当前位置： >>
作业题解答(详解)
曲线积分与曲面积分习题详解习题 9-11 计算下列对弧长的曲线积分： （5） ? x 2 yzds ，其中 ? 为折线段 ABCD ，这里 A , B , C , D 的坐标依次为 (0,0,0) ,?(0,0,2), (1,0,2), (1, 2,3) ；解如图所示，<b
r />??x yzds ? ?2ABx yzds ? ?2BCx yzds ? ?2zCDx yzds ．2B(0,0, 2)C (1,0, 2)D(1, 2,3)线段 AB 的参数方程为 x ? 0, y ? 0, z ? 2t (0 ? t ? 1) ，则ds ? ( dx 2 dy 2 dz 2 ) ?( ) ?( ) dt dt dtA(0,0,0)yx? 02 ? 02 ? 22 dt ? 2dt ，故?x 2 yzds ?AB?1 00 ? 0 ? 2t ? 2dt ? 0 ．线段 BC 的参数方程为 x ? t , y ? 0, z ? 2(0 ? t ? 1) ，则ds ? 12 ? 02 ? 02 dt ? dt ,故?BCx 2 yzds ? ? t 2 ? 0 ? 2 ?dt ? 0 ，01线段 CD 的参数方程为 x ? 1, y ? 2t , z ? 2 ? t(0 ? t ? 1) ，则ds ? 02 ? 22 ? 12 dt ? 5dt ，故?所以CDx2 yzds ? ? 12 ? 2t ? (2 ? t ) ? 5dt ? 2 5 ? (2t ? t 2 )dt ?0 0118 5， 3??x2 y z d? ? s2A Bx y ? d?s z2B Cx ? zds y?2C D8 ? yzds x 5． 32 设一段曲线 y ? ln x (0 ? a ? x ? b) 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的 平方，求其质量． 解 依题意曲线的线密度为 ? ? x 2 ，故所求质量为 M ? ? x 2 ds ，其中CC : y ? ln x (0 ? a ? x ? b) ．则 C 的参数方程为1 ?x ? x (0 ? a ? x ? b) ， ? ? y ? ln x故1 1 ? dy ? ds ? 1 ? ? ? dx ? 1 ? 2 dx ? 1 ? x 2 dx ， x x ? dx ?2所以M ??b a3 3 3 x2 1 1 1 ? x2 dx ? [ (1 ? x 2 ) 2 ]b ? [(1 ? b2 ) 2 ? (1 ? a 2 ) 2 ] ． a x 3 3习题 9-22 计算下列对坐标的曲线积分： （4） 解y?Lydx ? xdy, L 是从点 A(?a, 0) 沿上半圆周 x 2 ? y 2 ? a 2 到点 B(a,0) 的一段弧；A( ? a,0) oB ( a,0)x利用曲线的参数方程计算． L 的参数方程为: x ? a cos? , y ? a sin ? ，在起点 A(?a,0) 处 参数值取 ? ，在终点 B(a,0) 处参数值相应取 0，故 ? 从 ? 到 0．则?段； 解Lydx ? xdy ? ? a sin ? d (a cos ? ) ? a cos ? d (a sin ? ) = a 2 ? cos 2? d? ? 0 ．??00（6） ? ( x ? y ? z )dx ，其中 ? 是螺旋线： x ? cos t , y ? sin t , z ? t 从 t ? 0 到 t ? π 上的一?? (x ??y ? z d x? ) ?π0( c o t? s3 s it? t ?) ( s i n? π.d n t t )? 2习题 9-51. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ?? x ? a cos3 t ,3 ? y ? a sin t ,( 0 ? t ? 2? )； ）解 A?? 1 1 3 xdy ? ydx ? ? 4? 2 [a cos3 t ? a sin 2 t cos t ? a sin 3 t 3a cos 2 t (? sin t )]dt ? 0 2 2 ?L2 ? 6a2??2 0[cos t sin t ? sin t cos t ]dt ?6a4 2 4 22??2 2 03 2 cos t sin tdt2 ? ? a 2 。 8(2) 圆 x ? y ? 2by ， b ? 0 ） （ ；2解 设圆的参数方程为 x ? b cos t , y ? b ? b sin t , t 从 0 变到 2? .那么A?1 1 2? xdy ? ydx ? ? ? [b cos t ? cos t ? (b ? b sin t )b(? sin t )]dt b ? 2 ?L 2 0 2? 1 ? b 2 ?? ( 1 ? s i t d ? ? b2 。 n )t 0 22 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)? xy dy ? x ?2 C2ydx ,其中 C 是圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ,方向是顺时针方向；解 由格林公式， P ? ? x 2 y, Q ? xy 2 ,?P ?Q ? ? x2 , ? y 2 ，于是 ?y ?xD? xy dy ? x ?2 C2ydx ? ?? ( y 2 ? x2 )dxdy其中 D 是圆域 x 2 ? y 2 ? a 2 。设 x ? r cos? , y ? r sin ? ，则? xy dy ? x ?2 C2ydx ? ?? ( y 2 ? x 2 )dxdy ? ? d? ? r 2 rdr ?0 0 D2πaπ 4 a 。 2(2)? ( y ? x)dx ? (3x ? y)dy ，其中 L 是圆 ( x ? 1) ?L2? ( y ? 4) 2 ? 