A?D ? x, 则 DE ? x ，所以 x ? x ? x ? 10 ，求出 x=3. ∴△A′DE A?D 6 3 3 3 1 1 的面积= ? ? 6 ? 8 ? 6 4 2答案：6 点评： 根据图形变换得知阴影部分与原三角形相似， 利用勾股定理和相似三角形的性质 解答. （2012 河南，15，3 分）如图，在 Rt ? ABC 中 ， ?C ? 90 , ?B ? 30 , BC ? 3. 点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 边于点 E，将 ?B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 解析：根据题意知△BDE 折叠和△FDE 重合；则∠B=∠EFB=30°，∴∠BED=∠FED=∠ AEF=60°， 当△AEF 为直角三角形时， 只有可能∠AFE=90°或∠EAF=90°,当∠AFE=90°时，? ?AC ? 3 ，CF=1，此时 BD=FD=1；当 ∠EAF=90°，点 F 在线段 BC 的延长线上， AC ? 3 ，CF=1，此时 BD=FD=2； 答案：1 或 2 点评：这是一道结合图形操作的解直角三角形的题目，△AEF 为直角三角形，没有指 明哪个角是直角，要注意分情况讨论. （2012 湖北武汉，19，6 分）如图，CE=CB,CD=CA, ∠DCA=∠ECB.求证：DE=AB解析： 欲证 DE=AB， 可考虑证明它们所在的三角形全等， 已有 CE=CB,CD=CA 两个条件， 可考虑找夹角相等，而∠DCA=∠ECB，刚好有∠DCE=∠ACB．得证 解：证明：∵∠DCA=∠ECB ∴∠DCE=∠ACB 又∵CE=CB,CD=CA ∴△DEC ≌△ABC(SAS) ∴DE=AB 点评：本题在于考察全等三角形的判定与性质，判定三角形全等，关键在于找到三组对应相 等条件。题目难度低 21．（2012 江苏省淮安市，21，8 分） 已知：如图，在□ABCD 中，延长 AB 到点 E．使 BE=AB，连接 DE 交 BC 于点 F．求证：△BEF≌△CDF．【解析】根据平行四边形的对边平行且相等，结合已知条件可推出所证三角形全等的条件． 【答案】解：证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 CD=AB，AB∥CD. 因为 BE=AB，所以 CD= BE. 因为 AB∥CD，所以∠EBF=∠DCB．?EBF ? ?DCF ? ? 在△BEF 和△CDF 中， ??EFB ? ?DFC (对顶角相等) ，所以△BEF≌△CDF（AAS）． ? BE ? CD ?【点评】 本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定， 全等三角形的判定常见的判断方 法有 5 中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的 夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边， 若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． （2012 云南省，16 ，5 分）(本小题 5 分)如用.在 ? ABC 中， ?C ? 90 ，点 D 是 AB 边上一o点，DM ? AB 且 DM ? AC ,过点 M 作 ME ? BC 交 AB 于点 E.求证： ABC≌? MED 【解 . 析】此题主要是要找到三角形全等的三个条件，角角边来证明， 即找到 ?C ? ?MDE ， ?B ? ?MED AC ? DM 就可以证明了。 【答案】?解：? DM ? AB ?C=900M??C=?MDE=900? ME ? BC在C? ABC 和 ?MED 中??C ? ?MDE ? ??B ? ?MED ? AC ? DM ?A D E B??B ? ?MED? ABC ≌? MED ?【点评】此题考查考生会不会证明三角形全等，能否找到证明全等的条件是关键。即对角 角边定理的理解运用。 （2012 四川宜宾，18，6 分）如图，点 A、B、D、E 在同一直线上，AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F,求证：AC=EF.【解析】根据 BC∥ DF 证得∠ CBD=∠ FDB，利用邻角的补角相等证得∠ ABC=∠ EDF，然后 根据 AD=EB 得到 AB=CD，利用 AAS 证明两三角形全等即可． 【答案】证明：∵AD=EB∴AD-BD=EB-BD,即 AB=ED 又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB ∴∠ABC=∠EDF 又∵∠C=∠F, ∴△ABC≌△EDF ∴AF=EF【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质， 解题的关键是选择最合适的方法证明两三角 形全等 ( 2012 年四川省巴中市,27,10)一副三角板如图所 9 放置，点 C 在 FD 的延长线上， AB∥ CF,∠ F=∠ ACB=900,∠ E=300,∠ A=450,AC=12 2 ,试求 CD 的长. EBAFD图9C【解析】如图，作 BG⊥ FC,垂足为 G 0 ∵ ACB=90 ∴ ∠ BG∥ EF,∴ DBG=300 ∠∵ B=∠ ∠ A=450, AB∥ CF ∴ BDG=450 BC=AC=12 2 ∠ 在 Rt△BCG 中 2 ∴ CG=BG=BC? sin450=12 2 ? =12 2 在 Rt△BDG 中 3 ∴ DG=BG? tan300=12? =4 3 3 ∴ CD=CG－DG=12－4 3 【答案】CD=12-4 3 F G D C EBA27 题答案图【点评】此题通过一副三角板学生熟悉的物品为载体，呈现了数学来源于生活这一事实，比 较全面考查了解直角三角形的有关知识。 (2012 广安中考试题第 19 题，6 分)如图 8，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 BA 的延 长线上，且 BE=AD，点 F 在 AD 上，AF=AB。求证：△AEF≌ DFC。 △思路导引： 注意平行四边形性质的准确运用，结合题目中证明两个三角形全等寻找有用的条件 解析：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB=CD，AB∥ CD， ∵ AB∥ CD，∴ EAF=∠ ∠ D， ∵ AF=AB，AB=CD，∴ AF=CD， ∵ BE=AD，AB=AF，∴ AE=DF， 在△AEF 与△DFC 中，∵ AF=CD，∠ EAF=∠ D，AE=DF， ∴ AEF≌ DFC； △ △ 点评： 平行四边形性质与三角形全等的综合问题， 运用好平行四边形性质是解决问题的前提， 另外证明两个三角形全等，条件中至少有一条边是相等关系，这与证明三角形相似有区 别. （2012 深圳市 12 ，3 分）如图 4，已知：?MON ? 30 ，点 A1 、 A2 、 A3 ??在射线 ON?上，点 B1 、 B2 、 B3 ??在射线 OM 上， ?A1 B1 A2 、 ?A2 B2 A3 、 ?A3 B3 A4 ??均为等边 三角形，若 OA1 ? 1 ，则 ?A6 B6 A7 的边长为（ ）A. 6 B. 12 C 32 D. 64 【解析】：考查等边（等腰）三角形的性质，探索前后等边三角形边长之间的规律 【解答】：易法求第一个等边三角形的边长为 1，第二个等边三角形的边长为 2，第三个等 边三角形的边长为 8。。。。。。，有规律第 n 个等边三角形的边长为 2 求第 6 个等边三角形的边长为 26 ?1n?1，可? 32 ，故答案为 C【点评】：只要熟悉等边（等腰）三角形的性质，本题易于求解。易借点是 容易算错 n 的值。M B3 B2 B1 O NA1 A 2 A3 图4 A4第十六章 16.1 与三角形中的边角关系三角形 ）(2012 山东德州中考,2,3,)不一定在三角形内部的线段是（ （A）三角形的角平分线 （C）三角形的高 （B）三角形的中线 （D）三角形的中位线【解析】三角形的中位线、角平分线和中线都是一定在三角形内部，故 A、B、D 都不正确， 钝角三角形有两条高线落在三角形外侧，所以选 C． 【答案】C． 【点评】锐角三角形的高都在三角形的内部，直角三角形的两条直角边可以是互为高线，斜 边上的高在三角形内部； 钝角三角形对＼钝角所对边上的高在三角形的内部， 其余两条在三 角形的内部． （2012 浙江省义乌市，6，3 分）如果三角形的两边长分别为 3 和 5,第三边长是偶数,则第 三边长可以是 A．2 B．3 C．4 D．8 【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范 围，然后根据第三边长为偶数求出第三边的长，即可判断能够组成三角形的个数． ∵3+5=8， 5-3=2，∴2＜第三边＜8，∵第三边长为偶数，∴第三边长可以是 4 或 6， 【答案】答案：4 或 6． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，求出第三边长的取值范围是解题的关键． （ 2012 湖 北随 州 ，13,4 分 ） 等腰 三 角形 的 周长为 16 ，其 一边 长为 6 ，则 另 两边 为 _______________。 解析：当边长为 6 的边为腰时，则底时，则另两边分别为 5、5，根据三角形三边关系可知， 三边也可以构成三角形。所以两种情况均成立。 答案：6 和 4 或 5 和 5 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的边角关系。 在题中没有明确所给边为底边还 是腰时，要分类讨论，分别求解。且对于求出的边长要根据三角形边角关系进行验证，以防 止三边不能构成三角形。 (2012 重庆，15，4 分)将长度为 8 厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截 成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5,2,1 和 1,5,2)，那么截成的三段木棍能 构成三角形的概率是____________ 解析：列出所有可能的情形，要按顺序列，得到五种：1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2， 4；2，3，3.其中只有 2，3，3 可构成三角形。 答案：1 5点评：列出所有的情形要不重不漏，需要按一定的顺序，是本题的关键之处。 （2012 连云港，3，3 分）如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥ 1=50° b,∠ ， ∠ 2=60° ，则∠ 的度数为 32a b13A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【解析】根据平行线与直角三角形的性质，可以求解。 【答案】有三角形的内角和可以求得∠ 的同位角的对顶角为 70°，选 C。 3 【点评】本题考查了把三角板放在平行线上，注意本题隐藏的了三角板的条件。可以用多种 方法求解。（2012 四川内江，5，3 分）如图 1，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝ a 3 1 2 b 图1 A．100° B．105° C．110° D．115° 【解析】如下图所示，过点 B 作直线 c∥b，由 a∥b，知 c∥a，所以可求得∠4＝180° －∠2＝180°－140°＝40°，从而有∠3＝∠1＋∠4＝65°＋40°＝105°． A 3 B 1 4 2 C 图1 【答案】B 【点评】此题考查几何初步知识，解法多种多样．