已知：等边三角形ABC.（1）P为△ABC内任一点，自点P向三边作垂线PD、PE、PF，点D、E、F为垂足.求证：PD+PE+PF等于定值；（2）若点P在△ABC外时，情况如何？
已知：等边三角形ABC.（1）P为△ABC内任一点，自点P向三边作垂线PD、PE、PF，点D、E、F为垂足.求证：PD+PE+PF等于定值；（2）若点P在△ABC外时，情况如何？
连接p和ABC3个顶点,形成3个三角形PAB PAC和PBC,设D为AB边垂足,E为AC边垂足,F为BC边垂足,那么3个三角形他们的面积为1/2PD*AB,1/2PE*AC和1/2PF*BC,又因为等边三角形AB=AC=BC所以3个三角形面积相加为1/2*(PD+PE+PF)/AB=等边三角形ABC的面积,既然已知三角形ABC所以他的边长和面积就是定值,所以PD+PE+PF就为定值.
如果P在三角形外,就不是.因为假设P点距离AB边不变即PD不变,向远离三角形的方向移动的话那么PF和PE就会增大,不会形成定值.
第二小题还有点问题。。。
什么问题呢...我认为p点在外不可能是定值.
我是说证明过程的问题，，，
能不能再详细点？
按格式写呢？拜托了。。。
用反证法,假设p点在外仍旧有定值,那么任意把三角形一条边延长,并在其上于三角形外点1个点为p,并向另两边做垂线,如果你把p点向远处移动则如果假设成立那么垂线的长度应该不变,但是你明显能看出来靠外的p点做垂线要比靠内的要长,所以假设不成立,p点在外不为定值.
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理工学科领域专家已知,采用面积分割法,得出三角形高的数量关系.连接,,,仿照面积的割补法,得出,而这几个三角形的底相等,故可得出高的关系.问题转化为正边形时,根据正边形计算面积的方法,从中心向各顶点连线,可得出个全等的等腰三角形,用边长为底,边心距为高,可求正边形的面积,然后由点向正多边形,又可把正边形分割成过三角形,以边长为底,以为高表示面积,列出面积的等式,可求证为定值.
过点作,垂足为,连接,,,,,,,.连接,,,,,,.设边形的边心距为,则:(定值).
本题主要利用面积分割法,求线段之间的关系,充分体现了面积法解题的作用.
3883@@3@@@@等腰三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3886@@3@@@@等边三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3913@@3@@@@正方形的性质@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 阅读材料:如图,\Delta ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为{{r}_{1}},{{r}_{2}},腰上的高为h,连接AP,则{{S}_{\Delta ARP}}+{{S}_{\Delta ACP}}={{S}_{\Delta ABC}},即:\frac{1}{2}ABo{{r}_{1}}+\frac{1}{2}ACo{{r}_{2}}=\frac{1}{2}ACoh,所以{{r}_{1}}+{{r}_{2}}=h(定值).(1)理解与应用:如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E为对角线BD上的一点,且BE=BC,F为CE上一点,FM垂直于BC于M,FN垂直于BD于N,试利用上述结论求出FM+FN的长.(2)类比与推理:如果把"等腰三角形"改成"等边三角形",那么P的位置可以由"在底边上任一点"放宽为"在三角形内任一点",即:已知等边\Delta ABC内任意一点P到各边的距离分别为{{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}},等边\Delta ABC的高为h,试证明{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+{{r}_{3}}=h(定值).(3)拓展与延伸:若正n边形{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},内部任意一点P到各边的距离为{{r}_{1}}{{r}_{2}}...{{r}_{n}}请问是{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+...+{{r}_{n}}是否为定值,如果是,请合理猜测出这个定值.如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=____°，猜想∠QFC=____°；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2根号3，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．-乐乐题库
& 旋转的性质知识点 & “如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是...”习题详情
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如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=30&°，猜想∠QFC=60&°；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2√3，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2010-义乌市
分析与解答
习题“如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=B...”的分析与解答如下所示：
（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；利用观察法，或量角器测量的方法即可求得∠QFC的度数；（2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；（3）过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC，根据△ABP≌△AEQ得到：设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2．点Q到射线BC的距离y=QH=sin60°×QF=√32（x+2），即可求得函数关系式．
证明：（1）∵∠ABC=90°，∠BAE=60°，∴∠EBF=30°；（1分）则猜想：∠QFC=60°；（2分）（2）∠QFC=60°．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1分）∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP和△AEQ中，{AB=AE∠BAP=∠EAQAP=AQ，∴△ABP≌△AEQ （SAS）　∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60；（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2√3．由（1）得∠EBF=30°．又∵∠QFC=60°∴∠EBF=∠BEF，∴BF=EF，∵FG⊥BE∴BG=BE2=√3，∴BF=BGcos30°=2．∴EF=2．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1分）∵在Rt△ABP和Rt△AEQ中，{AQ=APAB=AE∴△ABP≌△AEQ．设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2分）过点Q作QH⊥BC，垂足为H．在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=√32（x+2）．（x＞0）即y关于x的函数关系式是：y=√32x+√3．&&&&&&&&&&& （3分）
本题把图形的旋转，与三角形的全等，三角函数，以及函数相结合，是一个比较难的题目．
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如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，...
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经过分析，习题“如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=B...”主要考察你对“旋转的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
与“如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=B...”相似的题目：
如图所示，在直角三角形△AOB顺时针旋转后与△COD重合，若旋转角度是35°，则旋转前的∠AOD=&&&&．
已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，将△ABC绕着点B旋转后点A落在直线BC上的点A′，点C落在点C′处，那么AA′的值为&&&&．
“如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是...”的最新评论
该知识点好题
1如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，下列说法：①将△ADC绕C点顺时针旋转60°可得△CBE②将△ADC逆时针旋转60°可得△ABE③将△ADC绕点A逆时针旋转60°可得△ABE④将△ABE绕点A顺时针旋转60°可得△ADC，其中正确的有（　　）
2如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC=180°，下列结论：①CD=CB；②AD+AB=2AE；③∠ACD=∠BCE；④AB-AD=2BE．其中正确的是（　　）
3（2013o晋江市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（　　）
该知识点易错题
1一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（　　）
2下列说法正确的是（　　）
3（2012o犍为县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF=12S△ABC；（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=____°，猜想∠QFC=____°；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2根号3，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=____°，猜想∠QFC=____°；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2根号3，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．”相似的习题。设P是等边三角形ABC内的任意一点，求证；P到等边三角形三条边距离之和为定值_百度知道
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PE，（x＋y＋z）等于△ABC的高，CP;2ax，S△PAB＝1&#47，PF＝z，S△PAC＝1&#47。 证毕，AB，过P做PD。 则S△PBC＝1&#47，PF分别垂直于BC，y：连接AP证明。 设Pd＝x，PE＝y，BP， ∴P到等边三角形三条边距离之和为定值;2az 则x＋y＋z＝2×S△ABC÷a ∴无论x，AC，z是何值;2ay
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