若定义在区间（-1,0）内的函数 f(x)=log以2a为底（x+1）满足f(x)大于0，则实数a的取值范围。_百度知道
若定义在区间（-1,0）内的函数 f(x)=log以2a为底（x+1）满足f(x)大于0，则实数a的取值范围。
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& 学年高中数学 第二章2.2.1《对数与对数运算》讲解与例题 新人教A版必修1
学年高中数学 第二章2.2.1《对数与对数运算》讲解与例题 新人教A版必修1
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资料概述与简介
2.2.1　对数与对数运算
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
在对数logaN中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因
(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；
(2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；
(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；
(4)由ax＝N，a＞0知N恒大于0．
(2)特殊对数
名称 记法 说明
常用对数 lg N 以10为底的对数，并把log10N记为lg N
自然对数 ln N 以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N
(3)对数的性质
根据对数的概念，对数logaN(a＞0，且a≠1)具有以下性质：
零和负数没有对数，即N＞0 当a＞0，且a≠1时，ax＞0，即N＝ax＞0，所以对数logaN只有在N＞0时才有意义
1的对数等于0，即loga1＝0 因为a0＝1，由对数的定义得0＝loga1
底的对数等于1，即logaa＝1 因为a1＝a，由对数的定义得1＝logaa
(4)对数与指数的互化关系
当a＞0，且a≠1时．如图所示：
比如：43＝643＝log464；log525＝252＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．
对指数与对数的互化关系的理解　(1)由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：
式子 名称 意义
指数式ax＝N 底数 指数 幂 a的x次幂等于N
对数式logaN＝x 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x
(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式．
指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．
【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．与＝C．log39＝2与＝3
D．log55＝1与51＝5
解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或＝3→log93＝．故选C．
【例1－2】完成下表指数式与对数式的转换．
题号 指数式 对数式
(1) 103＝1 000
解析：(1)103＝1 000lg 1 000＝3．
(2)log210＝x2x＝10．
(3)e3＝xln x＝3．
答案：(1)lg 1 000＝3；(2)2x＝10；(3)ln x＝3．
【例1－3】求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；
(3)logx27＝；(4)x＝log84．
解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3．∴x＝103＝1 000．
(3)∵logx27＝，∴＝27．∴x＝＝34＝81．
(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝．
2．对数的运算性质
(1)对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(nR)．
对对数的运算性质的理解　(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．
(2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系
式子 ab＝N logaN＝b
性质 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN
＝am－n ＝logaM－logaN
(am)n＝amn logaMn＝nlogaM
对数运算性质推导的基本方法
利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，于是MN＝am·an＝am＋n，因此loga(MN)＝logaM＋logaN＝m＋n．
【例2－1】若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，nN*，则下列各式：
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga(xy)＝logax·logay；④；
⑤(logax)n＝logaxn；⑥；
其中式子成立的个数为(　　)
序号 对错 理由
① × 例如log24·log22＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2
② × 例如log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2
③ × 例如log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2≠3
④ × 例如＝2≠＝1
⑤ × 例如(log24)3＝8≠log243＝6
⑥ √ ＝－logax－1＝－(－logax)＝logax
应用对数的运算性质常见的错误　常见的错误有：loga(M±N)＝logaM±logaN；
loga(M·N)＝logaM·logaN；
logaMn＝(logaM)n．
【例2－2】计算：(1)2log122＋log123；(2)lg 500－lg 5；
(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求．
解：(1)原式＝log1222＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1．
(2)原式＝＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2．
(3)∵＝＝(lg 5＋lg 9)＝＝(1－lg 2＋2lg 3)，
又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，
∴＝(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6．
对数的运算性质的作用　(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．
3．换底公式
(1)公式logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．
(2)公式推导：
设，则logcb＝xlogca＝logcax，
∴b＝ax．∴x＝logab．∴＝logab．
(3)公式的作用
换底公式的作用在于把以a为底的对数，换成了以c为底的对数，特别有：，，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值．
(4)换底公式的三个推论：①(a，N＞0，且a≠1，m≠0，m，nR)；②logab＝(a，b＞0，且a，b≠1)；③logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c＞0，且a，b，c≠1，d＞0)．
证明：①logamNn＝．
②logab＝．
③logab·logbc·logcd＝＝logad．
【例3－1】的值是(　　)
解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即．
(思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，
【例3－2】若log34·log48·log8m＝log416，则m等于(　　)
解析：∵log34·log48·log8m＝log416，
∴＝log442＝2，化简得
lg m＝2lg 3＝lg 9．∴m＝9．
4．对数定义中隐含条件的应用
根据对数的定义，对数符号logaN中实数a和N满足的条件是底数a是不等于1的正实数，真数N是正实数，即
因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．
对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是__________．
解析：根据对数的定义，得
解得－2＜a＜0或0＜a＜1．
