北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结；第一章勾股定理；1、勾股定理；（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c；（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或；（3）勾股定理的适用范围：尽限于直角三角形；2、勾股定理的逆定理；如果三角形的三边长a，b，c有关系a2?b2?c；3、勾股数：满足a2?b2?c2的三个正整数a，；常见的勾股数有：（6,
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结
第一章 勾股定理
1、勾股定理
（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2?b2
（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）
（3）勾股定理的适用范围：尽限于直角三角形
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a2?b2?c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）??
规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）??
（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n-1,n+1
如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）??
4、常见题型应用：
（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积??
（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积??
（3）判定三角形形状： a +b＞c锐角~，a +b=c直角~，a +b＜c钝角~
判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 ?c2 （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法??
（4）构建直角三角形解题
例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。
解：设两直角边为3x，4x，由题意知：
(3x)2?(4x)2?100，9x2?16x2?100，25x2?100，x2?4
∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。
（1）中考典题
例. 如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE，即求AE的长。已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。
解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∵BD=0.5，∴CD=2
在Rt?ECD中，EC2?ED2?CD2?25.2?22?2.25
?AE?AC?EC?2?15.
答：梯子顶端下滑了0.5米。
点拨：要考虑梯子的长度不变。
例5. 如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，似乎不得要领，连结AC，求出S?ABC?S?ACD即可。
解：连结AC，在Rt△ADC中，
AC2?CD2?AD2?122?92?225
在△ABC中，AB2=1521
AC2?BC2?152?362?1521
?AB2?AC2?BC2，??ACB?90°
?S?ABC?S?ACD?
?11AC?BC?AD?CD22 11?15?36??12?9?270?54?216(m2)22
答：这块地的面积是216平方米。
点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。
第二章 实数
基本知识回顾
?算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x2?a??那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，
??算术平方根为非负数?0
??正数的平方根有2个，它们互为相反数????平方根?0的平方根是0?????负数没有平方根??2.无理数的表示?定义：如果一个数的平方等于a，即x2?a，那么这个数就
?叫做a的平方根，记为?a???正数的立方根是正数???立方根??负数的立方根是负数?????0的立方根是0??定义：如果一个数x的立方等于a，即x3?a，那么这个数x??就叫做a的立方根，记为.?
?概念有理数和无理数统称实数??正数?有理数??????分类?无理数或?0???????负数3.实数及其相关概念??绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
??实数与数轴上的点是一一对应
?实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则???运算规律相同。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如7,等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/3+8等；
（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.?等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=―b，反之亦成立。
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|= -a，则a≤0。
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
解：?x?5?0，|y?3|?0，且x?5?|y?3|?0
?x?5?0，|y?3|?0
?x?5?0，y?3?0
?x2?2y?25?6?19
点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a的平方根记做“?”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：??，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
a?b?0?a?b, a的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即a≥0，
a?b?0?a?b,
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
aaa?1?a?b;?1?a?b;?1?a?b;
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a?b?a?b。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则a2?b2?a?b。
（6）倒数法：设a、b是同正,如果1/a＞1/b，则a＜b;同负，如果1/a＞1/b，则a＞b
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
（1）(a)2?a(a?0)
（2）a2?a?a?0)
（3）?a?(a?0,b?0) （a?b?ab(a?0,b?0)）
（4）aa(a?0,b?0)
（a?a(a?0,b?0)）
3、运算结果若含有“”形式，必须满足：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律
加法结合律
(a?b)?c?a?(b?c)
乘法交换律
乘法结合律
(ab)c?a(bc)
乘法对加法的分配律 a(b?c)?ab?ac
例. 计算：
（1）?2?1??
???1??； （2）?????；
.（3）2?2??（4）?2???? ????2??
通过以上计算，观察规律，写出用n（n为正整数）表示上面规律的等式___________。
规律：2?1?1；3????2?22?1；4??3?2?1；??2?4?1 ?
?1?n??n?1??1?
第三章 图形的平移与旋转
1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、要素（或条件）：方向，即前后对应点的射线方向；距离，即对应点之间的距离
3、性质：平移前后两个图形的形状和大小不变（即全等图形），对应点连线平行（或在同一条直线
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