9 ，方向是逆时针方向； 解 设闭曲线 L 所围成闭区域为 D ，这里P ? y ? x ， Q ? 3x ? y ，由格林公式，得?P ?Q ?1， ? 3， ?y ?x? ( y ? x)dx ? (3x ? y)dy ? ?? (3 ?1)dxdy ?LD? 2?? d x d y 18? 。 ?D(3)?Lydx ? ( 3 sin y ? x) dy ，其中 L 是依次连接 A(?1,0), B(2,1), C (1,0) 三点的折线?Q ?P ? ? ?1 ? 1 ? ?2 ，且线段 CA : y ? 0 ， ?x ?y段，方向是顺时针方向。 解 令 P( x, y) ? y ， Q( x, y ) ? 3 sin y ? x ，则x 由 1 变化到-1，故有3 ?Lydx ? ( 3 sin y ? x)dy ydx ? ( 3 sin y ? x)dy ? ? ydx ? ( 3 sin y ? x)dyCAyB (2,1)?? ?ABCAA(?1,0)oC (1, 0)x? ??? (?2)dxdy ? ? 0 ? dx ? 2?? dxdy ? 2 ．1 D D?1其中 D 为 ABCA 所围成的闭区域． (4)? (eLxsin y ? my )dx ? (e x cos y ? m)dy ，其中 m 为常数，L 为圆 x 2 ? y 2 ? 2ax上从点 A(a,0) 到点 O(0,0) 的一段有向弧； 解 如右图所示，设从点 O 到点 A 的有向直线段的方程为OA : y ? 0 ， x 从 0 变到 2a 。则 OA 与曲线 L 构成一闭曲线，设它所围成闭区域为 D ，令yP ? e x sin y ? my ， Q ? e x cos y ? m ，0(0, 0)oA(2 a ,0)x?P ?Q ? e x cos y ? m ， ? e x cos y ， ?y ?x由格林公式，得? ?L ? OA(e x sin y ? my )dx ? (e x cos y ? m)dy ? ?? mdxdyD1 ? m ?? d x d ? m? a 2 。 y 2 D而?故OA(e x sin y ? my )dx ? (e x cos y ? m)dy ? ? [(e x sin 0 ? m? ? (e x cos 0 ? m)? dx 0) 0]02a?0，? (eLxsin y ? my )dx ? (e x cos y ? m)dy ? ? ?L ? OA(e x sin y ? my ) dx ? (e x cos y ? m) dy? ? (e x sin y ? my )dx ? (e x cos y ? m)dyOA(5)? ?n ds ，其中 u( x, y) ? x ?L?u2?u ? y 2 ，L 为圆周 x 2 ? y 2 ? 6 x 取逆时针方向， 是 ?n1 1 ? m? a 2 ?0 ? m? a 2 。 2 2u 沿 L 的外法线方向导数。4 解由于?u ?u ?u ? ? 其中 ? , ? 是在曲线 L 上点 ? cos(n, x) ? cos(n, y) ? 2x cos ? ? 2 y cos ? ， ?n ?x ?yL( x, y ) 处的切线的方向角，故 ? ??u ds ? ? (2 x cos ? ? 2 y cos ? )ds ．根据两类曲线积分之间的 ? ?n联系及格林公式，有 ?u ? ?L ?nds ? ?L (?2 y cos? ? 2x cos ? )ds ? ?L (?2 y)dx ? 2xdy ? ?? 4dxdy ． ? ? D 因为 L 为圆周 x 2 ? y 2 ? 6 x ，所以 L 所围成的圆的面积 ? ? 9? ，因此? ?nds ? ?? 4dxdy ? 4? ? 36? 。 ?L D?u3. 计算曲线积分 ? ?Cxdy ? ydx ,其中 C 为 x2 ? y 2(1) 椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 ,取逆时针方向； (2) 平面内任一光滑的不经过坐标原点的简单正向闭曲线. ?y x (1) 令 P( x, y) ? ， Q( x, y) ? 2 ， 则 当 ( x, y) ? (0,0) 时 ， 2 2 x ?y x ? y2解?P ?Q y 2 ? x2 ， ? ? 2 ?y ?x ( x ? y 2 )2但积分曲线 C 所围区域包含点 (0,0) ， P( x, y), Q( x, y) 在该点不 具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将 奇点 (0,0) 去掉，为此作半径足够小的圆 ? : x 2 ? y 2 ? ? 2 ，使 ? 位于 C 的内部，如图右所示． ? 的参数方程为yco?xx ? ? cos? ， y ? ? sin ? ， ? ?[0, 2? ] ，? 取逆时针方向．于是? ?Cxdy ? ydx xdy ? ydx ?? ? 2 2 2 ? C ?? x ? y 2 ? x ?y?? ??xdy ? ydx ， x2 ? y 2其中 ? ? 表示 ? 的负方向．由格林公式则有 xdy ? ydx ?C ?? ? x2 ? y 2 ? ?? 0 ? dxdy ? 0 ， ? D 其中 D 为 C 与 ? 所围成的闭区域．故 xdy ? ydx xdy ? ydx xdy ? ydx ?C x2 ? y 2 ? ??? ? x2 ? y 2 ? ?? x2 ? y 2 ? ? ???2? 02?? cos? d (? sin ? ) ? ? sin ? d (? cos? ) ? 2 cos2 ? ? ? 2 sin 2 ?? ? d? ? 2? ．0(2) 分两种情况计算。 ① 闭曲线 C 内部不包含坐标原点，设它所围成的闭区域为 D ，那么由格林公式得5 ? ?Cxdy ? ydx ? ?? 0 ? dxdy ? 0 ； x2 ? y 2 D② 闭曲线 C 内部包含坐标原点，仿（1）可得 xdy ? ydx ?C x2 ? y 2 ? 