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高中数学_幂函数图像_定义_公式_求导等知识点
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{description}【图文】高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第二章 函数、导数及其应用 第五节
二次函数与幂函数_百度文库
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高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第二章 函数、导数及其应用 第五节
二次函数与幂函数
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幂函数求导
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第一篇:幂函数求导第 三 章
导 数 及 其 应 用
3.2 3.2.1& 3.2.2 常数与 幂函数 的导数 导数公 式表
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练 返回
3．2.1&3.2.2
常数与幂函数的导数
导数公式表
利用导数的定义可得x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2.
问题1：当n∈N＋时，y＝xn的导数公式是什么？ 提示：y′＝nxn－1. 1 1 1 1 问题 2：当 n＝ 时，(x )′＝ x－ (x&0)成立吗？ 2 2 2 2 x＋Δx－ x Δy Δx 提 示 由 ＝ ＝ ＝ Δx Δx ? x＋Δx＋ x?Δx
1 1 Δy 1 1 1 ，得 y′＝lim ＝ ＝ x－ .所以( x 2 )′ Δx→0 Δx 2 2 x 2 x＋Δx＋ x
1 ?1 ＝ x 2 成立． 2
基本初等函数的导数公式表 y＝f(x) y＝C y＝xn(n为自然数) y＝xμ (x&0，μ≠0，μ为有理数) y′＝μxμ－1 y′＝f′(x) y′＝0 y′＝nxn－1
y＝ax(a&0，a≠1) y＝ex y＝logax (a&0，a≠1，x&0)
y′＝f′(x) y′＝axln a y′＝ex
1 y′＝ xln a
y＝ln x y＝sin x
y′＝cos x y′＝－sin x 返回
1．对于基本初等函数导数公式，只要求能够记忆并 会利用它们求简单函数的导数即可． 2．注意区分幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1(n∈Q)， 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a.
求下列函数的导数．
1 4 3 (1)y＝5 ；(2)y＝ 3；(3)y＝ x ；(4)y＝lg x. x
[思路点拨]
先将解析式化为基本初等函数的形式，
再利用公式求导．
[精解详析]
(1)y′＝(5x)′＝5xln 5；
1 (2)y′＝( 3)′＝(x－3)′＝－3x－4； x 3 3 1 3 (3)y′＝( x )′＝(x )′＝ x－ ＝ ； 4 4 4 4 4 x
1 (4)y′＝(lg x)′＝ . xln 10
用导数公式求导，可以简化运算过程、降
低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的
结构进行调整，再选择合适的求导公式．
1．若 f(x)＝ x，则 f′(1)等于 A．0 C．3 1 B．－ 3 1 D. 3
1 1 2 1 1 1 解析：∵f′(x)＝(x )′＝ x－ ＝ · ＝ ， 3 3 3 3 2 3 2 x 3 3 x 1 ∴f′(1)＝ . 3 答案：D
2．求下列函数的导数． (1)y＝x6；(2)y＝cos x； (3)y＝x
x x x；(4)y＝2sin cos . 2 2
解：(1)y′＝(x6)′＝6x5； (2)y′＝(cos x)′＝－sin x； (3)y′＝(x
1 5 5 3 x)′＝(x · )′＝(x )′＝ x ； x 2 2 2 2
(4)∵y＝sin x，∴y′＝cos x.
