三角形_百度百科
[sān jiǎo xíng]
三角形是由不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形.常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。【也有】
三角形基本定义
由同一平面内，且不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的封闭的内角和为180度的几何图形叫做三角形（triangle），符号为△。三角形是几何图案的基本图形。[1]
三角形分类
三角形按角分
判定法一：
：三角形的三个内角都小于90度。
：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
：三角形的三个内角中有一个角大于90度。[2]
判定法二：
锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。
直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。
钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。
其中锐角三角形和钝角三角形统称为。
三角形判断方法
若一个三角形的三边a，b，c （a≥b≥c&0） 满足：
1.b?+c?&a?，则这个三角形是；
2.b?+c?=a?，则这个三角形是；
3.b?+c?&a?，则这个三角形是。
三角形按边分
；不等边三角形，数学定义，指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。
；（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。等腰三角形的腰与它的高的关系，直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
。等边三角形（又称），为三边相等的三角形，其三个相等，均为60°，它是的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
三角形周长公式
若一个三角形的三边分别为a、b、c，则
三角形面积公式
（面积=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。
（其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c。参见）
(l为高所在边）
（），其中
秦九韶公式（与等价）
（其中，R是外接圆半径）
6 （其中，r是内切圆半径）
7 在内，A（a，b），B（c，d），C（e，f）构成之三角形面积为
A，B，C三点最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小。
（面积公式，a是三角形的边长）
(其中，R是半径；r是半径）
三角形“四线”
三角形中线
连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。
从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（altitude）。
三角形角平分线
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的（bisector of angle）。
三角形中位线
三角形的三边中任意两边中点的连线叫。它平行于第三边且等于第三边的一半。切记，中位线没有逆定理。[2]
三角形性质
1 在平面上三角形的和等于180°（内角和定理）；
2 在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)；
3 在平面上三角形的等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4 一个三角形的三个内角中最少有两个。
5 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a?+b?=c? ，那么这个三角形是直角三角形。
9直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12 等底同高的三角形面积相等。
13 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
三角形其他
16 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
在三角形中
,其中角α,β,γ分别对着边a,b,c。
17 在斜△ABC中恒满足：
18△ABC中恒有
19三角形具有稳定性[2]
三角形边角关系
给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来。
三角函数是数学中属于中的一类。请参考相关词条。
三角形全等三角形
三角形定义
两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。[8]
三角形性质
的对应角相等，对应边也相等。翻折，，旋转，多种变换叠加后仍全等。[8]
三角形判定
1 两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS&；
2 两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”；
3 两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“”或“ASA”；
4 两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“”或“AAS”；
5 两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”；
注：“边边角”即“SSA”和“角角角”即：&AAA&是错误的证明方法
三角形相似三角形
三角形定义
对应边成比例的两个三角形叫做。
三角形性质
1 相似三角形对应边成比例，对应角相等。
2 相似三角形对应边的比叫做。
3 相似三角形的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
4 相似三角形对应（、中线、高）之比等于相似比。[9]
三角形判定
1 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。
2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。
3 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。
4 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。[9]
三角形特殊点、线
、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指、、、和；“四圆”为、、和；“三点”是勒莫恩点、和；“一线”即。[10]
五心的距离
OH?=9R?–(a?+b?+c?),
OG?=R?–(a?+b?+c?)/9,
OI?=R?–abc/(a+b+c)=R? – 2Rr
GI?=(p?+5r?–16Rr)/9,
HI?=4R?-p?+3r?+4Rr=4R?+2r?-(a?+b?+c?)/2,
其中，R是半径；r是半径。
三角形三角形的稳定性
在所有平面多边形中，唯三角形具稳定性。
三角形证明
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。
∴第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
埃菲尔铁塔
∴两端点距离不固定
∴这两边夹角不固定
∴n边形（n≥4）每个角都不固定
∴n边形（n≥4）没有稳定性
三角形作用
三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。三角形的结构在工程上有
着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构，如：，埃及等等。[1]
三角形在籽岷学中也有很大作用，比如求三福尔勒斯变换的籽岷粉丝n年后数量，对人类做出了很大贡献。
三角形有关定理
三边关系定理
费尔巴哈定理
拿破仑定理
．中考网[引用日期]
范良火 主编．数学，七年级下册．杭州：浙江教育出版社，2006
．人民教育出版社官网．[引用日期]
．爱词霸．[引用日期]
．360doc个人图书馆．[引用日期]
Ron Larson．Elementary and Intermediate Algebra：Cengage Learning，2009：530
．中考网[引用日期]
．人教网2010[引用日期]
．维基百科[引用日期]
．搜狗问问．[引用日期]
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＞＞＞在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别..
在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
如图，在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=16，中线AM和高线AD分别为10和9，∠BAC=α，∠AMC=θ，从而∠AMB=180°-θ，由题意得，b2+c2-2bccosα=1622(b2+c2)=162+202，解得bccosα=36，又由12bcsinα=12×9×16，得bcsinα=144，故tanα=sinαcosα=4．
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据魔方格专家权威分析，试题“在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别..”主要考查你对&&锐角三角函数的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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锐角三角函数的定义
锐角三角函数：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。锐角三角函数的增减性：1.锐角三角函数值都是正值2.当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°&A0, cotA&0。锐角三角函数的关系式：同角三角函数基本关系式tanα·cotα=1sin2α·cos2α=1cos2α·sin2α=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα(sinα)2+(cosα)2=11+tanα=secα1+cotα=cscα诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin(2α)=2sinαcosαCos(2α)=（cosα）2－(sinα)2=2(cosα)2－1=1－2(sinα)2Tan(2α)=2tanα/(1-tanα)sin(3α)=3sinα-4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α)=4cos3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α)=(3tanα-tan3α)/(1-3tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)和差化积、积化和差公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]sinαcosβ=-[sin（α+β）+sin（α－β）]sinαsinβ=-[1][cos（α+β）-cos（α-β）]/2cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2
发现相似题
与“在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别..”考查相似的试题有：
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网友[hhhhh]评论：难懂―― 17:26:17网友[Ca个]评论：铪―― 19:44:32网友[]评论：9尺寸v―― 20:52:47网友[nanranjishanqi]评论：vsgaegta―― 11:53:54网友[dsSD]评论：vsgaegta―― 19:39:27
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