的通解为y?c1e?2x?c2e?3x.；由y(0)?1得c1?c2?1,又由y?(0)?；?c1?c2?1?c1?9；得??；2c?3c??6c??8?12?2；所以，原方程满足初始条件的特解为y?9e?2x?；（4）特征方程为r2?2r?10?0,它有两个共；y?e(c1cos3x?c2sin3x)，由y(；366；ππ；y??；13；ecos3x；5．
的通解为y?c1e?2x?c2e?3x.
由y(0)?1得c1?c2?1,又由y?(0)?6及y???2c1e?2x?3c2e?3x得2c1?3c2??6，解方程组
?c1?c2?1?c1?9
2c?3c??6c??8?12?2
所以，原方程满足初始条件的特解为y?9e?2x?8e?3x.
（4）特征方程为r2?2r?10?0,它有两个共轭复数根，r1,2?1?3i,故方程的通解为
y?e(c1cos3x?c2sin3x)，由y()?0,y?()?e6得c1??,c2=0,故所求特解为:
5． 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解：
(1) y″?3y′?10y?144xe?2x;
(2) y″?6y′?8y?8x?4x?2; (3) y″?y?cos3x,
(4) y″?8y′?16y?e4x,
y(0)?0,y′(0)?1．
解：（1）特征方程r2?3r?10?0有两个不相等的实数根r1??5,r2?2,故对应齐次方程的通解为
因为???2不是特征方程的根，故可特解为
y*??(?2Ax?A?2B)e?2x,
y*???(?4Ax?4B?4Ax)e?2x 代入原方程可解得
A??12B,?. 1所以y?(1?12x)?e所求通解为
y?(1?12x)e
（2）特征方程r?6r?8?0有两个不同的特征根r1?2,r2?4,故对应齐次方程的通
又因为??0不是特征方程的根，故可设特解为
则y*??2Ax?B,y*??2A，代入原方程可解得
A?1,B?2,C?1,
故y*?x2?2x?1?(x?1)2.
所求通解为y?(x?1)2?c1e2x?c2e4x.
（3）特征方程为r2?1?0，它有两个共复数根r1,2??i，故对应齐次方程的通解为
Y?c1cosx?c2sinx
考察方程y???y?e3ix，因为w?3i不是特征方程的根，故可设特解为
则y*??3iAe3ix,
y*????9Ae3ix,代入方程y???y?e3ix,得A??
(cos3x?isin3x)
取y*的实部，即得到方程y???y?cos3x的特解.
故原方程y???y?cos3x的通解为
cos3x?c1cosx?c2sinx
sin3x?c1sinx?c2cosx
由初始条件y?
c?,c2?4,故所求的特解为 得?4, y?11???
cosx?4sinx
（4）特征方程r?8r?16?0有两个相等的实根r1?r2?4，故对应齐次方程的通解
y?(c1?c2x)e
因为??4是特征方程的重根，故可设特解为
将其代入方程y???8y??16y?e4x得A?所以原方程的特解为y?
,故特解为y*?
?(c1?c2x)e
又由y??xe4x?2x2e4x?c2e4x?4c2xe4x及y?(0)?1,得c2?1. 所以，所求特解为y?
6． 设对一切实数x,函数f(x)连续且满足等式
f′(x)?x??f(t)dt，且f(0)?2,
求函数f(x)．
解：方程两边求导得f??(x)?2x?f(x)，即y???y?2x，特征方程r2?1?0有两个不同
的实根r1?1,r2??1,故对应齐次方程的通解为Y?c1e?c2e.
因为??0不是特征方程的根，故可设特解为y*?Ax?B,代入原方程得
A??2,B?0，故特解为y??2π，所以方程的通解为
y??2x?c1e?c2e
由已知f(0)?2得c1?c2?2，又由题设得f?(0)?0,及y???2?c1e?c2e得
解方程?得c1?2,c2?0
所以满足题设条件特解为
f(x)??2x?2e. 7． 设二阶常系数非齐次线性微分方程
y″?ay′?by??ex
的一个特解为y?e2x?(1?x)ex,试确定常数a,b,?并求该微分方程的通解． 解：将已给的特解代入原方程，得
?(3?2a?b)e?(1?a?b)xe??e
比较两端同类项的系数，有
?4?2a?b?0?