2π . ?习题 9-61．求曲线积分 ? (1 ? xe2 y )dx ? ( x 2 e 2 y ? y )dy ，其中 C 是圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 的上半圆周，C取顺时针方向. 解 令 P ? (1 ? xe ) ， Q ? x e2y 2 2y?y ， 则?P ?Q 在整个 xOy 面内恒成立，因此，曲线 ? 2 xe 2 y ? ?y ?x 积分 ? (1 ? xe2 y )dx ? ( x 2 e 2 y ? y )dy 在整个 xOy 面内与路线 C无关。故可取沿 x 轴上的线段 OA （如右图所示）积分， O 即 y ? 0, 0 ? x ? 4 ，于是， dy ? 0 ，有yC2?A4x?C(1 ? xe 2 y )dx ? ( x 2 e 2 y ? y )dy ? ? (1 ? xe2 y )dx ? ( x 2 e2 y ? y)dyOA? ? (1 ? x)dx ? 12 .043 验证下列 P( x, y)dx ? Q( x, y)dy 在整个 xOy 面内 一函数 u( x, y) 的全微分，并求出这样的一个 u( x, y) ： （3） e x (1 ? sin y)dx ? (e x ? 2sin y)cos ydy 。 解 令P( x, y) ? e x (1 ? sin y)y为 某B ( x, y ) ?，O? A( x,0)xQ( x, y) ? (e x ? 2sin y)cos y ，则在全平面上有?Q ?P ? ? e x cos y ，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， ?x ?ye x (1 ? sin y)dx ? (e x ? 2sin y)cos ydy是全微分． 下面用 2 种方法来求原函数：6 解法 1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图 9－10yM ( x, y )所示，可取定点 O(0,0) ，动点 A( x,0) 与 M ( x, y) ，于是原函数 为u ( x, y ) ? ?( x, y ) (0,0)e x (1 ? sin y ) dx ? (e x ? 2sin y ) cos ydy ．oA( x,0)x取路径: OA ? AM ，得u ( x, y ) ? ? e x (1 ? 0)dx ? ? (e x ? 2sin y ) cos ydy ? e x ? 1 ? e x sin y ? sin 2 y ．0 0 x y解法 2 从定义出发，设原函数为 u( x, y) ，则有 分（ y 此时看作参数） ，得?u ? P( x, y) ? e x (1 ? sin y) ，两边对 x 积 ?xu( x, y) ? e x (1 ? sin y) ? g ( y)（*）?u ? Q( x, y ) ，于是 ?y待定函数 g ( y ) 作为对 x 积分时的任意常数，上式两边对 y 求偏导，又e x cos y ? g ?( y) ? (e x ? 2sin y)cos y ，即 g ?( y) ? 2sin y cos y ，从而 g ( y) ? sin 2 y ? C （ C 为任意常数） ，代入（*）式，得原 函数 u( x, y) ? e x ? e x sin y ? sin 2 y ? C ．总习题 A一、 填空题 1．设 L 为柱面 x2 ? y 2 ? 1 与平面 z ? x ? y 的交线，从 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲 线积分 ? xzdx ? xdy ? ?Ly2 dz ? 2π.(2011 考研 数学一)2．设曲线 L 为圆周 x ? a cos t, y ? a sin t (0 ? t ? 2? ) ,则 ? ( x 2 ? y 2 )2011 ds ? 2? a 4023 ．L3．设 L 为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分 ? (2 xy ? 2 x)dx ? ( x 2 ? 4 y)dy ? 0 ． ?L4．设 ? 是以原点为球心, R 为半径的球面,则 ? ???1 dS ? 4? ． x2 ? y 2 ? z 2?5．设 ? 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 的下半部分的下侧,则曲面积分 ?? zdxdy ? 6．向量场A ? ( y 2 ? z 2 )i ? ( z 2 ? x 2 ) j ? ( x 2 ? y 2 ) k72 3 ?a ． 3 的旋度 rot A ? (2 y ? 2 z )i ? (2 z ? 2 x) j ? (2 x ? 2 y)k ． 二、 选择题 1．设 L 是从原点 O(0,0) 沿折线 y ? x ? 1 ? 1 至点 A(2,0) 的折线段,则曲线积分?L? ydx ? xdy 等于（C ） ． B． ?1 ． C． 2 ． D． ?2 ． ） ．A． 0 ．2．若微分 ( ? 4 xy 3 )dx ? (cx 2 y 2 ? 2009 y 2009 )dy 为全微分，则 c 等于（ B A． 0 ． B． 6 ． C． ?6 ． D． ?2 ． D ） ．3．空间曲线 L : x ? et cos t , y ? et sin t , z ? et (0 ? t ? 1) 的弧长等于（ A． 1 ． B． 2 ． C． 3 ．3 D． (e2 ? 1) ． 24．设 ? 为上半球面 z ? 2 ? x 2 ? y 2 ， ?1 为 ? 在第一卦限的部分，则下列等式正确的是 （ D ） ． A． ?? dS ? ?? dS ．? ?1B． ?? dS ? 2?? dS ．? ?1C． ?? dS ? 