2013届高考数学正弦定理和余弦定理复习课件和训练题
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2013届高考数学正弦定理和余弦定理复习课件和训练题
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2013届高考数学正弦定理和余弦定理复习课件和训练题
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文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
2013年高考数学总复习 4-6 正弦定理和余弦定理但因为测试 新人教B版
1.(;重庆理，6)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)A.43　　　　　　　　&B．8－43C．1& &D.23[答案]　A[解析]　在△ABC中，C＝60°，∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，∴(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝3ab＝4，∴ab＝43，选A.2．(文)在△ABC中，已知A＝60°，b＝43，为使此三角形只有一解，a满足的条件是(　　)A．0&a&43& &B．a＝6C．a≥43或a＝6& &D．0&a≤43或a＝6[答案]　C[解析]　∵b•sinA＝43•sin60°＝6，∴要使△ABC只有一解，应满足a＝6或a≥43.如图&顶点B可以是B1、B2或B3.(理)(;湖北八校联考)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(　　)A．(1，2)& &B．(2，3)C．(3，2)& &D．(1,2)[答案]　C[解析]　由条件知，asin60°&3&a，∴3&a&2.&3．(;深圳二调)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于(　　)A．30°& &B．30°或150°C．60°& &D．60°或120°[答案]　D[解析]　由正弦定理得asinA＝bsinB，所以4sin30°＝43sinB，sinB＝32.又0°&B&180°，因此有B＝60° 或B＝120°，选D.4．(文)(;浙江文，5)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝(　　)A．－12& &B.12C. －1& &D. 1[答案]　D[解析]　由acosA＝bsinB可得，sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B所以sinAcosA＋cos2B＝1. (理)(;辽宁理，4)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝(　　)A．23& &B．22C.3& &D.2[答案]　D[解析]　∵asinAsinB＋bcos2A＝2a，∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，∴ba＝2.5．(文)(;福建质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC等于(　　)A.441& &B.45C.425& &D.44141[答案]　B[解析]　依题意得b＝a2＋c2－2accosB＝5，又csinC＝bsinB，所以sinC＝csinBb＝42sin45°5＝45，选B.(理)△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为(　　)A．1＋3& &B．3＋3 C.3＋33& &D．2＋3[答案]　C[解析]　12acsinB＝12，∴ac＝2，又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝3＋33.6．(文)(;福建六校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝42，B＝45°，面积S＝2，则b等于(　　)A．5& &B.1132C.41& &D．25[答案]　A[解析]　由于S＝12acsinB＝2，c＝42，B＝45°，可解得a＝1，根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×42×22＝25，所以b＝5，故选A.(理)在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝(　　)A.817& &B.1517C.1315& &D.1317[答案]　B[解析]　S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝12bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝1517.7．(;福建文，14)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．[答案]　2[解析]　由S＝12BC•ACsinC知3＝12×2×ACsin60°＝32 AC，∴AC＝2，∴AB2＝22＋22－2×2×2cos60°＝4，∴AB＝2.8．(文)(;河南质量调研)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cosA2＝255，AB→•AC→＝3，则△ABC的面积为________．[答案]　2[解析]　依题意得cosA＝2cos2A2－1＝35，∴sinA＝1－cos2A＝45，∵AB→•AC→＝AB•AC•cosA＝3，∴AB•AC＝5，∴△ABC的面积S＝12AB•AC•sinA＝2.(理)(;上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆x24＋y23＝1上，则sinA＋sinCsinB的值为________．[答案]　2[解析]　由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，由正弦定理得sinA＋sinCsinB＝BC＋BAAC＝2.9．(文)(;济南外国语学校质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则∠A的大小为________．[答案]　π6[解析]　∵sinB＋cosB＝2sin(B＋π4)＝2，∴sin(B＋π4)＝1，∵0&B&π，∴B＝π4，∵bsinB＝asinA，∴sinA＝asinBb＝2×222＝12，∵a&b，∴A&B，∴A＝π6.(理)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．[答案]　3&c&5[解析]　边c最长时(c≥2)：cosC＝a2＋b2－c22ab＝1＋4－c22×1×2&0，∴c2&5.∴2≤c&5.边b最长时(c&2)：cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋c2－42c&0，∴c2&3.∴3&c&2.综上，3&c&5. 10．