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已知（3+x）n的展开式中二项式系数之和为16，则n=______；设i为虚数单位，复数（1+i）n的运算结果为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
（3+x）n的展开式中二项式系数之和为2n∴2n=16解得n=4∴（1+i）4=-4故答案为4，；-4
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据魔方格专家权威分析，试题“已知（3+x）n的展开式中二项式系数之和为16，则n=______；设i为虚数..”主要考查你对&&二项式定理与性质，复数的四则运算&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二项式定理与性质复数的四则运算
&二项式定理：
， 它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项.二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即； （2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。 当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。 二项式定理的特别提醒：
①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。&
二项式定理常见的利用：
方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有&但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．&方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地，对于多项式
方法6：多项式的展开式问题：对于多项式(a+b+c)n，我们可以转化为[a+(b+c)]n的形式，再利用二项式定理，求解有关问题。
&复数的运算：
1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。 4、复数的除法运算规则：。
复数加法的几何意义：
为邻边画平行四边形就是复数对应的向量。
复数减法的几何意义：
复数减法是加法的逆运算，设，则这两个复数的差对应，这就是复数减法的几何意义。
&共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。复数的运算律：
1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1；结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；2、减法同加法一样满足交换律、结合律。 3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3共轭复数的性质：
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雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第十章 10.7 二项式定理
10．7　二项式定理
说基础 课前预习读教材
拓展延伸串知识
考纲点击1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.考点梳理1.二项式定理(a＋b)n＝____________________________________.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做______________.式中的Can－rbr叫做二项展开式的________，用Tr＋1表示，即展开式的第______项；Tr＋1＝__________________.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)每一项的次数之和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为______.(3)字母a按______排列，从第一项开始，次数由n逐渐减1直到零；字母b按______排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从______，C，一直到C，______.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当______________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项______________取得最大值．当n是奇数时，中间两项__________和________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即____________________________＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝______________.答案：Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(nN*)　二项式系数　通项　r＋1　Can－rbr　n　降幂　升幂　C　C　“等距离”　k＜　k＞　Cn　Cn　Cn　C＋C＋C＋…＋C＋…＋C　2n－1考点自测1.在6的展开式中，x3的系数是(　　)A．20　　　　B．15　　　　C．－20　　　　D．－15解析：通项Tr＋1＝Cxr－6?(－1)r?x2r＝C(－1)r?x3r－6，令3r－6＝3，得r＝3.故x3的系数为－C＝－20.答案：C2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a等于(　　)A．－2
D．3解析：由二项式系数和为2n＝32，得n＝5，又令x＝1得各项系数和为(a＋1)5＝243，所以a＋1＝3，故a＝2.答案：B3．(4x－2－x)6(xR)展开式中的常数项是(　　)A．－20
B．－15C．15
D．20解析：由题意得Tr＋1＝C(4x)6－r?(－2－x)r＝(－1)r?C2(12－3r)x，令12－3r＝0得r＝4，则常数项为(－1)4C＝15，故选C.答案：C4．若6展开式的常数项为60，则常数a的值为__________．解析：二项式6的通项为Tr＋1＝C(－1)rax6－3r，令6－3r＝0，则r＝2，故其常数项为C?a＝60，所以a＝4.答案：45．若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝__________(用数字作答)．解析：Tr＋1＝Ca－rx12－3r，当12－3r＝3时，r＝3，Ca－3＝.a＝2.答案：2疑点清源1.二项式系数与各项系数是有差别的，二项式系数最大的项必定是中间项，而各项系数最大的项就不一定是中间项．如果求各项系数最大的项，往往需要通过解不等式组来处理，但当二项式系数与各项系数只有正负差别时，可考虑系数最大项必在正数项中选择，从而可以简化计算．2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值(既然任意的实数a，b都成立，那么特殊的实数a，b也一定成立)，根据需要对a，b赋值．可以利用二项式定理解决一些特殊问题，如求所有项的系数和等.题型探究题型一求展开式中的指定项或特定项例已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解析：(1)通项为Tr＋1＝Cxrx－＝Crx，因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，所求的系数为C2＝.(3)根据通项公式，由题意得令＝k(kZ)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，r∈Z，k应为偶数．k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x－2.点评：解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．变式探究1　5(xR)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)A．