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问答题已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，
其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导．求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程． 参考答案题设要求的是切线方程，因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可．由已知f(x)是周期为5的连续函数，因而求f’(6)及f(6)就等价......
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最新相关试卷设y=（1+sinx）x，则dy|x=π=______．
【忧伤丶】grJU
∵y=（1+sinx）x∴lny=xln（1+sinx）两边对x求导得∴x[ln(1+sinx)+xcosx1+sinx]∴y′|x=π=-π∴dy|x=π=-πdx
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此题是幂指函数的导数，可以先对幂指函数取自然对数，然后再求导
本题考点：
隐函数的求导法则．
考点点评：
也可以将幂指函数转化成指数函数，然后再求导数．另外，dy=y'dx，不要漏了dx
答：y=(1+sinx)^x两边取自然对数：lny=xln(1+sinx)两边对x求导：y' /y=ln(1+sinx)+xcosx /(1+sinx)x=π代入两个方程得：y=(1+sinπ)^π=1y' / 1=ln(1+0)+πcosπ /(1+0)y'=0-π=-π所以：dy=-πdx
lny=xln(1+sinx)两边取全微分得到dy/y=[ln(1+sinx)+xcosx/(1+sinx)]dx所以dy=y[ln(1+sinx)+xcosx/(1+sinx)]dx所以dy|(π，1)= -πdx
因为y=(1+sinx)^x所以lny=ln(1+sinx)^x=xln(1+sinx)y'/y=ln(1+sinx)+xcosx/(1+sinx)y'=[ln(1+sinx)+xcosx/(1+sinx)](1+sinx)^xdy/dx|x=π
扫描下载二维码已知y=f（），f′（x）=arcsinx2，则x=0=．【考点】；．【分析】首先，依据y=f（），f′（x）=arcsinx2，求得f′（）；然后，再根据复合函数求导法则，求出y′，代入x=0即可求得．【解答】解：由，f′（x）=arcsinx2得2o(3x-23x+2)′=arcsin(3x-23x+2)2o12(3x+2)2∴x=0=124arcsin1=3π2【点评】此题考查复合函数的求导法则，是基础知识点．要注意f′（）是表示对求导．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：老师　难度：0.76真题：1组卷：0
解析质量好中差
&&&&，V2.16027已知y等于（1+sinx）的x次幕求dy等于什么
试一下两边取对数然后求微分
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高数高频易错点 重点题（考前务必请看）
主编的微信：idaxue8，期待和你成为朋友！ 1.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道：lim(x趋向0)sinx/x=1，但是当x趋向无穷limsinx/x=0，原因：无穷小量×有界函数=无穷小量。这里：|sinx|&=1，1/x是无穷小量。再次重申：请注意x趋向什么。
2.关于极限的保号性。若 lim f(x)=A , A&0或(A&0)，则存在δ&0，当x取x0的δ去心　　x-&x0 邻域时,f(x)&0(或f(x)&0)。这是最原始结论：如果结论中不取去心邻域，那么结论是错的。比如举例分段函数：当x=0时，f(x)=-1，当x不为0时，f(x)=x^2＋1，显然lim(x趋向0)f(x)=1&0，然而并不满足f(x)&0(在x=0处)。介绍这个定理的作用：解一类题。请看：已知f(x)可导，且当x趋向0，limf(x)/|x|=1，判断f(x)是否存在极值点。 因为f(x)可导，那么f(x)必连续，因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1，那么我们得到结论：lim(x趋向0)f(x)=0，否则不会存在极限的，又因为f(x)连续，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根据保号性，因为limg(x)=1&0，那么：g(x)&0，那么由于|x|在x趋向0时&0，所以f(x)&0，而0=f(0)，所以f(x)&f(0)，根据极小值的定义，x=0为f(x)的极小值点。 ★综上：已知limg(x)=a，a的正负已知，可以使用保号性。　　3. 请注意当题目说：x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：x趋向正无穷和x趋向负无穷。在含有e^x，arctanx，等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。补充：在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去||时，必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以√(x^2)出现。　　4.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀：同c异s，s异c同。前者用来记住积化和差，后者用来记住和差化积。举例：sinacosb=？因为它们的三角函数名异名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b))，★说明：1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；2，这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2(()＋(或者-)())；3，实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。　　5. 关于极值点的3种判别法：■法一：定义法；■法二：若f(x)可导，f'(xo)=0，且f’’(x)不为0，则f(x)在xo处取得极值，若二阶导&0，取得极大；＞0，极小。法三：(n阶判别法)：若f'(xo)=二阶导(xo)=…=n-1阶导(xo)=0，且n阶导不为0，若n为偶数，且n阶导&0，极小，反之，极大；若n为奇数，n阶导不等于0，则(xo，f(xo)为拐点，xo不是极值点。