级数/幂级数/泰勒级数公式/麦克劳林级数

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4-2 函数展开成泰勒级数
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在数学中，泰勒级数（：Taylor series）用无限项连加式——来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的求得。泰勒级数是以于1715年发表了的（Sir Brook Taylor）来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家的名字命名。
在1797年之前，最先提出带有余项的现在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。开区间（或开片）上，与自身泰勒级数相等的函数称为。
在数学上，一个在或a上的或?(x)的泰勒级数是如下的：
这里，n! 表示n的而表示函数f在点a处的n阶。如果a = 0，那么这个级数也可以被称为级数。
在1823年指出函数e-1/x?在x = 0处不解析。
如果泰勒级数对于区间（a-r, a+r）中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为（analytic）。当且仅当一个函数可以表示成为的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，通常采用估计级数的。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：
的求导和积分可以逐项进行，因此求相对比较容易。
一个可被延伸为一个定义在上的一个开片上的，并使得这种手法可行。
泰勒级数可以用来函数的值。
对于一些f(x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，，当x ≠ 0且f (0) = 0，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时并不趋于零。
一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，就可以被展开为一个。
：）是最近发现的一种用泰勒级数来求解的定理。这个定理是对的一个推广。
在上余弦函数的实数部分。
在上余弦函数的第八度逼近
两个以上的曲线放在一起
下面我们给出了几个重要的泰勒级数。参数x 为时它们依然成立。
二项式展开中的C(α,n)是。
tan(x)展开式中的Bk是。sec(x)展开式中的Ek是。
tanh(x)展开式中的Bk是。
泰勒级数可以推广到有多个的：
希腊哲学家在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 。后来，对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但以及后来的进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。.几个世纪之后，中国数学家也独立提出了类似的方法。
进入14世纪，：）最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括、、、和三角函数等等。之后，：）在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。
到了17世纪，同样继续着这方面的研究并且发表了若干。但是直到1715年，
提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 是泰勒级数的特例，是的教授在18世纪发表的，并以其名字命名。
《》的第三编“宇宙体系”的引理五的图例。这里在横坐标上有6个点H,I,K,L,M,N，对应着6个值A,B,C,D,E,F，生成一个多项式函数对这6个点上有对应的6个值，计算任意点S对应的值R。牛顿给出了间距为单位值和任意值的两种情况。
牛顿插值公式也叫做，由“牛顿前向”的项组成，得名于爵士，最早发表为他在1687年出版的《》中第三编“宇宙体系”的引理五，此前于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续“泰勒展开”的离散对应。
对于x值间隔为非一致步长，牛顿计算，对x值间隔为单位步长1或一致但非单位量的情况，计算，前向差分的定义为：
牛顿插值公式为：
这成立于任何函数和大多数但非全部。这里的表达式
是，其中的(x)k是“”，(x)0被定义为1。
在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了ln(1+x)的，在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的无穷级数，在1669年的《分析学》中发表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的无穷级数；在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的无穷级数。在1715年著作《》中研讨了方法，其中论述了他在1712年得出的，这个成果此前在1670年和在1673年已经得出，而在1694年已经在《教师学报》发表。
他对牛顿的均差分的步长取趋于0的，得出：
James S. Sochacki. . James Madison University.
Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37
《中国数学史大系》第三卷 367页
. MAT 314. Canisius College. .
Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics
(Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.
Newton, Isaac, (1687).
：隐藏分类：泰勒公式与幂级数展开式有什么区别和联系?如题~_百度作业帮
泰勒公式与幂级数展开式有什么区别和联系?如题~
都是表示函数的精度问题.泰勒公式把后面的部分项用高阶无穷小代替了,级数的话一直列写了出来.查看原帖>>函数展开成幂级数有什么用,这不是和泰勒公式差不多吗_百度作业帮
函数展开成幂级数有什么用,这不是和泰勒公式差不多吗
楼上的解释,是很牵强附会的.1、幂级数,英文是 power series,没有负幂次,除了可能有一个常数项外,其余都是正次幂.2、我们平常喜欢将泰勒级数、麦克劳林级数混为一谈.麦克劳林级数(Mclaurin series),是在x=0附近展开；泰勒级数(Taylor series),是在任意点附近展开.这两个都是幂级数,通常没有具体指明在哪点展开时,都是指麦克劳林级数.3、复变函数里面的级数展开,确实是有朗洛级数(Laurent series),也确实是有负幂次.但是,平常的幂级数展开不是指朗洛级数,因为平常的函数既不可能有虚数,又不可能有奇点、、、、、4、级数展开的好处：A、作为级数求和的反向运算,理论上整合成一个理论的两方面；B、跟导数、积分、极限理论,形成了一个整体.---级数的计算离不开极限；---导数、定积分的联合运用,能解决级数的求和,积分的理论,就是求和理论,级数求和也是积分求和理论的一部分；---展开的过程更是求导理论运用.C、在科学、工程上,作为实用性的估算(estimation)；D、在工程上,更是一种拟合、模拟手段,simulating,尤其在扩展到傅立叶级数时,就成了载波通讯的理论根据.E、扩展到复数范围,小的方面是解决了很多无法不定积分,却可以定积分的问题；大的方面,解决了多元函数的格林定理、高斯定理、斯托克斯定理等等问题,就电磁场理论来说,离开了级数、积分、导数、、、尤其是离开了格林定理、高斯定理、斯托克斯定理、拉普拉斯方程、泊松方程、、、,电磁场理论就只剩下一片空虚的几个语焉不详的干巴巴概念了.仅供参考,For your reference only.
幂级数有负幂次项，而泰勒级数幂次从0开始
不是吧，函数展开成幂级数原理就是泰勒公式啊，是从0开始的，n不会为负的
复变函数里面有一类幂级数叫洛朗级数，可能含有负幂次项的级数。另外，泰勒公式其实是幂级数展开的一种，按照一定法则的展开，还有许多其他幂级数 下载
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幂级数展开
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