(文)(;沈阳模拟)△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(π4＋B2)，－1)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．[解析]　(1)∵m⊥n，∴m•n＝0，∴4 sinB•sin2(π4＋B2)＋cos2B－2＝0，2sinB[1－cos(π2＋B)]＋cos2B－2＝0，∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0，∴sinB＝12.∵0&B&π，∴B＝π6或56π.(2)∵a＝3&b，∴此时B＝π6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.(理)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－3)，n＝(cos2B,2cos2B2－1)且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．[分析]　(1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析]　(1)∵m∥n，∴2sinB2cos2B2－1＝－3cos2B∴sin2B＝－3cos2B，即tan2B＝－3又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)∴2B＝2π3，∴B＝π3.(2)∵B＝π3，b＝2，∴由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac得，a2＋c2－ac－4＝0又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)S△ABC＝12acsinB＝34ac≤3(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．[点评]　本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解.&11.(文)(;广东深圳一模)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是(　　)A．等腰直角三角形& &B．直角三角形C．等腰三角形& &D．等腰或直角三角形[答案]　C [解析]　因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得：a＝2b×a2＋b2－c22ab，整理得b2＝c2，∴b＝c，∴则此三角形一定是等腰三角形．[点评]　也可以先由正弦定理，将a＝2bcosC化为sinA＝2sinBcosC，利用sinA＝sin(B＋C)代入展开求解．(理)(;郑州六校质量检测)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cb&cosA，则△ABC为(　　)A．钝角三角形& &B．直角三角形C．锐角三角形& &D．等边三角形[答案]　A[解析]　依题意得sinCsinB&cosA，sinC&sinBcosA，所以sin(A＋B)&sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA&0，所以cosBsinA&0.又sinA&0，于是有cosB&0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.12．(文)(;深圳二调)已知△ABC中，∠A＝30°，AB，BC分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于(　　)A.32& &B.34C.32或3& &D.32或34[答案]　D[解析]　依题意得AB＝3，BC＝1，易判断△ABC有两解，由正弦定理得ABsinC＝BCsinA，3sinC＝1sin30°，即sinC＝32.又0°&C&180°，因此有C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝90°，△ABC的面积为12AB•BC＝32；当C＝120°时，B＝30°，△ABC的面积为12AB•BC•sinB＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选 D.(理)(;泉州质检)△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于(　　)A．30°& &B．60°C．90°& &D．120°[答案]　B[解析]　依题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根据正弦定理得，sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，又0°&B&180°，所以cosB＝12，所以B＝60°，选B.13．(文)(;四川文，8)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)A．(0，π6]& &B．[π6，π)C．(0，π3]& &D．[π3，π)[答案]　C[解析]　根据正弦定理，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC得a2≤b2＋c2－bc，根据余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc≥bc2bc＝12，又0&A&π，∴0&A≤π3，故选C.(理)(;豫南四校调研考试)若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为(　　)A．22& &B.32C.23& &D．32[ 答案]　A[解析]　设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得S△ABC＝12×AB×BCsinB＝x1－cos2B　①，根据余弦定理得cosB＝AB2＋BC2－AC22AB•BC＝4＋x2－2x24x＝4－x24x　②，将②代入①得，S△ABC＝x1－4－x24x&#8－&#6&#，由三角形的三边关系得2x＋x&2x＋2&2x，解得22－2&x&22＋2，故当x＝23时，S△ABC取得最大值22，故选A.14．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a＝1 ，b＝2， B＝45°；②a＝5，b＝15，A＝30°；③a＝6，b＝20，A＝30°；④a＝5，B＝60°，C＝45°.[答案]　①④[解析]　①一解，asinB＝22&1&2，有一解．②两解，b•sinA＝152&5&15，有两解；③无解，b•sinA＝10&6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．15．(文)(;江西文，17)在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝233，求边c的值．