我需要因式分解的方法,大概六七种必须有十字相乘法和待定系数法_百度作业帮
我需要因式分解的方法,大概六七种必须有十字相乘法和待定系数法
必须有十字相乘法和待定系数法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、 分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a2 +4ab+4b2 a2 +4ab+4b2 =（a+2b）2 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx2 +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析：1 ×7=7,2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19 7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x2 +6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40 =(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7] =(x+10)(x-4) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x4 –x3 -6x2 -x+2(也叫相反式,在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的,如四次项与常数项对称,系数相等,解法也是把对称项结合在一起) 2x 4–x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2 =x2 {2[x2 + ()2]-(x+ )-6}令y=x+ ,x2 {2[x2 +( )2]-(x+)-6} = x2 [2(y2 -2)-y-6] = x2 (2y2 -y-10) =x 2(y+2)(2y-5) =x2 (x+ +2)(2x+ -5) = (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2) =(x+1)2 (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) （一般情况下是试根法,并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根）例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 ,则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法（这种方法在以后学函数的时候会用到.现在只是作为了解内容,它和第八种方法是类似的） 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)……(x-xn ) 例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6 令y= x3 +2x2 -5x-6 作出其图象,可知与x轴交点为-3,-1,2 则x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c) =(b-c) [a2 -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10（或其它数）代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15 令x=2,则x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x3 +9x2 +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x4 –x3 -5x2 -6x-4 如果已知道这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.设x4 –x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d) = x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以 解得 则x4 –x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)数学因式分解的方法,和怎么观察,我因式分解学的差,具体点,和易错点.我初二以后的就别说了_百度作业帮
数学因式分解的方法,和怎么观察,我因式分解学的差,具体点,和易错点.我初二以后的就别说了
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因式分解,也叫分解因式,因式分解,是主谓短语,分解因式,是动宾短语,就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；需要示意图,就看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子,就是因式分解.