上面解法采用的是作辅助平行线的方 法，是常用解题思想方法．另外也可以连接 AC 或延长 CB，构造三角形并结合平行线的性 质解决问题． （2012 浙江省湖州市，14，4 分）如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB、AC 上的点，点 F 在 BC 的延长线上，DE∥BC，∠A=460，∠1=520，则∠2= 度。 c b a【解析】由平行线的性质，可求得∠B=∠1=520，然后应用三角形的外角性质∠2=∠A+∠B， 求得结论。【答案】∵DE∥BC，∠1=520，∴∠B=520，又∠A=460，∴∠2=∠A+∠B=980. 【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行，同位角相等；以及三角形的外角性质： 三角形的一外角等于和它不相邻的内角的和，是基础题。 （2012 湖南益阳，15，6 分）如图，已知 AE∥BC，AE 平分∠DAC.求证：AB=AC．第 15 题图 【解析】 由 AE 平分∠ DAC.得到∠1=∠2 又由两直线平行，内错角相等 同位角相等，得到∠1=∠B，∠2=∠C.所以有：∠B=∠C 在 ABC 中等 角对等边，即得到 AB=AC 【答案】证明：∵AE 平分∠DAC， ∴∠1=∠2. ∵AE∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C. ∴∠B=∠C， ∴AB=AC． 【点评】此题考查了角平分线的性质、平行线的性质和在三角形中等角对等边的应用，考查 了学生综合运用知识来解决问题的能力，设问方式较常规，为学生熟知,能让学生正常发挥 自己的思维水平，难度不大。?16.2 命题与证明 （2012 湖南益阳，5，4 分）下列命题是假命题的是（ ．．．）A．中心投影下，物高与影长成正比 B．平移不改变图形的形状和大小 C．三角形的中位线平行于第三边 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【解析】像手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是由一点出发的光线，像这样的光线所形成 的投影称为中心投影，影长和物高的比值与光线入射的方向有关，所以 A 比一定成正比； 平移前后物体的形状和大小不变，B 正确；三角形的中位线平行于第三边并且对于第三边的 一半；圆的切线垂直于过切点的半径。C、D 正确。 【答案】A 【点评】此题主要考查中心投影应用、平移的性质、三角形中位线的性质和圆的切线性质， 主要是识记能力，记忆即可做出。 （2012 广州市，9， 3 分）在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A.四边相等的四边形是正方形 B.对角线相等的四边形是菱形 C.四个角相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【解析】特殊四边形的判定方法。命题的概念。 【答案】A.四边相等的四边形是菱形 ，错误； B.对角线相等的四边形可以是一般四边形、矩形或等腰梯形，错误； C.四个角相等的四边形是矩形 ，正确 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形，错误。 选 C。 【点评】本题要求考生理解平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定。注意只根据四边形对 角线的相等或垂直不能判定它的形状。 （2012 江苏泰州市，8,3 分）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是 平行四边形； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 ；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形。其中真命题共有 ．．． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】分别根据平行四边形、菱形、正方形的判定、轴对称与中心对称的概念对各选项进 行逐一判断即可． 【答案】B 【点评】本题是用四个小题组合而成的,此题型考查内容丰富.试题对四个不同章节的内容进 行了考查,考查了平行四边形、菱形、正方形的判定、轴对称与中心对称的概念等问题． （2012 四川省资阳市，8，3 分）如图，△ABC 是等腰三角形，点 D 是底边 BC 上异于 BC 中点的一个点，∠ ADE＝∠ DAC，DE＝AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪 一个命题是假命题？ A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组对边平行的四边形是梯形 C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形A EBDC（第 8 题图） 【解析】由图形中的公共边 AD 结合已知条件∠ ADE＝∠ DAC，DE＝AC 可证△ADE≌△DAC （SAS） ，从而得∠E=∠C，再由 AB=AC 得∠B=∠C=∠E，由 DE＝AC＝AB，可发现四边 形 ABDE 中总有“一组对边相等，一组对角相等” ，而在点 D 运动过程中，四边形的形状不 固定为平行四边形.故选 C. 【答案】C 【点评】 本题灵活考查了三角形全等的判定及平行四边形的判定方法， 故解决本题的关键是 熟练掌握判定三角形全等及判定平行四边形各种方法.难度中等. （2012浙江省嘉兴市，13，5分）如图,Rt△ABC中,∠ C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点 D,CD=4,则点D到AB的距离为________.ABDC第13题【解析】如图(第 13 题-1 ),作 CE⊥AB,垂足为 E,由 AD 平分∠BAC,得 DE＝DC＝4. 