& 2013 - 2014 作业宝. All Rights Reserved. 沪ICP备号-9已知：a&0且a不等于1，f（log以a为底的x）=ax^2-1/x(a^2-1)(x&0)求f(x
已知：a&0且a不等于1，f（log以a为底的x）=ax^2-1/x(a^2-1)(x&0)求f(x 10

解:令u=log(a)x,则x=a^u,于是有f(u)=a(a^2u-1)/(a^u)(a^2-1)=[a/(a^2-1)](a^2u-1)/a^u=[a/(a^2-1)](a^u-1/a^u),把u换成x即得f(x)=[a/(a^2-1)](a^x-1/a^x).(一).当0&a&1时,a^2&1,故a/(a^2-1)&0,而a^x-1/a^x在(-∞, ∞)内单调减,但在与一个负数a/(a^2-1)相乘以后,便变成单调增了.即当0&a&1时f(x)在其全部定义域(-∞, ∞)内单调增.证明:设X1&X2是区间(-∞, ∞)内的任意两点,由于f(x2)-f(x1)=[a/(a^2-1)][(a^x2-1/a^x2)-(a^x1-1/a^x1)]=[a/(a^2-1)][(a^x2-a^x1) (1/a^x1-1/a^x2)]=[a/(a^2-1)][(a^x2-a^x1)(1 1/(a^x1)(a^x2)]&0这是因为当0&a&1时,a^x是减函数,故a^x2-a^x1&0,又a/(a^2-1)&0,及a^x1&0,a^x2&0,1 1/(a^x1)(a^x2)&0之故.∴当0&a&1时,f(x)在其全部定义域内是单调增加的函数.(二).当a&1时,a^2&1,故a/(a^2-1)&0,而a^x-1/a^x在(-∞, ∞)内单调增加,与一个正数a/(a^2-1)相乘以后单调性不变.即当a&1时,f(x)在其全部定义域(-∞, ∞)内单调增.证明方法步骤与上基本相同,只是因为a&1,a^x是增函数,∴a^x2-a^x1&0.其它不再重复.结论:不管a如何,f(x)在(-∞, ∞)内都是单调增加的函数.


	
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perfect shuffle 算法
今天又发现一个关于完美洗牌的算法。这个比较简单一些，由 microsoft的Peiyush Jain提出。 &
原论文：&&&&&&A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle. &
&&&&&&&&&&&&&&&& Peiyush Jain, Microsoft Corporation. &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&July 2004
问题描述： &
所谓完美洗牌算法即是把输入为: &
a_1,a_2........a_n,b_1,b_2.........b_n的序列变为 &
b_1,a_1,b_2,a_2.......b_n,a_n 这是in perfect shufle。相对应的还有out perfect shuffle。两者区别在于首尾元素位置变或不变。 &
perfect shuffle算法要求在O(n），时间内，O(1）空间内完成。 &
perfect shuffle实质是一个置换。置换为： &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& i -& 2*i mod (2*n+1) &
由于置换可以分解为一系列不相交的轮换之积。故如果能找出所有轮换的一个代表元则可很容易解决问题。 &
n=3时 输入 1&&2&&3&&A&&B&&C b&& =& A&& 1&& B&& 2&& C&& 3所对应的轮换为（1，2，4）（3，6，5） &
选代表元为1和3以及一个临时变量T： &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2-&T,1-&2 &
1&&2&&3&& A&& B&& C&&-----------&&& &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4-&1,T-&4 &
_&&1&&3&& A&& B&& C&&-----------&&& &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6-&T,3-&6 &
A&&1&&3&& 2&& B&& C&&-----------& &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 5-&3,T-&5 &
A&&1&&_&& 2&& B&& 3&&-----------& &
A&&1&&B&& 2&& C&& 3&& 置换完成 &
因此问题就转换为求置换的轮换分解中的代表元问题了。 &
文中巧妙的利用特定条件下每个不相交的轮换可有3的不同幂次生成&。
我们分析长度2*n=3^k-1的置换的轮换分解。 &
考虑某一包含3^s（ 1 =& s & k ）的轮换。不妨记3^s为a_1，3^k记为m。 &
则轮换里的数分别为： &
&&a_2 =&&2* a_1 mod m &
&&a_3 =&&2* a_2 &
&&a_4 =&&2* a_3 &
&&a_n = 2* a_n-1 mod m &
&&a_1 = 2* a_n&& mod m &
则&&&&a_1&&&2^n * a_1&&( 最后一项中的a_n用倒数第二行乘2替代，以此类推........) &
因此每个3^s开始的一个轮换满足&:&&3^s &3^s * 2^n mod 3^k &,且长度为n
现假设两个不同的3^s开始的轮换存在相交的元素,记为:p
p&3^i*2^n mod 3^s
p&3^j*2^m mod 3^s& (i,j&s)
若n,m都为0,则显然i=j; 假设 i&j
否则应有:3^s ｜(3^i*2^n -3^j*2^m) ===&3^s&｜{ 3^i*( 2^n-3^(j-i)*2^m ) }
因为: gcd(3^s , ( 2^n -3^(j-i)*2^m) )=1&& 注:2^n - 3^(j-i)*2^m 只含2的幂次因子.因为由初等的数论知识可知道
am+bn即m,n的线性组合只能表示gcd(m,n)的倍数.