正如分解质因数,要把数字变成所有质数相乘的乘积,分解因式,就要彻底分解,尽可能降低各个因式的最高次数,具体方法,第一步,提公因式,这也是最简单的方法,公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些我们都熟悉了）,而且,公因式还可能是一个式子,例如&(a&+&b)(3m&+&2n)&+&(2m&+&3n)(a&+&b),公因式是&(a+b)原式&=&(&a&+&b&)(&3m&+&2n&+&2m&+&3n&)&=&(&a&+&b&)(&5m&+&5n&)&这样再提取系数&5=&5(&a&+&b&)(&m&+&n&)第二步,公式法,就是把整式乘法的公式倒过来用,a&&-&b&&=&(a&-&b)(a&+&b)&——平方差,a&&+&2ab&+&b&&=&(a&+&b)&&——完全平方和,a&&-&2ab&+&b&&=&( a&-&b )&&——完全平方差,a&'&+&b&'&=&(a&+&b)(a&&-&ab&+&b&)&——立方和,a&'&-&b&'&=&( a&-&b )(a&&+&ab&+&b&)&——立方差,熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,平方差,还有两个完全平方相减的式子,例如&9(&x&+&y&)&&-&4(&x&+&y&-&1&)&=&[&3(x&+&y)&-&2(x&+&y&-&1)&][&3(x&+&y)&+&2(x&+&y&-&1)&]=&(&3x&+&3y&-&2x&-&2y&+&2&)(&3x&+&3y&+&2x&+&2y&-&2&)=&(&x&+&y&+&2&)(&5x&+&5y&-&2&)完全平方式,应该注意(&a&-&b&)&=&[&-&(&b&-&a&)&]&&=&(&b&-&a&)&=&a&&-&2ab&+&b&&=&b&&-&2ab&+&a&而且( a - b )& = [ a + (-b) ]&= a&&-&2ab&+&b&&=&a&&+&2a(-b)&+&(-b)&公式或许就只有一个( a&+&b )&&=&a&&+&2ab&+&b&立方和、立方差,分解因式变成五个项,两个一次项、三个二次项,熟悉公式是难点,就拿具体数字算一算,2&'&-&1&=&8&-&1&=&1&X&7=&(&2&-&1&)(&4&+&2&+&1&)=&(&2&-&1&)(&2&&+&2&+&1&)我就是利用&“棋盘上的麦粒”&问题,熟悉了立方差a&'&-&1&=&(&a&-&1&)(&a&&+&a&+&1&),a&'&-&b&'&=&(&a&-&b&)(&a&&+&ab&+&b&),立方差,原来两个立方相减,两个一次项也是相减,三个二次项就都是相加,立方和,a&'&+&b&'&=&(&a&+&b&)(&a&&-&ab&+&b&&),就只有中间一个二次项&-ab&是减,其余都是相加.第三步,二次三项式,我建议,十字相乘结合分组分解法一同使用,正如&x&&+&(a&+&b)x&+&ab&=&(&x&+&a&)(&x&+&b&)把单项式&mx&=&(a+b)x&,拆开变成&ax&+&bx&,就能够分组提公因式进行分解.Q&关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；Q&如果常数项是正数,一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；或者,完全平方式也可以这样分解,x& + 10x + 25= x& + 5x + 5x + 25= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )= ( x + 5 )&再看看 x& ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,x&&+&10x&+&24=&x&&+&4x&+&6x&+&24=&x(&x&+&4&)&+&6(&x&+&4&)=&(&x&+&4&)(&x&+&6&)常数项&+24&不变,一次项&±10x&就都是拆开&4x&与&6x&的和,x&&-&10x&+&24=&x&&-&4x&-&6x&+&24=&x(&x&-&4&)&-&6(&x&-&4&)=&(&x&-&4&)(&x&-&6&)Q&如果常数项是负数,一次项系数就是分开两个项的相差数；x&&-&10x&-&24=&x&&-&12x&+&2x&-&24=&x(&x&-&12&)&+&2(&x&-&12&)=&(&x&-&12&)(&x&+&2&)常数项&+24&不变,一次项&±10x&就都是拆开&4x&与&6x&的和,x&&+&10x&-&24=&x&&+&12x&-&2x&-&24=&x(&x&+&12&)&-&2(&x&+&12&)=&(&x&+&12&)(&x&-&2&)最后,就要检验,确保分解彻底,因式分解变形正确,例如&x^6&-&y^6,应该=&(&x&'&-&y'&&)(&x&'&+&y&'&)=&(&x&-&y&)(&x&+&y&)(&x&&-&xy&+&y&&)(&x&&+&xy&+&y&&)相当于&64&-&1,=&(&8&-&1&)(&8&+&1&)=&(&2&-&1&)(&4&+&2&+&1&)(&2&+&1&)(&4&-&2&+&1&)=&1&X&7&X&3&X&3如果先用立方差,做成=&(&4&-&1&)(&4&&+&4&+&1&)=&(&2&-&1&)(&2&+&1&)(&16&+&4&+&1&)=&1&X&3&X&21就还有&21&不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,看看不同的方式方法是不是同一个结果这样才能够相互检验,确保解答正确.有关费尔马数,就是F1-4都是质数F5是合数不是说F5 是个合数吗?怎么证明呢?可以因式分解吗?怎么用同余做？_百度作业帮
有关费尔马数,就是F1-4都是质数F5是合数不是说F5 是个合数吗?怎么证明呢?可以因式分解吗?怎么用同余做？
不是说F5 是个合数吗?怎么证明呢?可以因式分解吗?怎么用同余做？
悬而未决的费尔马数伟大的科学家同样也会犯错误,科学史上这样的事件屡见不鲜.被誉为“近代数论之父”、“业余数学家之王”的16世纪法国数学家费尔马就是其中的一个,而且他所犯的错误又恰恰是在他最擅长的数论中.1640年,费尔马发现：设如图中数,则当n=0,1,2,3,4时,Fn分别给出3,5,17,257,65537,都是素数.这种素数被称为“费尔马数”.由于F5太大(=),他没有再进行验证就直接猜测:对于一切自然数n,Fn都是素数.不幸的是,他猜错了.1732年,欧拉发现：F5==641×6700417,偏偏是一个合数!1880年,又有人发现F6=2,也是合数.不仅如此,以后陆续发现F7,F8……,直到F19以及许多n值很大的Fn全都是合数!虽然Fn的值随着n值的增加,以极快的速度变大(例如1980年求出F8=2897×一个62位的数),目前能判断它是素数还是合数的也只有几十个,但人们惊奇地发现：除费尔马当年给出的5个外,至今尚未发现新的素数.这一结果使人们反过来猜测：是否只有有限个费尔马数?是否除费尔马给出的5个素数外,再也没有了?可惜的是,这个问题至今还悬而未决,成为数学中的一个谜.