3?? dS ．? ?1D． ?? dS ? 4?? dS ．? ?15．设 ? 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 的外侧，则积分 ?? zdxdy 等于（ A?） ． C． ． 1 D．0 ．A．2x2 ? y 2 ? a2??a 2 ? x 2 ? y 2 dxdy ． B．?2x2 ? y 2 ? a2??a 2 ? x2 ? y 2 dxdy ．三、计算题 1．计算 ? yds 其中 L 为抛物线 y 2 ? x 和直线 x ? 1 所围成的闭曲线； ?L解设 L ? L1 ? L2 ，其中 L1 : x ? y 2 (?1 ? y ? 1) ， L2 : x ? 1(?1 ? y ? 1) ，于是? ?Lyds ? ? yds ? ? yds ? ? y 1 ? 4 y 2 dy ? ? ydy ? 0 。L1 L2 ?1 ?1112． 计算 ? xy 2 dy ? x 2 ydx ,其中 L 为右半圆 x 2 ? y 2 ? a 2 以点 A(0, a) 为起点,点 B(0, ?a) 为终L点的一段有向弧； 解法１ 设曲线 L 的参数方程为x ? a cos t , y ? a sin t ，其中 t 从? ? 变到 ? ， 2 2故8 ?Lxy 2 dy ? x 2 ydx ? ?? 2 [a cos t ? a 2 sin 2 t ? a cos t ? a 2 cos2 t ? a sin t (?a sin t )]dt2??? 1 ? ?2a 4 ? 2? sin 2 t cos 2 tdt ? ? ? a 4 。 ? 4 2解法 2 作有向线段 BA ，其方程为BA : x ? 0 ，其中 y 从 ?a 变到 a ，则有向曲线 L 与有向线段 BA 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 D ， 由格林公式，有? a 1 xy 2 dy ? x 2 ydx ? ?? ( x 2 ? y 2 )dxdy ? ? 2? d? ? r 2 rdr ? ? a 4 ， ?L? BA 0 ? 4 2 D即?而L1 xy 2 dy ? x2 ydx ? ? xy 2 dy ? x2 ydx ? ? a 4 ， BA 4?故BAxy 2 dy ? x 2 ydx ? ? (0 ? y 2 ? 02 ? y ? 0)dy ? 0 ，?aa??L1 xy 2 dy ? x 2 ydx ? ? ? a 4 。 43．计算 ?? xyzdS ,其中 ? 为平面 x ? y ? z ? 1 在第一卦限中的部分； 解 将曲面 ? 投影到 xOy 面上，得投影区域为 Dxy ? {( x, y) x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0} ，此时曲 面方程可表示为z ?1? x ? y ，于是dS ? 1 ? (?1)2 ? (?1) 2 dxdy ? 3dxdy ，?? xyzdS ? ?? xy(1 ? x ? y)? Dxy3dxdy ? 3 ? dx ?011? x0xy(1 ? x ? y)dy ?3 。 1204. 计算 ?? yzdzdx ,其中 ? 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 的上半部分并取外侧；?解 作有向曲面 ?1 : z ? 0( x2 ? y 2 ? 1) ， 并取下侧， 设两曲面 ? 和 ?1 所围成的闭区域为 ? ， 由高斯公式，得9 ?? yzdzdx ? ? ??????1yzdzdx ? ?? yzdzdx ? ??? zdxdydz ? 0 ??1 ?π 。 45．验证：在整个 xOy 面内, ( x2 ? 3 y)dx ? (3x ? y 2 )dy 是某一函数 u( x, y) 的全微分,并求 出一个这样的函数.。 解 因为 P ? x2 ? 3 y , Q ? 3x ? y 2 ,所以?P ?Q 在整个 xOy 面内恒成立,因此,在整个 ?3 ? ?y ?xxOy 面内, ( x2 ? 3 y)dx ? (3x ? y 2 )dy 是某一函数 u( x, y) 的全微分,即有( x2 ? 3 y)dx ? (3x ? y 2 )dy ? du .于是就有?u ? x2 ? 3 y ?x ?u ? 3x ? y 2 ?y（1） （2）由（1）式得1 x u( x, y)? ? ( x 2 ? 3 y ) d ? x3 ?3 x y ? ( y ? ) 3 其中 ? ( y ) 是以 y 为自变量的一元函数，将（3）式代入（2）式,得（3）3x ? ? ? (y )? 3x ? y 2（4）比较（4）式两边,得? ?( y) ? y 2于是? ( y) ? y3 ? C代入（3）式便得所求的函数为1 3（其中 C 是任意常数）,1 1 u( x, y) ? x3 ? 3xy ? y 3 ? C . 3 3? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, 四、计算曲线积分 I ? ? ydx ? zdy ? xdz ,其中 L 为闭曲线 ? ，若从 z 轴正 ?L ?y ? z向看去, L 取逆时针方向. 解 曲线 L 的参数方程为? ? x ? cos t , ? 2 ? sin t , t 从 0 变到 2π ， ?y ? 2 ? ? 2 sin t , ?z ? ? 2于是10 ? 2π ? 2 2 2 2 I ? ? ydx ? zdy ? xdz ? ? ? sin t ? (? sin t ) ? sin t ? cos t ? cos t ? cos t ? dt ?L 0 2 2 2 ? 2 ?? ? 2π ? 2π ? 2 2 1 2 2 1 ? ? ?? sin t ? sin t cos t ? cos 2 t ? dt ? ? ? cos 2t ? sin 2t ? dt ? 