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计算几何（3）
题集（30）
POJ 计算几何入门题目推荐（转）&
& & &其实也谈不上推荐，只是自己做过的题目而已，甚至有的题目尚未AC，让在挣扎中。之所以推荐计算几何题，是因为，本人感觉ACM各种算法中计算几何算是比较实际的算法，在很多领域有着重要的用途（例如本人的专业，GIS）。以后若有机会，我会补充、完善这个列表。
计算几何题的特点与做题要领：
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙
2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠。
3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱，那么会严重影响做题正确率。
4.注意精度控制。
5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮点误差，而且运算比浮点快。
一。点，线，面，形基本关系，点积叉积的理解
POJ 2318 TOYS（推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2318
POJ 2398 Toy Storage（推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2398
一个矩形，有被若干直线分成N个格子，给出一个点的坐标，问你该点位于哪个点中。
知识点：其实就是点在凸四边形内的判断，若利用叉积的性质，可以二分求解。
POJ 3304 Segments
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3304
知识点：线段与直线相交，注意枚举时重合点的处理
POJ 1269 Intersecting Lines&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1269
知识点：直线相交判断，求相交交点
POJ 1556 The Doors （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1556
知识点：简单图论＋简单计算几何，先求线段相交，然后再用Dij求最短路。
POJ 2653 Pick-up sticks&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2653
知识点：还是线段相交判断
POJ 1066 Treasure Hunt&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1066
知识点：线段相交判断，不过必须先理解“走最少的门”是怎么一回事。
POJ 1410 Intersection&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1410
知识点：线段与矩形相交。正确理解题意中相交的定义。
详见：/novosbirsk/blog/item/68c682c67e8d1f1d9d163df0.html
POJ 1696 Space Ant （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1696
德黑兰赛区的好题目。需要理解点积叉积的性质
POJ 3347 Kadj Squares&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3347
本人的方法极度猥琐。复杂的线段相交问题。这个题目是计算几何的扩大数据运算的典型应用，扩大根号2倍之后就避免了小数。
POJ 2826 An Easy Problem?! （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2826
问：两条直线组成一个图形，能容纳多少雨水。很不简单的Easy Problem，要考虑所有情况。你不看discuss看看能否AC。（本人基本不能）提示一下，水是从天空垂直落下的。
POJ 1039 Pipe&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1039
又是线段与直线相交的判断，再加上枚举的思想即可。
POJ 3449 Geometric Shapes&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3449
判断几何体是否相交，不过输入输出很恶心。
此外，还有一个知识点，就是给出一个正方形（边不与轴平行）的两个对角线上的顶点，需要你求出另外两个点。必须掌握其方法。
POJ 1584 A Round Peg in a Ground Hole&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1584
知识点：点到直线距离，圆与多边形相交，多边形是否为凸
POJ 2074 Line of Sight （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2074
与视线问题的解法，关键是求过两点的直线方程，以及直线与线段的交点。数据有一个trick，要小心。
二。凸包问题
POJ 1113 Wall&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1113
知识点：赤裸裸的凸包问题，凸包周长加上圆周。
POJ 2007 Scrambled Polygon&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2007
知识点：凸包，按极角序输出方案
POJ 1873 The Fortified Forest （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1873
World Final的水题，先求凸包，然后再搜索。由于规模不大，可以使用位运算枚举。
详见：/novosbirsk/blog/item/333abd54c7f22c.html
POJ 1228 Grandpa's Estate （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1228
求凸包顶点数目，很多人求凸包的模板是会多出点的，虽然求面积时能得到正确答案，但是在这个题目就会出问题。此外，还要正确理解凸包的性质。
POJ 3348 Cows&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3348
凸包面积计算
三。面积问题，公式问题
POJ 1654 Area&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1654
知识点：利用有向面积（叉积）计算多边形面积
POJ 1265 Area&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1265
POJ 2954 Triangle&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2954
Pick公式的应用，多边形与整点的关系。（存在一个GCD的关系）
四。半平面交
半平面交的主要应用是判断多边形是否存在核，还可以解决一些与线性方程组可行区域相关的问题（就是高中时的那些）。
POJ 3335 Rotating Scoreboard
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3335
POJ 3130 How I Mathematician Wonder What You Are!&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3130
POJ 1474 Video Surveillance
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1474
知识点：半平面交求多边形的核，存在性判断
POJ 1279 Art Gallery&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1279
半平面交求多边形的核，求核的面积
POJ 3525 Most Distant Point from the Sea （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3525
