数学复习题2009上_百度文库
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你可能喜欢习题 8?1 1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别 指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x, y)|x≠0, y≠0}; 解 开集, 无界集, 导集为R2, 边界为{(x, y)|x=0 或y=0}. (2){(x, y)|1&x2+y2≤4}; 解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x, y)|1≤x2+y2≤4}, 边界为{(x, y)|x2+y2=1 或x2+y2=4}. (3){(x, y)|y&x2}; 解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x, y)| y≥x2}, 边界为{(x, y)
| y=x2}. (4){(x, y)|x2+(y?1)2≥1}∩{(x, y)|x2+(y?2)2≤4}. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为{(x, y)|x2+(y?1)2=1}∪{(x, y)|x2+(y?2)2=4}. 2. 已知函数 f (x, y) = x 2 + y 2 ? xy tan x , 试求 f(tx, ty). y 解 f (tx,ty) = (tx)2 + (ty)2 ? (tx)?(ty)?(tan tx ) ty ? ? = t 2 ? x 2 + y 2 ? xy tan x ? = t 2 f (x, y) . y? ? 3. 试证函数 F(x, y)=ln x?ln y 满足关系式: F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 证明 F(xy, uv)=ln((x, y)?ln(uv) =(ln x+ln y)(ln u+ln v) =ln x?ln u+ln x?ln v+ln y?ln u+ln y?ln v =F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 4. 已知函数f(u, v, w)=uw+wu+v, 试求f(x+y, x?y, xy). 解 f(x+y, x?y, xy)=(x+y)xy+(xy)(x+y)+(x?y) =(x+y)xy+(xy)2x. 5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y2?2x+1);解 要使函数有意义, 必须y2?2x+1&0, 故函数的定义域为D={(x, y)|y2?2x+1&0}. (2) z = 1 + x+ y 1 ; x? y解 要使函数有意义, 必须 x+y&0, x?y&0, 故函数的定义域为 D={(x, y)|x+y&0, x?y&0}. (3) z = x ? 解 要使函数有意义, 必须y≥0, x ? y ≥ 0 即 x ≥ 故函数定义域为D={(x, y)| x≥0, y≥0, x2≥y}. (4) z = ln( y ? x) + x 1? x ? y 22y , 于是有x≥0 且x2≥y,;解 要使函数有意义, 必须y?x&0, x≥0, 1?x2?y2&0, 故函数的定义域为D={(x, y)| y?x&0, x≥0, x2+y2&1}. (5) u = R 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 + 1 (R&r&0); x + y + z2 ? r 22 2解 要使函数有意义, 必须R2?x2?y2?z2≥0 且x2+y2+z2?r2&0, 故函数的定义域为D={(x, y, z)| r2&x2+y2+z2≤R2}. (6) u = arccos z . x + y22解 要使函数有意义, 必须x2+y2≠0, 且|z x2 + y 2|≤1 即z2≤x2+y2,故函数定义域为D={(x, y, z)|z2≤x2+y2, x2+y2≠0}. 6. 求下列各极限: (1) 1? 2 (x, y)→(0,1) x + y 2 lim lim(x, y)→(0,1)解1? xy 1? 0 = =1 . x2 + y 2 0+1(2)ln(x + e y ) ; (x, y)→(1,0) x 2 + y 2 lim ln(x + e y ) ln(1+ e0 ) = = ln 2 . (x, y)→(1,0) x 2 + y 2 12 + 02 lim 2? xy + 4 ; xy (x, y)→(0,0) lim lim(x, y)→(0,0)解(3)解2? xy + 4 = xy(2? xy + 4)(2+ xy + 4) (x, y)→(0,0) xy(2+ xy + 4) lim=(x, y)→(0,0) (2+lim?1 =?1 . 4 xy + 4)(4)lim(x, y)→(0,0) xy +1 ?1 xy( xy +1 +1) xy = lim xy +1 ?1 (x, y)→(0,0) ( xy +1 +1)( xy +1?1)解(x, y)→(0,0)lim= (5)xy( xy +1 +1) xy +1 +1) = 2 . = lim (x, y)→(0,0) xy (x, y)→(0,0) lim limsin(xy) ; y sin(xy) sin xy ? x =1?2 = 2 . lim 解 = lim (x, y)→(2,0) y (x, y)→(2,0) xy(x, y)→(2,0)(6)1? cos(x2 + y 2 ) . 2 2 (x, y)→(0,0) (x 2 + y 2 )e x y lim 1? cos(x2 + y 2 ) 1? cos(x2 + y 2 ) 1 = lim ? lim 2 2 2 2 2 + y 2 )e x y x2 y 2 (x, y)→(0,0) (x (x, y)→(0,0) (x, y)→(0,0) e x +y lim= lim 1? cos t sin t = lim =0 . t →0 t t →0 1解7. 证明下列极限不存在:(1)lim(x, y)→(0,0)x+ x? y证明 如果动点 p(x, y)沿 y=0 趋向(0, 0), 则 lim(x, y)→(0,0) y =0x+ y = lim x =1 ; x ? y x→0 x如果动点 p(x, y)沿 x =0 趋向(0, 0), 则 lim(x, y)→(0,0) x=0x+ y y = lim = ?1 . x ? y y→0 ? yx+ y 不存在. x? y因此, 极限lim(x, y)→(0,0)(2)lim(x, y)→(0,0)x2 y 2 . x y + (x ? y)22 2证明 如果动点 p(x, y)沿 y=x 趋于(0, 0), 则 lim(x, y)→(0,0) y= x 4 x2 y2 = lim x4 =1; x 2 y 2+ (x ? y) 2 x→0 x如果动点 p(x, y)沿 y =2x 趋向(0, 0), 则 lim(x, y)→(0,0) y =2x 4 x2 y 2 = lim 4x 2 = 0 . 2 2 2 4 +x x y + (x ? y) x→0 4x因此, 极限x2 y 2 不存在. 2 2 (x, y)→(0,0) x y + (x ? y)2 lim y 2 + 2x 在何处间断？ y 2 ? 2x8. 函数 z =解 因为当y2?2x=0 时, 函数无意义, 所以在y2 ?2x=0 处, 函数 z = xy x2 + y 2y 2 + 2x 间断. y 2 ? 2x9. 证明lim(x, y)→(0,0)=0.x2 + y 2 | xy | xy 2 = |= 证明 因为| ≤ 2 + y2 2 + y2 2 + y2 x x x 所以 0≤ lim | xy |≤ lim 2 x + y 2 (x, y)→(0,0)x2 + y 2 , 2(x, y)→(0,0)x2 + y 2 =0 . 2因此lim(x, y)→(0,0)xy =0. x + y22证明 因为| xy |≤x2 + y 2 xy x2 + y 2 x2 + y 2 . , 故| |= = 2 2 x2 + y 2 2 x2 + y 2对于任意给定的ε&0, 取δ=2ε, 当 0 & x2 + y 2 & δ 时恒有 | x2 + y 2 δ xy ? 0 |≤ & =ε , 2 2 x2 + y 2 xy =0. x + y22所以lim(x, y)→(0,0)10. 设F(x, y)=f(x), f(x)在x0处连续, 证明: 对任意y0∈R, F(x, y)在(x0, y0)处 连续. 证明 由题设知, f(x)在x0处连续, 故对于任意给定的ε&0, 取δ&0, 当|x?x0|&δ时, 有|f(x)?f(x0)|&ε. 作(x0, y0)的邻域U((x0, y0), δ), 显然当(x, y)∈U((x0, y0), δ)时, |x?x0|&δ, 从而 |F(x, y)?F(x0, y0)|=|f(x)?f(x0)|&ε, 所以F(x, y)在点(x0, y0)处连续. 又因为y0是任意的, 所以对任意y0∈R, F(x, y)在(x0, y0)处连续.习题 8?2 1. 求下列函数的偏导数: (1) z =x3y?y3x; ?z = x3 ? 3xy 2 . 解 ?z = 3x 2 y ? y 3 , ?y ?x2 2 (2) s = u + uv ?s = ? u + v = 1 ? v ?s = ? ( u + v ) = 1 ? u 解 ( ) , . ?u ?u v u v u 2 ?v ?v v u u v2(3) z = ln(xy) ; 1 1 解 ?z = ? ( ln x + ln y ) = 1 ? ?1 = . ?x ?x 2 ln x + ln y x 2x ln(xy) 1 同理 ?z = . ?y 2 y ln(xy) (4) z=sin(xy)+cos2(xy); 解 ?z = cos(xy)? y + 2cos(xy)?[?sin(xy)]? y = y[cos( xy) ? sin(2xy)] ?x 根据对称性可知 ?z = x[cos(xy)?sin(2xy)] . ?y (5) z = y ?z 1 x 1 2 2x 解 = ?sec2 ? = csc , y y y y ?x tan x y ?z = 1 ?sec2 x ? ?x = ? 2x csc 2x . y y2 y ?y tan x y2 y (6) z=(1+xy)y; 解 ?z = y(1+ xy) y ?1 ? y = y 2 (1+ xy) y ?1 , ?x ?z = ? e yln(1+ xy) = e yln(1+ xy)[ln(1+ xy) + y? x ] ?y ?y 1+ xy= (1+ xy) y[ln(1+ xy) +yxy ]. 1+ xy(7) u = y y = ( ?1) 解 ?u z x z , ?x ?u z 1 1 = x ln x? = x z ?ln x , ?y z zy ?u = x z ln x(? y ) = ? y x z ?ln x . ?z z2 z2 y y y(8) u=arctan(x?y)z; z(x ? ?u z(x ? ?u (x ? y) z ln(x ? y) 解 ?u = = = ?= = . ?x ?y ?z 1+ (x ? y)2z y) z ?1 y) z ?1 , 2z , 1+ (x ? y) 1+ (x ? y)2z 2. 设T = 2π l , 试证 l ?T + g ?T = 0 . g ?l ?g3? 解 因为 ?T =π ? 1 , ?T = 2π ? l (? 1 )? g 2 = ?π ? 1 , 所以 ?l 2 g g g ?l ?gl ?T + g ?T = π ? l ?π ? l = 0 . ?l ?g g g 3. 设 z = e1 1 ?( + ) x y, 求证 x21 1 ) y?z 2 ?z +y = 2z . ?x ?y1 1 ) y?z ?