0 。 ? ? 0 ? 0 ? 2 2 2 4 ? 2 ? ? ??z ? x 五、计算曲面积分 ?? ( x2 ? y 2 )dS ,其中 ? 是线段 ? (0 ? z ? 2) 绕 Oz 轴旋转一周所得 ?y ? 0 ?的旋转曲面． 解 ? 的方程为? : z ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 2) ，? 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 4 ，且? x dS ? 1 ? ? ? x2 ? y 2 ? ? ? y ? ?? ? ? x2 ? y 2 ? ?2??? ? dxdy ? 2dxdy ， ? ?2π 2 0 02?? ( x?2? y 2 )dS ? ?? ( x2 ? y 2 ) 2dxdy ? 2 ? d? ? r 2 rdr ? 8 2π 。Dxy1 2 ? ?z ? x 六、 计算曲面积分 ?? ( z 2 ? x)dydz ? zdxdy ,其中 ? 为 zOx 上的抛物线 ? 2 绕 z 轴旋转 ? ?y ? 0 ?一周所得的旋转曲面介于 z ? 0 和 z ? 2 之间的部分的下侧． 解 ? 的方程为?: z ? 1 2 ? x ? y 2 ? (0 ? z ? 2) ，取下侧。 2作有向曲面 ?1 : z ? 2 ( x 2 ? y 2 ? 4) ，并取上侧，设两曲面 ? 和 ?1 所围成的闭区域为 ? ，由高 斯公式，得?? ( z?2? x)dydz ? zdxdy ????1?? ( z ?22? x)dydz ? zdxdy ? ?? ( z 2 ? x)dydz ? zdxdy?1? ??? (1+0-1)dxdydz ? ?? ( z ? x)dydz ? zdxdy ? ??? ( z 2 ? x)dydz ? zdxdy? ?1 ?1? ??? ( z 2 ? x)dydz ? ?? zdxdy ? 0 ? ?? 2dxdy ? 8π ，?1 ?1 Dxy这里 Dxy ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 4 。??11 七、设一段锥面螺线 x ? e? cos? , y ? e? sin ? , z ? e? (0 ? ? ? π) 上任一点 ( x, y, z) 处的线密 度函数为 ? ( x, y, z ) ?1 ,求它的质量． x ? y2 ? z22解 依题意，锥面螺线在点 ( x, y, z) 处的线密度函数为? ( x, y, z ) ?故锥面螺线的质量为M ? ? ? ( x, y, z )ds ? ?L1 ， x ? y2 ? z22L1 ds x2 ? y 2 ? z 21???π0?e?c o? ? ? ? s2e ? i n? ? s?2??2e?e?c o? ? s?e s?i n? ? ?2?e ?? o s ? ce ?? ?s?i n ?2?2ted??π01 2e2?3e? d? ?3 π ?? 3 e d? ? ?1 ? e?π ? 。 2 ?0 2八、设 f ( x) 具有一阶连续导数,积分 ? f ( x)( ydx ? dy ) 在右半平面 x ? 0 内与路径无关,L试求满足条件 f (0) ? 1 的函数 f ( x) ． 解 令 P( x, y) ?? y f( ， Q( x, y) x )，依题意，有 f ( x)?Q ?P ， ? ?x ?y即df ( x) ? f ( x) ， dx故f ( x) ? ce x ，其中 c 是任意常数。再由条件 f (0) ? 1 可得 c ? 1 ，故 f ( x) ? e x 为所求的函数。九、 设空间区闭域 ? 由曲面 z ? a 2 ? x 2 ? y 2 与平面 z ? 0 围成,其中 a 为正常数,记 ? 表面 的外侧为 ? , ? 的体积为 V ,证明：?x ???22 y zd d ? y z2 x y 2 z d ? x? d z (1x)y d z ． y z ? x d2 2V?P x?y2 xyz 2 ， )z z ?x证明) 这里 P( x, y, z?2x 2y z, Q ,x ? ? ( , ) y zx y ,z ( R ,? , y? z (， x ) 1?Q ?R ? ?2 xyz 2 ， ? 1 ? 2 xyz ，由高斯公式得 ?y ?z?x ???2y z2 d ? d y z2 x y 2 z d?z x 1 d ? (x)y d? z x y ( ?2 z d 2 ????x y? 2 ? x y z 2 z 2 1) xyz dxdydz12 ? ??? (1 ? 2 xyz )dxdydz ? ? d? ? rdr ?? 0 02?aa2 ? r 20(1 ? 2 zr 2 sin ? cos ? )dz? ? d? ? rdr ?0 02?aa2 ? r 20 a2 ? r 2dz ? ? d? ? rdr ?0 0 2? 02?aa2 ? r 20 a2zr 2 sin ? cos? dza2 ? r 2? ? d? ? rdr ?0 0 2? a 0 02?a0 a2 ? r 2dz ? ? sin 2? d? ? r 3dr ?00zdz2? a? ? d? ? rdr ?0dz ? 0 ? ? d? ? rdr ?0 02?aa2 ? r 20dz ? ? d? ? (a 2 ? r 2 )rdr 。0 0另一方面， ? （或 ? ）在 xOy 面上的投影区域为 D ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? a 2 ，故??V ? ??? dxdydz ? ?? (a 2 ? x2 ? y 2 )dxdy ? ?0 d? ?0 (a 2 ? r 2 )rdr ，? D2?a所以?x ???2yz 2 dydz ? xy 2 z 2 dzdx ? (1 ? xyz) zdxdy ? V 。