π 2 求曲线 y＝cos x 在( ， )处的切线方程． 4 2
解答本题可先应用导数公式求出函数
[思路点拨]
π 在 x＝ 处的导数，即切线的斜率，然后根据直线方程 4 的点斜式公式，写出切线方程．
[精解详析]
π 2 y′＝－sin x，y′|x＝ ＝－ ， 4 2
2 2 π ∴切线方程为 y－ ＝－ (x－ )， 2 2 4 2 即 2x＋2y－ 2－ π＝0. 4
求曲线的切线方程一般有下列两种情况：
一是求曲线在点P处的切线方程，这时P点在曲线上，且P 一定为切点．二是求过点P与曲线相切的直线方程，这时P
点不一定在曲线上，不一定为切点．做题时，一定要仔细
读懂题意，分清所求切线方程为哪种情况，以便于找准正 确的解题思路．
π 3 3．设曲线 y＝cos x 在点 A( ， )处的切线倾斜角为 θ， 6 2 求 tan θ 的值．
解：∵y＝cos x，∴y′＝－sin x. π 1 ∴在点 A 处切线斜率为 k＝－sin ＝－ . 6 2 1 ∴tan θ＝－ . 2
4．过点A(0，－1)作抛物线y＝x2的切线．求切点P的坐标
和切线方程．
解：设点 P(x0，x2)，则 y′|x＝x0＝2x0. 0 切线方程为 y－x2＝2x0(x－x0)． 0 又 A(0，－1)在切线上， ∴－1－x2＝－2x2，x2＝1. 0 0 0 当 x0＝1 时，点 P 的坐标为(1,1)． 切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1. 当 x0＝－1 时点 P 的坐标为(－1,1)． 切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即 y＝－2x－1.
1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导． 1 2．导数公式表中(a )′＝a ln a 与(logax)′＝ xln a
较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的 差异去记忆． 3．直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的公共 点，切线的斜率是曲线对应的函数在切点处的导数．
点击下图进入“应用创新演练”
+申请认证第一篇:幂函数求导已知:函数f ( x )是可导的奇函数,求证:其导函
数 f ?( x ) 是偶函数。
f ? ? x ? ?x ? ? f ? ? x ? 证明：f ?(? x) ? lim ?x ?0 ?x ? f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? lim ?x ?0 ??x ? f ?( x) 所以是偶函数。
已知:函数f ( x )是可导的偶函数,求证:其导函
数 f ?( x ) 是奇函数。
f ? ? x ? ?x ? ? f ? ? x ? 证明：f ?(? x) ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? ? lim ?x ?0 ?x ? ? f ?( x) 所以是奇函数。
1.2.1常数函数和幂函数的导数
一、知识新授：1、常数函数与幂函数的导数
公式1C ? ? 0 (C为常数)
设y ? f ( x) ? C , C是常数， f ? x ? ?x ? ? f ? x ? C ?C C ? ? lim ? lim ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 即C ? ? 0, 常数函数的导数为0。
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2x? ? 1
设y ? f ? x ? ? x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? x ? ?x ? ? x ? 1 x? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 即x? ? 1 在同一平面直角坐标系中，
画出y=2x,y=3x,y=4x的 图象，并根据导数定义， 求它们的导数。
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一 个增加的最慢？（3）函数y=kx(k≠0)增（减） 的快慢与什么有关？函数y=kx(k≠0)的导数是？
? ? lim f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 设y ? f ? x ? ? x , ? x ? ?x ? 0 ?x
( x )? ? 2 x
x ? ?x ? ? x 2 ? ? lim ? lim ? 2 x ? ?x ? ? 2 x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x 2 ? 即 x ? 2x
? ? lim f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 设y ? f ? x ? ? x , ? x ? ?x ?0 ?x
? ? 3x 2 公式4? x ?
? x ? ?x ? ? lim
? lim ? 3 x ? 3 x?x ? ?x ? ? 3x
? ? 3x 2 即? x ?
f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 1 1 ?? ? 设y ? f ? x ? ? ? x ? 0 ? , ? ? ? lim x ?x ? x ? ?x?0 1 ? 1 1? ?1 1 ? lim ? ? ? ? lim ?? 2 ?x ?0 ?x x ? ?x x ? ?x?0 x ? x ? ?x ? x ? ? 1 ?1? 即? ? ? ? 2 ? x ? 0 ? x ? x?
1 1 公式5( )? ? ? 2 x x
设y ? f ? x ? ?