给出一个多边形，求里面的一个点，其距离离多边形的边界最远，也就是多边形中最大半径圆。
可以使用半平面交+二分法解。二分这个距离，边向内逼近，直到达到精度。
POJ 3384 Feng Shui （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3384
半平面交实际应用，用两个圆覆盖一个多边形，问最多能覆盖多边形的面积。
解法：用半平面交将多边形的每条边一起向“内”推进R，得到新的多边形，然后求多边形的最远两点。
POJ 1755 Triathlon （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1755
半平面交判断不等式是否有解。注意不等式在转化时正负号的选择，这直接影响到半平面交的方向。
POJ 2540 Hotter Colder&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2540
半平面交求线性规划可行区域的面积。
POJ 2451 Uyuw's Concert
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2451
Zzy专为他那篇nlogn算法解决半平面交问题的论文而出的题目。
五。计算几何背景，实际上解题的关键是其他问题（数据结构、组合数学，或者是枚举思想）
若干道经典的离散化＋扫描线的题目，ACM选手必做题目
POJ 1151 Atlantis （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1151
POJ 1389 Area of Simple Polygons
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1389
矩形离散化，线段树处理，矩形面积求交
POJ 1177 Picture （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1177
矩形离散化，线段树处理，矩形交的周长，这个题目的数据比较强。线段树必须高效。&
POJ 3565 Ants （推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3565
计算几何中的调整思想，有点像排序。要用到线段相交的判断。
详见：/novosbirsk/blog/item/fb668cf0f362bec47931aae2.html
POJ 3695 Rectangles & &
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3695
又是矩形交的面积，但是由于是多次查询，而且矩形不多，使用组合数学中的容斥原理解决之最适合。线段树是通法，但是除了线段树，还有其他可行的方法。
POJ 2002 Squares & &
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2002
枚举思想，求平面上若干个点最多能组成多少个正方形，点的Hash
POJ 1434 Fill the Cisterns!（推荐）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1434
一开始发昏了，准备弄个线段树。其实只是个简单的二分。
六。随机算法
POJ 2420 A Star not a Tree?&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2420
多边形的费马点。所谓费马点，就是多边形中一个点P，该点到其他点的距离之和最短。四边形以上的多边形没有公式求费马点，因此可以使用随机化变步长贪心法。
详见：/novosbirsk/blog/item/f825dd54019b.html
七。解析几何
这种题目本人不擅长，所以做得不多，模板很重要。当然，熟练运用叉积、点积的性质还是很有用的。
POJ 1375 Intervals&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1375
知识点：过圆外一点求与圆的切线
POJ 1329 Circle Through Three Points & &
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1329
求三角形外接圆
POJ 2354 Titanic
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2354
求球面上两个点的距离，而且给的是地理经纬坐标。
POJ 1106 Transmitters
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1106
角度排序，知道斜率求角度，使用atan函数。
POJ 1673 EXOCENTER OF A TRIANGLE
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1673
可以转化为三角形的垂心问题。
八。旋转卡壳
POJ 2187 Beauty Contest&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2187
凸包求最远点对。可以暴力枚举，也可以使用旋转卡壳。
POJ 3608 Bridge Across Islands（难）
http://acm./JudgeOnline/problem?id=3608
两个凸包的最近距离。本人的卡壳始终WA。郁闷。
九。其他问题
POJ 1981 Circle and Points&
http://acm./JudgeOnline/problem?id=1981
求单位圆最多能覆盖平面上多少个点&
一。基础题目
1.1 有固定算法的题目
A， 最近点对问题
最近点对问题的算法基于扫描线算法。
ZOJ & &2107 & &Quoit Design & &典型最近点对问题
POJ & &3714 & &Raid & &变种最近点对问题
B，最小包围圆
最小包围圆的算法是一种增量算法，期望是O(n)。
ZOJ & &1450 & &Minimal Circle &&
HDU & &3007 & &Buried memory &&
C，旋转卡壳
POJ 3608 & &Bridge Across Islands & &旋转卡壳解两凸包最小距离
POJ 2079 & &Triangle & & & &旋转卡壳计算平面点集最大三角形
1.2 比较简单的题目
HDU & &3264 & &Open-air shopping malls ，圆面积相交问题，如果用二分法做的话不难
CII 3000 Tree-Lined Streets，几何+贪心 & &
CII 4676 Geometry Problem，模板题 & &
HDU 3272 Mission Impossible，枚举+镜面反射思想
POJ 3334 & &Connected Gheeves，二分答案，面积判定
POJ 1819 & &Disks，模拟一下 & &
CII 3905 Meteor，貌似还是比较简单
ZOJ 2589 Circles，平面图的欧拉定理，圆的相交
POJ 2194 Stacking Cylinders，向量旋转
二。经典算法
2.1 三角剖分
三角剖分这个东西貌似去年流行了一下，高校联赛时某U连续出了两次。实际上对多边形进行三角剖分是一个很常见的算法思想，因为三角形是一个比较简单的凸多边形，可以对两个三角形比较容易地求公共面积，这也是三角剖分最常见的用途。对这个算法进行扩展，就可以求两个简单多边形的面积交了。主要是理解有向面积的概念。
第一类是圆与三角形的相交，主要做法是分情况讨论。
POJ & &3675 & &Telescope & &三角形剖分，圆与三角形的交
POJ & &2986 & &A Triangle and a Circle & &三角形剖分，圆与三角形的交
ZOJ & 2675 & &Little Mammoth & &三角形剖分，圆与三角形的交
第二类是多边形与多边形相交。
HDU & &3060 & &Area2 & &简单多边形面积并，三角剖分
三角形剖分的另一种变种是梯形剖分，应用起来稍有局限性，但是比三角形剖分好写。
POJ & &3148 & &ASCII Art & &多边形梯形剖分，半平面交
多边形的重心问题，也是三角形剖分的应用：
CII & & &4426 & &Blast the Enemy!
