解方程 x^3 +8x^2 -19x+10＝0
x^3 +8x^2 -19x+10＝0x^3-x^2+9x^2-19x+10=0x^2(x-1)+(x-1)(9x-10)=0(x-1)(x^2+9x-10)=0(x-1)(x-1)(x+10)=0解得x=1或x=-10
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扫描下载二维码图2；由图2；可知：S?ADF?S?ECF?S?BDE?S?A；x(1?y)?y(1?z)?z(1?x)?1；2.2构造复数；复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造；例6.；证从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左；?例6中就是构造了复数，再利用复数的基本性质，让；2.3构造线性方程组；a1；a2；例7.计算行列式Dn?；??；an；a12
可知：S?ADF?S?ECF?S?BDE?S?ABC?
x(1?y)?y(1?z)?z(1?x)?1。 上例中构造了一个三角形，然后很直观的利用几何图形，把数的关系转换成形的问题，使其直观化。解题时要观形思数，由数想形。
复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题。虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。
从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1?x?yi， 又注意到Z1?Z2?Z3?Z4?2?2i，Z2?x?(1?y)i，Z3?1?x?yi ，Z4?1?x?(1?y)i 模的和，于是由 Z1?Z2?Z3?Z4?Z1?Z2?Z3?Z4可得
?例6中就是构造了复数，再利用复数的基本性质，让原问题轻松化解。
构造线性方程组
例7.计算行列式Dn?
a12?a1n?1a22?a2n?1???an2?ann?1
的值. ?ann
?x1?a1x2?a12x3???a1n?1xn?1?a1n?2n?1n?x1?a2x2?a2x3???a2xn?1?a2
构造线性方程组?
2n?1n??x1?anx2?anx3???anxn?1?an
则当a1,a2,?,an中有两个相等时，Dn?0；当a1,a2,?,an互不相等时，由Vandermonde行列式可知：方程组有唯一解。其中xn?
再做n次方程tn?xntn?1?xn?1tn?2?…?x2t?x1?0
由（1）知（3）存在n个不同的根a1,a2,?,an，由韦达定理知：xn?a1?a2?…?an 故Dn??a1?a2?…?an???ai?aj?
构造法在解决几何问题中的应用 3.1
构造多元函数
在几何问题中,我们往往会遇到求夹角的最小(大)值和求线段的最短(长)距离等问题,如果仅仅从几何方面去思考,往往使问题难以解决,倘若能够灵活地运用构造法,问题则会趋于简单。
例8.抛物面z2?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆,求原点到椭圆的最长与最短距离.
设?x,y,z?为椭圆上任意一点，依题意有u?d2?x2?y2?z2，
?z2?x2?y2?0
而且有?，利用拉格朗日乘数法，构造一个拉格朗日函数
x?y?z?1?0?
F(x,y,z)?x2?y2?z2??1(z2?x2?y2)??2(x?y?z?1)（?1,?2为待定常数）
由方程组?Fz
2??2y?2?1y??2?0
?2z?2?1z??2?0
解得?y??2?z2?x2?y2?0
x?y?z?1?0?
?2x?2?1x??2?0
2分别得到可能的极点为
?1?111????2???2及??2??2 22?
?分别代入u?d2?x2?y2?
z2中有u1?d12?9?
所以原点到椭圆的最短距离为
?1和点A?3,0?，点B在双曲线C的右支上运动，以AB例9.已知双曲线C：?
为边作正三角形ABP，如图3所示，且A,B,P三点按逆时针排列，求点P的轨迹.
此题如果按常用的求轨迹的方法去求解，计算量相当大。注意到AB可由AP
按顺时针旋转得到，所以我们应该想到将坐标平面看作复平面，利用复数的相关几何意义来求解。
根据双曲线的定义，双曲线C的复数方程为：z?5?z?5?8
（1） 设点B对应的复数为z0，点P对应的复数为z,又点A对应的复数为3，于是zAP?z?3，
??????由zAB?zAP??cos(?)?isin????
?1?1????z?z?3?可得z0?3??
