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3秒自动关闭窗口§5-5 麦克斯韦速率分布律平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。一、分子速率分布的实验测定 密勒和库士实验（1955年）铊蒸气源10?8 mmHg检测器??O 抽气BLCD长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形细槽 的铝钢圆柱体。抽气上页 下页 返回 退出?当铝钢圆柱体以给定角 速度? 转动时，只有满足下 列关系式的原子才能顺利通 过细槽出口：L ? t? ? v ?长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形 细槽的铝钢圆柱体。? v? L ?这里的斜槽是一速率选择器。而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通 过。改变角速度?，检测器D则测出通过细槽的不 同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率 分布，见下图。上页 下页 返回 退出分子速率分布实验曲线（柱状图）如下所示：相 对 分 子 数O分子速率分布实验曲线v上页 下页 返回 退出二、速率分布函数1.研究气体分子的速率分布 ?把速率分成若干相等区间 ?求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 ?各区间的分子数占气体分子总数的百分比 速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间， 全部分子如何分配到这些区间中去的问题。 分布表 分布曲线 分布函数将速率分成若干相等的区间，如0 ~ 10 m/s; 10 m/s ~ 20 m/s; 20 m/s ~ 30 m/s;上页 下页 返回 退出设任一速率区间为： v ~ v ? ?v 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN?N ――分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 ?v ? N ――分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数 ? vN 占总分子数的比率。当 ?v ? 0时， ?v ? dv ； ?N ? dN； 2. 速率分布函数 f(v) 的定义f ( v)注意： 在平衡态下，f(v)仅是v的函数。 O?N dN f (v) ? lim ? ?v ?0 ?vN N dvv v+Δvv上页 下页 返回 退出3. 速率分布函数 f(v) 的意义：概率密度函数 ※分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数占总 分子数的百分比(比率)； ※对单个分子来说，它表示分子速率落在该单位速 率间隔内的概率。 4. 速率分布曲线 在v-v+dv区间的分子数占总分子数的百分比(概率)为 f ( v ) dN dN ? f (v)dv ? 面积 N ?N N ? 面积 v ?N 2 N 在v1-v2区间 ? ? f (v)dv v1 N ? 在0-?区间有 ? f (v)dv ? 10――归一化条件O dvv1 v2v上页 下页 返回 退出三、麦克斯韦速率分布律早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理 导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式m 32 f (v) ? 4π( ) e 2πkTf (v )mv2 ? 2 kTv2麦克斯韦速 率分布函数麦克斯韦速率分布曲线 它是二次函数 v2 与指数函数 ? mv 2 ? exp ? ? ? 共同作用的结果。 ? 2kT ?上页 下页 返回 退出Ov麦克斯韦（James Clerk Maxwell ）?他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。?1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 电磁规律的一个里程碑。19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 ?在气体动理论方面，他还提出气体分子 基人，气体动理论 按速率（速度）分布的统计规律。 的创始人之一。上页 下页 返回 退出麦克斯韦速率分布函数（概率密度）? m ? ? mv2 / 2 kT 2 f (v ) ? 4 π ? v ? e ? 2πkT ?3 2复杂的系数 是因归一化 的需要！式中 T 是气体的热力学温度， m是每个分子的质量， k 是 玻耳兹曼常量。 特点：曲线从坐标原点出发，经 过一极大值后，随着速率的增大 而逐渐趋近于横坐标轴。这说明 气体分子速率可以取从 0到∞之间 的一切数值。速率很大和速率很 小的分子数所占的比率都很小， f(0)=f(∞)=0 ，而具有中等速率的 分子数所占的比率却很大。上页 下页 返回 退出例题5-5 从速率分布函数推算分子的三个统计速率 (1)算术平均速率 2v ? ? vf (v)dv ? ?00??m 32 v 4 π( ) e 2πkT?mv 2 kTv dv28kT ? ? πm(2)方均根速率2 ? 2RT 8 RT ? 1.60 M mol πM mol?v ? ? v f (v)dv ? ?00m 32 v 4 π( ) e 2πkT2mv 2 ? 2 kTv dv2RT 3RT 3kT ? 