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《平面向量》测试题及答案
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《平面向量》测试题及答案
官方公共微信《平面向量》测试题1
资源简介：
约3290字。
　　直击高考之平面向量
　　江苏省连云港开发区高级中学（222067）宋振苏
　　◆考点剖析
　　平面向量是高中数学教材中的重要内容之一，也是历届数学高考的必考考点，试题多以选择题、填空题等小题形式出现，也有的以解答题的形式出现，重点考查向量的几何、代数、坐标三种形式的运算和数量积公式的灵活应用。现举例解析如下：
　　例1、（2010年湖北卷5）已知 和点 满足： ，若存在实数 使得 成立，则
　　、2&&&&&&&&&&&& 、3&&&&&&&&&&&&& 、4&&&&&&&&&&& 、5
　　分析：可用向量的三角形法则或平行四边形法则，再借助待定系数法进行求解：
　　解：由 及向量的三角形法则可得 ，即 ，注意到 ，故 ，所以 ，即 ，所以 ，应选答案 。
　　点评：本题重点考查和检测考生平面向量的三角形法则或平行四边形法则等几何形式的运算。
　　例2、（2010年浙江卷）已知平面向量 ，则 的值为&&&& 。
　　分析：可用公式 及向量的代数形式的运算公式进行求解，即先求 ，再求 的值：
　　解：因 ，故 ，又 ，则 ，而 ，所以 。
　　点评：本题重点考查和检测考生平面向量的代数形式的运算及平面向量的数量积公式。
　　例3、（2010年陕西卷11）已知向量 ，若 ，则&&&&& 。
　　分析：先算出向量 的坐标形式，再借助两向量平行（共线）的等价条件建立方程求解：
　　解：因 ，故 ，即 ，由题设 可得： ，即 。
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&&09-12-022015高考数学二轮平面向量专题复习题(含答案)
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2015高考数学二轮平面向量专题复习题(含答案)
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2015高考数学二轮平面向量专题复习题(含答案)
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文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM 高考专题训练(八)　平面向量A级――基础巩固组一、1．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(2m， m＋1)．若AB→∥OC→，则实数m的值为(　　) A．－3& &B．－17C．－35& &D.35解析　AB→＝OB→－OA→＝(3,1)，因为AB→∥OC→，所以3(m＋1)－2m＝0，解得m＝－3.答案　A2．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)•(a－b)＝－2，则a与b的夹角为(　　)A.π6& &B.π3C.π2& &D.2π3解析　由(a＋2b)•(a－b)＝|a|2＋ a•b－2|b|2＝－2，得a•b＝2，即|a||b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝12.故〈a，b〉＝π3.答案　B3．(;四川卷)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)A．－2 &B．－1C．1& &D．2解析　∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c与a的夹角等于c与b的夹角 ，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴c•a|c||a|＝c•b|c||b|.即5m＋85|c|＝8m＋2025|c|，解得m＝2.答案　D4．(;全国大纲卷)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　)A．2& &B.2C．1& &D.22解析　∵(a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)•a＝0，∴|a|2＋a•b＝0，∴a•b＝－1.又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)•b＝ 0.∴2a•b＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.∴|b|＝2，选B.答案　B5．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m•n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)A.π6& &B.π3C.2π3& &D.5π6解析　依题意得 3sinAcosB＋3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，3sinC＋cosC＝1，2sinC＋π6＝1，sinC＋π6＝12.又π6&C＋π6&7π6，因此C＋π6＝5π6，C＝2π3，选C.答案　C6．在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|&12，则|OA→|的取值范围是(　　)A.0，52& &B .52，72C.52，2& &D.72，2解析 　由题意得点B1，B2在以O为圆心，半径为1的圆上，点P在以O为圆心半径为12的圆内，又AB1→⊥AB2→，AP→＝AB1→＋AB2→，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|OA→|最大为2，当P在半径为12的圆周上，|OA→|最小为72.∵P在圆内，∴|OA→|∈72，2.答案　D二、题7．(;北京卷)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λ a＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析　|b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b||a|＝51＝5.答案　58．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→＝2GO→，若CD→∥AG→，且AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，则λ的值为________．