十、已知曲线 L 的方程为 y ? 1 ? x (?1 ? x ? 1) ，起点为 (?1,0) ，终点为 (1, 0) ，计算曲 线积分 ? xydx ? x 2 dy . (2010 考研 数学一)L解 设曲线 L1 : y ? 1 ? x(?1 ? x ? 0), L2 : y ? 1 ? x(0 ? x ? 1) ，则 L ? L1 ? L2 。于是?Lxydx ? x2dy ? ? xydx ? x2dy ? ? xydx ? x2dy ? ? [ x(1 ? x) ? x 2 ]dx ? ? [ x(1 ? x) ? x 2 ]dxL1 L2 ?1 001? ? [ x ? 2 x 2 ]dx ? ? [ x ? 2 x 2 ]dx ? 0?1 001总习题 B一、填空题 1． ? 是的方程 z ? 4 ? x 2 ? y 2 的上侧,则 ?? xydydz ? xdzdx ? x2dxdy ? 4π 设?(2008 考研 数学一)? x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 3 3 2．设 L 的方程 ? ,则 ? x 2 ds ? a ?L 2 ?x ? y ? 03．设 L 为正向圆周 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ，则曲线积分 ? ?0 ．Lx? y x? y dx ? 2 dy 的值为 2 2 x ?y x ? y24．设 ? 是曲面 z 2 ? x 2 ? y 2 介于 z ? ?1 和 z ? 2 之间的部分,则曲面积分I ? ?? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dS?的值为 17 2π ．13 5．设 ? 是由锥面 z ? x 2 ? y 2 与半球面 z ? R 2 ? x 2 ? y 2 围成的空间闭区域, ? 是 ? 的 整个边界的外侧,则 ?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ??(2 ? 2)πR3．6 ． 设 r ? z ( x 2 ? 3) , 则 矢 量 场 A ? grad r 通 过 曲 面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 上 半 部 分 的 流 量 15 π ． Q? 4 二、计算题 1．设空间曲线 L 为曲面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 与 x ? y ? z ? 0 的交线， （1）若曲线 L 的线密度为 ? ( x, y, z ) ? x 2 ，试计算曲线 L 的质量 解: 显然，曲线 L 是空间圆，由曲线 L 的方程消去 z ，得到曲线 L 在 xOy 面上的捕风 1 投影是椭圆 x2 ? y 2 ? xy ? a 2 ，其参数方程为 2 2 a a a a x? a cos t , y ? sin t ? cos t , z ? ? cos t ? sin t , 其中 0 ? t ? 2π 。 3 2 6 6 2 2 故 m ? ? x 2 ds ? πa3 ?L 3 (2) 计算 I ? ? ( x 2 ? y 2 ? 3z )ds ． ?L解: 同理可算得? 3zds ? ? ?L故2 sin t )adt ? 0 ， ? x2 ds ? ? y 2 ds ? ? a3 ， ?L ?L 3 6 2 4π 3 I ? ? ( x2 ? y 2 ? 3z )ds ? a 。 ?L 302?3( ?acos t ?a2．计算 ? ( xy ? b2 x 2 +a 2 y 2 )ds , 其中 L 为椭圆 ?L解:? ( xy ? b x ?2 L2+a 2 y 2 )ds ? ? xyds ? ? ? ?L2? 0Lx2 y 2 ? ? 1 ,其周长为 c ． a 2 b2 (b 2 x 2 +a 2 y 2 )dsL? ? ab sin t cos t a 2 sin 2 t ? b 2 cot 2 tdt ? ? a 2 b 2 ds ?? 0? a b c ? a b c。2 2 2 23．计算 I ? ? (e x sin y ? b( x ? y ))dx ? (e x cos y ? ax)dy ,其中 a, b 为正的常数 , L 为从点LA(2a,0) 沿曲线 y ? 2ax ? x 2 到点 O(0,0) 的弧． ?Q ?P ? ?b?a 解 ?x ?yI ? ? (e x s i n ? b x ( y y ?Lx ? de x ( y ? o s y )) c axOA)d?( x ? a )2 ? y 2 ? a 2 ( y ? 0)??(b ? a)dxdy ? ? (e x sin y ? b( x ? y))dx ? (e x cos y ? ax)dy1 1 ? πa2 (b ? a) ? (?2a 2b) ? πa 2 (b ? a) ? 2a 2b . 2 214 4．计算曲面积分 I ? ??y?z dS ,其中 ? 是圆柱面 x2 ? y 2 ? 1 介于平面 z ? 0 与 x ? y2 ? z2 ?2z ? 2 之间的部分.解： ? 分成两部分， ?1 : y ? 1 ? x 2 ，? 2 : y ? ? 1 ? x 2 ， dS ? 将 即 则 和 ? 2 在 xOz 面上的投影区域都为 Dxz ? ( x, z ) ?1 ? x ? 1, 0 ? z ? 2I??11 1 ? x2dxdz , 且 ?1?? ，于是?? x2y?z y?z dS + ?? 2 dS 2 2 ?y ?z x ? y2 ? z2 ?2? ??1 ? x2 ? z 1 ? 1 ? x2 ? z 1 dxdz+ ?? dxdz 2 1 ? z2 1 ? z2 1? x 1 ? x2 Dxz Dxz 2z 1 ? ?? dxdz =πln5 . 