证明：略　　6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚)，我们说一般地，y''表示对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。y''=d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx，对于求dy/dx，我们采用求关于t的y’(t)，和关于t的x'(t)，因为dy/dx=(dy/dt)×(dt/dx)=y'(t)/x‘(t)。举例：已知y=cost，x=t^2，那么求dy/dx，d^2y/dx^2。标准解答：1：y'(t)=-sint，x'(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=｛d[(-sint)/2t]｝/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t^3) ………★综上：二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。　　7.等价无穷小只能使用于乘除(题外：其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆)。比如：初学者可能会认为这个极限为0，lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x^3=0[计算思路：(x-x)/x^3=0]，事实上它等于1/2.原因：提取tanx后等价无穷小。等价无穷小必须自己去背的，没有人可以帮你。　　8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一：把变量当做常量。比如：y=x^x，标准解答lny=xlnx，两边对x求导，y'/y=1+lnx，所以y'=(x^x)(1+lnx)。错误做法：y=x^x，y'=x(x^(x-1))=x^x。(但愿你们找到了错误在哪)，错误二：搞不清楚对x求导是什么意思。当然：y=x^2求导大家都会吧，y'=2x，当出现对y^2=x^2，很多同学就迷茫了，我们说y是x的函数，所以最后必须乘y'，对y^2=x^2求导，得到：2yy'=2x.再则：对隐函数求导我们把其中一个看成常量，比如y=yx+x^2，那么求导：y'=y+y'x+2x。★综上：对隐函数求导，若是单独y，求导为y'，一切关于y的函数(比如y^2，lny，a^y等)，先对这个函数求导再乘y'.　　9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心点的去心邻域内的点未必可导。比如函数f(x)=0 当x是有理数。　　f(x)=x^2 当 x是无理数。　　只在x=0处点连续，并可导。按定义可验证在x=0处导数为0. 　　10.无穷小×有界=无穷小，但是：无穷大×有界未必等于无穷大。正确结论：无穷大×有界=未知，比如：当x趋向正无穷，x，x^2始终为无穷大，而1/x，1/x^2为有界量。 注意到：x*(1/x^2)=1/x就是一个无穷小,而x^2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。　　11.可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续，特别开心，他说易得：左导=右导=f(xo)，你太天真了。其实：连续是说左极限=右极限=f(xo)，可导是：lim(x-&xo)f(x)=f(xo)，且左导=右导。请搞清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。补充：在一元函数微分学中，可导必然连续，连续未必可导(这个显然嘛，y=|x|在x=0处连续但是不可导)。　　12.很多初学者认为：∫(a到x)f(t)dt中，变量是t，这是错的，你忽略了变限积分的来历，自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住：这里x是变量，它求导=f(x)。　　13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0，他说比如0/0不是以0为分母，他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0，它表示极限0，由于极限等于0，我们习惯称为0/0形式。也就是说：若没有lim这个符号，0/0没有意义。事实上：再比如：货真价实的数字1，1^无穷 =1，若是(极限1)^无穷，则结果待定。★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如：0/0，1^无穷，无穷/无穷，等等7类运算。为此，产生了7种特殊的式子：不定式。由于结果不确定，所以称之为不定式。…………◆综上：我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论，并且注意区分。　　14.求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤立点不连续，不可导，故不符合洛必达的条件1，为此：正确做法：先令n为x，再使用洛必达，最后换为n.　　15. 无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大[但是请注意：这里的无穷小除去了0。　　16.x趋向0，limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明，原因：(sinx)‘=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1，所以犯了循环论证的错误～　　17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0，无穷/无穷那么简单。洛必达的3个条件：
（1）x→a时， lim f(x)=0,lim F(x)=0;　　（2）在点a的某 去心邻域 内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的 导数 不等于0;　　（3） x→a时， lim( f'(x)/F'(x) ）存在或为 无穷大　　则 x→a时，lim( f(x) / F(x))=lim( f'(x)/F'(x) ) ，◆◆◆请注意：1，第三点很容易被忽略，一般地：含有lim(x趋向无穷)sinx，或者cosx，是不会采用洛必达的；2，在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所以每次做含有抽象函数的题使用洛必达＋最后一步使用导数定义！3，单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。(如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不在意，但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)　　18.一般地：我们有以下结论：lim(x趋向xo)f(x)=a，则必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|。