2.2 极角排序
顾名思义，极角排序一般就是有一个圆心的问题，将平面上各个点按照与圆心极角进行排序。然后就可以在线性扫描之中解决一些统计问题。不过这类问题就稍稍超出计算几何范畴了。
UVA & &11696 Beacons & &颇为经典的极角排序的统计问题，记得darkgt大牛有一篇文章提到这个题目。
CII 4064 Magnetic Train Tracks，极角排序的统计问题，补集思想。
UVA & &11704 Caper pizza
POJ 2280 & &Amphiphilic Carbon Molecules，极角排序相当巧妙地解决了这个问题。
2.3 扫描线算法
扫描线算法，需要使用到平衡树辅助，写起来比较复杂（对于本菜而言）。关于平衡树，我建议是直接使用STL的set或map。所以你需要掌握一些C++的知识，才能够看懂一份使用了map与set的代码。当年学习OI牛的代码我看得很纠结。不过只要理解了“事件点”这一个概念后就比较好办了。
HDU & &3124 & &Moonmist & & & &二分+扫描线。最近圆对，不存在改编最近点对的方法。不过当时数据弱，很多人乱搞过了
POJ & &2927 & &Coneology & & & &平衡树+扫描线，与上题类似。
下面两个题目都是关于多边形的扫描线算法，关于平面上许多凸多边形套了多少层的问题。
CII & &4125 & &Painter ，这个是Final题，比较简单，是判断三角形嵌套层数的。
UVA & & & &11759 & &IBM Fencing，上题是三角形，这题是多边形，稍稍难了一点。不过理解好扫描线算法的话应该没有问题。
2.4 其他题目
POJ & &3528 Ultimate Weapon，模板化的三维凸包。知道几个三维有向体积的概念即可比较容易理解三维凸包的算法。三维凸包算法又是一种增量算法。
三。不确定算法/极值问题
POJ 3301 & &Texas Trip & &，算是一种模拟退火求极值的问题，通过平面旋转找到最佳答案。
SPOJ 4409 Circle vs Triangle(AREA1)，也是模拟退火
UVA 11562 Hard Evidence，应用三分极值法求极值。
四。传统几何、公式题
UVA有一个名叫Shahriar Manzoor喜欢出这些题目，喜欢这类题目的同志可以研究一本名叫《近代欧式几何学》的书。不过这些题目一般中学几何知识能够解决。
CII 4413 & &Triangle Hazard，梅涅劳斯定理，想不到SCNU校赛出到了
UVA & & 11524 & &InCricle，三角形内切圆性质联立海伦公式
CII 4714 & &In-circles Again，还是公式推导
POJ & &2208 Pyramids，欧拉四面体公式
五。几何结合其他算法，麻烦题
HDU & &2297 Run，百度杯的题目，利用到了zzy的半平面交的极角排序思想。
CII 4448 Conduit Packing，问一个大圆能否放下四个小圆。颇为变态的Final题，算法都很基础，就是二分一个答案，枚举两个已知圆，求与已知的两圆公切的第三个圆，枚举放置的位置……关键是不好想。
CII 4510 Slalom 几何+最短路
UVA & &11422 Escaping from Fractal Bacterium & &，麻烦题，主要还是向量旋转。
HDU & &3228 Island Explorer，利用了最小生成树的性质。
CII 4499 Camera in the Museum，有关圆形处理的，很不错的题目。
CII 2395 Jacquard Circuits，Pick公式的应用
POJ 3747 Scout YYF II，又是一个几何问题，需要猜想一下。
POJ 3336 ACM Underground，几何预处理，并查集
CII 4428 Solar Eclipse，也是不错的题目，涉及圆的问题
CII 4206 Magic Rings，dancing links解重复覆盖问题，二分，百度杯也有个类似的题目。
POJ 1263 & &Reflections，与下面一个题目都是一类光线在球面上反射问题。解决方法是解析几何，参数方程，向量旋转等等。
CII 4161 Spherical Mirrors，上面题目的三维版本。
POJ 3521 Geometric Map，复杂的预处理，可以用于自虐
CII 3270 Simplified GSM Network & &虽然有着V图的模型，但是规模小，所以无须出动V图算法，用半平面交即可。变态级的V图算法可以咨询三鲜教主。
CII 4617 Simple Polygon，平面上有一堆点，叫你用一笔画把这些点连起来，连成一个闭合的简单多边形，线不允许出现相交。改造一下凸包算法即可。
当然，除了上述的题目外，还有许多比较精彩的计算几何题目等待大家发掘。
参考知识库
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第75炼几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题：①若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率②若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系①可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大②若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，为钝角（再转为向量：；若点在圆上，则为直角（）；若点在圆外，则为锐角（）（3）三点共线问题①通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线②通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：，则共线；（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点，则的重心（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：在的角平分线上（4）是以为邻边的平行四边形的顶点（5）是以为邻边的菱形的顶点：在垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：，二、典型例题：例1：如图：分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，是的等差中项，是的等比中项（1）求椭圆的方程（2）已知是椭圆上异于的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线，并交直线于点。