( + 解 因为 = e x ?x?( + ?12 , ?z = e x ?y x 1 1 1 1? 12 , 所以 y?( + ) ?( + ) x2 ?z + y 2 ?z = e x y + e x y = 2z ?x ?y4. 设 f (x, y) = x + ( y ?1) arcsin x , 求 f x (x, 1) . y解 因为 f (x, 1) = x+ (1?1)arcsinx = x , 所以 f (x, 1) = d f (x, 1) =1 . x 1 dx2 2 ? ?z = x + y 5. 曲线 ? 4 在点(2, 4, 5)处的切线与正向 x 轴所成的倾角是多少？ ?y = 4 ? 解 ?z = 2x = x , ?z (2,4,5) =1= tan α , ?x 4 2 ?x 故α = π . 4 2 2 2 6. 求下列函数的 ? z , ? z , ? z . ?x2 ?y 2 ?x?y(1) z=x4+y4?4x2y2;2 解 ?z = 4x3 ? 8xy 2 , ? z =12x 2 ? 8y 2 ; ?x ?x 2?z = 4 y 3 ?8x 2 y , ? 2 z =12 y 2 ?8x2 ; ?y ?y 2 ? 2 z = ? (4 y3 ?8x2 y) = ?16xy . ?x?y ?y (2) z = x2 y y 2xy 解 ?z = 1 2?(? 2 ) = ? 2 2 , ? z = 2 2 2 ; 2 ?x y x x +y ?x (x + y ) 1+ 2 x ?z = 1 ?( 1) = x ? 2 z = ? 2 , 2 x 2 + y2 ?y y x ?y 2 (x 2 + y 2 )2 1+ 2 xy (x2 + y 2 ) ? 2 y 2 y 2 ? x2 ? 2 z = ? (? )=? = 2 2 2. ?x?y ?y x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 (x + y ) (3) z=yx. 解 ?z = y x ln y , ?x? 2 z = y x ln 2 ?x 2?z = xy x ?1 , ? 2 z = x(x ?1) y x ? 2 ; ?y ?y 2? 2 z = ? ( y x ln y) = xyx?1 ln y + yx ? 1 = yx?1(x ln y +1) . ?x?y ?y y 7. 设f(x, y, z)=xy2+yz2+zx2, 求fxx(0, 0, 1), fxz(1, 0, 2), fyz(0, ?1, 0)及fzzx(2, 0, 1). 解 因为fx=y2+2xz, fxx=2z, fxz=2x, fy=2xy+z2, fyz=2z, fz=2yz+x2, fzz=2y, fzzx=0, 所以 fxx(0, 0, 1)=2, fxz(1, 0, 2)=2, fyz(0, ?1, 0)=0, fzzx(2, 0, 1)=0. ?3 z 及 ?3 z . ?x?y 2 ?x 2?y8. 设 z=xln(xy), 求 解?z y =ln(xy)+ x? =ln(xy)+1 , ?x xy?2 z y = 1 , ? 3 z =0 , = ?x2 xy x ?x 2?y ?2 z = x = 1 , ?3 z = ? 1 . ?x?y xy y ?x?y2 y2 9. 验证: (1) y = e?kn t sin nx 满足2?y ?2 y =k 2 ; ?t ?x2 ?y ?kn2t =e ?sinnx?(?kn2) = ?kn2e?kn t ?sin nx , ?t 2 2 ?y 2 = ne?kn t cosnx , ? y = ?n2e?kn t sin nx , 2 ?x ?x 2y 2 ? k 2 = ?kn2e?kn t sin nx , ?x 2y ? ?y 所以 = k 2 . ?t ?x证明 因为2 2 2 r r (2) r = x2 + y 2 + z 2 满足 ? 2 + ? 2 + ? 2r = 2 . ?x ?y ?z r证明 ?r = ?x 由对称性知? 2r = x =x, 2 x2 + y 2 + z 2 r ?xr ? x ?r 2 2 ?x = r ?x , 2 r r3?2r r 2 ? y 2 ?2r r 2 ?z 2 = 3 , = 3 , ?z2 r ?y 2 r因此?2r + ?2r + ?2r = r 2 ?x2 + r 2 ? y 2 + r2 ?z 2 ?x2 ?y 2 ?z 2 r3 r3 r3 = 3r 2 ? (x2 + y2 + z 2) 3r2 ? r 2 2 = = . r3 r3 r习题 8?3 1. 求下列函数的全微分: (1) z = xy + y 解 dz = ?z dx + ?z dy = ( y + 1 )dx +(x 2 x )dy . ? ?x ?y y yy x (2) z = e;yy 1 ?z ?z 解 dz = dx + dy = ? 2 e x dx + e y xdy . x ?x ?y x (3) z = y x2 + y 2 ;2 y 解 因为 ?z = ? 1 ( x2 + y) ?x 23 ? 2xy = ? 2 2 3/ 2 , (x + y ) yx2 + y 2 ? y? ?z = ?y 所以 (4)u=xyz. dz = x2 + y 2x2 + y 2=x2 , (x2 + y 2 )3/ 2(x22 ? xy dx + 2 x 2 3/ 2 dy = ? 2 x 2 3/ 2 ( ydx ? xdy) . 2 )3/ 2 +y (x + y ) (x + y )解 因为 ?u = yz ? x yz ?1 , ?u = zx yz ln x , ?u = yx yz ln x , ?x ?y ?z 所以du = yzx yz ?1dx+ zx yz ln xdy + yx yz ln xdz2. 求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1, y=2 时的全微分. 解 因为 ?z = 2x 2 , ?x 1+ x2 + y ?z = 2y , ?y 1+ x2 + y 2?z = 1 , ?z = 2 , ? x yx=1 3 ?y x=1 3 y =2 =2所以dz x=1 = 1dx +? 2dy . 3 y =2 3 3. 求函数 z =y 当 x=2, y=1, Δx=0.1, Δy=?0.2 时的全增量和全微分. x y + Δy y y 解 因为 Δz = ? , dz = ? 2 Δx + 1 Δy , x x + Δx x x 所以, 当 x=2, y=1, Δx=0.1, Δy=?0.2 时, 1+ (?0.2) 1 Δz = ? = ?0.119 , 2 + 0.1 2 dz = ? 1 ×0.1+ 1 ×(?0.2) = ?0.125 . 4 2 4. 求函数z=exy当x=1, y=1, Δx=0.15, Δy=0.1 时的全微分. 解 因为 dz = ?z Δx + ?z Δy = ye xy Δx + xe xy Δy ?x ?y 所以, 当 x=1, y=1, Δx=0.15, Δy=0.1 时, dz = e?0.15+e?0.1= 0.25e *5. 计算 (102)3 +(1.97)3 的近似值. 解 设 z = x3 + y3 , 由于 3x2Δx +3y 2Δy (x + Δx)3 + ( y + Δy)3 ≈ x3 + y 3 + ?z Δx + ?z Δy x3 + y3 + , = ?x ?y 2 x3 + y 3所以取 x=1, y=2, Δx=0.02, Δy=?0.03 可得 (1.02)3 + (1.97)3 ≈ 1+ 23 + 3?0.02+3?22 ?(?0.03) 2 1+ 23 = 2.95 .*6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z=xy, 由于 (x + Δx) y + Δy ≈ x y + ?z Δx + ?z Δy = x y + yx y ?1Δx + x y ln xΔy , ?x ?y 所以取 x=2, y=1, Δx=?0.03, Δy=0.05 可得 (1.97)1.05≈2?0.03+2ln2?0.05+1.97+0.0693 ≈2.093. *7. 已知边长为 x=6m 与 y=8m 的矩形, 如果 x 边增加 5cn 而 y 边减少 10cm,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为 z = x 2 + y 2 , 1 Δz ≈ dz = dz Δx + dz Δy = (xΔx + yΔy) , 2 + y2 dx dy x 当 x=6, y=8, Δx=0.05, Δy=?0.1 时, Δz ≈ 1 (6?0.05 ?8?0.1) = ?0.05 . 6 + 822这个矩形的对角线大约减少 5cm. *8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为 0.1cm, 内高为 20cm, 内半径为 4 厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V=πR2h, ΔV≈dV=2πRhΔR+πR2Δh, 当 R=4, h=20, ΔR=Δh=0.1 时, ΔV≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm3) 这个容器外壳的体积大约是 55.3cm3. *9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为 7±0.1cm 和 24±0.1cm, 试求利用 上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为 x 和 y , 则斜边的长度为 z = x 2 + y 2 . 1 | Δz |≈| dz |≤| ?z |?| Δx | + | ?z |?| Δy | = y | Δy |) . ?x ?y x2 + y 2 (x | Δx | +令 x=7, y=24, |Δx|≤0.1, |Δy|≤0.1, 则得斜边长度 z 的绝对误差约为δz =1 (7?0.1+ 24?0.1) = 0.124 cm. 7 + 2422*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为 63±0.1m 和 78±0.1m,这两边的夹角 为 60°±1°, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差. 解 设三角形的两边长为 x 和 y, 它们的夹角 z, 为则三角形面积为 s = 1 xy sin z . 2 1 1 1 dS = ysin zdx + xsin zdy + xycoszdz 2 2 2| ΔS |≈| dS |≤ 1 y sin z | dx | + 1 xsin z | dy | + 1 xy cos z | dz | . 2 2 2 令 x=63, y=78, z = π , |dx|=0.1, |dy|=0.1, dz = π , 则 3 180δs ≈ 78 × 3 ×0.1+ 63 × 3 ×0.1+ 63×78 × 1 × π = 27.55 , 2 2 2 2 2 2 180 S = 1 ?63?78?sin π = 2127.82 , 2 3 δs = 27.55 =1.29% , 所以三角形面积的近似值为 , 绝对误差为 S