2 x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? x ? x ? 0 ? , ? x ? ? lim ?x ?0
x ? ?x ? x ? lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x
?x x ? ?x ? x
? x ? ?x ? x ? 1 ? 即? x ? ? ? x ? 0? 2 x
P/15注意事项：
1、，在求导数时，当 ?x ? 0 时， 是不变 的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。2、求极限的四则运算法则若 lim f ? ?x ? ? A, lim g ? ?x ? ? B ? B ? 0 ? ,
则 lim f ? ?x ? ? g ? ?x ? ? A ? B
lim f ? ?x ??g ? ?x ? ? A?B
f ? ?x ? A lim ? ?x ? 0 g ? ?x ? B
常数函数和幂函数的导数公式:
公式1C ? ? 0 (C为常数)
? ? nxn?1 n ? N 公式2? x ? ? ??
? ? ? x ? ?1 ? ? Q 公式3? x ? ? ?
练习1：求下列函数的导数。
1 (1) y ? 2 x ? 1 (2)y ? 2 (3)y ? x (4)y ? x
(1)解：y' ? 2 ? 3x
1 2 ?2 ? 2 ?1 ?3 (2) 解 y ' ? ( 2 )' ? ( x )' ? ?2( x) ? ?2 x ? ? 3 x x 1 1 ? 1 x 2 2 (3)解：y' ? ( x )' ? ( x )' ? ( x) ? 2 2x
3 ?5 3 3 5 (4)解：y' ? ( x )' ? ( x )' ? ( x) ? 2 5 5 5 x
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2)
(5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C ? ? 0(C为常数）；
n ? n ?1 x ? nx ? n ? N ? ?
1 （log a x )? ? ; x ln a x x (a )? ? (sin x )? ?
? ? ? x ? ?1 ( ?为实数）； (x ) 1 （ln x )? ? ; x x ? ? (e ) (cos x )? ? ?
推导：函数f ( x) ? x n ? N?）的导数。（
解y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x) ? x ?
(?x) ? ...? (?x) ? x
(?x) ? ... ? (?x)
?y 1 n ?1 2 n?2 n ?1 ? ? Cn x ? Cn x ?x ? ... ? (?x) ?x
?y 1 n ?1 n ?1 ? f ' ( x ) ? lim ? Cn x ? nx ?x ? 0?x
( x )' ? n( x)
公式的推广1、 n ? b) ' ? a ? nx n ?1 (其中a, b为常数） (ax 2、若y ? f ? x ? ? x ? ? x ? 0, ? ? 0, ? ? Q ?， 则y? ? ? x
, ?为有理数
? ? lim sin ? x ? ?x ? ? sin x 证明x ? ? sin ?x ? 0 ?x ?x ? ?x ? 2 cos ? x ? ? sin 2 ? 2 ? sin x ? lim ?x ? 0 lim ?x x ?0 x ?x sin 2 ? lim cos ? x ? ?x ? ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x 2 ? cos x
? ? lim cos ? x ? ?x ? ? cos x 证明：cos x ? ? ?x ? 0 ?x ?x ? ?x ? ?2sin ? x ? ? sin 2 ? 2 ? sin x ? lim ?x ? 0 lim ?x x ?0 x ?x sin 2 ? ? lim sin ? x ? ?x ? ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x 2 ? ? sin x
? ? lim ln ? x ? ?x ? ? ln x 证明：ln x ? ? ?x ?0 ?x ? ?x ? x ? ?x 1 ln ?1 ? ? ln x ? ? ?x ? ?x x ? lim ? ? lim ? lim ln ?1 ? ? ?x ? 0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x x ? ?
x ? ? ?x ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 1 ? x ? lim ?ln ?1 ? ? ? ? ln e ? ?x ?0 x ? ? x ? ? ? ? ?x ? ? ? ? 1 x
? 1? lim ?1 ? ? ? e x ?? ? x?
ln x ?? 1 ? ?? 证明a x ? ? ? log ? ? ? ln a ? x ln a x ? x 证明：a ? a ln a
令y ? a , 两边取以e为底的对数，得 ln y ? x ln a 1 两边同时取关于x的导数， ? y? ? ln a x y ? ? y ? ln a ? a x ln a ? yx
? ? ex 特别的， ? ?e
练习1、求下列函数导数。
（1） y ? x 、
（2） y ? 4 、
（3） y ? 、
（4） y ? o 、 g l
?1 （5） y ? 、 ( x ? 0，a ? 0，a，x ? 1) 1 o x( ) g l a
? （6） 、y=sin( +x) 2 ?
