y = x(20-2x)
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下.IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数.
二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h,k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交点式：y=a(x-x&#8321;)(x-x &#8322;) [仅限于与x轴有交点A（x&#8321; ,0）和 B（x&#8322;,0）的抛物线]
其中x1,2= -b±√b^2－4ac
注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x&#8321;,x&#8322;=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线.
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a）
当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.
1．二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表：
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
(-b/2a,sqrt[4ac-b^2]/4a)
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大．若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c)；
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x&#8321;,0)和B(x&#8322;,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x&#8322;-x&#8321;| 另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0；当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式：y=a(x-x&#8321;)(x-x&#8322;)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目.因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现．
1．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( )
(A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2
考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．
评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-,将已知抛物线中的a=1,b=-2代入,求得x=1,故选项A正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式,对称轴为x=h,已知抛物线可配方为y=(x-1)2,所以对称轴x=1,应选A．
2．( 北京东城区)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．
考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2),且设x1＜x2,则其图象与x轴两交点分别是A(x1,0),B(x2,0),与y轴交点坐标是(0,ax1x2).
∵抛物线对称轴是直线x=4,
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①
∵S△ABC=3,∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3,
即：x2- x1= ②
①②两式相加减,可得：x2=4+,x1=4-
∵x1,x2是整数,ax1x2也是整数,∴ax1x2是3的约数,共可取值为：±1,±3.
当ax1x2=±1时,x2=7,x1=1,a=±
当ax1x2=±3时,x2=5,x1=3,a=±
因此,所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
说明：本题中,只要填出一个解析式即可,也可用猜测验证法.例如：猜测与x轴交点为A(5,0),B(3,0).再由题设条件求出a,看C是否整数.若是,则猜测得以验证,填上即可.
5．( 河北省)如图13-28所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为( )
A、6 B、4 C、3 D、1
考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用.
评析：由函数图象可知C点坐标为(0,3),再由x2-4x+3=0可得x1=1,x2=3所以A、B两点之间的距离为2.那么△ABC的面积为3,故应选C.
6．( 安徽省)心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30).y值越大,表示接受能力越强.
(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?
(2)第10分时,学生的接受能力是什么?
(3)第几分时,学生的接受能力最强?
考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质.
评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9,根据抛物线的性质可知开口向下,当x≤13时,y随x的增大而增大,当x>13时,y随x的增大而减小.而该函数自变量的范围为：0≤x≤30,所以两个范围应为0≤x≤13；13≤x≤30.将x=10代入,求函数值即可.由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强.解题过程如下：
(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以,当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强.
当13＜x≤30时,学生的接受能力逐步下降.
(2)当x=10时,y=-0.1(10-13)2+59.9=59.
第10分时,学生的接受能力为59.
(3)x=13时,y取得最大值,
所以,在第13分时,学生的接受能力最强.
9．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克；销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
(1)当销售单价定为每千克55元时,月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克),所以月销售利润为
:(55–40)×450=6750(元)．
(2)当销售单价定为每千克x元时,月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元,所以月销售利润为：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元),
∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．
(3)要使月销售利润达到8000元,即y=8000,∴–10x2+1400x–,
即：x2–140x+4800=0,
解得：x1=60,x2=80．
当销售单价定为每千克60元时,月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克),月销售成本为：
40×400=16000(元)；
当销售单价定为每千克80元时,月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克),月销售单价成本为：
40×200=8000(元)；
由于＜16000,而月销售成本不能超过10000元,所以销售单价应定为每千克80元．
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据魔方格专家权威分析，试题“利用配方法，把下列函数写成y=a（x-h）2+k的形式，并写出它们图象的..”主要考查你对&&二次函数的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的定义
定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0） （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
发现相似题
与“利用配方法，把下列函数写成y=a（x-h）2+k的形式，并写出它们图象的..”考查相似的试题有：
687189731494738603731715734370169519如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．（1）求A，B两点的坐标；（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．【考点】．【分析】（1）令y=0，求得关于x的方程x2-2x-3=0的解即为点A、B的横坐标；（2）设P（x，x2-2x-3），根据抛物线解析式求得点D的坐标为D（1，-4）；结合坐标与图形的性质求得线段CD=，CB=3，BD=2；所以根据勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，则易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由该相似三角形的对应边成比例来求x的值，易得点P的坐标；（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．构建全等三角形：△EOM≌△FBM，由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到：∠OBF=120°为定值，即BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度．【解答】解：（1）令y=0，得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴A（-1，0），B（3，0）（2）设P（x，x2-2x-3），如图1，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．连接BP，设∠NBP=∠CDB．令x=0，得y=x2-2x-3=-3，∴C（0，-3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴D（1，-4）．由勾股定理，得CD=，CB=3，BD=2．∴BD2=BC2+CD2，∴∠BCD=90°．∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．∴△BCD∽△PNB．∴=，2+2x+332=，即x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3（不合题意，舍去）．∴当x=2时，y=-3∴P（2，-3）；（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．由题意可得：，∴△EOM≌△FBM，∴∠MBF=∠MOB=60°．∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°为定值，∴BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足．在Rt△BGH中，∠HBG=180°-120°=60°，∴∠HGB=30°．∵HB=3，∴BG=4，HG=2．∵D（1，-4），∴DH=4，∴DG=2+4．在Rt△DGK中，∠DGK=30°．∴DK=DG=2+．∵当点E与点H重合时，这时BF=OH=1，则GF=4+1=5．而GK=DK=3+2＞5，即点K在点F运动的路径上，所以线段DF的长的最小值存在，最小值是2+．【点评】本题考查了二次函数综合题．需要掌握抛物线与x轴的交点坐标，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识点，难度较大，主要考查学生数形结合的数学思想方法．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：dbz1018老师　难度：0.45真题：2组卷：26
解析质量好中差
&&&&，V2.1794358.243.154.*
58.243.154.*
58.243.154.*
218.23.5.*
楼主为什么选那个烂答案啊，根本不如这个！！！
218.23.5.*
强中自有强中手，GOOD!!!
49.82.55.*
！！！！！
49.82.55.*
222.59.175.*
113.24.251.*
60.10.12.*
14.145.219.*
还是先知的妙
58.208.234.*
这个比那个好多了，那个根本不对
121.195.184.*
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