2014高考数学人教版（文）一轮复习课件：5-3等比数列及其前n项和
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高考数学数列的综合应用
题目 第三章数列数列的综合应用高考要求(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳1通项与前n项和的关系：2迭加累加法：，，
，.........，3迭乘累乘法：，，，.........，4裂项相消法：5错位相减法：,
是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列所以有6通项分解法：7等差与等比的互变关系：8等比、等差数列和的形式：9无穷递缩等比数列的所有项和：题型讲解例1 等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n为何值时，Sn最大？解：根据，首项a1>0,若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn最大；若m+k为奇数，当n=(m+k─1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn最大例2 已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>对于一切大于1的自然数n都成立，求a的取值范围解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)∴f(n+1)－ f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n+2) 〕－〔1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)〕＝1/(2n+2) +1/(2n+1) －1/(n+1)＝1/(2n+1) －1/(2n+2) >0∴f(n+1)> f(n)∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12,∴ 7/12>,解得：1<a<(+1)/2例3 已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q,其中p>q且q≠1, p≠1, 设Cn=an+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和，求解：,以下分两种情况讨论：(1)当p>1时,∵
p>q>0,∴ 0<q/p=0,=0,两边同除以pn,得：=p;(2)当p<1时,∵ p>q>o,∴ 0<q<p=0,=0,
如图所示：已知抛物线y=x2,点An的坐标为(1,0),将OAn分为n等分，分点为A1,A2,...An─1, 过A1,A2,...An─1,An分别作y轴的平行线，分别交抛物线于B1,B2,B3, ...Bn─1,Bn,再分别以OA1, A1A2,A2A3, ...An─1An为宽作n个小矩形 求n个小矩形的面积之和；求(即曲边梯形OAnBn的面积)解：Sn==(n+1)(2n+1)/(6n2);=1/3本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想例5
等差数列{an}中，已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0 (r∈N)是关于x的一组方程①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列{1/(mr+1)}是等差数列解：①依题意，由{an}是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有实数根x=─1;②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─ar+2/ar,∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d),∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2,∴ {1/(mr+1)}是等差数列例6 数列{an}的前n项和Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,...),a,b是常数，且b≠0,①求证{an}是等差数列；②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点Pn都落在同一直线上，并求出直线方程；③设a=1,b=1/2,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r>0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r 的取值范围证明：①根据得an=a+(n─1)? 2b,∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b②由x=an=a+(n─1)?2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b两式中消去n,得：x─2y+a─2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r─1)2+r2>r2;
(r─2)2+(r─1/2)2>r2;
(r─3)2+(r─1)2>r2∴ r的取值范围是(1,5/2─)∪(0,1)∪(4+,+∞)例7
已知数列{an}满足条件a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q (q>0)的等比数列，设bn=a2n─1+a2n (n=1,2,3,...)①求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3 (n∈N) 成立的q 的取值范围；②求bn和,其中Sn为数列bn的前n项的和；③设r=2192─1,q=05,求数列{}的最大项和最小项的值解：①rqn─1+rqn>rqn+1, q>0 ==>0<q<(1+)/2;②==>=q≠0∴ {bn}是首项为1+r,公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn─1,当q=1时，Sn=n(1+r), =0;当0<q<1时，=(1─q)/(1+r);当q>1时，=0;③=f(n)==1+1/(n─202),当n?21时，f(n)递减，∴ f(n)?f(21)==>1<f(n)?225;当n?20时，f(n)递减，∴ f(n)?f(20)==>1>f(n)?─4;∴ 当n=21时，有最大值225;当n=20时，有最小值─4例8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,...xn,由已知x2─x1=x3─x2=x4─x3=...=xn─xn─1,∴ {xn}为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n),∴ ==>x1+x2+...+xn=24n;即n(x1+xn)/2=24n ==>x1+xn=48, 又xn=5x1 ,∴ xn=40即最后一个水龙头放水时间是40分钟例9 某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x（取lg2=03)解：用归纳法求解，第一年存量：125a─x;第二年存量：125(125a─x)─x=a?1252─x(1+125);第三年存量：125?[a?1252─x(1+125)]─x=a?1253─x(1+125+1252);......第20年末存量：a?12520─x(1+125+1252+...+12519)=a?1─12520)依题意：a?1─12520)=4a,又设y=12520==>lgy=20lg125=20(1─3lg2)=2∴ y=100,即==>x=8a/33答：每年的最大砍伐量为8a/33例10 某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)解法一：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量为b吨，平均每年减少耕地x公顷，由题意可知：?解得：,再用二项式定理进行计算可得：x?4解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨/公顷， 可得：?==>x?4 (公顷)例10