（7） 、y=sin
练习2：求下列函数的导数。
(1)下列函数在点x=0处没有切线的是( D ) (A)y=x3+sinx (C)y=xsinx (B)y=x2-cosx (D)y= x+cosx
1 f ?( x ) ? 2 , 则f(x)可能是下式中的( (2)若 B ) x 1 x ?1 1 ?3 ( A) ( B) ? (C ) ? 2 x ( D) ? x x 2x3
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3? 3? ? ? 3? ? 3? ( A)[0, ] ( B )[ , ? ) (C )[0, ) ? ( , ] ( D)[0, ] ? [ , ? ) 4 4 2 2 4 2 4
例3.求下列函数的导数. (1) y ? x ? sin x ? cosx
x x (2) y ? 2sin ? cos ? 2x 2 ? 1 2 2
例3.求下列函数的导数. (1) y ? x ? sin x ? cosx
x x (2) y ? 2sin ? cos ? 2x 2 ? 1 2 2
(1)解 y' ? ( x ? sin x ? cos x)' ? ( x )'?(sin x)'?(cosx)'
? 3x ? cos x ? sin x
x x (2)解； y ' ? (2 sin cos ? 2 x 2 ? 1)' ? (sin x)'?(2 x 2 )'?1' ? cos x ? 4 x 2 2
1 例4、求在曲线y=cosx上一点P( ，)处 3 2
的切线方程
变式已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π）， 且在点P处的切线斜率大于0，求点P的 横坐标的取值范围。
例5、若直线y=-x+b为函数
图象的切线，求b及切点的坐标
1 变式:直线 y ? x ? 3 能作为下列函数图象的切线 2
吗？若能，求出切点的坐标，若不能，简述理由
1 (2) f ( x) ? ? x (4)f(x)=ex (3) f(x)=sinx
1 (1) f ( x) ? x
例6.求曲线y ? x ? x ? 3的斜率为6的切线方程.
分析：函数在某处的导数的几何意义 是相应曲线在该处切线的斜率由于切线 . 的斜率已知，可以利用导数求出切点的 横坐标.
解：设切点为P( x0 , y0 ) 则y' ? (x4 ? x2 ? 3)' ? 4x3 ? 2x
? 4x ? 2x0 ? 6
4 ? y0 ? x0 ? 2x0 ? 3 ? 6, 故P的坐标(1,6).
?所求的切线方程为 y ? 6 x
第一篇:幂函数求导班级班级：
姓名姓名：
高二数学 A 学案 常数函数与幂函数的导数
编号编号：12 一、学习目标 编制编制：纪登彪 审核审核：姜希青 时间时间：
1、应用定义求导数的步骤推导六种常见函数 y = c, y = x, y = x , 、
y = x3 , y =
1 , y = x 的导数 的导数; x
2、掌握用从特殊到一般的规律来探究公式的方法。、掌握用从特殊到一般的规律来探究公式的方法。用从特殊到一般的规律来探究公式的方法 二、基础知识 1、若 y = f ( x ) = x 、
( α ∈ Q ) ，则 f ' ( x ) =
2、对一些函数求导时，要弄清一些函数的内部关系，合理转化后再求导。如
y = 3 x2 , y =
1 等可转化为 x3
后再求导。后再求导。
三、典型例题 根据导数的定义求下列函数的导数,并说明 并说明(1)(2)所求结果的几何意义和物理意义 所求结果的几何意义和物理意义.(1) 例 1、 、 根据导数的定义求下列函数的导数 并说明 所求结果的几何意义和物理意义 为常数); （1） y = f ( x ) = C ( C 为常数 ） (2) y = f ( x ) = x
(3) y = f ( x) = x 2
(4) y = f ( x) = x 3
(5) y = f ( x ) = x ?1
(6) y = f ( x ) =
班级班级：
姓名姓名：
四、当堂练习 的导数是________________. 1、函数 f ( x ) = 101 的导数是 、 2、函数 y = 3 x 在 x = 1 处的导数为 、 处的导数为_______; 3、物体的运动方程为 s = t ,则物体在 t = 2 时的瞬时速度为 、 则物体在 时的瞬时速度为______.