应填 4.A E B CD第13题-1【答案】4 【点评】本题考查角平分线性质的应用.16.3 全等三角形 （2012 贵州贵阳，4，3 分）如图，已知点 A,D,C,F 在同一条直线上，AB=DE,BC=EF,要使 △ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ） B EADC 第 4 题图FA.∠BCA=∠F B. ∠B=∠E C.BC∥EF D. ∠A=∠EDF 解析：根据 SSS,可以添加条件 AC=DF（或 AD=CF）, 根据 SAS,可以添加条件∠B=∠ E.故 B 正确. 解答：选 B． 点评：本题考查了三角形全等的条件，解题的关键是列出已知条件，然后联想三角形全 等的判定定理寻找缺少的条件， 即得还需要添加的条件， 但要注意这类题目往往要求只添加 一个条件. （2012 山东省聊城，8，3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 BC 上.如果点 F 是边 AD 上的点，那么△CDF 与△ABE 不一定全等的条件是（ ）A. DF=BE B.AF=CE C.CF=AE D.CF//AE 解析：结合平行四边形性质，如果 DF=BE，则与∠B=∠D，AB=CD，恰好满足（SAS）全 等条件，即△CDF≌△ABE；如果 AF=CE，因为 AD=CB，所以 DF=BE，结合选项 A，能 够判断△CDF≌△ABE；如果 CF=AE，判断两三角形条件不具备；如果 CF//AE，则四边形 AECF 是平行四边形，则有 AE=CF，CE=AF，于是 BE=DF，而 AB=CD.所以具备全等三角 形条件 SSS. 答案：C 点评：本题借助平行四边形为背景，判断三角形全等.判断两三角形全等一般方法有 SSS、 SAS、ASA、AAS.条件中三要素必须对应具备. (2012 山东省临沂市，18，3 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，BC=2cm，CD⊥AB,在 AC 上取一点 E,使 EC=BC,过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF=5cm，则 AB= cm.【解析】 根据图形， Rt△ABC 中， ∠ACB=900， CD⊥AB, EC=BC， 可得， ∠A=∠F,∴△ABC ≌△FCE,∴AE=AC-EC,又∵BC=2，∴AE=5-2=3. 【答案】3【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础 题． （2012 广州市，18， 9 分） （本小题满分 9 分）如图 6，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB=AC，∠B=∠C。 求证：BE=CD。ADEB图6C【解析】证明两三角形全等即可得到两线段相等。用 ASA 证明。?∠A=∠A ? 【答案】证明：在△ABE 和△ACD 中。 ? AB=AC ?∠B=∠C ?∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD。 【点评】注意证明两三角形全等时公共角的应用。 （2012 湖北随州，19,8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上。 求证： （1）△ABD≌△ACD;（2）BE=CE解析： （1）由点 D 是 BC 的中点，得 BD=CD。则△ABD 和△ACD 中三条对应边分别 相等，利用 SSS 即可判定两三角形全等。 （2）利用等腰三角形“三线合一”或全等可得∠ BAD=∠CAD，从而易证SABE≌SACE，得到 BE=CE。 答案：证明： （1）在SABD 和SACD 中 ∵D 是 BC 的中点,? BD ? CD ? ? ∵ AB ? AC ? ? SABC≌SACD. (SSS) AD ? AD ? ?（2）由（1）知SABD≌SACD ? ∠BAD=∠CAD 即：∠BAE=∠CAE 在SABE 和SACE 中，? ? ?BAE ? ?CAD? ? SABE≌SACE ? AE ? AE ?AB ? AC(SAS)? BE=CE(其他正确证法同样给分) 点评：本题考查了三角形全等的性质及判定及等腰三角形的性质。等腰三角形的“三线 合一”性质的灵活应用，可以为全等三角形判定中条件的确定提供便利。而要证明两三角形 中线段的相等关系，一般可以通过证明两三角形全等，从而利用对应边相等得证。 （2012 浙江省绍兴，18，8 分）如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧， 分别交 AB，AC 于 E，F 两点，再分别以 E，F 为圆心，大于 弧交于点 P，作射线 AP，交 CD 于点 M. （1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数； （2）若 CN⊥AM，垂足为 N，求证：△CAN≌△MCN.1 EF 长为半径作圆弧，两条圆 2【解析】 （1）根据作图的步骤易证明 AM 是∠CAB 的平分线，即可求解．(2) 根据三角形 全等的判定方法“AAS”即可证明． 【答案】 （1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°， 又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°. 由作法知，AM 是∠CAB 的平分线， ∴∠MAB=1 ∠CAB=33°. 2（2）证明：由作法知，AM 平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB. ∵AB∥CD，∴∠MAB＝∠CMA， ∴∠CAM=∠CMA， 又∵CN⊥AD，CN= CN， ∴△AC≌△MCN. 