27.55 m , 相对误差为 1.29%. *11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和. 证明 设 u=x+y, 则 | Δu |≈| du |=| ?u Δx + ?u Δy |=| Δx + Δy |≤| Δx | + | Δy | . ?x ?y 所以两数之和的绝对误差|Δu|等于它们各自的绝对误差|Δx|与|Δy|的和. *12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相 对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设 u=xy, v = x , 则 Δu≈du=ydx+xdy , yΔv ≈ dv = 由此可得相对误差; dy Δx Δy Δu ≈ du = ydx + xdy = dx + ; ≤ dx + = + dy u u xy x y x y x y Δv = dv = ydx ? xdy = dx ? ≤ dx + dy = Δx + Δy . dy x y x y x y v v y2 ? x y ydx ? xdy , y2习题 8?4 ?z . 1. 设z=u2?v2, 而u=x+y, v=x?y, 求 ?z , ?x ?y 解 ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v =2u?1+2v?1=2(u+v)=4x, ?x ?u ?x ?v ?x ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v =2u?1+2v?(?1)=2(u?v)=4y. ?y ?u ?y ?v ?y 2. 设z=u2ln v, 而 u = x , v=3x?2y, 求 ?z , ?z . ?x ?y y 解 ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v ?x ?u ?x ?v ?x2 3x 2 = 2u ln v? 1 + u ?3 = 2x ln(3x ? 2 y) + , y v y2 (3x ? 2 y) y 2?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v ?y ?u ?y ?v ?y = 2u ln v?(?2 x u2 2x 2 . ) + (?2) = ? 2x3 ln(3x ? 2 y) ? 2 v y y (3x ? 2 y) y 23. 设z=ex?2y, 而x=sin t, y=t3, 求 dz . dt 解 dz = ?z ? dx + ?z ? = e x?2 y cost + ex?2 y ?(?2)?3t 2 dy dt ?x dt ?y dt= e x?2 y (cost ? 6t 2 ) = esin t ?2t (cost ? 6t 2 ) .34. 设z=arcsin(x? y), 而x+3t, y=4t3, 求 dz . dt 1 ?1 解 dz = ?z ? dx + ?z ? = ?3+ ?12t 2 dy dt ?x dt ?y dt 1?(x ? y)2 1?(x ? y)2 = 3(1? 4t 2 ) . 1? (3t ? 4t 3)25. 设z=arctan(xy), 而y=ex, 求 dz . dx y x ?e x = e x (1+x) . 解 dz = ?z + ?z ? = + dy dx ?x ?y dx 1+ x2 y 2 1+ x2 y 2 1+ x2e2x6. 设 u =eax ( y ? z) , 而 y=asin x, z=cos x, 求 du . 2 +1 dx ady 解 du = ?u + ?u ? + ?u ? dz dx ?x ?y dx dz dxax aeax ( y ?z) eax + 2 ?acos x ? e ?(?sin x) a2 +1 a +1 a 2 +1 ax = e2 (a2 sin x ? acos x + acos x + sin x) = eax sin x . a +1 7. 设 z = arctan x , 而 x=u+v, y=u?v, 验证 ?z + ?z = u ? v . y ?u ?v u 2 + v 2 ?y ?y 证明 ?z + ?z = ( ?z ? ?x + ?z ? ) + ( ?z ? ?x + ?z ? ) ?u ?v ?x ?u ?y ?u ?x ?v ?y ?v==1 1 1 ( x) 1 1 1 x ? + ?(? 2 )?(?1) ?? 2 + ? + y 1+( x )2 y 1+( x )2 y 1+ ( x )2 y 1+ ( x )2 y y y y 2y u = 2 ? v2 . 2 x + y u +v2=8. 求下列函数的一阶偏导数(其中 f 具有一阶连续偏导数): (1) u=f(x2?y2, exy); 解 将两个中间变量按顺序编为 1, 2 号, ?( x2 ? y2 ) ′? ?(e xy ) ?u + f2 = 2xf1′+ yexy f2′ , = f′ ?x ?x ? ?x 1 ?u ? ?y ?(x2 ? y 2) ′? ?(exy ) + f2 = ?2 yf1′+ xexy f2′ . = f′ ?y ?y1y (2) u = f ( x , ) ; y z y ′ 解 ?u = f1′? ? ( x ) + f2′? ? ( ) = 1 f 1 , ?x y ?x z y ?x ?u f ′= ( x) + f ′? ? ( y) = ? x f ′+ 1 f ′ , = ? 2 ?y 1 ?y y ?y z y2 1 z 2 ?u = ′ x + ′? ? ? y =? y ? ′.f ( ) f2 ( ) ?z z ?z 1 ?z z (3) u=f(x, xy, xyz).z2f2解 ?u = f1′?1+ f2′? y + f3′? yz = f1′+ yf2′ + yzf3′ , ?x ?u = f ′? x + 3f ′? xz = xf ′ + xzf ′ , 2 3 ?y 2 ?u = f ′? xy = xyf ′ . 3 ?z 3 9. 设 z=xy+xF(u), 而 u = 证明 x? ?z ?z ?x + y? ?y y , F(u)为可导函数, 证明 x? ?z + y ?z = z + xy . x ?x ?y ?u ?x y = x[ y + F (u) ? F′(u)]+ y?[x + F′(u)] x =xy+xF(u)+xy=z+xy. 10. 设 z = y f (x2 ? y2) , 其中 f(u)为可导函数, 验证 1 ?z + 1 ?z = z 2 . x ?x y ?y y] + y?[ x + xF′(u)= x[ y + F (u) + xF′(u)?u ?y]? y? f ′?2x ?2xyf ′ = 2 证明 ?z = 2 f (u ) , ?x f (u ) ?z = f (u) ? y? f ′?(?2 y) = 1 + ? 2 y2 f ′ , f (u) f 2(u ) ?y f 2(u ) 所以 ?z 2 yf ′ 2 yf ′ 1 1 1 1 z 1 ? ?z + 1 ? ? = . =? 2 + 2 + ? x ?x y ?y f u f u y f (u) y y y2 z2 2 2 z ?=z , ?= z . 11. 设z=f(x2+y2), 其中f具有二阶导数, 求 ? 2 , ?x?y ?y 2 ?x解 令u=x2+y2, 则z=f(u), ?z = f ′(u) ?u = 2xf ′ , ?x ?x ?z = f ′(u) ?u = 2 yf ′ , ?y ?y ? 2 z = 2 f ′ + 2xf ′ ? ?u = 2 f ′ + 4x2 f ′ , ?x2 ?x?2 z = 2xf ′ ? ?u =4xyf ′ , ?x?y ?y ?2 z = 2 f ′ + 2 yf ′ ? ?u = 2 f ′ + 4 yf ′ . ?y ?y22 2 2 12. 求下列函数的 ? z , ? z , ?2 z (其中 f 具有二阶连续偏导数): 2 ?x?y ?y ?x(1) z=f(xy, y); 解 令 u=xy , v=y, 则 z=f(u, v). ?z = ?f ? ?u + ?f ? ?v = ?f ? y + ?f ?0 = y ?f , ?x ?u ?x ?v ?x ?u ?v ?u ?f ?u ?f ?v ?f ?f ?f ?f ?z = ? + ? = ? x + ?1= x + . ?y ?u ?y ?v ?y ?u ?v ?u ?v ?f ?f ?f ?f 因为 f(u, v)是 u 和 v 的函数, 所以 和 也是 u 和 v 的函数, 从而 和 是 ?u ?v ?u ?v 以 u 和 v 为中间变量的 x 和 y 的函数. ?f ?f ?2 z = ? ?z = = ? ? ) ( (y ) y ( ) ?x ?u ?x2 ?x ?x ?x ?u 2f 2 2 ? ?2 f ?2 f = y( 2 ? ? + ? f ? ?) = y( 2 ? y + ?0) = y2 ? f , ?u ?u ?u?v ?u?v v ?u 2 u ?x ?x = ?2 z ? ?z ? ?f ?f = ( ) = ( y ) =1? + y ? ( ) ?f ?x?y ?y ?x ?y ?u ?y ?u ?u = f ?f ?u = +y ? 2 f ?u ?2 ?v ? ? + ) ( 2 ?u ?y ?u?v ?y?f ?2 f ?2 f ?f ?2 f ?2 f + y( 2 ?x + ?1) = + xy 2 + y , ?u ?u?v ?u ?u?v ?u ?u? 2 z = ? ( ?z = ? (x ?f + ?f ) =x ? ( ?f ) + ? ( ?f ) ) ?y ?u ?y ?v ?y2 ?y ?y ?y ?u ?v = x( f ? 2 f ?u ? 2 ?v ?2 f ?u ?2 f ?v ? + ? )+ ? + ? ?u 2 ?y ?u?v ?y ?v?u ?y ?v2 ?y= x(?2 f ?2 f ?2 f ?2 f ?x+ ?1) + ? x + 2 ?1 ?u 2 ?u?v ?v?u ?v= x2 (2) z = f (x, x ) ; y?2 f ?2 f ?2 f + 2x + . ?u?v ?v2 ?u 2解 令 u=x, v = x , 则 z=f(u, v). y ?z = ?f ? du + ?f ? ?v = ?f + 1 ? ?f , ?x ?u dx ?v ?x ?u y ?v?z = ?f ? dv = ? x ? ?f . ?y ?v dy y2 ?v因为 f(u, v)是 u 和 v 的函数, 所以 以 u 和 v 为中间变量的 x 和 y 的函数.?f ?f ?f ?f 也是 u 和 v 的函数, 从而 和 是 和 ?u ?v ?u ?v? 2 z ? ?z ? ?f 1 ?f ? ?f 1 ? ?f ( ( + ? )= ( )+ ? ( ) 2 = ?x ?x ) = ?x ?u y ?v ?x ?u y ?x ?v ?x=(? 2 f du ?2 f ?v 1 ?2 f du ?2 f ?v ? + ? )+ ( ? + ? ) ?u 2 dx ?u?v ?x y ?v?u dx ?v2 ?x=?2 f 2 ?2 f ?2 f + ? + 12 ? 2 , ?u 2 y ?u?v y ?v?2 z = ? (?z ) = ? (?f + 1 ? ?f ) ?x?y ?y ?x ?y ?u y ?v ?f ?f ?f = ? ( ) + d ( 1 )? + 1 ? ? ( ) ?y ?u dy y ?v y ?y ?v = ?f ?v 1 ?f 1 ? 2 f ?v ? ? ? + ? ? ?u?v ?y y2 ?v y ?v2 ?y?2 f ?f ?2 f = ? x2 ? ? 12 ? ? x ? 2 3 y ?u?v y ?v y ?v ?2 z = ? ( ?z = ? (? x )? ?f ? x ? ? ?f ) ) ( ?y2 ?y ?y ?y y2 ?v y2 ?y ?v2 ?2 f ?f ?2 f ?f = 2x ? ? x2 ? 2 ? ?v = 32x ? + 4x ? 