&解析　因为CD→∥AG→，所以存在实数k，使得CD→＝kAG→.CD→＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→，又由BO是△ABC的边AC上的中线，BG→＝2GO→，得点G为△ABC的重心，所以AG→＝13(AB→＋AC→)，所以15AB→＋(λ－1)AC→＝k3(AB→＋AC→)，由平 面向量基本定理可得15＝k3，λ－1＝k3，解得λ＝65.答案　659．在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________．解析　因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＋BA→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点，故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.答案　23三、解答题10．已知向量AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)，a∈R (1)若D为BC中点，AD→＝(m,2)，求a，m的值；(2)若△ABC是直角三角形，求a的值．解　(1)因为AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)，所以AD→＝12(AB→＋AC→)＝1，1＋a2.又AD→＝(m,2)，所以m＝1，1＋a＝2×2，解得a＝3，m＝1.(2)因为△ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°.当A＝90°时，由AB→⊥AC→，得3×(－1)＋1•a＝0，所以a＝3；当B＝90°时，因为BC→＝AC→－AB→＝(－4，a－1)，所以由AB→⊥BC→，得3×(－4)＋1•(a－1)＝0，所以a＝13；当C＝90° 时，由BC→⊥AC→，得－1×(－4)＋a•(a－1)＝0，即a2－a＋4＝0，因为a∈R，所以无解．综上所述，a＝3或a＝13.11．在△ABC中，已知2AB→•AC→＝3|AB→|•|AC→|＝3BC→2，求角A、B、C的大小．解　设BC＝a，AC＝b，AB＝c.由2AB→•AC→＝3|AB→|•|AC→|，得2bccosA＝3bc，所以cosA＝32.又A∈(0，π)，因此A＝π6.由3|AB→|•|AC→|＝3BC→2，得cb＝3a2.于是sinC•sinB＝3sin2A＝34.所以sinC•sin5π6－C＝34.sinC•12cosC＋32sinC＝34，因此2sinC•cosC＋23sin2C＝3，sin2C－3cos2C＝0，即2sin2C－π3＝0.由A＝π6知0&C&5π6，所以－π3&2C－π3&4π3，从而2C－π3＝0，或2C－π3＝π，即C＝π6或C＝2π3，故A＝π6，B＝2π3，C＝π6，或A＝π6，B＝π6，C＝2π3.B级――能力提高组1.&已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→ ，λ∈R，则BQ→•CP→的最大值为(　　)A.32& &B．－32C.38& &D．－38解析　如图，BQ→•CP→＝(BA→＋AQ→)•(CA→＋AP→)＝[BA→＋(1－λ)AC→]•(CA→＋λAB→)＝AB→•AC→－λAB→ 2－(1－λ)AC→2＋λ(1－λ)AB→•AC→＝(λ－λ2＋1)×cos60°－λ＋λ－1＝－12λ－122－38，0≤λ≤1，所以当λ＝12时，BQ→•CP→的最大值为－38，选D.答案　D2．(;安徽卷)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1•y1＋x2•y2＋x3•y3＋x4•y4＋x5•y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值． 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S有5个不同的值；②若a⊥b，则Smin与|a|无关；③若a∥b，则Smin与|b|无关；④若|b|&4|a|，则Smin&0；⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为π4.解析　对于①，若a，b有0组对应乘积，则S1＝2a2＋3b2，若a，b有2组对应乘积，则S2＝a2＋2b2＋2a•b，若a，b有4组对应乘积，则S3＝b2＋4a•b，所以S最多有3个不同的值，①错误；因为a，b是不等向量，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a•b＝2(a－b)2&0，S1－S2＝a2 ＋b2－2a•b＝(a－b)2&0，S2－S3＝(a－b)2&0，所以S3&S2&S1，故Smin＝S3＝b2＋4a•b，对于②，当a⊥b时，Smin＝b2与|a|无关，②正确；对于③，显然Smin与|b|有关，③错误；对于④，设a，b的夹角为θ，则Smin＝b2＋4a•b&16|a|2＋16|a|2cosθ＝16|a|2(1＋cosθ)≥0，故Smin&0，④正确；对于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cosθ＝8|a|2，所以cosθ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，⑤错误．因此正确命题是②④.答案　②④3．已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m•n＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝m•n，在△ABC中，角A ，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解　(1)m•n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sin x2＋12•cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12.又∵m•n＝1，∴sinx2＋π6＝12.cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，cos2π3－x＝－ cosx＋π3＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.∴cosB＝12.又∵0&B&π，∴B＝π3.∴0&A&2π3.∴π6&A2＋π6&π2，12&sinA2＋π6&1.又∵f(x)＝m•n＝sinx2＋π6＋12，∴f(A)＝sinA2＋π6＋12.故函数f(A)的取值范围是1，32.& 文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM
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