【点评】本题综合运用了平行线、角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质． (2012 重庆，18，6 分)已知：如图，AB=AE，∠1＝∠2，∠B=∠E。求证：BC=ED。谢 勇 ] 李 旭 解析：由∠1＝∠2 可得∠DAE=∠CAB,根据 ASA 可证△ABC≌△AED 华 答案：∵∠1＝∠2 ∴∠DAE＝∠CAB ∵∠B＝∠E,AB=AE ∴△ABC≌△ADE ∴BC=DE 银 点评：利用三角形全等来解决线段或角相等，是较常见的方法。（2012 福州，17，每小题 7 分，共 14 分）（1）如图，点 E、F 在 AC 上，AB∥CD，AB=CD ， AE=CF。求证：△ABF≌△CDE。解析：欲证明△ABF≌△CDE，能直接用的条件是 AB=CD ，两外两个条件由 AB∥CD、AE=CF 来寻找，由 AB∥CD，可得∠A=∠C，由 AE=CF，可得 AF=CE，则问题可证。 答案： 证明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠C ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF 即 AF=CE 又∵AB=CD ∴△ABF≌△CDE 点评：本题将平行线的性质及三角形全等的判定相结合，考查了学生逻辑推理能力，本题易 出现错误的地方是将条件 AE=CF 直接运用。 （2012 浙江省义乌市，18，6 分）如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,作射线 AD,在线段 AD 及其延长线上分别取点 E、F,连结 CE、BF. 添加一个条件, 使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是 （不添加辅助线）.【解析】已知一对应边相等，一组对顶角相等，可以在添加一个条件一边或一角对应相等， 用 SAS 或 AAS 判定两三角形相似． 解：（1）添加的条件是：DE=DF（或 CE∥BF 或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB 等） （2）证明：（以第一种为例，添加其它条件的证法酌情给分）． ∵BD=CD，∠EDC=∠FDB ，DE=DF，∴△BDF≌△CDE ． 【点评】此题考查了三角形全等的判定,一般三角形全等三角形的判定方法有 SSS，SAS， ASA，AAS，直角三角形全等的判定方法是 HL. （2012 贵州铜仁， 10 分） 20， 如图， F 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的两点， AE∥ E、 CF， AE=CF，BE=DF.求证： ΔADE≌ ΔCBF．20 题图 【分析】首先利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，然后由 BE=DF.得出 DE=BF ，再利用 SAS 即可证明三角形全等 【解析】 证明：∵ AE∥ CF∴∠AED=∠CFB ∵DF=BE ∴DF+EF=BE+EF 即 DE=BF 在△ADE 和△CBF 中? AE ? CF ? ??AED ? ?CFB ? DE ? BF ?∴△ADE≌△CBF（SAS） 【点评】本题考查了全等三角形的判定。全等三角形的判定常见方法有 SSS、SAS、ASA、 AAS、HL（直角三角形） 。做题时要根据具体情况，灵活选择适合题目的判定方法，本 题利用 SAS 得出三角形全等是解答的关键。要准确辨认全等三角形的对应元素，掌握证 明三角形全等的方法，会通过证明三角形全等来证明线段及角相等；全等三角形的判定 是中考必考内容之一，是考试的热点与难点。 16.4 等腰三角形 15. （2012 浙江丽水 4 分，15 题）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=50°， ∠BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则∠CEF 的度 数是________.【解析】 ：连 BO、CO，则 AO=BO=CO 则∠OBC=∠OCB=40 度∠COE=40 度 EO=EC 所以∠CEF=（180-40-40）/2=50 度 【答案】 ：50° 【点评】 ：本题综合考查等腰三角形、线段垂直平分线、折叠等知识，将相关知识有机 结合才能使问题获解. ( 2012 年浙江省宁波市,16,3)如图，AE∥BD,C 是 BD 上的点,且∠ACD=1100, 则∠EAB=___________度. E ABCD【解析】首先利用∠ACD=110°求得∠ACB 与∠BAC 的度数，然后利用三角形内角和定理 求得∠B 的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可． 【答案】解：∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC ∵∠ACD=110° ∴∠ACB=∠BAC=70° ∴∠B=∠40°， ∵AE∥BD，∴∠EAB=40°， 故答案为 40° 【点评】题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题．（2012 贵州铜仁，7，4 分如图，在 ΔABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥ 交 AB 于 M， 交 AC 于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为( BC )7 题图 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【解析】根据角平分线性质和平行线的性质，然后利用“等角对等边”的性质可以得出 BM=ME,CN=NE,进而求出 MN 的值.