因此上面等式不能成立.
因此每个以不同的3^i开始的轮换不会相交.
上面证明了每个3^i开始的轮换不相交,还需要计算每个3^i起始的轮换覆盖了所有的元素,这可以采用计数的方法证明.
因为每个3^i开始的轮换的长度满足:
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &3^i&3^i *2^N mod3^s 即2^N&1mod3^(s-i)&
&&&&&&&&&& 所以N=&(3^(s-i))=&(3^s)/3^i&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&{& gcd (2,3)=1, N是满足等式最小的数}
对i从0到3-1求和就得所有轮换的元素个数为&(3^s) . 3^s为素数,因此&(3^s)=3^s-1,即覆盖了所有元素.
因此很容易得出各轮换的代表元就为3^0,3^1,3^2......3^i(i&k,i+1&k). &
对于2*n不等于3^k-1的情况，可以巧妙的利用这个结论完成ferfect shuffle。 &
对于2*n不等于3^k-1时，先找一个最接近2*n且比2*n小的2*m=3^k-1。进行如下变换。 &
把序列中m+1到n+m的子序列循环右移m位。 &
A_1,A_2,A_3.......A_m-1,A_m，A_m+1......A_n，A_n+1，A_n＋2，.......A_n+m,A_n+m+1.....A_2*n&& -& &
A_1,A_2,A_3.......A_m-1,A_n+1,A_n+2.....A_n+m,A_m,A_m+1......A_n+m+1................A_2*n &
然后对前2*m子序列进行上面的perfect shuffle。然后对剩下的部分进行同样处理。 &
例如对于长为14的序列进行perfect shuffle置换： &
输入序列为： &
1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&A&&B&&C&&D&&E&&F&&G&&&&&&&&&& &
14=2*7&3^k.与14最接近的3^k-1是8=3^2 - 1.因此先对4+1到7+4的子序列循环右移4位得： &
1&&2&&3&&4&&A&&B&&C&&D&&5&&6&&7&&E&&F&&G &
对前8位进行perfect shuffle移位后得： &
A&&1&&B&&2&&C&&3&&D&&4&&5&&6&&7&&E&&F&&G &
剩下的子序列为 &
5&&6&&7&&E&&F&&G&& &
长度为6 最接近的2*m1=3^k1-1是 m=1 &
因此对 1+1 到3+1进行循环右移1位得 &
5&&E&&6&&7&&F&&G &
进行2*m的perfect shuffle后得整个序列为： &
A&&1&&B&&2&&C&&3&& D&&4&& E&& 5&&&&6&& 7&& F&& G &
剩下的未处理的子序列为： &
6&& 7&& F&& G &
同样的循环移位后为： &
6&& F&& 7&& G &
进行m=1的perfect shuffle得整个序列为： &
A&&1&&B&&2&&C&&3&&D&&4&&E&&5&&F&&6&& 7&&G &
剩下未处理的子序列为 &
长为2的轮换即交换，最后得整个序列为： &
A&&1&&B&&2&&C&&3&&D&&4&&E&&5&&F&&6&&G&&7 &
完成perfect shuffle。 &
移位是线性时间，3^k - 1的perfect shuffle置换也是线性时间，最后的递归是对剩下的子序列进行同样的操作，因此整个过程在线性时间内完成。而且需要的辅助空间为常数－个额外临时变量。&
&实现代码：
#include "stdio.h"
//轮换void Cycle(int Data[],int Lenth,int Start){&&& int Cur_index,Temp1,Temp2;
&&&&& Cur_index=(Start*2)%(Lenth+1);&&&&& Temp1=Data[Cur_index-1];&&&&& Data[Cur_index-1]=Data[Start-1];&& & while(Cur_index!=Start)&& {& Temp2=Data[(Cur_index*2)%(Lenth+1)-1];&&&&&&& Data[(Cur_index*2)%(Lenth+1)-1]=Temp1;&&&&&&& Temp1=Temp2;& Cur_index=(Cur_index*2)%(Lenth+1);&& }}
//数组循环移位 参考编程珠玑void Reverse(int Data[],int Len){& int i,T& for(i=0;i&Len/2;i++)& {&& Temp=Data[i];&& Data[i]=Data[Len-i-1];&& Data[Len-i-1]=T& }}void ShiftN(int Data[],int Len,int N){&& Reverse(Data,Len-N);&& Reverse(&Data[Len-N],N);&& Reverse(Data,Len);
//满足Lenth=3^k-1的perfect shfulle的实现void Perfect1(int Data[],int Lenth){&&&& int i=1;
&&& if(Lenth==2)& {&& i=Data[Lenth-1];&& Data[Lenth-1]=Data[Lenth-2];&& Data[Lenth-2]=i;&&& }&&& while(i&Lenth)&{&&&& Cycle(Data,Lenth,i);&&&& i=i*3;&}}&& //查找最接近N的3^kint LookUp(int N){&& int i=3;&& while(i&=N+1) i*=3;