2 . y3 ?v y ?v ?y y ?v y ?v(3) z=f(xy2, x2y); 解 zx=f1′?y2+f2′?2xy=y2f1′+2xyf2′, zy=f1′?2xy+f2′?x2=2xyf1′+x2f2′; zxx=y2[f11′′?y2+f12′′?2xy]+2yf2′′+2xy[f21′′?y2+f22′′?2xy] =y4f11′′+2xy3f12′′+2yf2′′+2xy3f21′′+4x2y2 f22′′ =y4f11′′+4xy3f12′′+2yf2′′+4x2y2 f22′′, zxy=2y f1′+y2[f11′′?2xy+f12′′?x2]+2xf2′+2xy[f21′′?2xy+f22′′?x2] =2y f1′+2xy3f11′′+x2y2 f12′′+2xf2′+4x2y2f21′′+2x3yf22′′ =2y f1′+2xy3f11′′+5x2y2 f12′′+2xf2′+2x3yf22′′, zyy=2xf1′+2xy[f11′′?2xy+f12′′?x2]+x2[f21′′?2xy+f22′′?x2] =2xf1′+4x2y2f11′′+2x3y f12′′+2x3yf21′′+x4f22′′ =2xf1′+4x2y2f11′′+4x3y f12′′+x4f22′′. (4) z=f(sin x, cos y, ex+y). 解 zx=f1′?cos x+ f3′?ex+y=cos x f1′+ex+y f3′, zy=f2′?(?sin y)+ f3′?ex+y=?sin y f2′+ex+y f3′, zxx=?sin x f1′+cos x?(f11′′?cos x+ f13′′?ex+y)+ex+y f3′+ex+y(f31′′?cos x+ f33′′?ex+y) =?sin x f1′+cos2x f11′′+ex+ycos x f13′′+ex+yf3′+ex+ycos x f31′′+e2(x+y) f33′′ =?sin x f1′+cos2x f11′′+2ex+ycos x f13′′+ex+yf3′+e2(x+y) f33′′, zxy=cos x[f12′′?(?sin y)+ f13′′?ex+y]+ex+y f3′+ex+y [f32′′?(?sin y)+ f33′′?ex+y] =?sin y cos x f12′′+ex+ycos x f13′+ex+y f3′?ex+y sin y f32′+e2(x+y)f33′ =?sin y cos x f12′′+ex+ycos x f13′′+ex+y f3′?ex+y sin y f32′′+e2(x+y)f33′′, zyy=?cos y f2′?sin y[f22′′?(?sin y)+ f23′′?ex+y]+ex+y f3′+ex+y[f32′′?(?sin y)+ f33′′?ex+y] =?cos y f2′+sin2y f22′′?ex+ysin y f23′′+ex+y f3′?ex+ysin y f32′′+ f33′′?e2(x+y) =?cos y f2′+sin2y f22′′?2ex+ysin y f23′′+ex+y f3′+f33′′?e2(x+y). 13. 设 u=f(x, y)的所有二阶偏导数连续, 而 x = s ? 3t , 22 2 2 证明 ( ?u )2 + ( ?u )2 = ( ?u )2 + ( ?u )2 及 ? u + ? u = ? u + ? 2u ?x ?y ?s ?t ?x2 ?y2 ?s 2 ?t 2y = 3s +t , 2证明 因为 ?u = ?u ? ?x + ?u ? ?y = 1 ? ?u + 3 ? ?u ?s ?x ?s ?y ?s 2 ?x 2 ?y ?u = ?u ? ?x + ?u ? ?y = ? 3 ? ?u + 1 ? ?u ?t ?x ?t ?y ?t 2 ?x 2 ?y 所以 ( ?u )2 + ( ?u )2 = ( 1 ?u + 3 ?u )2 + (? 3 ?u + 1 ?u )2 = ( ?u )2 + ( ?u )2 . ?s ?t 2 ?x 2 ?y 2 ?x 2 ?y ?x ?y 又因为 ?2u = ? ( ?u ) = ? ( 1 ? ?u + 3 ? ?u ) ?s2 ?s ?s ?s 2 ?x 2 ?y2 2 2 2 ?y ?y = 1 ( ? u ? ?x + ? u ? ) + 3 ( ? u ? ?x + ?2u ? ) 2 ?x2 ?s ?x?y ?s 2 ?y?x ?s ?y ?s2 2 2 2 = 1 ( 1 ? ?2u + 3 ? ? u ) + 3 ( 1 ? ? u + 3 ? ? u ) 2 2 ?x 2 ?x?y 2 2 ?y?x 2 ?y2 2 2 2 = 1 ? ?2 u + 3 ? ? u + 3 ? ? u , 2 4 ?x 2 ?x?y 4 ?y?2u = ? ( ?u ) = ? (? 3 ? ?u + 1 ? ?u ) 2 ?x 2 ?y ?t 2 ?t ?t ?t2 2 2 2 ?y ?y = ? 3 ( ? u ? ?x + ? u ? ) + 1 ( ? u ? ?x + ?2 u ? ) 2 ?x2 ?t ?x?y ?t 2 ?y?x ?t ?y ?t 2 2 2 2 = ? 3 (? 3 ? ?2u + 1 ? ? u ) + 1 (? 3 ? ? u + 1 ? ? u ) 2 2 ?x 2 ?x?y 2 2 ?y?x 2 ?y2=3 ?2u 1 ?2u 3 ?2u ? , ? 2 ? + ? 2 ?x?y 4 ?y 2 4 ?x所以? 2u + ? 2u = ? 2u + ?2u . ?s 2 ?t 2 ?x2 ?y 2习题 8?5 1. 设sin y+ex?xy2=0, 求 dy . dx 解 令F(x, y)=sin y+ex?xy2, 则Fx=ex?y2, Fy=cos y?2xy, F dy e2 ?y2 y2 ? ex =? x =? = . dx Fy cos y ? 2xy cos y ? 2xy y dy , 求 . x dx y 解 令 F (x, y) = ln x2 + y2 ? arctan , 则 x 1 ? 2x ? 1 ?(? y ) = x + y , Fx = 2 2 + y 2 2 x2 + y 2 y x2 + y 2 x 1+ ( )2 x x 2. 设 ln x 2 + y 2 = arctan Fy = 2y y? x 1 ? ? 1 ?1 = 2 2 , x2 + y2 2 x2 + y2 1+ ( y )2 x x + y xF x +y dy . =? x = dx Fy x ? y 3. 设 x + 2 y + z ? 2 xyz = 0 , 求 ?z 及 ?z . ?x ?y 解 令 F(x, y, z) = x + 2 y + z ? 2 xyz , 则Fx =1?xy yz , Fy = 2 ? xz , Fz =1? , xyz xyz xyz?z = ? Fx = yz ? xyz , ?z = ? Fy = xz ? 2 xyz . ?x Fz Fz xyz ? xy ?y xyz ? xy 4. 设 x = ln z , 求 ?z 及 ?z , z y ?x ?y 解 令 F (x, y, z) = x ? ln z , 则 z y Fx = 1 , Fy = ? 1 ?(? z2 ) = 1 , Fz = ? x ? 1 ? 1 = ? x + z , z z y y z2 z y z2 y y所以?z = ? Fx = z , ?z = ? Fy = z 2 . ?x Fz x + z ?y Fz y(x + z) 5. 设 2sin(x+2y?3z )=x+2y?3z, 证明 ?z + ?z =1 ?x ?y 证明 设 F(x, y, z)=2sin(x+2y?3z)?x?2y+3z, 则 Fx=2cos(x+2y?3z)?1, Fy =2cos(x+2y?3z)?2?2=2Fx, Fz=2cos(x+2y?3z)?(?3)+3=?3Fx , ?z = ? Fx = ? Fx = 1 , ?z = ? Fy = ? 2Fx = 2 , ?x Fz ?3Fx 3 ?y Fz ?3Fx 3于是?z + ?z = ? Fx ? Fz = 1 + 2 =1. ?x ?y Fz Fz 3 36. 设 x=x(y, z), y=y(x, z), z=z(x, y)都是由方程 F(x, y, z)=0 所确定的具有连续偏 ?y 导数的函数, 证明 ?x ? ? ?z = ?1. ?y ?z ?x 解 因为 ?x = ? Fy , ?y = ? Fz , ?z = ? Fx , Fy ?x Fz ?y Fx ?z 所以 ?x ? ?y ? ?z = (? Fy )?(? Fz )?(? Fx ) = ?1 . ?y ?z ?x Fx Fy Fz7. 设 ?(u, v)具有连续偏导数, 证明由方程 ?(cx?az, cy?bz)=0 所确定的函数 z=f(x, y)满足 a ?z + b ?z = c . ?x ?y 证明 因为?u ?c c?u ?z = ? = , ?x ??u ?a ??v ?b a?u + b?v ?v ?c c?v ?z = ? = , ?y ??u ?a ??v ?b a?u + b?v所以c?u c?v a ?z + b ?z = a ? +b =c . ?x ?y a?u + b?v a?u + b?v 8. 设ez?xyz=0, 求 ? z 2. ?x z 解 设F(x, y, z)=e ?xyz, 则2F yz Fx=?yz , Fz=ez?xy, ?z = ? x = z , ?x Fz e ? xy ?z ?2 z ? ?z y ?x (ez z?z ? y) ?x? xy) ? yz(e (ez ? xy)2= ( )= ?x2 ?x 2 z + ( yez ? xy2 ? yzez ) yz y ?x ez ? xy 2 y2 ze z ? 2xy3 z ? y2 z 2ez = = . z 2 (ez ? xy)3 (e ? xy) 9. 设z3?3xyz=a3, 求 ? z . ?x?y2解 令F(x, y, z)=z3?3xyz?a3, 则 ?z = ? Fx = ? ?3yz = yz , ?z = ? Fy = ? ?3xz = xz , ?x Fz 3z 2 ?3xy z 2 ? xy ?y Fz 3z 2 ?3xy z 2 ? xy ?2 z = ? ( ?z ) = ? ( yz ) ?x?y ?y ?x ?y z 2 ? xy (z + y ?z )(z 2 ? xy) ? yz(2z ?z ? x) ?y ?y = 2 2 (z ? xy) (z + y 2xz )?(z 2 ? xy) ? yz(2z 2xz ? x) z ? xy z ? xy = 2 2 (z ? xy) = z(z 4 ? 2xyz 2 ? x2 y2) . (z 2 ? xy)310. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:?z = x2 + y 2 dy (1)设 ? 2 , 求 , 2 2 dx dx ?x + 2 y +3z = 20 解 视 y=y(x), z=z(x), 方程两边对 x 求导得 ? dz = 2x + 2 y dy ? dy dz ?2 y dx ? dx = ?2x ? dx dx , 即? . ? ?2x + 4 y dy + 6z dz = 0 ?2 y dy + 3z dz = ?x ? dx ? dx dx 解方程组得 ?y ? x(6z +1) dz = , = x . ?x 2 y(3z +1) dx 3z +1 dxdy ?x + y + z = 0 (2)设 ? 2 2 2 , 求 dx , ; dz dz ? x + y + z =1 解 视 x=x(z), y=y(z), 方程两边对 z 求导得 ?dx + dy +1= 0 ?dx + dy = ?1 ? dz dz ? , 即 ? dz dz dy . dy ? +2y + 2y ?2x dx ?2x dx dz + 2z = 0 dz = ?2z ? dz ? dz 解方程组得 ?x = y ? z , ?y = z ?x . ?z x ? y ?z x ? y ?u = f (ux,v + y) , 其中 f, g 具有一阶连续偏导数, 求 ?u , ? (3)设 ? v = g(u ? x,v2 y) ?x ?x ? 解 视 u=u(x, y), v=v(x, y), 方程两边对 x 求偏导得 ? ?u = f ′?(u + x ?u ) + f ′? ?v ? ′ ?u ′ ?v ′ 2 ? ?x 1 ?