4、给出下列命题,其中正确的命题是 、给出下列命题 其中正确的命题是 其中正确的命题是___________________(填序号 填序号) 填序号 上任一点处的切线方程是这条直线本身 (1)任何常数的导数都为零 直线 y = 2 x 上任一点处的切线方程是这条直线本身; 任何常数的导数都为零;(2)直线 任何常数的导数都为零 (3)双曲线 y = 双曲线
1 上任意一点处的切线斜率都是负值; 上任意一点处的切线斜率都是负值 x
上函数值增长的速度一样快. (4)函数 y = 2 x 和函数 y = x 2 在( 0,+∞) 上函数值增长的速度一样快 函数 5、求下列函数的导数 、 (1) y = x
(3) y = x ( x & 0)
6、求曲线 y = 、
1 (1)在点 在点(1,1)处的切线方程 求曲线 y = x 2 过点 处的切线方程;(2)求曲线 过点(2,3)的切线方程 的切线方程. 在点 处的切线方程 的切线方程 x
7、过点 P (0,?3) 作曲线 y = x 4 的切线,求此切线的方程 、 的切线 求此切线的方程. 求此切线的方程
····················义项指多义词的不同概念，如的义项：网球运动员、歌手等；的义项：冯小刚执导电影、江苏卫视交友节目等。
一般的，形如y=x(a为实数)的函数，即以为，幂为，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取时，初学者则不大容易理解了。因此，在里，我们不要求掌握为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到连续性的极为深刻的知识。
外文名称 power function
幂函数 函数
所属学科 分析数学
形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
当α&0时，幂函数y=x^a有下列性质：a、图像都经过点（1,1）(0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；c、在第一象限内，α&1时，导数值逐渐增大；0&α&1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
当α&0时，幂函数y=x^a有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；c、在内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
当a=0时，幂函数y=xa有下列性质：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。(00没有意义）
定义域和值域
当a为不同的时，幂函数的的不同情况如下：如果a为，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据a的来确定，即如果同时p为奇数， 则x不能小于0，这时的为大于0的所有；2.如果同时p为偶数，则函数的定义域为所有非零实数。当x为不同的时，幂函数的的不同情况如下：1.在x0时，的总是大于0的。2. 在x0时，则只有同时q为，函数的为的。而只有a为，0才进入函数的。
自然数幂函数xn的定义为自变量自乘n次，如
形如的幂函数定义为的多值。但实际上，我们还是只取主值。
无理数幂可以由有理数列逼近得到
扩大的幂函数定义为为一个
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：a小于0时，x不等于0；a的分母为偶数时，x不小于0；a的分母为奇数时，x取R。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各的各自。可以看到（右图上至下：x1/8，x1/4，x1/2，x1，x2，x4，x8）：（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a&0时 图象过点（0，0）和（1，1）。（2）单调区间：当a为整数时，a的正负性和决定了函数的：
①当a为正奇数时，图像在为R内单调递增；
②当a为正偶数时，图像在为内单调递减，在第一象限内单调递增；③当a为负奇数时，图像在第一三象限各内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：①当a&0，为时，函数在内单调递增；②当a&0，为奇数时，在第一、三象限各象限内单调递增；③当a&0，为偶数时，函数在内单调递减；④当a&0，为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；（3）当a&1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当0&a&1时，幂函数图形上凸（横抛）。当a&0时，图像为。（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。（5）当a&0时，a越小，图形倾斜程度越大。（6）显然幂函数。（7）a=2n,该函数为 {x|x≠0}。
为了研究方便，在初等函数里对于幂函数，只讨论a=1,2,3,1/2,-1时的情形。
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【红对勾】（新课标）2017高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 幂函数与二次函数课件 文.ppt68页
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【红对勾】（新课标）2017高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 幂函数与二次函数课件 文
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