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3.1数学几何全等辅助线之截长补短知识点
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退货流程如下：数学(人新)寒假专题――初二几何中常用辅助线的添加_经典辅导 世纪e校通
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11:33:00 来源： 人气：5983 讨论：0条 【本讲教育信息】
一. 教学内容：
　　寒假专题――初二几何中常用辅助线的添加
【典型例题】
（一）添加辅助线构造全等三角形
& 例1. 已知：AB∥CD，AD∥BC。
&&&&&& 求证：AB＝CD
&&&&&& 分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。
&&&&&& 在本题中，我们可通过连结AC，构造全等三角形来证明线段相等。
&&&&&& 证明：连结AC
&&&&&& ∵AB∥CD，AD∥BC
&&&&&& ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
&&&&&& 在△ABC和△CDA中
&&&&&& ∴△ABC≌△CDA（ASA）
&&&&&& ∴AB＝CD
（二）截长补短法引辅助线
&&&&&& 当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。
&&&&&& 通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。
& 例2. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。
&&&&&& 求证：AB＝AC＋CD
&&&&&& 证法一：（补短法）
&&&&&& 延长AC至点F，使得AF＝AB
&&&&&& 在△ABD和△AFD中
&&&&&& ∴△ABD≌△AFD（SAS）
&&&&&& ∴∠B＝∠F
&&&&&& ∵∠ACB＝2∠B
&&&&&& ∴∠ACB＝2∠F
&&&&&& 而∠ACB＝∠F＋∠FDC
&&&&&& ∴∠F＝∠FDC
&&&&&& ∴CD＝CF
&&&&&& 而AF＝AC＋CF
&&&&&& ∴AF＝AC＋CD
&&&&&& ∴AB＝AC＋CD
&&&&&& 证法二：（截长法）
&&&&&& 在AB上截取AE＝AC，连结DE
&&&&&& 在△AED和△ACD中
&&&&&& ∴△AED≌△ACD（SAS）
& 例3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。
&&&&&& 分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。
&&&&&& 证明：分别延长BA、CE交于点F
&&&&&& ∵BE⊥CF
&&&&&& ∴∠BEF＝∠BEC＝90°
&&&&&& 在△BEF和△BEC中
&&&&&& ∴△BEF≌△BEC（ASA）
&&&&&& ∵∠BAC＝90°，BE⊥CF
&&&&&& ∴∠BAC＝∠CAF＝90°，∠1＋∠BDA＝90°，∠1＋∠BFC＝90°
&&&&&& ∴∠BDA＝∠BFC
&&&&&& 在△ABD和△ACF中
&&&&&& ∴△ABD≌△ACF（AAS）
&&&&&& ∴BD＝CF
&&&&&& ∴BD＝2CE
（三）加倍法和折半法
&&&&&& 证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。
& 例4. 已知：如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝DC，∠BAD＝∠BDA。
&&&&&& 求证：AC＝2AE
&&&&&& 分析：欲证AC＝2AE，只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是△ABD的中线，故考虑延长AE至F，使EF＝AE，证AF＝AC。（此种方法我们又称为中线倍长法）
&&&&&& 只要证△ABF≌△ADC，观察图形发现，可以证明△ADE≌△FBE，则可得出BF＝AD，尚需条件∠ADC＝∠FBA，而这可由外角的性质推出。
&&&&&& 证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结BF
&&&&&& ∵AE是△ABD的中线
&&&&&& ∴BE＝ED
&&&&&& 在△BEF和△DEA中
&&&&&& ∴△BEF≌△DEA
&&&&&& ∴∠EBF＝∠BDA，BF＝DA
&&&&&& ∵∠BAD＝∠BDA
&&&&&& ∴∠EBF＝∠BAD
&&&&&& 在△ADC和△FBA中
&&&&&& ∴△ADC≌△FBA
&&&&&& ∴AC＝AF
&&&&&& 又∵AF＝2AE
&&&&&& ∴AC＝2AE
（四）利用角平分线的性质来添加辅助线
&&&&&& 有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。
& 例5. 已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点P。
&&&&&& 求证：AP平分∠BAC
&&&&&& 证明：过P点作PD⊥AC于D点，PF⊥AB于F点，PE⊥BC于E点
&&&&&& ∵PC，BP为△ABC的∠B、∠C的外角平分线
&&&&&& PD⊥AC，PE⊥BC
&&&&&& ∴PD＝PE（角平分线性质）
&&&&&& 同理：PF＝PE
&&&&&& ∴PD＝PF（等量代换）
&&&&&& ∴AP平分∠BAC（角平分线性质逆定理）
& 例6. 已知：如图，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD。
求证：∠BAP＋∠BCP＝180°
&&&&&& 分析：要证∠BAP＋∠BCP＝180°，而由图可知∠BAP＋∠EAP＝180°，故只要证∠EAP＝∠BCP即可。由∠1＝∠2，PD⊥BC，想到过P点向BA作垂线PE，有PE＝PD，BE＝BD，又由，得AE＝CD，故△APE≌△CPD，从而有∠EAP＝∠BCP，问题得证。
&&&&&& 证明：过点P作PE⊥BA于E
&&&&&& ∵PD⊥BC，∠1＝∠2
&&&&&& ∴PE＝PD（角平分线的性质）
&&&&&& 在Rt△BPE和Rt△BPD中
&&&&&& ∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL）
&&&&&& ∴BE＝BD
&&&&&& ∴∠PEB＝∠PDC＝90°