(xf1 ?1) ?x + f2 ? ?x = ?uf1 ?x ?x , 即 . ? ?v ?u ?v ?u ?v ? ′′ + (2 yvg′ ?1)?? = g′ ? = g′?( ?1) + 2g′ ? yv ?g 1 2 1 2 解之得 ??x ?x ?x ? ?x ?x 1 ′ ′ ′(xf g1 1′+uf1′?1) ?u = ?uf1′(2 yvg2 ?1) ? f2′g1 ?v = , . ′ ′ ?x (xf ′ ?1)(2 yvg′ ?1) ? f2′g1 ?x (xf1′?1)(2 yvg′ ?1) ? f2′g1 2 2?x = eu + u sin v (4)设 ? , 求 ?u , ?u , ?v , ?v . u ?x ?y ?x ?y ? y = e ?u cosv 解 视 u=u(x, y), v=v(x, y), 方程两边微分得 ?dx = eu du + sinvdu + ucosvdv ?(eu +sinv)du +ucosvdv = dx , 即? u , ? u ?(e ?cosv)du +usinvdv = dy ?dy = e du ? cosvdu + usinvdv 从中解出 du, dv 得 du = sinv dx + u ? cosv dy , e (sinv ? cosv) +1 e (sinv ? cosv) +1u u cosv? eu dx + u sinv+ e dy , u[eu (sinv ? cosv) +1] u[e (sinv ? cosv) +1]dv =从而?u = sinv ?u = ? cosv , , ?x eu (sinv ? cosv) +1 ?y eu (sinv ? cosv) +1 ?v = cosv? eu , ?x u[eu (sinv ? cosv) +1] ?v = sinv+ eu . ?y u[eu (sinv ? cosv) +1]11. 设 y=f(x, t), 而 t 是由方程 F(x, y, t)=0 所确定的 x, y 的函数, 其中 f, F 都具 有一阶连续偏导数, 试证明: ?f ? ?F ? ?f ?F ? dy ?x ?t ?t ?x = . ?f ?F ?F dx ? + ?t ?y ?t y = f (x,t) ? y = y(x) 证明 由方程组 ? ?F (x, y,t) = 0 可确定两个一元隐函数 ?t = t(x) , 方 ? ? 程两边对 x 求导可得 ? dy ?f ?f dt ? dx = ?x + ?t ? dx , ??F ?F dy ?F dt ? + ? + ? =0 ? ?x ?y dx ?t dx 移项得? dy ? ?f ? dt = ?f ? dx ?t dx ?x , ? ?F dy ?F dt = ? ?F ? ? + ?x ? ?y dx ?t dx ? ?f ?f ?t 在 D = ?F ?F = ?F + ? ?F ≠ 0 的条件下 ?t ?t ?y ?y ?t 1 ?f ?f ?f ?F ?f ?F dy 1 ?x ? ?t ?x ? ?t ? ?t ??x = ? = . ?F + ?f ? ?F dx D ? ?F ?F ?x ?t ?t ?t ?y习题 8?6 1. 求曲线 x=t?sin t, y=1?cos t, z = 4sin t 在点 ( π ?1, 1, 2 2) 处的切线及法平面 2 2 方程. 解 x′(t)=1?cos t, y′(t)=sin t, z′(t) = 2cos t . 2 因为点 ( π ?1, 1, 2 2) 所对应的参数为 t = π , 故在点 ( π ?1, 1, 2 2) 处的切向量 2 2 2 为 T = (1, 1, 2) . 因此在点 ( π ?1, 1, 2 2) 处, 切线方程为 2 x +1?π y ?1 2 = = z?2 2 , 1 1 2 法平面方程为 1?(x ? π +1) +1?( y ?1) + 2(z ? 2 2) = 0 , 即 x + y + 2 z = π + 4 . 2 2 2. 求曲线 x = t , y = 1+ t , z=t2在对应于t=1 的点处的切线及法平面方程. 1+ t t 解 x′(t) = 1 2 , y′(t) = ? 12 , z′(t)=2t. (1+ t) t 在 t=1 所对应的点处, 切向量 T = ( 1 , ?1, 2) , t=1 所对应的点为 ( 1 , 2, 1) , 所 以 4 2 在 t=1 所对应的点处, 切线方程为 x ? 1 y? 2 x ? 1 y? 2 z ?1 , 即 2= 2= = z ?1 ; = 1 ?1 2 1 ?4 8 4 法平面方程为1 (x ? 1 ) ? ( y ? 2) + 2(z ?1) = 0 , 即 2x?8y+16z?1=0. 4 23. 求曲线y2=2mx, z2=m?x在点(x0, y0, z0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x, 将方程y2=2mx和z2=m?x的两边 对 x 求导, 得dy = 2m , 2z dz = ?1 , dx dx dy 所以 = m , dz = ? 1 . dx y dx 2z 2y 曲线在点(x0, y0, z0,)的切向量为T = (1, m , ? 1 ) , 所求的切线方程为 2z0 y0 x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = , m 1 1 ? y0 2z0 法平面方程为 (x ? x0 ) + m ( y ? y0 ) ? 1 (z ? z0 ) = 0 . y0 2z0 ?x2 + y 2 + z 2 ?3x = 0 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 4. 求曲线 ? ?2x ?3y + 5z ? 4 = 0 解 设曲线的参数方程的参数为 x, 对 x 求导得, ?2x + 2 y dy + 2z dz ?3 = 0 ? dy dz ?2 y dx + 2z dx = ?2x + 3 ? dx dx , 即? . ? dy dz dy dz = 2 ?3 ?5 ?2 ?3 + 5 = 0 dx dx ? dx dx ? 解此方程组得 dy 10x ? 4z ?15 dz 6x + 4 y ?9 = , = . dx ?10 y ? 6z dx ?10 y ? 6z 因为 dy = 9 , dz = ? 1 , 所以T = (1, 9 , 1 ) . dx (1,1,1) 16 dx (1,1,1) 16 16 16所求切线方程为 x ?1 = y?1 = z ?1 , 即 x ?1 = y?1 = z ?1 ; 9 1 16 9 ?1 ?1 16 16 法平面方程为 (x ?1) + 9 ( y ?1) ? 1 (z ?1) = 0 , 即 16x+9y?z?24=0. 16 16 5. 求出曲线x=t, y=t2, z=t3上的点, 使在该点的切线平行于平面x+2y+z=4. 解 已知平面的法线向量为 n=(1, 2, 1). 因为x′=1, y′=2t, z′=3t2, 所以参数t对应的点处的切向量为T=(1, 2t, 3t2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T?n=0, 即 1+4t+3t2=0, 解得 t=?1, t = ? 1 . 于是所求点的坐标为(?1, 1, ?1)和 (? 1 , 1 , ? 1 ) . 3 3 9 27 6. 求曲面ez?z+xy=3 在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F(x, y, z)=ez?z+xy?3, 则 n=(Fx, Fy, Fz)|(2, 1, 0)=(y, x, ez?1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0), 点(2,1, 0)处的切平面方程为 1?(x?2)+2(y?1)+0?(z?0)=0, 即 x+2y?4=0, 法线方程为 x ? 2 = y?1 = z ?0 . 1 2 0 2 2 7. 求曲面ax +by +cz2=1 在点(x0, y0, z0)处的切平面及法线方程. 解 令F(x, y, z)=ax2+by2+cz2?1, 则 n=(Fx, Fy, Fz)=(2ax, 2by, 2cz)=(ax, by, cz). 在点(x0, y0, z0)处, 法向量为(ax0, by0, cz0), 故切平面方程为 ax0(x?x0)+by0(y?y0)+cz0(z?z0)=0, 即ax0 x + by0 y + cz0 z = ax2 + by2 + cz2 , 0 0 0法线方程为 x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = . ax0 by0 cz08. 求椭球面x2+2y2+z2=1 上平行于平面x?y+2z=0 的切平面方程. 解 设F(x, y, z)=x2+2y2+z2?1, 则 n=(Fx, Fy, Fz)=(2x, 4y, 2z)=2(x, 2y, z). 已知切平面的法向量为(1, ?1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以 x = 2y = z , 即 x = 1 z , y = ? 1 z , 1 ?1 2 2 4 代入椭球面方程得 ( z )2 + 2(? z )2 + z 2 =1 , 2 4 2 , y=? 1 2 . 解得 z = ±2 2 , 则 x = ±2 11 11 2 11 所以切点坐标为 (± 所求切平面方程为 (x ± 2 ) ? ( y ? 1 2 ) + 2(z ± 2 2 ) = 0 , 11 2 11 11 2 , ? 1 2 ±2 2 ). , 11 2 11 11即x ? y + 2z = ± 11 . 22 2 2 弦. 9. 求旋转椭球面 3x +y +z =16 上点(?1, ?2, 3)处的切平面与xOy面的夹角的余 解 xOy面的法向为n1=(0, 0, 1).令F(x, y, z)=3x2+y2 +z2?16, 则点(?1, ?2, 3)处的法向量为 n2=(Fx, Fy, Fz )|(?1, ?2, 3)=(6x, 2y, 2z)|(?1, ?2, 3)=(?6, ?4, 6). 点(?1, ?2, 3)处的切平面与 xOy 面的夹角的余弦为 cosθ = n1 ?n2 6 = = 3 . | n1 |?| n2 | 1? 62 + 42 + 62 2210. 试证曲面 x + y + z = a (a&0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截 距之和等于 a.证明 设 F(x, y, z) = x + y + z ? a , 则 n = ( 1 , 1 , 1 ) . 2 x 2 y 2 z 在曲面上任取一点M(x0, y0, z0), 则在点M处的切平面方程为 1 (x ? x ) + 1 ( y ? y ) + 1 (z ? z ) = 0 , 0 0 0 x0 y0 z0 即 x + y + z = x + y + z = a. 0 0 0 x0 y0 z0 x y + z =1 , ay0 az0化为截距式, 得 +ax0所以截距之和为 ay0 + az0 = a ( x0 + y0 + z0 ) = a . ax0 +习题 8?7 1. 求函数z=x2+y2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点 (2, 2 + 3) 的方向的方向导数 解 因为从点(1, 2)到点 (2, 2 + 3) 的向量为 l = (1, 3) , 故 el = l = ( 1 , 3 ) = (cosα , cos β ) . |l | 2 2 又因为 ?z = 2x (1,2) = 2 , ?z = 2 y (1,2) = 4 , ?x (1,2) ?y (1,2) 故所求方向导数为 ?z = ?z cosα + ?z cos β = 2? 