证明：三点共线解：（1）依题意可得：是的等差中项是的等比中项椭圆方程为：（2）由（1）可得：设，设，联立直线与椭圆方程可得：另一方面，因为，联立方程：三点共线例2：已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）椭圆方程为：（2）设，由（1）可得：为△的垂心设由为△的垂心可得：①因为在直线上，代入①可得：即②考虑联立方程：得．,．代入②可得：解得：或当时，△不存在，故舍去当时，所求直线存在，直线的方程为小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例3：如图，椭圆的一个焦点是，为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点，若直线绕点任意转动，恒有,求的取值范围.解：（1）由图可得： 由正三角形性质可得：
椭圆方程为：（2）设，为钝角联立直线与椭圆方程：，整理可得：恒成立即恒成立解得：的取值范围是例4：设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为（1）求椭圆的方程；（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内解：（1）依题意可得，且到右焦点距离的最小值为可解得：椭圆方程为（2）思路：若要证在以为直径的圆内，只需证明为钝角，即为锐角，从而只需证明，因为坐标可求，所以只要设出直线（斜率为），联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标，从而可用表示。即可判断的符号，进而完成证明解：由（1）可得，设直线的斜率分别为，，则联立与椭圆方程可得：，消去可得：，即设，因为在直线上，所以，即为锐角，为钝角在以为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，与椭圆的交点为，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点，设，不妨设则设考虑联立直线与抛物线方程：，消去可得：①联立直线与椭圆方程：，整理可得：②由①②可得：，解得：所以存在满足条件的直线，其方程为：例6：在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点（1）求抛物线的方程（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解：（1）由准线方程可得：抛物线方程：（2）设切点，抛物线为切线斜率为切线方程为：，代入及可得：，解得：（舍）或设共线且在轴上联立和抛物线方程：，整理可得：再联立直线方程：例7：在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足∥，且（1）求的顶点的轨迹的方程（2）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围解：（1）设由是的重心可得：由轴上一点满足平行关系，可得由可得：化简可得：的轨迹的方程为：（2）四边形为平行四边形设在椭圆上①因为在椭圆上，所以，代入①可得：②联立方程可得：代入②可得：有两不等实根可得：，即，代入另一方面：或例8：已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点（1）求椭圆的方程（2）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解（1）椭圆方程化为：过设直线联立直线与椭圆方程：消去可得：整理可得：与椭圆相切于椭圆方程为：，且可解得（2）思路：设直线为，，由（1）可得：，再由可知，若要求得（或证明不存在满足条件的），则可通过等式列出关于的方程。对于，尽管可以用两点间距离公式表示出，但运算较为复杂。观察图形特点可知共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为同向，所以。写出的坐标即可进行坐标运算，然后再联立与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于的方程，求解即可解：由题意可知直线斜率存在，所以设直线由（1）可得：共线且同向联立直线与椭圆方程：消去并整理可得：，代入，可得：可解得：，另一方面，若方程有两不等实根则解得:符合题意直线的方程为：，即：或例9：设椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴与点，且（1）求椭圆的离心率（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意设由可得：（2）由（1）可得：的外接圆的直径为，半径设为，圆心由圆与直线相切可得：解得：椭圆方程为（3）由（2）得：设直线设，若为邻边的平行四边形是菱形则为垂直平分线上的点设中点的中垂线方程为：，即代入可得：联立方程：所以存在满足题意的，且的取值范围是例10：已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且（1）求抛物线的方程（2）过的直线与抛物线相交于两点，若垂直平分线与相交于两点，且四点在同一个圆上，求的方程解：（1）设，可的且解得抛物线（2）由（1）可得可设直线联立方程设，则有的中点且由直线可得的斜率为设整理可得：与联立消去可得：设的中点，因为共圆，所以整理后可得：的方程为：或
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