[解析]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝13(2)由cosA＝13得sinA＝223则cosB＝－cos(A＋C)＝－13cosC＋223sinC，代入cosB＋cosC＝233得cos C＋2sinC＝3，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝33，cosφ＝63　(0&φ&π2)则C＋φ＝π2，于是sinC＝63，由正弦 定理得c＝asinCsinA＝32.(理)(;山东文，17)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．[解析]　(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R知cosA－2cosCcosB＝2•2RsinC－2RsinA2RsinB，即cosAsinB－2cosCsinB＝2cosBsinC－cosBsinA，即 sin(A＋B) ＝2sin(B＋C)，又由A＋B＋C＝π知，sinC＝2sinA，所以sinCsinA＝2.(2)由(1)知sinCsinA＝2，∴c＝2a，则由余弦定理得b2＝a2＋(2a)2－2•a•2acosB＝4a2∴b＝2a，∴a＋2a＋2a＝5，∴a＝1，∴b＝2.&1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝22，且三角形有两解，则角A的取值范围是(　　)A.0，π4& &B.π4，π2C.π4，3π4& &D.π4，π3[答案]　A[解析]　由条件知bs inA&a，即22sinA&2，∴sinA&22，∵a&b，∴A&B，∴A为锐角，∴0&A&π4.2．(;湖南理)在ΔABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝2a，则(　　) A．a＞b& &B．a＜bC．a＝b& &D．a与b的大小关系不能确定[答案]　A[解析]　∵∠C＝120°，c＝2a，c2＝a2＋b2－2abcosC∴a2－b2＝ab，又∵a&0，b&0，∴a－b＝aba＋b&0，所以a&b.3．(;天津理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝(　　)A．30°& &B．60°C．120°& &D．150°[答案]　A[解析]　由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc，由题知b2－a2＝－3bc，c2＝23bc，则cosA＝32，又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A.4．(;四川双流县质检)在△ABC中，tanA＝12，cosB＝31010，若最长边为1，则最短边的长为(　　)A.455& &B.355C.255& &D.55[答案]　D[解析]　由tanA&0，cosB&0知A、B均为锐角，∵tanA＝12&1，∴0&A&π4，cosB＝31010&32，∴0&B&π6，∴C为最大角，由cosB＝31010知，tanB＝13，∴B&A，∴b为最短边，由条件知，sinA＝15，cosA＝25，sinB＝110，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝15×310＋25×110＝22， 由正弦定理，bsinB＝csinC知，b110＝122，∴b＝55.5.(;天津理，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为(　　)A.33&&&&& B.36C.63&&&&& D.66[答案]　D[解析]　如图，根据条件，设BD＝2，则AB＝3＝AD，BC＝4.在△ABC中，由 正弦定理：3sinC＝4sinA&在△ABD中，由余弦定理：cosA＝3＋3－42×3×3＝13，∴sinA＝223 ∴sinC＝3sinA4＝3×2234＝66，故选D.6．(;广州一测)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝π3，a＝2b，则b的值为________．[答案]　3[解析]　依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcosπ3，解得b2＝3，∴b＝3.7．(;淮安模拟)在△ABC中，acos2C2＋ccos2A2＝32b，且△ABC的面积S＝asinC，则a＋c的值为________．[答案]　48．(;安阳月考)在△ABC中，C＝60°，a，b，c分别为A，B，C的对边，则ab＋c＋bc＋a＝________.[答案]　1[解析]　∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，∴ab＋c＋ba＋c＝1. 文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+3bc，（1）求角A的大小；（2）求sin（B-C）+2cosBsinC的值．_百度作业帮
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设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+3bc，（1）求角A的大小；（2）求sin（B-C）+2cosBsinC的值．
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc，（1）求角A的大小；（2）求sin（B-C）+2cosBsinC的值．
（1）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2-a2=bc，∴cosA=2+c2-a22bc=，∵A为三角形的内角，∴A=；（2）∵sinA=sin=，∴sin（B-C）+2cosBsinC=sinBcosC-cosBsinC+2cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=．
本题考点：
余弦定理．
问题解析：
（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；（2）原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用诱导公式变形，将sinA的值代入计算即可求出值．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足（2a-c)cosB=cosC
(1)求角B的大小 - 同桌100学习网
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在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足（2a-c)cosB=cosC
(1)求角B的大小
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足（2a-c)cosB=cosC
(1)求角B的大小
（2）设向量m=(cosA,cos2A)向量n=(-12/5,1),且m,n取最小值时，求tan(A-兀/4)的值
提问者：yyy19975
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在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cosB/cosC=b/2a-c。求角B的大小.