1 + 4? 3 =1+ 2 3 . ?l ?x ?y 2 2 2. 求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数. 解 方程y2=4x两边对x求导得 2yy′=4, 解得 y′ = 2 . y 2 在抛物线y =4x上点(1, 2)处, 切线的斜率为y′(1)=1, 切向量为l=(1, 1), 单位 切向量为 el = ( 1 , 1 ) = (cosα , cos β ) . 2 2 又因为 ?z = 1 ?x (1,2) x + y 故所求方向导数为 ?z = ?z cosα + ?z cos β = 1 ? 1 + 1 ? 1 = 2 . 3 2 3 2 3 ?l ?x ?y 3. 求函数 z =1?( 线方向的方向导数.x2 y 2 a b ) 处沿曲线 x 2 + y 2 =1 在这点的内法 + 2 ) 在点 ( , a2 b a2 b2 2 2= 1 , ?z = 1 ?y (1,2) x + y (1,2) 3=1, (1,2) 32y x2 y 2 + 2 ?1 , 则 F x= 2x , Fy = 2 . 2 2 a b a b 从而点(x, y)处的法向量为 2y n = ±(Fx , Fy ) = ±( 2x , 2) . 2 b a 在 ( a , b ) 处的内法向量为 2 2 解 令 F (x, y) = 2y n = ?( 2x , 2 ) ( 2 a b 单位内法向量为en = (? a2 b a ,? ) = (cosα , cos β ) . 2 2 +b 2 +b aa , b) 2 2= ?( 2 , 2 ) , a b又因为 ?z ?x (a , 22x b )=? 2 a 2( a , b 2 2= ?z )2 a ,? ?y (a b , 2 22y =? 2 ) b2( a b =? , ) 2 2b,所以?z = ?z cosα + ?z cos β = 2 ? b = 2 a a 2 +b2 b ?n ?x ?y+ 2? a 2 +b 2a a 2 +b2 . ab4. 求函数u=xy2+z3?xyz在点(1, 1, 2)处沿方向角为 α = π , β = π , γ = π 4 3 的 3 方向的方向导数. 解 因为方向向量为 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) = ( 1 , 2 , 1 ) , 又因为 2 2 2 ?u = ( y 2 ? yz) (1,1,2) = ?1 , ?x (1,1,2) ?u = (2xy ? xz) (1,1,2) = 0 , ?y (1,1,2) ?u = (3z 2 ? xy) (1,1,2) =11 , ?z (1,1,2) 所以 ?u = ?u cosα + ?u cos β + ?u cos γ = (?1)? 1 + 0? 2 +11? 1 = 5 . ?l ?x ?y ?z 2 2 25. 求函数 u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导 数. 解 因为 l=(9?5, 4?1, 14?2)=(4, 3, 12), el = l = ( 4 , 3 , 12 ) , 并且 | l | 13 13 13 ?u = yz (5,1,2) = 2 , ?u = xy (5,1,2) = 5 , = xz (5,1,2) =10 , ?u ?x (5,1,2) ?z (5,1,2) ?y (5,1,2) ?u = ?u cosα + ?u cos β + ?u cos γ = 2? 4 +10? 3 +5?12 = 98 . ?l ?x ?y ?z 13 13 13 13 2 2 2 2 3 6. 求函数u=x +y +z 在曲线x=t, y=t , z=t 上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切 线正方向(对应于t增大的方向)的方向导. 所以 解 曲线x=t, y=t2, z=t3上点(1, 1, 1)对应的参数为t=1, 在点(1, 1, 1)的切线正 向为 l = (1, 2t, 3t 2 ) t =1 = (1, 2, 3) , el = 又 l =( 1 , 2 , 3 ), |l | 14 14 14?u = 2z ?u = 2x ?u = 2 y (1,1,1) = 2 , (1,1,1) = 2 , (1,1,1) = 2 , ?z (1,1,1) ?x (1,1,1) ?y (1,1,1) ? ?l(1,1,1)所以 u= ?u cosα + ?u cos β + ?u cos γ = 2? 1 + 2? 2 + 2? 3 = 12 . ?x ?y ?z 14 14 14 147. 求函数u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1 上点(x0, y0, z0)处, 沿球面在该点的外法 线方向的方向导数. 解 令F(x, y, z)=x +y +z ?1, 则球面x +y +z =1 在点(x0, y0, z0)处的外法向量 为 n = (Fx , Fy , Fz ) (x0, y222222,0 )0 z= (2x0, 2 y0, 2z0 ) ,en = n = (x0, y0 , z0 ) = (cosα ,cos β ,cosγ ) , |n| ?u = ?u = ?u =1, 又 ?x ?y ?z 所以 ?u ?u α + ?u β + ?u γ =1? x0 +1? y 0 +1? z 0 = x 0+ y 0+ z 0. = cos cos cos ?n ?x ?y ?z 8. 设f(x, y, z)=x2+2y2+3z2+xy+3x?2y?6z, 求grad f(0, 0, 0)及grad f(1, 1, 1).解?f ?f = 2x + y +3 , ?f = 6z ?6 . = 4y + x ?2 , ?x ?y ?z因为 ?f ?x ?f ?x 所以(0,0,0)=3,?f ?y ?f ?y(0,0,0)= ?2 ,?f ?z(0,0,0)= ?6 ,(0,1,1)=6 ,(0,1,1)= 3 , ?f ?z(0,1,1)=0 ,grad f(0, 0, 0)=3i?2j?6k, grad f(1, 1, 1)=6i+3j. 9. 设 u, v 都是 x, y, z 的函数, u, v 的各偏导数都存在且连续, 证明 (1) grad(u+v)=grad u+ ?(u + v) ?(u + v) ?(u + v) 解 grad(u + v) = i+ j+ k ?x ?y ?z = ( ?u + ?v )i +( ?u + ?v ) j +( ?u + ?v )k ?x ?x ?y ?y ?z ?z = ( ?u i + ?u j + ?u k) + ( ?v i + ?v j + ?v k) ?x ?y ?z ?x ?y ?z= gradu + gradv .(2) grad (uv)=vgrad u+ ?(uv) ?(uv) ?(uv) 解 grad(uv) = i+ j+ k ?x ?y ?z = (v ?u +u ?v )i +(v ?u +u ?v ) j + (v ?u +u ?v )k ?x ?x ?y ?y ?z ?z = v( ?u i + ?u j + ?u k) +u( ?v i + ?v j + ?v k) ?x ?y ?z ?x ?y ?z =vgrad u +ugrad v. (3) grad (u2)=2ugrad u.2 2 2 解 grad(u 2 ) = ?u i + ?u j + ?u k = 2u ?u i + 2u ?u j + 2u ?u k ?x ?y ?z ?x ?y ?z= 2u( ?u i + ?u j + ?u k) = 2ugradu . ?x ?y ?z10. 问函数u=xy2z在点p(1, ?1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方 向导数的最大值. 解 grad u = ?u i + ?u j + ?u k = y 2 zi + 2xyzj + xy 2k , ?x ?y ?zgrad u(1, ?1, 2) = ( y 2 zi + 2xyzj + xy 2 k )(1,?1,2)= 2i ? 4 j + k .grad u(1, ?1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 | grad u(1, ?1, 2) |= 22 + (?4)2 +12 = 21 .习题 8?8 1. 求函数f(x, y)=4(x?y)?x2?y2的极值. ? f (x, y) = 4 ? 2x = 0 , 求得驻点为(2,?2), 由于 解 解方程组 ? x ? f y (x, y) = ?4? 2 y = 0 A=fxx(2, ?2)=?2&0, B=fxy(2, ?2)=0, C=fyy(2, ?2)=?2, AC?B2&0, 所以在点(2, ?2)处, 函数取得极大值, 极大值为 f(2, ?2)=8. 2. 求函数f(x, y)=(6x?x2)(4y?y2)的极值. ? f (x, y) = (6? 2x)(4 y ? y 2 ) = 0 解 解方程组 ? x , 2 ? f y (x, y) = (6x ? x )(4? 2 y) = 0 x = 3 ?x = 0 ? x = 0 ?x = 6 ? x = 6 得? ?y = 2 , ?y = 0 , ?y = 4 , ?y = 0 , ?y = 4 . ? ? ? ? ? 因此驻点为(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4). 函数的二阶偏导数为 fxx(x, y)=?2(4y?y2), fxy(x, y)=4(3?x)(2?y), fyy(x, y)=?2(6x?x2). 在点(0, 0)处, fxx=0, fxy=24, fyy=0, AC?B2=?242&0, 所以f(0, 0)不是极值; 在点(0, 4)处, fxx=0, fxy=?24, fyy=0, AC?B2=?242&0, 所以f (0, 4)不是极值; 在点(3, 2)处, fxx=?8, fxy=0, fyy=?18, AC?B2=8×18&0, 又A&0, 所以f(3, 2)=36 是 函数的极大值; 在点(6, 0)处, fxx=0, fxy=?24, fyy=0, AC?B2=?242&0, 所以f(6, 0)不是极值; 在点(6, 4)处, fxx=0, fxy=24, fyy=0, AC?B2=?242&0, 所以f(6, 4)不是极值. 综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值 f(3, 2)=36. 3. 求函数f(x, y)=e2x(x+y2+2y)的极值. ? f x(x, y) = e2x (2x + 2 y 2 + 4 y +1) = 0 解 解方程组 ? , 得驻点 ( 1 , ?1) . 2x 2 ? f y (x, y) = e (2 y + 2) = 0 A=fxx(x, y)=4e2x(x+y 2+2y+1), B=fxy(x, y)=4e2x(y+1), C=fyy(x, y)=2e2x. 因为在点 ( 1 , ?1) 处, A=2e&0, B=0, C=2e, AC?B2=4e2&0, 2 所以函数在点 ( 1 , ?1) 处取得极小值, 极小值为 f ( 1 , ?1) = ? e . 2 2 2 4. 求函数 z=xy 在适合附加条件 x+y=1 下的极大值.解 条件 x+y=1 可表示为 y=1?x, 代入 z= xy, 于是问题化为 z=x(1?x)的无条件 极值问题.dz =1? 2x , d 2 z = ?2 . dx dx22 令 dz = 0, 得驻点 x = 1 . 因为 d z 2 dx dx 2 1 2x== ?2 & 0 , 所以 x = 1 为极大值点, 极大值 2为 z = 1 (1? 1 ) = 1 . 2 2 4 5. 