&&&&&& 在△PEA和△PDC中
&&&&&& ∴△PEA≌△PDC
&&&&&& ∴∠PCB＝∠EAP
&&&&&& ∵∠BAP＋∠EAP＝180°
&&&&&& ∴∠BAP＋∠BCP＝180°
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
& 1. 已知，如图，AB＝AE，BC＝ED，，垂足为F，求证：CF＝DF
& 2. 在四边形ABCD中，BC&BA，AD＝DC，BD平分，求证：
& 3. 已知AD是△ABC的中线，E在BC的延长线上，CE＝AB，，求证：AE＝2AD
& 4. 已知，M是BC中点，DM平分，求证：①AM平分；②
& 5. 已知在△ABC中，，，求证：AB＝AC＋CD
& 6. 已知在△ABC和△A’B’C’中，AB＝A’B’，AC＝A’C’，AD、A’D’为中线且AD＝A’D’，求证：
【试题答案】
& 1. 证明：连结AC，AD
&&& 在△ABC和△AED中
&&& 为等腰三角形
&&& （等腰三角形的三线合一）
& 2. 证明：在BC上截取BF＝AB，连结DF
&&& 在和中
& 3. 证明：延长AD至F使DF＝AD，则
&&& AD是△ABC的中线
&&& ∴BD＝CD
&&& 在△ABD和△FCD中
&&& 在△ACF和△ACE中
& 4. 证明：过M作于N
&&& DM平分，，
&&& ∵M是BC中点
&&& AM平分
&&& DM平分
& 5. 证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE
&&& 在△AED和△ACD中
& 6. 证明：延长AD至E，使DE＝AD，延长A’D’至E’，使D’E’＝A’D’，连结BE，B’E’
&&& 在△ADC和△EDB中
&&& 同理得B’E’＝A’C’
&&& 在△ABE和△A’B’E’中
&&& 同理得
&&& 在△ABC和△A’B’C’中
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??????& ??????&
??????& ??????&
??????& ??????&向量是数形结合的典范.向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础.在向量的运算过程中.借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释.有时甚至更简捷. 向量运算中的基本图形:①向——精英家教网——
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向量是数形结合的典范.向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础.在向量的运算过程中.借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释.有时甚至更简捷. 向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形,②实数与向量乘积的几何意义--共线,③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等. 【】
题目列表(包括答案和解析)
（;普陀区一模）现有问题：“对任意x＞0，不等式x-a+1x+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．”有两位同学用数形结合的方法分别提出了自己的解题思路和答案：学生甲：在一个坐标系内作出函数f(x)=1x+a和g（x）=-x+a的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范围是[0，+∞]学生乙：在坐标平面内作出函数f(x)=x+a+1x+a的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在直线y=2a的上方．可解得a的取值范围是[0，1]．则以下对上述两位同学的解题方法和结论的判断都正确的是（　　）A．甲同学方法正确，结论错误B．乙同学方法正确，结论错误C．甲同学方法正确，结论正确D．乙同学方法错误，结论正确
现有问题：“对任意x＞0，不等式x-a+＞0恒成立，求实数a的取值范围．”有两位同学用数形结合的方法分别提出了自己的解题思路和答案：学生甲：在一个坐标系内作出函数和g（x）=-x+a的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范围是[0，+∞]学生乙：在坐标平面内作出函数的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在直线y=2a的上方．可解得a的取值范围是[0，1]．则以下对上述两位同学的解题方法和结论的判断都正确的是（ ）A．甲同学方法正确，结论错误B．乙同学方法正确，结论错误C．甲同学方法正确，结论正确D．乙同学方法错误，结论正确
对对数函数的图象和性质的研究，教材是根据互为反函数的图象特征，由指数函数的图象再作出其关于直线y＝x的图象，即得对数函数的图象，在数形结合的数学思想指导下，推得对数函数的性质．请归纳对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的性质．
现有问题：“对任意x＞0，不等式x-a+＞0恒成立，求实数a的取值范围．”有两位同学用数形结合的方法分别提出了自己的解题思路和答案：学生甲：在一个坐标系内作出函数和g（x）=-x+a的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范围是[0，+∞]学生乙：在坐标平面内作出函数的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在直线y=2a的上方．可解得a的取值范围是[0，1]．则以下对上述两位同学的解题方法和结论的判断都正确的是A.甲同学方法正确，结论错误B.乙同学方法正确，结论错误C.甲同学方法正确，结论正确D.乙同学方法错误，结论正确
已知椭圆（a&b&0）,点在椭圆上。（I）求椭圆的离心率。（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值。【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间距离公式等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.&
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