??0?22???22???3
（2） ????
又点B在双曲线上，将（2）代入（1
），整理的z??1??z?4?8 所以点P
的轨迹是以?1,?
和为焦点，长轴长为8的双曲线的右支.
构造法在解决三角函数问题中的应用 4.1
例10.已知锐角?、?、?满足sin2
求证：???????.
已知条件可视为关于sin
的一元二次方程，由题意可得： 2
sin)sin?(sin2?sin2?1)?0 22222
)(1?sin2) 22
因为?、?、?是锐角，所以
也均为锐角，由一元二次方程求根公式得： 222sin
?0，再由0?
，故???????
例11.在斜?ABC中，证明sinAsinBsinC&sinA+sinB+sinC?2.
构造函数f(x)?(sinAsinB?1)x?2?sinA?sinB，x?(01)
则f(1)??1?sinAsinB?2?sinA?sinB?(1?sinA)(1?sinB)
又因为在?ABC中，sinA&1,sinB&1，所以(1?sinA)(1?sinB)??，即f(1)?0 而sinAsinB-1&0，所以f(x)在(0，1)上单调递减
1),故f(sinC)?0，即 因此，f(x)在(0，1)上恒有f(x)?0.又因为在?ABC中，sinC?(0，
f(sinC)?(sinAsinB?1)sinC?2?sinA?sinB?0
整理得：sinAsinBsinC&sinA+sinB+sinC?2，故得证。
构造不等式
sin3?cos3?
??1，求证： 例12.设?、?是锐角，且满足
cos?sin?cos?sin?
?)(??1)?0. cos?sin?cos?sin?
cos?，sin?，cos?均大于0
因为?、?是锐角，则sin?，
sin3?sin3?2
所以??sin???3sin2?
sin?sin?cos3?cos3?
??cos2??3cos2?
?sin3?cos3??2222
由①+②得，2??+sin??cos??3sin??cos?? ????
cos???sin?即得3?3，于是①，②等号同时成立
sin3?cos3?2
?cos3?，所以有sin??sin?且cos??cos? ?sin?且即有
cos?sin?cos?sin?cos?sin?
??0，所以(?)(??1)?0，故得证。
cos?sin?cos?sin?cos?sin?
cos??cos??，求tan(???). 例13.已知sin??sin??，43
构造复数Z1?cos??isin?，Z2?cos??isin?，则Z1?Z2??i
所以1?2??i.
又|Z1|?1，|Z2|?1所以1?
11Z?Z21111
??1??i ，代入①式则，2?
Z1Z2Z1Z234Z1Z2
所以Z1Z2???i
又Z1Z2?cos(???)?isin(???)所以sin(???)?因此，tan(???)?
sin(???)24
247，cos(???)? 2525
由此可知，作为数学中解决问题的主要方法之一，构造法具有以下三个特点：在构造性思维过程中，常常要伴随观察、分析、综合、联想、猜想等思维活动而进行；构造性思维有时体现在解决问题的全过程中，也有时体现在解决问题的关键环节或步骤中；在构造的“框架”上，必须在有限的步骤内能具体实现。
构造法的应用还有许多，须针对不同的数学问题灵活采用其相应的构造法，这里不能一一枚举，但通过以上几例可见，构造法在解题应用中不但具有把问题由繁化简，由难化易，由抽象化具体的转化之功能，而且还具有保证解答正确的“保险”之功能，因此构造法是解决数学问题应用甚广的一种方法。在解决数学问题中若能巧妙恰当地运用构造法，则可以达到事半功倍的效果。
最后，特别感谢应用数学学院副教授邵毅书记对本论文耐心的指导，新锐的启发，认真的审阅。感谢您在百忙之中对本毕业论文从选题到写作再到最后定稿所付出的辛劳！在此向邵毅书记表示深深的感谢和崇高的敬意！
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雨止tia209
3x^2-17x+10=0(3x-2)(x-5)=0x1=2/3 x2=56x^2+x-35=0(3x-7)(2x+5)=0x1=7/3 x2=-5/2
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