注意：★若a不为0，上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的]，若a=0，上述结论逆命题仍然成立！　　19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。在使用极坐标时，应该同时注意到：θ和ρ的任意性。比如：(x，y)趋向(0，0)，求lim(xy)/(x y)，容易证明该极限不存在(一条路径：y=x，另一条：y=x^2-x)，倘若使用极坐标，则得：limρ(cosθsinθ)/(cosθ＋sinθ)，此时有分母出现0的可能(取θ=45度)，因此不确定该极限是否存在，本法失效，或者说：你无法证明(cosθsinθ)/(cosθ＋sinθ)有界。综上：倘若使用极坐标，须同时考虑θ，ρ的任意性，不可盲目使用。　　20. 注意仅当y=f(x)时有：y'=f'(x)。若y=f(■)，■不等于x时，y'不等于f'(■)。比如：y=f(x^2)，y'=f'(x^2)2x，而不是等于f'(x^2)。下面说明f'(■)和[f(■)]’的区别：f'(■)表示已知f'(x)的表达式，并且把■当做x代入，这个过程是代值过程；而[f(■)]‘的意思是求导，至于对谁求导，则根据■确定。注意：仅当■=x时，f'(■)=[f(■)]’，即：f'(x)=[f(x)]’，其他情况没有这个式子。综上：[f(■)]’=f’(■)■’。　　21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导，“连续可导”意思是说f(x)的导函数连续。……………………………………ps：f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续，反之不然。　　22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u)，其中u=arctan(b/a)，强制要求a&0；asinx+bcosx=√(a^2+b^2)cos(x+u)，其中u=arctan(-a/b)，强制要求b&0。 ………………………………………………………………■ps：为什么要强制要求？[以第一个为例，第二个同理]原因在于：我们既然采用了用u=arctan[b/a]来确定u的值，好处在于u在[-派/2，派/2]上是一一对应的(因为y=tanx在该范围内单调)，事实上，u的范围就是[-派/2，派/2]，由此我们再来看给出的公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u)，将右边展开得：√(a^2+b^2)cosusinx+√(a^2+b^2)sinucosx，根据待定系数原则可得：cosu=a/√(a^2+b^2)，倘若我们不控制a&0，比如取a&0的话，那么cosu&0，显然u的范围已经落在二三象限中去了，而我们规定u在[-派/2，派/2]，即一四象限，由此出现矛盾，所以a必须大于0，u的范围才吻合公式左右。　　23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限？其实，原因很简单。在于：dφ，dθ，dρ，dx，dy，dz，dr都是正数。　　24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。我相信不止一个人考虑过这个问题。请看：求定积分I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx，当然可以用面积来做，这里为了说明疑问，不用面积做，而用三角换元做。……………★书上对定积分换元法的说明是这样的：设f(x)在[a,b]上连续，【当t从α变到β时，x=φ(t)要从φ(α)=a(单调地）变到φ(β)=b,这里不必要求φ(t)单调，即不必要求x=φ(t)有反函数存在】，但不允许x=φ(t)的取值变到区间[a,b]之外。此外，还要求φ(t)在[α,β]上具有连续的导数φ’(t)，这时，定积分的换元公式才成立。…………………………■：简单说就是满足两个条件，单值加连续导数。…………■下面来做本题：令x=asint，则dx=acostdt， 【当x=0时，t取0，x=a时，t取：派/2】，对于这个【】里面的过程有些同学无法接受，[问题1]凭什么x=0，t要取0，为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t？ [问题2]凭什么一定要上限&下限。 解答问题1：首先为了满足单值，不可以取一个形如[派，5派/2]的区间去对应原来的[0，a]尽管相对于x　　尽管相对x=asint来说不存在任何问题，但是你忽略了定积分换元的条件[单值]，在此区间[派，5派/2]内x=asint不是单值的[意思是：令x=k，解得t不唯一]。所以不能取一个区间不满足单值的。比如：你取一个[0，派/2]这样的就是合适的，当然你取[派，派/2]这个也是对的，为什么请看证明？我们无疑地知道I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=派a^2/4[用面积显然]，下面通过计算来说明为什么取t属于[派，派/2]也是正确的。I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=∫[派到(派/2)]a|cost|costdt。[说明：这里开根号注意是绝对值]，由于此时t的范围是[派，派/2]，所以cost&0，去绝对值时请注意这点，下面再用降幂公式易证答案正确。 ……………ps：你取任何一个单值区间满足题意都是正确的 。只不过计算过程的问题。 …………………………… 解答问题2：事实[问题1]证明在换元时可以上限&下限。 ■：综上：三角换元 可以取你想取的值，但是请注意使用条件以及计算的简便化。 末了附注：本题中a&0　　25.收敛级数加括号仍然收敛，发散级数加括号未知；正项级数敛散形不受加括号的影响。
高等数学重点题 教材：P21 4,10；P47 例五；P56 1；P58 例二；P59 1；P65 例二；P70 6 P72 例一；P74 总复习 2 习题1-10 2，3；P86 6；P87 13,14,15；P98 6,7,8,9,10,11；P103 1；P134 6 8 9 10；P138 例9 , 1；P154 12 P162 例7 ；P163 8 9 ；P164 15 16 ；P182 总复习 2 ；P198 例14 ；P207 2.（1）(6) （7）（11）（13）（24）（30）（32）（34）（41）（43） ；P209 例2 例3 例9 ；P213 1 6 24 ；P243 六（4）（5）（8） ；P247 例5 P251 例11 ；P253 一（8）（10）（18）（19）（20）（21）（22） ；P256 例1 例2 ；P258 例4 ；P260 一 （3）（7） ；P274 例1 例2 ；P278 例2 例7 ；P284 1 12
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