如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB=1：5，OB=OC，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． - 跟谁学
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跟谁学学生版:genshuixue_student精品好课等你领在线咨询下载客户端关注微信公众号&&&分类：如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB=1：5，OB=OC，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB=1：5，OB=OC，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．科目:难易度:最佳答案此时正方形EFGH的边长为。解析
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关注我们官方微信关于跟谁学服务支持帮助中心如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次-题库-e学大
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如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次-题库-e学大
【解答题】如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．答案解析相关微课程上一题：下一题：发现相似题
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（2011o盐城）如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
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（1）∵一次函数y=-x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴，解得：，∴A点坐标为：（3，4）；∵y=-x+7=0，解得：x=7，∴B点坐标为：（7，0）．（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4时，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，∴S梯形ACOB-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=8，∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，∴t2-8t+12=0，解得：t1=2，t2=6（舍去），当4≤t＜7时，S△APR=AP×OC=2（7-t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；综上所述，当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；②存在．延长CA到直线l交于一点D，当l与AB相交于Q，∵一次函数y=-x+7与x轴交于（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，∴NO=OB，∴∠OBN=∠ONB=45°，∵直线l∥y轴，∴RQ=RB，CD⊥L，当0≤t＜4时，如图1，RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4-t），AC=3，PC=4-t，∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ，∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2，∴9+（4-t）2=2（4-t）2，解得：t1=1，t2=7（舍去），当AP=PQ时 32+（4-t）2=（7-t）2，解得t=4 （舍去）&当PQ=AQ时，2（4-t）2=（7-t）2，解得t1=1+3
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（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；（2）①利用S梯形ACOB-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN=∠ONB=45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可．
本题考点：
一次函数综合题．
考点点评：
此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键．
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（2015乐山）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=&k/x的图象交于A、B两点
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（2015乐山）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=&k/x的图象交于A、B两点
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 16:09:01
（2015乐山）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= k/x的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2． （1）求k的值； （2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴OA=OB， ∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1， 又∵A是反比例函数y=kx图象上的点，且AC⊥x轴于点C， ∴△AOC的面积=12|k|， ∴12|k|=1， ∵k＞0， ∴k=2． 故这个反比代入上式得：b=52， ∴直线AD的关系式为y=-12x+52， 令y=0得：x=5， ∴D（5，0）； ②当BD⊥AB时，如图2，
设直线BD的关系式为y=-12x+b， 将B（-1，-2）代入上式得：b=-52， ∴直线AD的关系式为y=-12x-52， 令y=0得：x=-5， ∴D（-5，比例函数的解析式为y=2x； （2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形． 将y=2x与y=2x联立成方程组得： y＝2xy＝2x， 解得：x1＝1y1＝2，x2＝-1y2＝-2， ∴A（1，2），B（-1，-2）， ①当AD⊥AB时，如图1，
设直线AD的关系式为y=-12x+b， 将A（1，2）③当AD⊥BD时，如图3，
∵O为线段AB的中点， ∴OD=12AB=OA， ∵A（1，2）， ∴OC=1，AC=2， 由勾股定理得：OA=OC2+AC2=5， ∴OD=5， ∴D（5，0）． 故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（-5，0）或（5，0）．
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　　网友评论：（只显示最新10条。评论内容只代表网友观点，与本站立场无关！）（2012o沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形外角性质，易证∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解；（4）本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标，要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比．如图④所示，首先证明点E为DF的中点，然后作x轴的平行线FN，则△EDG≌△EFN，从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE：NE；过点P作x轴垂线，可依次求出线段PT、PM的长度，从而求得点P的纵坐标；最后解一元二次方程，确定点P的坐标．
解：（1）如图①，∵A（-2，0）B（0，2）∴OA=OB=2，∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2，∵OC=AB∴OC=2，即C（0，2）又∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点则可得，解得．∴抛物线的表达式为y=-x2-x+2．（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，∴∠BEF=∠AOE．（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°又∵∠AOB=90°则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立．②如图2，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO，∴∠BEF=∠BAO=45° 又∵由（2）可知，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO，∴BF=EF，EF=BF=OB=×2=1& ∴E（-1，1）③如图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H在△AOE和△BEF中，∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF∴△AOE≌△BEF，∴BE=AO=2∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，∴∠AOB=∠EHB∴EH∥AO，∴∠BEH=∠BAO=45°在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°∴EH=BH=BEcos45°=2×=∴OH=OB-BH=2-∴E（-，2-）综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（-1，1）或E（-，2-）．（4）假设存在这样的点P．当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（-，2-）．如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2-．由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF，过点F作FN∥x轴，交PG于点N．易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG，依题意，可得S△EPF=（2+1）S△EDG=（2+1）S△EFN，∴PE：NE=（2+1）：1．过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2-．∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=2+1，∴PT=（2+1）oST=（2+1）（2-）=3-2；∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2，∴-x2-x+2=2，解得x1=0，x2=-1，∴P点坐标为（0，2）或（-1，2）．综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍；点P的坐标为（0，2）或（-1，2）．