因为数太大不能直接写可以分解 有质因数641(最小)用同余做的(欧拉证明的)【湘教版】八年级数学下册教案(全)_百度文库
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20080份文档因式分解怎样快速的学会_百度作业帮
因式分解怎样快速的学会
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因式分解,也叫分解因式,因式分解,是主谓短语,分解因式,是动宾短语,就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子,就是因式分解.分解因式,也正如分解质因数,分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因数中去掉合数；分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,具体方法,【第一步,提取公因式】这也是最简单的方法,公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些相信我们都熟悉了）,而且,公因式还可能是一个式子,例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5= 5( a + b )( m + n )【第二步,公式法】就是把整式乘法的公式倒过来用,a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,【平方差】还有两个完全平方相减的式子,例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )【完全平方式】应该注意( a - b )"= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"而且( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"公式或许就只有一个( a + b )" = a" + 2ab + b"不管是和的平方,还是差的平方,最先也都是平方和,a" - 2ab - b" 就错了.【立方和、立方差】原来两个三次项,分解因式变成五个项,两个是一次项、三个是二次项,a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )我们看看特征,两个一次项 a 和 b,正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样；三个二次项,a" + b" 还是平方和,中间项 ab 就要与一次项相反.或者,看分解因式的五个项,立方和,只有二次项 ab 为负,其余全都是正；立方差,除了一次项 b 为负,其余全都是正.想一想,二次项 ab,如果立方和换成 +ab,立方差换成 -ab,再变成 2 不就成了完全立方吗?怎么是立方和、立方差呢?( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'这样看来,立方和是 -ab,立方差是 +ab,就是要加大与完全立方的差别啊!为了熟悉公式,我们也应该取简单的数字算一算,2"' - 1"' = 8 - 1= 7 = 1 X 7= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )相信我们都知道,分解因式是这五个项,相对困难就是正负符号,不知怎样确定,这样只要算一算,就能够帮助自己确定符号了.【第三步,二次三项式分解】我建议,十字相乘法,结合分组分解法一同使用,正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )把单项式 mx = (a+b)x ,拆开变成 ax + bx ,就能够分组提公因式进行分解.【】关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,如果常数项是正数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的和；如果常数项是负数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的差.前面已经说过,完全平方,b" 必然都是 +b",x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,【】如果常数项是正数,一次项拆开两个项的绝对值,就都比原来小；x" + 10x + 24= x" + 4x + 6x + 24= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )= ( x + 4 )( x + 6 )常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,x" - 10x + 24= x" - 4x - 6x + 24= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )= ( x - 4 )( x - 6 )【】如果常数项是负数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的相差数；x" - 10x - 24= x" - 12x + 2x - 24= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )= ( x - 12 )( x + 2 )常数项 -24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数,x" + 10x - 24= x" + 12x - 2x - 24= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )= ( x + 12 )( x - 2 )这样我们也就发现,【】为什么看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二呢?这是因为：常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；像这样的二次三项式,还有x" ± 5x ± 6,x" ± 10x ± 24,x" ± 15x ± 54,x" ± 20x ± 96,x" ± 25x ± 150,……其实,它们都是 x" ± 5xy ± 6y" ,这个式子千变万化,还有6x" ± 5x ± 1,6x" ± 10x ± 4,6x" ± 15x ± 9,6x" ± 20x ± 16,6x" ± 25x ± 25,……这样的式子还不只一个,还有8x" ± 26x ± 15,8x" ± 52x ± 60,8x" ± 78x ± 135,8x" ± 104x ± 240,8x" ± 130x ± 375,……其实,这样也都是 8x" ± 26xy ± 15y" ,这个千变万化的式子,同样还有15x" ± 26x ± 8,15x" ± 52x ± 32,15x" ± 78x ± 72,15x" ± 104x ± 128,15x" ± 130x ± 200,……它们包括了多种具体情况,让我们也都取值做一做,感受一下其中的奥秘吧.【】二次三项式,分解因式,这样也是技巧、窍门,关键就看 c 与 a 的正负,只要熟悉这个方法,x" + bx + c,ax" + bx + c,ax" + bxy + cy",我们都同样做得方便.【复杂的多项式,配方法】如果上面这些方式方法都不熟悉,或者二次三项式看起来复杂,不知所措,还可以使用配方法,我们还是看看 x" - 10x - 24 ,x" - 10x - 24首先配方,把二次项和一次项,变成完全平方,= x" - 10x + 5" - 25 - 24= ( x - 5 )" - 49分解因式,用平方差公式= ( x - 5 )" - 7"= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )= ( x - 12 )( x + 2 )【分解之后,还要检验】确保分解彻底,因式分解变形正确,例如 x^6 - y^6,应该= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )相当于 64 - 1,= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )= 1 X 7 X 3 X 3如果先用立方差,做成= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )= 1 X 3 X 21就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,看看不同的方式方法是不是同一个结果,这样才能够相互检验,确保解答正确.如果要看技巧、诀窍,我还发布了百度经验/article/11c17a2ce39d9a.html/article/8275fc86baa1.html希望你看过也有用,对你也有所帮助.