∵ BE 是∠ ABC 的平分线∴ ABE=∠ ∠ CBE,∵ MN∥ BC， ∴ CBE=∠ ∠ BEM， ∴ ABE=∠ ∠ BEM， ∴BM=EM. 同理： CN=EN， BM+CN=EM+EN=MN=9 ∴ 【解答】D. 【点评】本题考查对角平分线的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定与性质的理解与 掌握.解答本题关键是证明 Δ BME 和 Δ CNE 是等腰三角形，找出 BM+CN 与 MN 之间的关系. （2012 贵州贵阳，15，4 分）如图，在第 1 个△ABA1 中，∠B=20°,AB=A1B,在 A1B 上取一 点 C，延长 AA1 到 A2，使得 A1A2=A1C；在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2 到 A3，使得 A2A3=A2D；??， 按此做法进行下去，第 n 个三角形的以 An 为顶点的内角的度数为 . 解析： 可得到∠AA1B=80°, ∠A1A2C=40°=1 1 1 2 ×80°, ∠A2A3D= ×40°=20°=( ) 2 2 2B×80°,??，故可猜想第 n 个三角形的以 An 为顶点的1 n-1 内角的度数为( ) 80°. 2 1 n-1 答案：( ) 80°. 2C DE 点评：本题用到的知识点有等腰三角形的性质、三 A3 A A1 A2 角形的内角和以及三角形的内角与外角的关系，但更重 要的是解决本题的从特殊到一般的归纳思想方法，运用 第 15 题图 归纳思想解题的一般步骤是先求出几种特殊情况下问 题的解，然后从中观察归纳得出蕴含的一般规律，最后用所得规律解题.A4An（2012 山东泰安，26，8 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=45?，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足 分别为 D、E，F 为 BC 中点，BE 与 DF、DC 分别交于点 G、H，∠ABE=∠CBE。 （1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；2 2 2 （2）求证： BG ? GE ? EA【解析】1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出 DB=CD， 根据 AAS 证出△DBH≌△DCA 即可； （2）根据 DB=DC 和 F 为 BC 中点，得出 DF 垂直平 分 BC，推出 BG=CG，根据 BE⊥AC 和∠ABE=∠CBE 得出 AE=CE，在 Rt△CGE 中，由勾 股定理即可推出答案． 【答案】 (1)BH=AC 证明： ∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90?, ∠ABC=45?, ∴∠BCD=45?=∠ABC, ∴ DB=DC. 又∵∠BHD=∠CHE，∴∠DBH=∠DCA，∴△DBH≌△DCA, ∴BH=AC. (2) 证明： 连 2 2 2 接 GC，∴GC -GE =EC . ∵F 为 BC 的中点，DB=DC，∴DF 垂直平分 BC，∴BG=GC，∴ BG2-GE2=EC2. ∵∠ABE=∠CBE，∴EC=EA，∴BG2-GE2=EA2. 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平 分线的性质的应用.注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有 三线合一的性质，考查学生综合运用定理进行推理的能力． 16.5 等边三角形 16.6 三角形的中位线 8.（2012 浙江省湖州市，8，3 分）△ABC 的三条中位线围成的三角形的周长为 15cm，则 △ABC 的周长为 A.50cm B.45cm C.30cm D.15 cm 2【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，然后进行判断． 【答案】选：C． 【点评】 本题考查了三角形中位线的性质， 三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段， 中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半,所以三条中位线围成的三角形的周长为 原三角形周长的一半。 （2012 年四川省德阳市，第 13 题、3 分． ）如图，点 D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 的中点， 连接 DE，若 DE=5，则 BC= .AD BE C(第13题图)【解析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可求得 BC 【答案】因为 D、E 是 AB 和 AC 的中点，所以 DE=1 BC,即 BC=2DE=10. 故答案是：10. 2【点评】此题主要是考察学生对三角形中位线的理解和掌握． （2012 浙江省湖州市，16，4 分）如图，将正△ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三角形和1 个黑色菱形， 这个黑色菱形可分割成 n 个边长为 1 的小正三角形， 如 的边长是 。m 47 = ， 则正△ABC n 25【解析】设正三角形 ABC 的边长为 a，则正三角形 ABC 的面积= 为 1 的小正三角形的面积为 m× ×3 2 a ,则 m 个边长 43 3 ×12= m, 则 n 个边长为 1 的小正三角形的面积为 n 4 43 3 m 47 ×12= n,由 = ，设 m=47k，n=25k，则 m+n=72k，所以三角形 ABC 的面 n 25 4 4 3 3 2 3 .