某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆由题意得学生练习1在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=30,a5+a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15=答案：1302数列{an}中，a15=10,a45=90,若{an}为等差数列，则a60=若{an}为等比数列，则a60=答案：130，±270（两种解法）3a1,a2,...,a2n+1成等差数列，且下标为奇数的项的和为60，下标为偶数的项的和为45，则该数列的项数是答案：7（直接列方程）4{an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5为
；答案：55设等差数列{an}的前n项之和为30，前2n项之和为100，则它的前3n项之和为答案：2106{an}是等差数列，且a1─a4─a8─a12+a15=2,求a3+a1 3的值；答案：─47一个等差数列共n项，其和为200，其中前10项之和为25，后10项之和为75，则n=答案：408等比数列{an}中，已知a1a2a3=1,a4a5a6=2,则a7a8a9a10a11a12=答案：32;9等比数列{an}中，Sn=2n─1,则a12+a22+...+an2等于答案：(4n─1)/310数列{an}和{bn}均为等差数列，它们的前n项之和分别为Sn ,,若Sn /=(7n+2)/(n+4),则a5/b5=答案：5;11等差数列{an}的公差为1/2,且前100项之和为S100=145,求a1+a3+a5+...+a99的值答案：S100=a1+a3+a5+...+a99+a2+a4+a6+...+a100=2(a1+a3+a5+...+a99)+50d=145==> a1+a3+a5+...+a99=6012项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项答案：S奇+S偶=Sn;
S奇─S偶=a中；
==>a中=1113等差数列{an}中，前m项之和(m为奇数)为77，其中偶数项之和为33，a1─am=18,求此数列的通项公式答案： （奇数项之和）
，两式相除得到：(m+1)/(m─1)=4/3 ==>m=7，再联立方程组解得：a1=20,am=2==>d=─3==>an=─3n+2314 在等差数列{an}中，如果Sm/Sn=m2/n2(m,n为已知数),求am/an的值答案： (2m─1)/(2n─1)15等差数列{an}中，公差d≠0,其中构成等比数列，若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+...+kn答案：由题意知a52=a1a17,列方程得到a1=2d,公比q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3,∴ =a1? 3n─1,
(1)；又=a1+（kn─1）d=
(2);由(1)及(2)得kn=2?3n─1─1,∴ k1+k2+...+kn=2(1+3+32+...+3n─1)─n=3n─n─116在1/n和n+1之间插入n个正数，使得这n+2个数成等比数列，求插入的n个数之积答案：17等差数列{an}中，a3=12,S130,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1,S2,...,S12中哪一个最大？并说明理由答案：(1)由S12=12a1+12?11d/2>0, S13=13a1+13?12d/2<0 , a3=a1+2d=12得到：24+7d>0,
3+d─24/7<d<─3;(2)两种解法：方法一：Sn是n的二次函数，由此函数配方结合d的范围求出最大值方法二：S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7a6+a7>0,a7a6>0,a7<0,故当n?6时，Sn递增，n?6时，Sn递减，∴ S6最大18(1)数列{an}是首项为1000，公比为1/10的等比数列，数列{bn}满足bk=(k∈N),求数列{bn}的前多少项的和最大？(2)数列{an}中，S7=S12 , 则数列的前
项之和最大答案：（1）bk=3─(k─1)/2,
bk为等差数列；bn?0, bn+1?0,==>6?n?7所以第6项和第7项最大；（2）8或9数形结合19已知n∈N,函数y=(x2─x+n)/(x2+1)的最小值与最大值的和为an,又b1+2b2+...nbn=(n+10)①求an和bn的表达式；②令Cn=─anbn,试问数列{Cn}有没有最大项？如果有，求出最大项，如果没有，说明理由答案：①先用判别式法求出an=n+1,又b1+2b2+...nbn= (n+10)
(1)b1+2b2+...(n─1)bn─1=(n+9)
(2)相减得：bn=,② 从而Cn=,考虑数列的单调性，由Cn?Cn─1,
Cn?Cn+1 ==>8?n?9故最大项为C8=C9=18已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求证：答案：a2=8, 设公比为q,则(8/q─1)+(8q─9)=2(8─3)==>q=2或q=1/2(舍去)Sn=,用错位相减法得Sn=1─<119已知等差数列{an}的前n项和为Sn,bn=1/Sn,且a3b3=1/2,S3+S5=21①求数列{bn}的通项公式;②求证：b1+b2+...+bn<2答案：①bn=; ②bn=2()裂项相消，结果为2─2/(n+1)<220已知函数f(x)=(x─1)2,数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q∈R,q≠1),若a1=f(d─1),a3=f(d+1),b1=f(q─1),b3=f(q+1)①求数列{an},{bn}的通项公式；②设数列{cn}对任意自然数n均有成立，求c1+c3+c5+...+c2n─1的值③试比较(3bn─1)/(3bn+1)与an+1/an+2的大小，并证明你的结论答案：①an=2(n─1);
bn=3n─1;②cn/bn =an+1─an=2==>cn=2bn=2?3n─1==> c1+c3+c5+...+c2n─1=(9n─1)/4;③(3bn─1)/(3bn+1)=(3n─1)/(3n+1),
an+1/an+2=n/(n+1)猜想n∈N时，有(3n─1)/(3n+1)? n/(n+1), 用数学归纳法证明（略）21一计算机装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数列{n}中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列{an},结果表明：①从A口输入n=1时，从B口得到a1=1/3;②当n?2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一个结果an─1先乘以自然数列{n}中的第n─1个奇数，再除以自然数列{n}中的第n+1个奇数,试问：(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？(2)从A口输入2000时，从B口得到什么数？答案：(1)a1=,a2=,a3=;　　　(2)猜想am=,用数学归纳法证明（略），　　　∴ a99999课前后备注知识点梳理
等比数列的性质：在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a...”，相似的试题还有：
已知{an}是等比数列，an＞0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于()．
在等比数列{an}中，an＞0，且a3a5+a2a10+2a4a6=100，则a4+a6的值为：()
已知{an}是等比数列，对?n∈N*，an＞0恒成立，且a1a3+2a2a5+a4a6=36，则a2+a5等于()．