答案：(－2,0)(0,1)
【例4－2】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________．
解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3．
验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．
所以x＝－3．
答案：x＝－35．对数的化简、求值问题
应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．
(1)同底数的对数式的化简、求值
一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．
如＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2．
二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．
如，＋log35＝＝log39＝2．
三是“拆”与“收”相结合．
(2)不同底数的对数式的化简、求值
常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．
对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N，lg 2＋lg 5＝1，logab·logba＝1等．【例5－1】化简求值：
(1)4lg 2＋3lg 5－；(2)；
(3)2log32－＋log38－；(4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．
分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用．
解：(1)原式＝＝lg 104＝4．
＝－3log32×log23＝－3．
(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3
＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1．
(4)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)]＝log2[(1＋)2－3]
＝log2(3＋－3)＝．
【例5－2】计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－．
分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算．观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数．
解：原式＝
＝．6．条件求值问题
对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．
例如：设x＝log23，求的值时，我们可由x＝log23，求出2x＝3,2－x＝，然后将它们代入，可得．【例6】已知3a＝4b＝36，求的值．
解：(方法一)由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436．
故＝2log363＋log364＝log369＋log364
＝log3636＝1．
(方法二)由3a＝4b＝36，得log63a＝log64b＝log636，
即alog63＝blog64＝2．
于是＝log63，＝log62，＝log63＋log62＝log66＝1．
与对数式有关的求值问题的解决方法　(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数
(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)用对数logax和logby等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．
对数的运算性质总结：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
loga(M·N)＝logaM＋logaN；
＝logaM－logaN；
logaMn＝nlogaM(nR)．
换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．【例7－1】已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　)
A．　　　B．
解析：由换底公式得
【例7－2】已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log185＝b，再利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．
解：(方法一)∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b．
于是log3645＝
(方法二)∵log189＝a，且18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18．
∴log3645＝．
8．与对数有关的方程的求解问题
关于对数的方程有三类：
第一类是形如关于x的方程logaf(x)＝b，通常将其化为指数式f(x)＝ab，这样解关于x的方程f(x)＝ab即可，最后要注意验根．例如：解方程，将其化为指数式为，又，则，所以x＝1，经检验x＝1是原方程的根．
第二类是形如关于x的方程logf(x)n＝b，通常将其化为指数式fb(x)＝n，这样解关于x的方程fb(x)＝n即可，最后要注意验根．例如，解方程log(1－x)4＝2，将其化为指数式为(1－x)2＝4，解得x＝3或x＝－1，经检验x＝3是增根，原方程的根是x＝－1．
第三类是形如关于x的方程f(logax)＝0，通常利用换元法，设logax＝t，转化为解方程f(t)＝0得t＝p的值，再解方程logax＝p，化为指数式则x＝ap，最后要注意验根．
【例8－1】已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求的值．
解：由已知，可得lg(xy)＝lg(x－2y)2，从而有xy＝(x－2y)2，整理得x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0．从而可得x＝y或x＝4y．
但由x＞0，y＞0，x－2y＞0，可得x＞2y＞0，于是x＝y应舍去．故x＝4y，即．因此＝4．
解对数方程易出现的错误　在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误．例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0．
【例8－2】解方程lg2x－lg x2－3＝0．
解：原方程可化为lg2x－2lg x－3＝0．
设lg x＝t，则有t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3，
于是lg x＝－1或3，解得或1 000．
经检验，1 000均符合题意，
因此原方程的根是，或x＝1 000．
lg2x与lg x2的区别　本题中，易混淆lg2x和lg x2的区别，lg2x表示lg x的平方，即lg2x＝(lg x)2，而lg x2＝2lg x．
9．对数运算的实际应用
对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)
解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，
则a(1－60%)n＜0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n＜0.001，
两边取常用对数得n·lg 0.4＜lg 0.001，
所以n＞≈7.5．
故至少需要抽8次．
求数值较大的指数的方法　利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算．
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设0小于a小于b小于1，且a+b=1,给出下列结论（1）log以2为底（b-a)小于0（2）loga+logb大于1
（ 3）loga+logb小于-2（4）log(b/a+a/b)小于1其中正确的结论序号为 ——（请给出解释）谢谢
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所以（1）对（2）lga+lgb=lgab,ab小于1大于0 所以(2)错 (3)ab大于0.，小于四分之一.，均值不等式.（1）b-a小于1大于0，log2为底在0到1上都小于0
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又由0&lt（1）由a+b=1得b-a=1-2a;1得
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已知函数f(x)=log以(a^2-1)为底的(x^2-2x+3)的对数，当x属于【0，3】，恒有f（x）&-1，则a属于
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