一道全国初中数学联合竞赛竞赛题(与完全平方数有关）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-02-11 12:24 标签： 初中数学竞赛试题
一道初中数学竞赛题（关于最大值的代数题）n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件,1＝a1＜a2＜…＜an＝,…,an中任意 n－1 个不同数的算术平均数都是正整数,求 n 的最大值．_百度作业帮 一道初中数学竞赛题（关于最大值的代数题）n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件,1＝a1＜a2＜…＜an＝,…,an中任意 n－1 个不同数的算术平均数都是正整数,求 n 的最大值． 由题意可知,n个数中任意n-1个数之和都能被（n-1)整除,设前n-1项之和为k(n-1),即前(n-1)项平均数为k（k为整数）即a1+a2+a3+...+a(n-1)=k(n-1),这时假使把这个等式中的a(n-1)替换为an,因为an>a(n-1),所以平均数应该变大,又因为平均数为整数,所以平均数至少增大1,即a1+a2+...+a（n-2）+an=(k+p)(n-1) p=1,2,3...这两个等式比较,不难看出an=a(n-1)+p(n-1) p=1,2,3...(注：因为输入不太方便,上述等式中a(n-1)的括号表示第n-1项,后面的括号表示乘法,注意分辨）,也就是说an至少比a(n-1)大 一倍的n-1 ,再把第二个式子中a(n-2)换为a(n-1),可以得到同样结论,也就是a（n-1）至少比a(n-2)大 一倍的n-1.依此类推最终得到an-a1至少为n-1倍的n-1 (即为了使数列项数最多,使数列更紧凑,每一项只比前一项大一倍的n-1,即p始终为1）所以在此种情况下an=a1+(n-1)*(n-1),即an=a1+(n-1)^2,因为an 您可能关注的推广已知连续2008个正整数的和是一个完全平方数,则其中最大的数的最小值是_____._百度作业帮 已知连续2008个正整数的和是一个完全平方数,则其中最大的数的最小值是_____. n,n+1,...n+2007(2n+/2=07)×251...2502n+1n=126最大数的最小值是126+ 设最大数是x，最小数是x-2007他们的和为(x+x-8=(2x-=(2x-2x-2007应为251的完全平方数倍2x-x=2133 设k，k+1，k+2……k+2007，为连续2008个数，则和为（2k+2007）*10041004因式分解，=4*251,4为完全平方数可以不管它，那么（2k+2007）*251必须为完全平方数，则a*a*251=2k+2007k=（a*a*251-2007）/2又.99可以大概估计出a的值为3所以k=126
b-a)而89因数只有1和89故b-a=1,b+a=89解之得：b=45,a=44再代入方程中得X=1981 a^2-45=x^2a^2+44=y^299=3*3*11y^2-x^2=99=3*3*11x+y=33y-x=3y=18,x=15 假设自然数x, x-45=p^2,x+44=q^2 ,q>p>0,整数 q^2-p^2=89 (质数） (p+q)(q-p)=1*89 p+q=89,q-p=1 q=45, x=45^2-44=1981 这个自然数1981 X^2-Y^2=45+44=89即(X+Y)(X-Y)=89=89*1所以X=45 所以此数为1981 X-45=M^2 ① X+44=N^2 ② N^2-M^2=99 ③ 所以，N^2=x+44＞x-45=M^2，∴n＞m． 由③式，89为两个自然数之积，但89为质数，它的正因数只能是1与89，于是n- m=1，n+m=89．解之，得n=45．代人②得x=45 2-44= 1981．故所求的自然数是1981 设此自然数减去45后的完全平方数为X^2那么 X^2+45+44=(X+A)^2 (A为自然数) X^2+89=X^2+2XA+A^2 2XA=89-A^2 X=(89-A^2)/2A =89/2A-A/2,又因为X为自然数,所以89-A^2>0,89>A^2 89-A^2>2A,A^2+2A-89<0 验算不对, 按一楼方法 x-45=a^2 x+44=b^2 89=1*89 b^2-a^2=89=1*89 b+a=89 b-a=1 b=45,a=44 X=45^2-44=1981 下载  收藏 该文档贡献者很忙，什么也没留下。  下载此文档 正在努力加载中... 【精】初中数学竞赛辅导资料(45-46)一元两次方程的根 完全平方数和完全平方式 PDF 下载积分：600 内容提示： 文档格式：PDF| 浏览次数：4| 上传日期： 08:04:00| 文档星级： 该用户还上传了这些文档 下载文档:【精】初中数学竞赛辅导资料(45-46)一元两次方程的根 完全平方数和完全平方式 PDF.PDF 官方公共微信

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