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已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作ACD和BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交
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已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作ACD和BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=则(&&&)，如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=(&&&)，如图3，若∠ACD=α，则∠AFB=(&&&)（用含α的式子表示；（2设∠ACD=α，将图3中的ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上，如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．
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九年级数学第一章
《证明》(二)检测题
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&&北​师​大​版​九​年​级​(​数​学​)​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​第​一​章​ ​ ​《​证​明​》​(​二​)​检​测​题
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你可能喜欢我们知道：将一条线段AB分割成大小两条线段AC、CB，若小线段CB与大线段AC的长度之比等于大线段AC与线段AB的长度之比，即B
＝0.89．这种分割称为黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．类似地我们可以定义，顶角为36°的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点．
（1）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你说明D为腰AB的黄金分割点的理由．
（2）若腰和上底相等，对角线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形，其对角线的交点为对角线的黄金分割点．如图2，AD‖BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC，试说明O为AC的黄金分割点．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a、b、c．若D是AB的黄金分割点，那么a、b、c之间的数量关系是什么并证明你的结论．
（1）（2）要证明某个点为黄金分割点，可以通过证明边对应成比例，也可证明其为顶角为36°的黄金三角形，从而证明其是黄金分割点；
（3）根据同角的余角相等知，∠ACD∠B，证得△ACB∽△ADC，有，即AC2=ADoAB=>b2=ADoc，同理可得a2=BDoc，点D为AB的黄金分割点，有AD2=BDoc，把AD，BD消去即有b2=ac．
证明：（1）在△ABC中，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=（180°-∠A）=72度．
∵CD为∠ACB的角平分线，
∠DCB=∠ACB=36°，
∴∠A=∠DCB，
又∵∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∵∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BDC=∠ABC=72°，
同理可证，AD=CD，
∴BC=DC=AD，
∴点D为腰AB的黄金分割点；
（2）在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AD∥BC，
∴∠ABC=∠DCB．
又∵BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC=α，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA=α，
∴∠ABD=∠BDA=α，
∴∠ABC=2α．
∴∠ABC=∠CAB=2α，
在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5α=180°，
∴α=36°，
在等腰△ABC中，
∵BO为∠ABC的角平分线，∠ACB=α=36°，
∴O为腰AC的黄金分割点，
解：（3）a、b、c之间的数量关系是b2=ac．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADC，
，即AC2=ADoAB，
∴b2=ADoc，
同理可证，a2=BDoc，
又∵D为AB的黄金分割点，
∴AD2=BDoc③
把①、②代入③得：b4=a2c2，
∵a、c均为正数，
∴a、b、c之间的数量关系为b2=ac．解：（1）作CH⊥x轴，∴∠ADC=90°．∴∠DAC+∠ACD=90°∵∠BOA=90°，∴∠ADC=∠BOA．∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠DAC=90°，∴∠ACD=∠BAO．在△CAD和ABO中，∴△CAD≌ABO（AAS），∴AD=BO，CD=OA．∵A（5，0）B（0，2），∴OA=5，OB=2，∴AD=2，CD=5，∴OD=7．∴C（7，5）；（2）如图2，当点D在第一象限∠BDA=90°，BD=DA时，作DF⊥y轴于F，DM⊥x轴于M，∴∠DFB=∠DMO=∠DMA=90°．∵∠AOF=90°，∴四边形FOMD是矩形．∴∠FDM=90°．∵∠BDA=90°，∴∠FDM=∠BDA，∴∠FDM-∠BDM=∠BDA-∠BDM，∴∠FDB=∠MDA．在△BFD和△AMD中，∴△BFD≌△AMD（AAS）．∴BF=MA，DF=DM．∴四边形OMDF是正方形，∴OF=DM．∴2+BF=5-MA，∴2+BF=5-BF，∴BF=1.5，∴OF=OM=3.5．∴D（3.5，3.5）；如图2，当点D在第四象限∠BDA=90°，BD=DA时，作DF⊥y轴于F，DM⊥x轴于M，∴∠DFB=∠DMO=∠DMA=90°．∵∠AOF=90°，∴四边形FOMD是矩形．∴∠FDM=90°．∵∠BDA=90°，∴∠FDM=∠BDA，∴∠FDM-∠BDM=∠BDA-∠BDM，∴∠FDB=∠MDA．在△BFD和△AMD中，∴△BFD≌△AMD（AAS）．∴BF=MA，DF=DM．∴四边形OMDF是正方形，∴OF=OM．∴2+OF=5-MO，∴2+OF=5-OF，∴OF=1.5，∴OF=OM=1.5，∴D（1.5，-1.5）∴D（3.5，3.5）或D（1.5，-1.5）；故答案为：（3.5，3.5），（1.5，-1.5）；（3）作EM⊥AB，∵FE⊥BC，∴∠BEF=90°．∵AB=AC，∠BAC=90°．∴∠ABC=∠C=45°，∴∠BFE=45°，∴∠ABC=∠BFE，∴BE=EF．∵∠BEF=90，EM⊥AB，∴BF=2EM．∵∠AEC=75°，∠C=45°，∴∠EAC=60°，∴∠BAE=30°，∴AE=2EM，∴BF=AE．分析：（1）作CH⊥x轴，由等腰直角三角形的性质就可以得出△CAD≌ABO，就有AD=BO，CD=OA，就可以求出OD而求出C的坐标；（2）如图2，当点D在第一象限时，作DF⊥y轴于F，DM⊥x轴于M，证明△BFD≌△AMD就可以求出结论，如图3，当点D在第四象限时，作DF⊥y轴于F，DM⊥x轴于M，证明△BFD≌△AMD就可以求出结论．（3）如图4，作EM⊥AB于M由等腰直角三角形的性质就可以得出BF=2EM，AE=2EM而得出结论．点评：本题考查了坐标与图象的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，正方形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用全等三角形的性质是关键．
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科目：初中数学
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lfOI39YM35
在CE上取点F,使CF＝CD,连接DF∵等边△ACD、等边△BCE∴∠ACD＝∠BCE＝∠BCE＝60,AC＝CD,BC＝CE∴∠DCE＝180-∠ACD-∠BCE＝60∵CF＝CD∴等边△CDF∴DF＝CF,∠DFC＝60∵AC：CB＝1：2∴BC＝2AC∴CE＝2CD∴CE＝2CF∴EF＝CE-CF＝CF∴EF＝DF∴∠DEC＝∠FDE∴∠DFC＝∠DEC+∠FDE＝2∠DEC∴2∠DEC＝60∴∠DEC＝30∴∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝60+30＝90°数学辅导团解答了你的提问,
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