即 a =72k× ，所以 a2=72k，又 4 4 4积=（m+n）个小正三角形的面积=72k×a 为正整数，所以 72k 为完全平方数，即最小 K 值为 2。所以 a2=144，所以 a=12。【答案】12 【点评】本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么 规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、 仔细思考，善用联想来解决这类问题． （2012 四川攀枝花， 3 分） 7， 如图 2， △ABC ≌ △ADE 且∠ABC= ∠ADE, ∠ACB=∠AED,BC、 DE 交于点 O.则下列四个结论中，①∠1=∠2 ；②BC=DE；③△ABD ∽ △ACE；④A、O、 C、E 四点在同一个圆上，一定成立的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解析】 △ABC ≌ △ADE， 所以∠BAC=∠DAE， 所以∠1=∠2； 和 DE 是对应边； BC AB=AD， AC==AE，所以△ABD 和△ACE 都是等腰三角形，且∠1=∠2，所以两边对应成比例且夹角 相等，△ABD ∽ △ACE；△ABC ≌ △ADE，所以∠AEO=∠ACO，所以 A、O、C、E 四 点共圆。 【答案】D 【点评】本题考查了三角形旋转全等的性质和四点共圆的判定。 (2012 山东省临沂市，18，3 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，BC=2cm，CD⊥AB,在 AC 上取一点 E,使 EC=BC,过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF=5cm，则 AB= cm.【解析】 根据图形， Rt△ABC 中， ∠ACB=900， CD⊥AB, EC=BC， 可得， ∠A=∠F,∴△ABC ≌△FCE,∴AE=AC-EC,又∵BC=2，∴AE=5-2=3. 【答案】3 【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础 题． （2012 江西，17，6 分）已知两个菱形 ABCD、CEFG 如图所示放置，其中点 A、C、F 在 同一直线上，连接 BE、DG． （1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形； （2）证明：BE=DG．解析：根据菱形的性质可知△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC， △GDC≌△EBC， 再由菱形的性质和全等三角形的判定方法说明△GDC≌△EBC， 即可证明 BE=DG．或者根据对称知识直接说明 BE=DG． 答案：解:(1) △ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC， △GDC≌△EBC（任意两对均可）； (2)方法一：连接 DB、GE， ∵四边形 ABCD、CEFG 是菱形， ∴对角线 DB、GE 被直线 AF 垂直、平分， ∴点 D 与点 B， G 与点 E 都是以直线 AF 为对称轴的 点 两对对称点， ∴BE=DG． 方法二: ∵四边形 ABCD、CEFG 是菱形， ∴DC=BC，CG=CE，∠DCA =∠BCA，∠GCF =∠ECF； ∵∠ACF =180° ， ∴∠DCG =∠BCE， ∴△GDC≌△EBC，∴BE=DG． 点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定方法及对称知识，证明两条线段相等的常 用方法是通过证明一对全等三角形，也可通过对称或平行四边形的知识说明两条线段相等． （2012 北京，16，5）已知：如图，点 E ，A ，C 在同一条直线上， AB ∥ CD ，AB ? CE ，AC ? CD ．求证： BC ? ED . 【解析】证明三角形全等 【答案】∵AB∥CD ∴∠BAC=∠ECD在△BAC 和△ECD 中? AB ? CE ? ??BAC ? ?ECD ? AC ? ED ?∴△BAC≌△ECD （SAS） ∴BC=ED 【点评】本题考查了利用平行得到内错角相等，然后再证明三角形全等。（2012 湖北黄石，19，7 分）如图（8）所示，已知在平行 四边形 ABCD 中，BE＝DF．求证：∠DAE＝∠BCF． 【解析】证两角所在的三角形全等． 根据“AAS”可证△ADE ≌△CBF． 【答案】∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴AD∥BC，且 AD＝BC ∴∠ADE＝∠BCF ????????????????????2 分 又∵BE＝DF， ∴BF＝DE ??????????????????1 分 ∴△ADE≌△CBF ????????????????????2 分 ∴∠DAE＝∠BCF ????????????????????2 分 【点评】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，属基础题．（2012 湖北襄阳，19，5 分）如图 7，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，将△ADC 绕点 A 顺时针旋转，使 AC 与 AB 重合，点 D 落在点 E 处，AE 的延长线交 CB 的延长线于 点 M，EB 的延长线交 AD 的延长线于点 N．求证：AM＝AN． A E M B D N 图7 【解析】欲证 AM＝AN，可证明△AMB≌△ANB． 【答案】证明：∵△AEB 由△ADC 旋转而得，∴△AEB≌△ADC． ∴∠EAB＝∠CAD，∠EBA＝∠C． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠C． ∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠DBA． ∵∠EBM＝∠DBN，∴∠MBA＝∠NBA． 又∵AB＝AB，∴△AMB≌△ANB． ∴AM＝AN． 【点评】证明线段相等的常用方法：如果在一条直线上，可以用和差计算；如果在一个 三角形中，可以用“等角对等边”；如果在不同的三角形中，可以用全等三角形证明． （2012 广州市，18， 9 分） （本小题满分 9 分）如图 6，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB=AC，∠B=∠C。 求证：BE=CD。 CADEB图6C【解析】证明两三角形全等即可得到两线段相等。用 ASA 证明。?∠A=∠A ? 【答案】证明：在△ABE 和△ACD 中。 ? AB=AC ?∠B=∠C ?∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD。 【点评】注意证明两三角形全等时公共角的应用。 (2012 重庆，18，6 分)已知：如图，AB=AE，∠1＝∠2，∠B=∠E。求证：BC=ED。 丁 佩 军 芬解析：由∠1＝∠2 可得∠DAE=∠CAB,根据 ASA 可证△ABC≌△AED 答案：∵∠1＝∠2 ∴∠DAE＝∠CAB ∵∠B＝∠E,AB=AE ∴△ABC≌△ADE ∴BC=DE 点评：利用三角形全等来解决线段或角相等，是较常见的方法。 （2012 福州，17，每小题 7 分，共 14 分） （1）如图，点 E、F 在 AC 上，AB∥CD，AB=CD ，AE=CF。求证：△ABF≌△CDE。解析：欲证明△ABF≌△CDE，能直接用的条件是 AB=CD ，两外两个条件由 AB∥CD、AE=CF 来寻找，由 AB∥CD，可得∠A=∠C，由 AE=CF，可得 AF=CE，则问题可证。 答案： 证明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠C ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF 即 AF=CE 又∵AB=CD ∴△ABF≌△CDE 点评：本题将平行线的性质及三角形全等的判定相结合，考查了学生逻辑推理能力，本题易 出现错误的地方是将条件 AE=CF 直接运用。（2012 浙江丽水 4 分，15 题）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则∠CEF 的度数是 ________.【解析】 ：连 BO、CO，则 AO=BO=CO 则∠OBC=∠OCB=40 度∠COE=40 度 EO=EC 所以∠CEF=（180-40-40）/2=50 度 【答案】 ：50° 【点评】 ：本题综合考查等腰三角形、线段垂直平分线、折叠等知识，将相关知识有机 结合才能使问题获解. （2012 江西，2，3 分）等腰三角形的顶角为 80? ，则它的底角是( A. 20? B. 50? C. 60? D. 80? 解析：根据等腰三角形的性质可知，顶角为 80? ，则它的底角为 解答：解：∵ 顶角为 80? ，∴ 它的底角为 ) ．180? ? 80? ? 50? ． 2180? ? 80? ? 50? ∠ 故答案为：B． 2点评：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等；也考查了三角形的内角和 定理．解题的关键是找到等腰三角形的相等的两个底角． （2012 四川攀枝花，6，3 分）已知实数 x, y 满足 x ? 4 ? 边长的等腰三角形的周 长是（ A. 20 或 16 B.20 C.16 【解析】|xC4|≥0, ） D.以上答案均不对y ? 8 ? 0 ，则以 x, y 的值为两y ? 8 ≥0, x ? 4 ? y ? 8 ? 0 ，所以|xC4|=0,x=4； y ? 8 =0，y=8;4,4,8 不能构成三角形。4，8，8 可以构成三角形，且周长为 20 【答案】B 【点评】本题考查了绝对值的意义和二次根式的意义，和构成三角形的条件，即两边之和大 于第三边。 （2012 浙江省湖州市， 3 分） 8， △ABC 的三条中位线围成的三角形的周长为 15cm， 则△ABC 的周长为 A.50cm B.45cm C.30cm D.15 cm 2【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，然后进行判断． 【答案】选：C． 【点评】 本题考查了三角形中位线的性质， 三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段， 中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半,所以三条中位线围成的三角形的周长为 原三角形周长的一半。 （2011 山东省潍坊市， 题号 16， 分值 3） 如图所示， 16、 AB=DB, ∠ABD=∠CBE,请你添加一个适当的条件 ， 使△ABC≌△DBE（只需添加一个即可） 考点：三角形全等的判定，开放性命题 解答：已经∠ABD=∠CBE 可得∠EBD=∠CBA 证明△ABC≌△DBE，已经具备了一边 AB=DB 和一角∠EBD= ∠CBA 分别相等，可以找一边等或者角等。找边等用：用 SAS，应该找夹∠EBD=∠CBA 的另一边等，即 BE=BC 找角等：如果用 ASA，应找夹 AB=DB 的另一组角等，即∠BDE=∠BAC 如果用 AAS, 应找 AB=DB 的对角相等，即∠DEB=∠ACB 因此本题的答案不唯一，可以写 BE=BC 或∠BDE=∠BAC 或∠DEB=∠ACB（只需添加一 个即可） 点评： 本题是一个几何开放题， 添加一个适当的条件使三角形全等， 关键是找到已知的条件， 思考所以的证明方法，从而添加条件。 更多相关文档