?1?a?b?0 ?3?2a?b???
解得a??3,b?2,???1.于是原方程为
y???3y??2y??e.
其特征方程为r2?3r?2?
,特征根为r1?1,r2?2,对齐次方程的通解为0
又因为??1是特征方程的单根，故设特解为y*?Axex,代方程y???3y??2y??ex，可解得A=1,故特解为y*?xex所以该微分方程的通解为
8． 设函数?(x)可微，且满足
?(x)?ex??(t?x)?(t)dt，
解：由?(x)?e?
(t?x)?(t)dt得?(0)?1,又?(x)?e?
t?(t)dt?x??(t)dt
两边求导得??(x)?e?x?(x)???(t)dt?x?(x),即
??(x)?e???(t)dt，从而??(0)?1
再求导得???(x)?e??(x),即y???y?e
可求得对应齐次方程的通解为Y?c1cosx?c2sinx,又因为??1不是特征方程
r?1?0的根，故可设特解为
将其代方程y???y?e中可求得A?
,故方程的通解为y?c1cosx?c2sinx?
由?(0)?1,??(0)?1及
y???c1sinx?c2cosx?得c1?
sx?i，即n?(x)e?(cosx?sinx?e).
9． 求方程y″?y′?2y?3e?x在x?0处与直线y?x相切的解．
解：特征方程r2?r?2?0有两个实根r1??1,r2?2,故对应的齐次方程的通解为
,又因为???1是特征方程的单根，故可方程的特解为
代入原方程可解得A=-1，故原方程的通解为
由已知在x?0处与直线y?x相切，则y(0)?0,y?(0)?1，又
将y(0)?0,y?(0)?1分别代入（1），（2）式中得
?c1?c2?022
可解得c1??,c2? ?
33?c1?2c2??2
所以，所求的解为y??
10． 设函数y(x)的二阶导函数连续且y′(0)?0,试由方程
确定此函数．
解：方程两边对x求导得y?(x)?
[?y??(x)?2y(x)?6xe
y??(t)?2y(t)?6te
],即y???3y??2y?6xe?(1)
它的特征方程r?3r?2?0有两个相异的实根r1??1,r2??2,故方程（1）对应的齐次方
程的通解是
又???1是特征方程的单根，故方程（1）的特解可设为
y?x(Ax?B)e
?(Ax?Bx)?e
将其代入方程（1），可解得A?3,B??6，从而特解为y?(3x?6x)e通解为
，方程（1）的
[?y??(t)?2y(t)?6te]dt得y(0)?1,又
y???c1e?2c2e
由y(0)?1,y?(0)?0及(2),(3)式可得
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[初二数学]
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解：X-2Y=M&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1）&&&&&&&2X+3Y=2M+4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）将（1）式乘以2可得：2X-4Y=2M&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（3）将（2）式减（3）可得：Y=4/7&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（4）把（4）式代入（1）式可得：&&&&&&&X=8/7+M&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（5）因为：3X+Y≤0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（6）&&&&&&&&&&&X+5Y＞0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（7）把（4）式和（5）式代入（6）式可得：&&&&&&&&&&&&&&&&M≤-4/3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（8）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&把&（4）式和（5）式代入（7）式可得：&&&&&&&&&&&&&&&&M＞-4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（9）&合并（8）和（9）式可得：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&-4&M≤-4/3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（10）答：M的取值范围为-4&M≤-4/3&亲，请您点击【采纳答案】，您的采纳是我答题的动力，如果不明白，请追问，谢谢。
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经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0的直线方程为&&& ．
联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于-1，根据直线x+3y+4=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可．
联立直线方程 ，
①+②×（-3）得：y=-1，把y=-1代入②，解得x=-1，
原方程组的解为：，
所以两直线的交点坐标为（-1，-1），
又因为直线x+3y+4=0的斜率为，所...
考点分析：
考点1：两直线的交点
考点2：直线的一般式方程与直线的垂直关系
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难度：中等
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