从斜边之长为 l 的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形. 解 设直角三角形的两直角边之长分别为 x, y, 则周长 S=x+y+l(0&x&l , 0&y&l). 因此, 本题是在x2+y2=l2下的条件极值问题, 作函数 F(x, y)=x+y+l+λ(x2+y2?l2). ?F =1+ 2λx = 0 ? x 解方程组 ?Fy =1+ 2λy = 0 , 得唯一可能的极值点 x = y = l . 2 ?x 2 + y 2 = l 2 ? 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜边之长为 l 的一 切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形. 6. 要造一个容积等于定数 k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可 使表面积最小. 解 设水池的长为 x, 宽为 y, 高为 z, 则水池的表面积为 S=xy+2xz+2yz(x&0, y&0, z&0). 本题是在条件 xyz=k 下, 求 S 的最大值. 作函数 F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+λ(xyz?k). ?Fx = y + 2z + λyz = 0 ?Fy = x + 2z + λxz = 0 解方程组 ? , Fz = 2x + 2 y + λxy = 0 ? xyz = k 得唯一可能的极值点 (3 2k , 3 2k , 1 3 2k ) . 2 由问题本身可知 S 一定有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为2k . 高为 1 3 2k . 2 7. 在平面 xOy 上求一点, 使它到 x=0, y=0 及 x+2y?16=0 三直线距离平方之和 为最小. 解 设所求点的坐标为(x, y), 则此点到 x=0 的距离为|y|,到 y=0 的距离为|x|, 到3x+2y?16=0 的距离为| x + 2y ?16| , 而距离平方之和为 1+ 22z = x 2 + y 2 + 1 (x + 2 y ?16)2 . 52 ? ?z ? ?x = 2x + 5 ( x + 2 y ? 16) = 0 3x + y ?8 = 0 解方程组 ? , 即? ?2x + 9 y ?32 = 0 . ? ? ?z = 2 y + 4 ( x + 2 y ? 16) = 0 ?y 5得唯一的驻点 ( 8 , 16 ) , 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平方之和最小的点 5 5 一定存在, 故 (8 , 16 ) 即为所求. 5 5 8. 将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体, 问矩形的边长各 为多少时, 才可使圆柱体的体积为最大？ 解 设矩形的一边为x, 柱体的体积为V=πx2(p?x). 则另一边为(p?x), 假设矩形绕p?x旋转, 则旋转所成圆 由 dV = 2πx( p ? x) ?πx 2 = πx(2 p ?3x) = 0 , 求得唯一驻点 x = 2 p . dx 3 由于驻点唯一, 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值, 所以当矩形的边长 2p p 为 和 时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 3 3 9. 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体. 解 设球面方程为x2+y2+z2=a2, (x, y, z)是它的各面平行于坐标面的内接长方体 在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长宽高分别为 2x, 2y, 2z, 体积为 V=2x?2y?2z=8xyz. 令F(x, y, z)=8xyz+λ(x2+y2+z2?a2) .?Fx = 8yz + 2λx = 0 ?F = 8xz + 2λy = 0 解方程组y?4 yz + λx = 0 ?4xz + λy = 0 , 即 ?4xy + λz = 0 ? ?x2 + y 2 + z 2 = a 2 ? ,?F = 8xy + 2λz = 0 ? z a ) ?x2 + y 2 + z 2 =.a 2 ? 3 得唯一驻点 ( a , a , 3 3由题意可知这种长方体必有最大体积, 所以当长方体的长、宽、高都为 时 其体积最大.2a 310. 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1 截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短 距离. 解 设椭圆上点的坐标(x, y, z), 则原点到椭圆上这一点的距离平方为 d =x +y2+z2, 其中x, y, z要同时满足z=x2+y2和x+y+z=1.2 2令F(x, y, z)=x2+y2+z2+λ1(z?x2?y2)+λ2(x+y+z?1).?Fx = 2x ? 2λ1 x + λ 2 = 0 ? 解方程组 F = 2y ? 2λ1 y + λ 2 = 0 , ? ? Fz = 2z + λ1 + λ 2 = 0 ?1y 3 ± , z = 2? 3 . 它们是可能的两个极值点, 由题意这种距离的 得驻点 x = y = ? 2最大值和最小值一定存在, 所以距离的最大值和最小值在两点处取得, 因为在驻 点处 d 2 = x2 + y 2 + z 2 = 2( ?1± 3 )2 + (2 ? 2 3)2 = 9 ? 5 3 ,所以 d1 = 9 + 5 3 为最长距离; d 2 = 9 ?5 3 为最短距离.总习题八 1. 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: 、 (1)f(x, y)在(x, y)可微分是 f(x, y)在该点连续的 点可微分的 条件. 解 充分; 必要. (2)z=f(x, y)在点(x, y)的偏导数 条件, f(x, y)在点连续是 f(x, y)在该?z 及 ?z 存在是 f(x, y)在该点可微分的 ?x ?y ?z 及 ?z 存在的 ?x ?y条件.条件, z=f(x, y)在点(x, y)可微分是函数在该点的偏导数 解 必要; 充分. (3)z=f(x, y)的偏导数 解 充分. (4)函数 z=f(x, y)的两个二阶偏导数 导数在 D 内相等的 解 充分. 条件.?z 及 ?z 在(x, y)存在且连续是 f(x, y)在该点可微分的 ?x ?y条件.?2z ?2z 及 在区域 D 内连续是这两个二阶混合偏 ?x?y ?y?x2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设函数f(x, y)在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且f x(0, 0)=3, f y(0, 0)=?1, 则有 (A)dz|(0, 0)=3dx?dy . (B)曲面 z=f(x, y)在点(0, 0, f(0, 0))的一个法向量为(3, ?1, 1). (C)曲线 ? .?z = f (x, y) 在点(0, 0, f(0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3). ?y = 0 ?z = f (x, y) 在点(0, 0, f(0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1). ?y = 0(D)曲线 ? 解 (C).3. 求函数 f (x, y) =4x ? y 2 ln(1? x ? y )2 2的定义域, 并求limf (x, y) .(x, y)→( 1 ,0) 2解函数的定义域为{(x, y )| 0&x2+y2&1, y 2≤4x}因为 ( , 0) ∈ D , 故由初等函数在定义域内的连续性有1 2lim(x, y)→( 1 ,0) 2f (x, y) =lim4x ? y 22 24x ? y 2 =2 2 ( 1 ,0)= 2 . ln 3 4(x, y)→( 1 ,0) ln(1? x 2 xy 2?y )ln(1? x ? y )24. 证明极限lim(x, y)→(0,0)x 2 + y4不存在.解 因为3 xy2 = lim x = 0 , 2 4 x→0 (x, y)→(0,0) x + y 2xlimy =x2(x, y)→(0,0) x= y 2limy4 xy 2 = lim 4 4 = 1 , x2 + y 4 y→0 y + y 2所以(x, y)→(0,0) x 2 + y 4limxy 2不存在.? x2 y5. 设 f (x, y) = x2 + y 2?x2 + y 2 ≠ 0, 求f (x, y), f (x, y).x y? ? ?解 当x +y ≠0 时 ?2 20 ( x y x2 + y 22x2 + y 2 )==0 2xy3 , = (x + y 2 )22f x ( x, y ) =?x2xy(x2 + y 2 ) ? x2 y?2x (x2 + y 2 )2x2 y x2 (x2 + y 2 ) ? x2 y?2? y = x2 (x2 ? y 2 ) f y ( x, y ) = ? ( 2 2 ) = . ?y x + y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2当x2+y2=0 时f (0+ Δx,0) ? f (0,0) = lim 0 0 , Δx→0 Δx Δx→0 Δx f (0,0 + Δy) ? f (0,0) 0 . f y(0,0) = lim = lim 0 Δy Δy→0 Δy Δy→0 f x(0,0) = lim ? 2xy3 ? 因此 f x (x, y) = ? (x 2 + y 2 )2 0 x + y 2≠ 0 x +y =02 2 2,? x2 (x2 ? y 2 ) ? 2 2 2 f y(x, y) = ? (x + y ) 0x2 + y 2 ≠ 0 x +y =02 2.6. 求下列函数的一阶和二阶偏导数: (1)z=ln(x+y2); 解?z = 1 , ? 2 z = ? 1 , ?x x + y 2 ?x2 (x + y 2 )2 ?z = 2y , ? 2 z = ? 2(x + y 2 ) ? 4 y 2 = 2(x ? y 2) , ?y x + y 2 ?y 2 (x + y 2 )2 (x + y 2 )2 2y ?2 z = ? ( 1 ) = ? 2 ?x?y ?y x + y (x + y 2 )2(2)z=xy. 解?z = yx y ?1 , ? 2 z = y(y ?1)x y ?2 , ?x ?x2 ?z = xy ln x , ? 2 z = xy ln 2 x , ?y ?y 22 ?=z = ? ( yx y ?1) = xy ?1 + yxy ?1 ln x = xy ?1(1+ y ln x) . ?x?y ?y7. 求函数 z =xy 当 x=2, y=1, Δx=0.001, Δy=0.03 时的全增量和全微分. x ? y22解 Δz =(2.01)×(1.03) (2.01)2 ? (1.03)2 2 ? = 0.02 . 3?z = = ? ( y3 + ?z = x3 + xy 2 x2 y) 因为 , , ?x (x2 ? y 2 )2 ?y (x2 ? y 2 )2 ?z = ? 5 , ?z (2,1) = 10 , ?x (2,1) 9 ?y 9所以dz x=2,Δx=0.01 = ?z (2,1) Δx + ?z (2,1) Δy = 0.03 . ?y y =1,Δy =0.03 ?x? x2 y 2 ? 2 2 3/ 2 8. 设 f (x, y) = ?(x + y ) 0但不可微分. 