1 ? z 2 1 ? x2 Dxzxdydz ? ydzdx ? zdxdy5．计算曲面积分 I ? ? ?? ? 解： I ? ? ?? ??x2? y2 ? z2 ? ? 1 a3 ?3 2,其中 ? 是球面 x2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 的外侧．xdydz ? ydzdx ? zdxdy?a ?23 2? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ，再利用高斯公式可求得 ??I ? 4π .三p确定常数 ? ,使在右半平面 x ? 0 上的向量A( x, y) ? (3x? ? 6 xy 2 )i + (6 x? y ? 4 y3 ) j为某二元函数 u( x, y) 的梯度,并求 u( x, y) ． 依题意，有 ?u ?u ?P ?Q ， 12 xy ? 6? x? ?1 y ，得 ? ? 2 。故 P? ? 3x? ? 6 xy 2 , Q ? ? 6 x? y ? 4 y 3 , 由 ? ?x ?y ?y ?x ?u ?u ? 3x 2 ? 6 xy 2 , ? 6 x 2 y ? 4 y 3 ，由此可得 u( x, y) ? x3 ? 3x2 y 2 ? y 4 ? C . ?x ?y2 x y z dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy , r ? x ? y 2 ? z 2 , 其 中 ? 为 曲 面 3 r r r解:四 、 计 算 I ? ???z ( x ? 2)2 ( y ? 1)2 1? ? ? ( z ? 0) 的上侧． 5 16 9 ?P ?Q ?R x y z 解: 令 P ? 3 , Q ? 3 , R ? 3 , 则 ? r ?3 ? 3x2 r ?5 , ? r ?3 ? 3 y 2 r ?5 , ? r ?3 ? 3z 2 r ?5 ，于 ?x ?y ?z r r r ?P ?Q ?R 是， ? ? ?0 ( x2 ? y 2 ? z 2 ? 0) 。 ?x ?y ?z为了应用高斯公式，补充两个曲面?1 : 以原点为球心，1 为半径的上半球面的下侧，?2 : z ? 0 ，介于圆 x2 ? y 2 ? 1 和椭圆15( x ? 2)2 ( y ? 1)2 ? ? 1 之间，取下侧， 16 9 在 ?, ?1 , ?2 所围成的空间闭区域 ? 上应用高斯公式，得 x y z ???? r 3 dydz ? r 3 dzdx ? r 3 dxdy ? ??? 0dV ? 0 ， ???1 2 ? 而 ???2x y z x y z dy dz? 3 dz dx 3 dx d? ， ?? 3 dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy ? ?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ， ? y 0 3 r r r r r r ?1 ?1?1对积分 I1 ? ?? x y z d d ? dz ，再补充一个曲面 ?3 : z ? 0 ，这里 x2 ? y 2 ? 1 ，取上侧， d d ? y z x d y x 则 ?1 , ?3 围成一个空间闭区域，设其为 ?1 ，在 ?1 上应用高斯公式，得I1 ? ?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ? ???? 3dV ? ?2? ，?1 ?1故x y z I ? ?? 3 dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy ? 0 ? 0 ? (?2? ) ? 2? 。 r r r ?五、设 u 具有二阶连续偏导数, n 是闭曲面 ? 的外法线向量, ? 所围成的闭区域为 ? ,试 ?u 2 证明 ? u dS ? ??? ? grad u ? dV ? ??? u ? grad u ? dV ． ?? ?n ? ? ? 证明：令 n0 ? cos ? ? i + cos ? ? j ? cos ? ? k ，则方向导数 ?u ?u ?u ?u ， ? g r a d ?u 0 ? c o ? ? c o s ? n s ? c?o s ?n ? x ? y ? z 而? 2u ? 2u ? 2u ? ?u ? ? ?u ? ? ?u ? ( gradu ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? , div( gradu ) ? 2 ? 2 ? 2 ，于是由高斯公式，得 ?x ?y ?z ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? ?u ?u ? u ? u ? u ? u ?n d S? ? ( u?x c o s? ? y c?o?s ?u z ?c o s S ) d ?? ?? ? ?2 2 2 2? ? ? ?u ? ? ? ?u ? ? ? ?u ? ? ? ??? ? ? u ? ? ? u ? ? ? u ? ?dV ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ?z ? ?z ? ? ? ??? ?u ? 2 ? ?u ?2 ? ?u ? 2 ? 2u ? 2u ? 2u ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? u 2 ? u 2 ? u 2 ?dV ?x ?y ?z ? ? ?? ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? ?? ??? ? grad u ? dV ? ??? u ? grad u ? dV 。2 ? ?