－1　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2解析：由二项式定理，得Tr＋1＝Cx5－r?r＝C?x5－2r?ar，令5－2r＝3，得r＝1，由C?a＝10，解得a＝2.答案：D题型二 二项式系数或项系数的和问题例已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(1)∵a0＝C＝1，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(－)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.(3)(①＋)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.(4)(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，由(2)、(3)即可得其值为2 187.点评：(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.变式探究2　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.解析：　(1)由(2－x)100展开式中的常数项为C?2100，即a0＝2100，或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100；(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，　∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100；(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100，　与x＝1所得到的联立相减可得，a1＋a3＋…＋a99＝；(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1.题型三 求最大系数或系数最大的项例求(2＋x)10的展开式中系数最大的项．解析：设第r＋1项的系数最大，则有即即　∴r＝3时，T4＝C?27?x3为所求的系数最大的项．点评：求系数最大的项应注意与不等式相联系，同时还应重视整数解的寻找．解题时要审清题意，搞清所求最大项是指数值最大项，还是系数最大项，还是二项式系数最大的项．变式探究3　 已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x－)2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解析：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，(2x－)10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，Tr＋1＝C?(2x)10－r?(－)r＝(－1)rC?210－r?x10－2r，得即解得≤r≤.r∈Z，r＝3.故系数的绝对值最大的是第4项，T4＝－C?27?x4＝－15 360x4.题型四 证明整除或求余数问题例(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(nN*)能被31整除；(2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数．解析：(1)1＋2＋22＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，显然上式括号内为整数，原式能被31整除．(2)S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，上式括号内的数是正整数，S被9除的余数为7.点评：利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理．变式探究4　若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)A．x＝4，n＝3
B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4
D．x＝6，n＝5解析：Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，代入验证选项可得答案C.答案：C归纳总结?方法与技巧1．通项公式最常用，是解题的基础．2．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．4．性质1是组合数公式C＝C的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．5．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．6．二项式定理体现了二项式的正整数幂的?开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用．?失误与防范1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．2．根据通项公式时常用到雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第十章 10.7 二项式定理--博才网
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你可能喜欢二项式展开式中最大系数、最大项的问题？
我知道二项式展开式中最大二项式系数怎么求，但我不太了解为什么比前后两项系数大的系数就是最大系数？我还不太明白展开式中最大项是怎么求的？注意!是最大项！
09-10-29 & 发布
关于二项展开式的系数有两个易混淆的概念,一是二项式定理中各项系数,C(n,0),C(n,1),C(n,2),……,C(n,n)其中系数最大项为中间一项(指数为偶数时)或中间两项(指数为奇数时)另一是展开后的多项式各项关于某个字母(实际是元)的系数,比如(2x+3y)^n展开后,关于x,y的系数分别为C(n,0)*2^n*3^0,C(n,1)*2^(n-1)*3^1,C(n,2)*2^(n-2)*3^2,……,C(n,n)*2^0*3^n其中系数最大项要通过解两不等式组成的组解决仍以(2x+3y)^n展开式关于x,y的系数为例,设第r+1项的系数最大,则C(n,r)*2^(n-r)*3^r&C(n,r+1)*2^(n-r-1)*3^(r+1)  [大于后一项系数]且C(n,r)*2^(n-r)&C(n,r-1)*2^(n-r+1)*3^(r-1)  [大于前一项系数]解出r如果二项中有负号,那么系数是正负相间的，仅仅比较前后两项的系数大小是不行的。用以上方法可以比出系数绝对值的大小,还要结合正负号,加以综合判断，首先取正数，然后取正系数中绝对值最大的数。
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最大二项式系数就是求C0n，C1n，……，Cnn中的最大的而这个数列是先增大后减小的所以最大的一个在中间，如果n是奇数，最大的就是最中间一个如果n是偶数，最大的就是最中间两个展开式最大项是二项式系数还要乘以二项式中本身的数字。这就要视题目而言，做一些比较具体地说比如(a+b)^n展开，其中a，b是两个数字。因为展开式是按照a的降幂排列，b的升幂排列，所以先看a和b的大小。如果a大，那么最大项肯定在前一半，如果b大，就在后一半。另外，如果是(a-b)^n的话，因为偶数项都是负的，所以只在奇数项里求就行了。还是那句话，求最大项没有什么通法，还是得照上面的原则做一些比较。不过一般能在题里出的都不会太麻烦。因为现在考试对计算能力的要求已经大大降低了。所以不用害怕此类题目。再补充：简单的说：二项式展开式的每一项，其实就相当于两个数列的对应乘积。一个是二项式系数的数列，即C0n,C1n,C2n……Cnn，这个数列是对称的，先增后减。另一个是上面的a和b的幂的乘积。这个数列是单调的，如果a大单调递减，如果b大单调递增（前提是b是正的）。你所问的问题其实就相当于：一个单调数列与一个先增大后减小，有一个最大值的数列，对应相乘，结果会不会出现两个以上的最大值。我想你也能想到了，答案是：不可能！一个单调数列与一个先增大后减小的数列对应相乘，结果还是先增大，后减小。改变的只有最大值出现的位置。如果单调数列是增的，最大值会前移；单调数列是减的，最大值会后移。甚至有可能出现在第一个或者最后一个，但绝不会增加。不知道你听明白了没有。
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