解：由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以(2a-c)/b=(2sinA-sinC)/sinB
cosC/cosB=(2sinA-sinC)/sinB
sinBcosC=2cosBsinA-cosBsinC
sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinA
sin(B+C)=2cosBsinA
sin(180-A)=2cosBsinA
sinA=2cosBsinA
因为sinA不等于0
所以，B=60
回答者：teacher084
请参考以下例题：
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC)
1，求角B的大小
2，设向量m=（sinA，cos2A），向量n=（4k，1）（k＞1），且向量m乘向量n的最大值是5，求k
2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sin(180-A)=sinA
设y=m*n=4ksinA+cos2A=4ksinA+1-2sin^2(A)
y(t)=-2t^2+4kt+1 y'=-4t+4k=0 得t=k
对称轴为t=k
y(1)=4k-1=5 k=3/2>1
y(-1)=-4k-1=5 k=-3/2<-1
y(k)=2k^2+1=5 k=√2>1
回答者：teacher084在三角形ABC中，若sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC) 则三角形ABC是什么三
提问：级别：高二来自：浙江省
回答数：3浏览数：
在三角形ABC中，若sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC) 则三角形ABC是什么三
1在三角形ABC中，若sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC) 则三角形ABC是什么三角形
2设a b c分别是三角形ABC中角A B C所对的边长，则直线sinA*x+ay+c=0与bx-sinB*y+sinC=0位置关系是
&提问时间： 22:22:31
最佳答案此答案已被选择为最佳答案，但并不代表问吧支持或赞同其观点
回答：级别：高级教员 00:07:31来自：山东省临沂市
1.解：：∵sinA＝(sinB+sinC)/(cosB+cosC) ∴sinA- (sinB+sinC)/(cosB+cosC) ＝0
∴sinA- 2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]/ 2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]＝0
∴sinA- sin[(B+C)/2] / cos[(B+C)/2]＝0
∴2sin(A/2)cos(A/2)- cos(A/2) / sin(A/2)＝0，又∵cos(A/2)≠0
∴2sin(A/2) - 1 / sin(A/2)＝0
∴2sin2 (A/2) - 1＝0 ∴2sin2 (A/2)＝1 ∵sin(A/2)＞0
∴sin(A/2)＝√2/2，则A/2＝π/4
∴A＝π/2，即：三角形ABC为以A为直角顶点的直角三角形。
⒉设a,b,c分别是△ABC中的角A，B，C所对的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是互相垂直
由正弦定理有
a/sinA=b/sinB
asinB=bsinA
bsinA-asinB=0
sinA*b+a*(-sinB)=0
所以直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是互相垂直
提问者对答案的评价：
回答：级别：专业试用 09:12:36来自：河南省周口市
1、去分母得：sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC
∴sinAcosB=cosAsinC+sinC=cosAsinC+sin（A+B）=cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB
∴cosAsinC+cosAsinB=0，cosA（sinC+sinB）=0
∵sinC&0,sinB&0
∴cosA=0∴A＝π/2,三角形ABC是直角三角形。
2、上一位老师的解法很好。
回答：级别：二级教员 08:15:52来自：河南省平顶山市
必须用三角函数关系展开，求出A的度数是90°，就知道是直角三角形了
总回答数3，每页15条，当前第1页，共1页
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