&& if(i&3) i=i/3;
void perfect(int Data[],int Lenth){&& int i,startPos=0;&& while(startPos&Lenth)&& {&&&& i=LookUp(Lenth-startPos);&&&& ShiftN(&Data[startPos+(i-1)/2],(Lenth-startPos)/2,(i-1)/2);&&&& Perfect1(&Data[startPos],i-1);& startPos+=(i-1);&& }}#define N 100&void main(){&int data[N]={0};&int i=0;&&printf("please input the number of data you wanna to test(should less than 100):/n");&scanf("%d",&n);&if(n&1)&{& printf("sorry,the number should be even ");&&}&for(i=0;i&n;i++)& data[i]=i+1;
&perfect(data,n);&for(i=0;i&n;i++)&& printf("%d&& ",data[i]);
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(1)(1)(1)(5)(1)(4)(9)(2)(7)(4)(6)(4)(2)(1)(1)(5)(2)(1)(12)(18)(52)已知函数1(x)=e|x-2a+1|，2(x)=e|x-a|+1，x∈R．（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；（2）若x∈[a，+∞）时，f2（x）≥f1（x），求a的取值范围；（3）求函数1(x)+f2(x)2-|f1(x)-f2(x)|2在x∈[1，6]上的最小值．考点：；．专题：；；．分析：（1）因为a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+ex-1，利用基本不等式，可求在x∈[2，3]上的最小值；（2）由题意知，当x∈[a，+∞） 时，e|x-2a+1|≤e|x-a|+1，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立即2ax≥3a2-2a 对x∈[a，+∞） 恒成立，由此可求a的取值范围；（3）记h1（x）=|x-（2a-1）|，h2（x）=|x-a|+1，则h1（x），h2（x）的图象分别是以（2a-1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1，分类讨论，即可求得g（x）在x∈[1，6]上的最小值．解答：解：（1）因为a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+ex-1=3ex+exe≥2e3ex×exe=2e，当且仅当x=2时取等号，所以f（x）在x∈[2，3]上的最小值为2e …4分 （2）由题意知，当x∈[a，+∞） 时，e|x-2a+1|≤e|x-a|+1，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立…6分所以|x-2a+1|≤x-a+1，即2ax≥3a2-2a 对x∈[a，+∞） 恒成立，则由2≥3a2-2a，得所求a的取值范围是0≤a≤2…9分（3）记h1（x）=|x-（2a-1）|，h2（x）=|x-a|+1，则h1（x），h2（x）的图象分别是以（2a-1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1．①当1≤2a-1≤6，即1≤a≤时，∴g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f1（2a-1）=e0=1…10分②当a＜1时，可知2a-1＜a，所以（ⅰ）当h1（a）≤h2（a），得|a-（2a-1）|≤1，即-2≤a≤0时，在x∈[1，6]上，h1（x）＜h2（x），即f1（x）＞f2（x），所以g（x）=f2（x）的最小值为f2（1）=e2-a；（ii）当h1（a）＞h2（a），得|a-（2a-1）|＞1，即a＜-2或0＜a＜1时，在x∈[1，6]上，h1（x）＞h2（x），即f1（x）＜f2（x），所以g（x）=f1（x）的最小值为f1（1）=e3-2a；③当a＞时，因为2a-1＞a，可知2a-1＞6，且h1（6）=2a-7＞a-5=h2（6），所以（ⅰ）当时，g（x）的最小值为f2（a）=e（ii）当a＞6时，因为h1（a）=a-1＞1=h2（a），∴在x∈[1，6]上，h1（x）＞h2（x），即f1（x）＜f2（x），所以g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f2（6）=ea-5…15分综上所述，函数g（x）在x∈[1，6]上的最小值为2-a，-2≤a≤0e3-3a，a＜-2或0＜a＜1e，72＜a≤6ea-5，a＞6…16分点评：本题考查函数最值的运用，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，难度大，综合性强．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　日期：日☆☆☆☆☆推荐试卷&
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