证明 因为 0 ≤ 所以x2 + y 2 ≠ 0 x2 + y 2 =0, 证明 f(x, y)在点(0, 0)处连续且偏导数存在,x2 y 2 (x2 + y 2 )2 ≤ 2 2 3/ 2 = x2 + y 2 , 且 lim x2 + y 2 = 0 , (x, y)→(0,0) (x2 + y 2 )3/ 2 (x + y )lim(x, y)→(0,0)f (x, y) = 0 = f (0, 0) , 即 f(x, y)在点(0, 0)处连续.因为 f x (0,0) = limf (0+ Δx,0) ? f (0,0) = lim 0 = 0 , Δx→0 Δx Δx→ Δx f (0,0 + Δy) ? f (0,0) f y(0,0) = lim = lim 0 = 0 , Δy→0 Δx Δy→ Δy所以 f(x, y)在点(0, 0)处的偏导数存在. 因为 Δz ?[ f x (0,0)Δx + f y (0,0)Δy] =(Δx)2 (Δy)2 , [(Δx)2 + (Δy)2 ]3/ 2Δx=Δy(Δx)2 (Δy)2 [(Δx)2 + (Δy)2 ]3/ 2 (Δx)4 lim = lim =1 ≠0, 2 ]3/ 2 4 Δx→0 [2(Δx) ρ →0 ρ所以 f(x, y)在点(0, 0)处不可微分. 9. 设u=x y, 而x=?(t), y=ψ(t)都是可微函数, 求 解du . dtdu = ?u ? dx + ?u ? dy = yx y ?1? ′(t) + x y ln x?ψ ′(t) . dt ?x dt ?y dt ?z , ?z , ?z . ?ξ ?η ?ζ10. 设 z=f(u, v, w)具有连续偏导数, 而 u=η?ξ , v=ζ?ξ , w=x?η, 求 解?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v + ?z ? ?w = ? ?z + ?z , ?ξ ?u ?ξ ?v ?ξ ?w ?ξ ?v ?w ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v + ?z ? ?w = ?z ? ?z , ?η ?u ?η ?v ?η ?w ?η ?u ?w?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v + ?z ? ?w = ? ?z + ?z . ?ζ ?u ?ζ ?v ?ζ ?w ?ζ ?u ?v11. 设z=f(u, x, y), u=xey, 其中f具有连续的二阶偏导数, 求?=2 . z ?x?y解?z = f ′? ?u + f ′ = e y f ′ + f ′ , u x u x ?x ?x2 ?=z = ? (e y f ′ + f ′) = e y f ′ + e y ? ? ( f ′) + ? ( f ′) u x u ?x?y ?y ?y u ?y x′ ′ ′ ′ = e y fu′ + e y ( fu′u ? ?u + fu′y ) + ( f x′u ? ?u + f x′y ) ?y ?y ′ ′ ′ = e y fu′ + e y (xe y fu′u + fu′y ) + (xe y f x′′ + f x′y ) u ′ ′ = e y fu′ + xe2 y fu′u + e y fu′y + xe y f x′′ + f x′′ . u y12. 设x=eu cos v, y=eu sin v, z=uv, 试求 解?z 和 ?z . ?x ?y?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v = v ?u + u ?v , ?x ?u ?x ?v ?x ?x ?x ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v = v ?u + u ?v . ?x ?u ?y ?v ?y ?y ?y ?dx = eu cosvdu ? eu sin vdv , ? u u ?dy = e sin vdu + e cosvdv而由x=eu cos v, y=eu sin v得解得 du = e?u cosvdx + e?u sin vdy , dv = ?e?u sin vdx + e?u cosvdy ,从而?u = e?u cos v , ?u = e?u sin v , ?v = ?e?u sin v , ?v = e?u cosv . ?x ?y ?y ?x因此?z = ve?u cos v + u(?e?u sin v) = e?u (v cos v ?u sin v) , ?x ?z = ve?u sin v + ue?u cos v = e?u (vsin v + u cos v) . ?x另解 由x=eu cos v, y=eu sin v得?dx = eu cosvdu ? eu sin vdv , ? u u ?dy = e sin vdu + e cosvdv解得 du = e?u cosvdx + e?u sin vdy , dv = ?e?u sin vdx + e?u cosvdy . 又由 z=uv 得dz = vdu +udvdu = v(e?u cosvdx + e?u sin vdy) + u(?e?u sin vdx + e?u cosvdy) = e?u (v cosv ?u sin v)dx + e?u (vsin v + u cosv)dy ,从而?z = e?u (v cos v ?u sin v) , ?z = e?u (vsin v + u cosv) . ?x ?y解 点(a, 0, 0)对应的参数为θ=0, 所以点(a, 0, 0)处的切向量为13. 求螺旋线 x=acosθ, y=asinθ, z=bθ在点(a, 0, 0)处的切线及法平面方程.dy T = ( dx , , dz ) = (?a sinθ , a cosθ , b) θ =0 = (0, a, b) , dθ dθ dθ θ =0所求的切线方程为x?a = y = z , 0 a b法平面方程为 a(y?0)+b(z?0)=0, 即 ay+bz=0. 14. 在曲面 z=xy 上求一点, 使这点处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0, 并写出这法线的 方程. 解 已知平面的法线向量为n0=(1, 3, 1). 设所求的点为(x0, y0, z0), 则曲面在该点的法向量为n=(y0, x0, ?1). 由题意知 n//n0, 即y0 x0 ?1 = = , 1 3 1于是x0=?3, y0=?1, z0=x0y0=3, 即所求点为(?3, ?1, 3), 法线方程为x + 3 = y +1 = z ?3 . 1 3 12 2 定角15. 使这导数有(1)最大值, (2)最小值, (3)等于 0. θ, 设el=(cosθ , sinθ), 求函数f(x, y)=x ?xy?y 在点(1, 1)沿方向l的方向导数, 并分别确解 由题意知 l 方向的单位向量为(cosα, cosβ)=(cosθ , sinθ), 即方向余弦为 cosα=cosθ , cosβ=sinθ . 因为 fx(1, 1)=(2x?y)|(1, 1)=1, fy(1, 1)=(?x+2y)|(1, 1)=1, 所以在点(1, 1)沿方向 l 的方向导数为?f = f (1, 1)cosα + f y (1, 1)cos β = cosθ +sinθ = 2 sin(θ + π ) . ?l (1,1) x 4因此π 时, 方向导数最大, 其最大值为 2 ; 4 5π 时, 方向导数最小, 其最小值为 ? 2 ; (2)当 ? = 4 3π 及 7π 时, 方向导数为 0. (3)当 ? = 4 4 x 2 y2 z 2 16. 求函数u=x2+y2+z2在椭球面 2 + 2 + 2 =1 上点M0 (x 0 y0 , z0 )处沿外法线方向的方 , a b c(1)当 ? = 向导数. 解 椭球面 向量为x2 + y 2 + z 2 =1 上点M (x , y , z )处有外法向量为 n = ( x0 , y0, z0 , 其单位 ) 0 0 0 0 a 2 b2 c2 a2 b2 c2 x y z 1 ( 02 , 02, 02) . x2 + y 2 + z2 a b c a 4 b4 c4en = (cosα ,cos β ,cosγ ) =因为 ux(x0, y0, z0)=2x0, uy(x0, y0, z0)=2y0, uz(x0, y0, z0)=2z0, 所以, 所求方向导数为?u = u (x , y , z )cosα + u y (x0 , y0, z0 )cos β +u z (x0, y0, z0 )cosγ ?n (x0 , y0 , z0 ) x 0 0 0 = x y z 1 2 . (2x 0? 02 + 2 y 0 ? 02 + 2z0 ? 02) = 2 2 2 a b c y x + y 2 + z2 z + + a 4 b4 c4 a 4 b4 c4 x217. 求平面x + y + z =1 和柱面x2+y2=1 的交线上与xOy平面距离最短的点. 3 4 5 x + y + z =1 和x2+y2=1 下的最不值. 3 4 5解 设M(x, y, z)为平面和柱面的交线上的一点, 则M到xOy平面的距离为d(x, y, z)=|z|. 问题在于求函数f(x, y, z)=|z|2=z2在约束条件 作辅助函数:x y z F (x, y, z) = z 2 + λ ( + + ?1) + μ (x 2 + y 2 ?1) . 3 4 5 ??F = λ + 2μx = 0 ? ?x 3 ??Fλ = + 2μy = 0 ? ?y 4 ? ?F λ令?= 2z +=0 ,5 ? ?z ? x + y + z =1 ?3 4 5 ?x2 + y 2 =1 ? ?解方程组得x = 4 , y = 3 , z = 35 . 5 5 12 4 3 35 因为可能的极值点只有 ( , , ) 这一个, 所以这个点就是所求之点. 5 5 12 x2 + y 2 + z 2 =1 的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成 a 2 b2 c218. 在第一卦限内作椭球面的四面体的体积最小, 求这切平面的切点, 并求此最小体积. 解 令 F (x, y, z) =x2 + y 2 + z 2 ?1 , 则 a 2 b2 c 2 2y Fx = 2x , Fy = 2 , Fz = 2z . 2 a c2 b x (X ? x) + y (Y ? y)+ z (Z ? z) = 0 , 即 xX + yY + zZ =1 . a b2 c2 a 2 b2 c22椭球面上点 M(x, y, z)处的切平面方程为切平面在三个坐标轴上的截距分别为X 0 = a , Y0 = b , Z 0 = c . x y z切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为2 2 2 V = 1? a b c . 6 xyz222现将问题化为求函数 V = ?1 a 2b2c2 在条件 x2 + y2 + z2 =1 下的最小值的问题, 或求 6 xyz a 2 b2 c2函数 f(x, y, z)=xyz 在x2 + y 2 + z 2 =1 下的最大值的问题. a 2 b2 c2 x2 y 2 z 2 作辅助函数 F (x, y, z) = xyz + λ ( 2 + 2 + 2 ?1) . a b c ? ?F = yz + 2λx = 0 ? ?x a2λ 2 y xy =0 ? = xz + 2 b ? ?y , 令 ? ? ?F 2λz = 0 ? ?z c2 ? x2 + y 2 + z2 =1a 解方程组得2? ?Fb2c2x= a , y= b , z= c . 3 3 3于是, 所求切点为 (a , y , c ) , 此时最小体积为 V = 3 abc . 2 3 3 3
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