六、设曲面 ? 为球面 ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? ( z ? a)2 ? a 2 , a ? 0 ,试证明? (x ? y ? z ? ???3a)dS ? 12πa3 .1 1 1 证明：显然有，球面 ? 与平面 x ? y ? z ? (3 ? 3)a 相切于点 (a ? a, a ? a, a ? a) 并且 3 3 3球面 ? 在该平面的上方，即球面 ? 上的点都满足 x ? y ? z ? 3a ? 3a ，故根据第一类曲面积 分的计算方法有? (x ? y ? z ? ???3a)dS ? ? 3adS ? 12πa3 。 ???七、设 P 为椭球面 S : x ? y ? z ? yz ? 1上一动点，若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 平面2 2 216 垂直，求点 P 的轨迹 C，并计算曲面积分 I ? ???( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yzdS ，其中 ? 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分. (2010 考研 数学一) 解 （1）求轨迹 C 令 F ( x, y, z? )2x?2y?2z?，则动点 P( x, y, z的切平面的法向量为 y? 1 z )n ? (2 x, 2 y ? z, 2 z ? y)由切平面垂直于 xOy 面可得 2 z ? y ? 0 ，注意到 P 在椭球面 S : x 2 ? y 2 ? z 2 ? yz ? 1上，故所求 的曲线 C 的方程为? x 2 ? y 2 ? z 2 ? yz ? 1 ? ?2 z ? y ? 0（2）计算曲面积分 因为曲线 C 在 xOy 面上的投影为 Dxy : x 2 ? 边分别对 x, y 求导，得2x ? 2z ?z ?z ?z ?z ? y ? 0, 2 y ? 2 z ? z ? y ? 0 ?x ?x ?y ?y ?z 2x ?z 2 y ? z ， ? , ? ?x y ? 2 z ?y y ? 2 zy2 ? 1 ，又因为方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? yz ? 1 两 4 3解之得故? 2x ? ? 2 y ? z ? ? ?z ? ? ?z ? dS ? 1 ? ? ? ? ? ? dxdy ? 1 ? ? ? ?? ? dxdy ? ? ?x ? ? ?y ? ? y ? 2z ? ? y ? 2z ?2 2 2 24 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz dxdy y ? 2z所以I ? ???( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yzdS ? ??Dxy( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz?4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz dxdy y ? 2z? ?? ( x ?Dxy3 )xd y d ?? x x d ? ? y dDxy?? 3xDxyyd d ???Dxy4 x3y ? d dπ? ? 3 ? 2π . ? 1 317
第九章 曲线积分与曲面积分习题解答(详解) 高等数学下册 郭正光高等数学下册 郭正光...解 如右图所示,依题设,所求的流量为 Q = ∫∫ V ndS = ∫∫ (x + ...威​廉​夏​普​ ​投​资​学​课​后​习​题​答​案​解​析​第​九​章 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档...概率论与数理统计习题及答案---第9章习题详解 隐藏&& 习题九 1? 灯泡厂用 4 种不同的材料制成灯丝, 检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿 命服...高等数学方明亮版第九 高等数学方明亮版第九章 曲线积分与曲面积分习题详解习题 9.1 1 计算下列对弧长的曲线积分: (1) I = ∫ L xds ,其中 L 是圆 x 2 ...2011年中学教育心理学章节习题答案与解析:第九章:问题解决与创造性_教育学_高等教育_教育专区。2011年中学教育心理学章节习题答案与解析:第九章:问题解决与创造性第...第九章练习题及答案录入:管理员 第九章 一、单选 1 、某公司经营杠杆系数为 ...总杠杆系数越大,企业经营风险越大 【参考答案】 D 【答案解析】总杠杆系数=...第9章 习题参考答案 6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出...9.5 习题详解 9.1 某电场的电场线分布情况如图所示,一负电荷从 M 点移到 N...微观第九章习题及答案_经济学_高等教育_教育专区。一、名词解释 要素供给原则 ...PS: 《西方经济学(微观部分) 》笔记和习题详解 P184 第 2 题 or 习题集 ...第九章 应力、应力状态分析(习题解答)_理学_高等教育...(e) 试用解析法求出(1)图示应力单元体-30o 斜...解:(1)由题意知:如图(a)构件发生拉扭组合变形,...第九章 企业营运能力分析习题解析 (一)单项选择题 1.从资产流动性方面反映总资产效率的指标是( )。 A.总资产产值率 B.总资产收入率 C.总资产周转率 D.产品...
All rights reserved Powered by
copyright ©right 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。