1.73 ? v ? M mol M mol m2上页 下页 返回 退出(3)最概然速率(the most probable speed)：vp 最概然速率是指在任一温度T 时，气体中分子最可能 具有的速率值。即在v =vp时，分布函数取极大值。m 2 m 2 ? v ? v df m 32 m 2 ? 4 π( ) [2ve 2 kT ? v ve 2 kT ]v ?vp ? 0 dv 2πkT kT2 RT RT 2kT ? ? 1.41 vp ? M mol M mol m(4)三种速率的关系f (v )vp ? v ? v 2vp : v : v 2 ? 1.41:1.60 :1.73Ovpv v 2v上页 下页 返回 退出三个速率都与 T 成正比，与 m或 M 成反比， vp ? v ? vrms，在室温下它们的数量级一般在几百米 每秒至几千米每秒。三种统计速率有不同的应用： 在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计 算分子碰撞频率时，要用到平均速率；在计算分子 的平均平动动能时，则要用到方均根速率。上页 下页 返回 退出四、麦克斯韦速率分布函数 f(v) 的性质(1)f (v)dvNf (v)dvv2速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比(2)(3) (4) (5) (6)速率在v-v+dv内的分子数?v1f (v)dv 速率在v1→v2内的分子数占总分子数的百分比?v2v1Nf (v)dv速率在v1→v2内的分子数??v vNf (v)dv Nf (v)dv速率比 v 大的分子数速率比 v 小的分子数?0上页 下页 返回 退出(7) (8) (9) (10)1 2 所有分子平动动能的平均值 ( mv ) f ( v )d v ?0 2 ? ? ? (v) f (v)dv ? ? (v)?0?v2v1?Nvf (v)dv速率在v1→v2内所有分子速率的总和 速率比 v 大的所有分子平动动能之和(11)1 2 ?v N ( 2 mv ) f (v)dv v2 ? vf ? v ? dvv1 v2 v1 v2? f ? v ? dv (12) vf ? v ? dv 无实际物理意义！ ?v1速率在v1→v2区间所有分子速率的平均值上页 下页 返回 退出同一气体，不同温度： f (v)2kT m不变，T ? ? vp ? ? m曲线的峰值右移，由于曲线下 面积为1不变，所以峰值降低。T2 ? T1T2 T1Ovp1 vp2同一气体，不同温度v不同气体，相同温度： f (v)2kT T 不变，m ? ? vp ? ? m曲线的峰值左移，由于曲线下 面积为1不变，所以峰值升高。Om2 ? m1m1 m2vp2 vp1v上页 下页 返回 退出练习一、试计算27℃下的氧气分子的三种速率。 解: M ? 0.032 kg/mol, T ? 273 ? 27 ? 300 KRT 8.31? 300 v ? 1.73 ? 1.73 ? 483 m / s M 0.0322RT 8.31? 300 vp ? 1.41 ? 1.41 ? 394 m / s M 0.032RT 8.31? 300 v ? 1.60 ? 1.60 ? 447 m / s M 0.032可见在相同温度下:v ＞ v ＞ vp上页 下页 返回 退出2练习二、氦气的速率分布曲线如图所示， (1) 试在图上画出同温度下氢气分子速率分布曲线的大致图； 求： (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。 解： (2) (v p )He ?2 RT RT ? ? 1000 m/s ?3 M 2 ?10f (v )(v p )H2RT ? 10?3? 1.41?103 m/s( v )H22HeH23RT ? M H2? 1.73 ? 10 m/s3O1000上页 下页 返回 退出v (m/s)例题5-6 试计算气体分子热运动速率的大小介于 vp-vp/100 和 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数的 百分比。99 ? vp 解：按题意 v ? vp ? 100 100 vp ? ? vp ? vp ? ?v ? ? vp ? ? ? ? vp ? ?? 100 ? ? 100 ? 50 ?在此利用 vp ，引入 W=v/vp ，把麦克斯韦速率 分布律改写成如下简单形式：vp?N 4 2 ?W 2 ? W e ?W N π请作为公式记住此 麦克斯韦速率分布 律的简化式！上页 下页 返回 退出v 99 ?v 1 现在 W ? ? , ?W ? ? vp 100 vp 50把这些量值代入前式即得?N 4 ? 99 ? ? ? ? e N π ? 100 ?2? 99 ? ?? ? ? 100 ?21 ? 1.6601% 50说明：若以W=1代入更为方便。?N 4 1 2 ?12 ? ?1 ? e ? ? 1.6604% N 50 π可见误差极其微小！上页 下页 返回 退出选择进入下一节 §5-0 教学基本要求 §5-1 热运动描述 理想气体模型和状态方程 §5-2 分子热运动和统计规律 §5-3 理想气体的压强和温度公式 §5-4 能量均分定理 理想气体内能 §5-5 麦克斯韦速率分布律 §5-6 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律 重力场中粒 子按高度的分布 §5-7 分子碰撞和平均自由程 §5-8 气体的输运现象 §5-9 真实气体 范德瓦尔斯方程上页 下页 返回 退出麦克斯韦气体分子速度分布律的两种导出方法_图文_百度文库
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麦克斯韦气体分子速度分布律的两种导出方法
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