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关于幂级数的研究
作者：佚名&&&&
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&从级数作为研究函数的工具这个意义上讲，在各种有力的解析工具中按其简单.灵活.明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的.容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质――尽管只是近似的研究。特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。&&&用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幂级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幂――首先是非整数次幂）。&&&我们称形如 ①的级数为幂级数；其中 是任意的给定的实数， ，n=0,1,2,3…………称为幂级数的系数。作变量X=x- ,则有上式得 ②，显然，级数②的性质研究清楚后，也就弄清楚级数①的性质。&&&可以先复习幂级数的一些分析性质：&&&定理1 （阿贝尔第一定理）&&&1） 若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在 都收敛。&&&2） 若幂级数①在x1发散，则幂级数①在 都发散。&&&定理2：有幂级数①，即 ，若&&&&&&&则幂级数①的收敛半径为&&&&&&&定理3（阿贝尔第二定理）&&&若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间 都一致收敛。&&&定理4 若幂级数 与 的收敛半径分别是正数 r1与r2，则r1= r2&&&定理5 若幂级数 的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间 连续。&&&定理6 若幂级数 的收敛半径r>0,则 它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即&&&&&&&定理7 若幂级数 的收敛半径r>0,则 则它的和函数在区间 (-r , r) 可导，且可逐项微分，即 ，有&&&&&&&我们知道,幂级数的收敛域总是某个区间(可以是开的\闭的或半开的),此区间以―r和r为端点.函数f(x)应当具有什么样的性质才能在该区间上有收敛的展开式:&&&&f(x)= (1)&&&呢?我们知道,函数f(x)当然应当在开区间(--r,r)上连续,但这还远远不够,我们首先得证明当---r<x<r 时函数f(x)应当在点x处有导数,同时我们还要证明:该导数 可以表示为幂级数&&&&(2)&&&它是由上面给出的级数通过逐项求导而得出的,并且它也是在开区间(―r , r)上收敛.在证明中需要始终注意到无论f(x)的导数存在性,或者级数(2)的收敛性,我们都没有预先给定,因此这两件事实都是应当在讨论过程中证明的.&&&这样一来,以幂级数来表出的函数应该不仅连续而且也应可微.但这还是小事.我们刚刚看到 是收敛于|x| < r的幂级数来表示的;根据刚刚证明的定理,在开区间(--r, r)上处处都应存在着二阶导数 继续讨论下去,我们就的出结论:在某个区间内以幂级数表示的函数应当在该区间的每一个内点处都有任意阶的导数;而且,每一个导数都可以表示成同一个开区间上的幂级数,此级数是从已知的级数重复进行相应次数的逐项求导而得到的.因此&&&&f(x) = , = &&&且一般地有&&&&&&&在此式中令x=0,我们就得到&&&&&&&由此得&&&&&&&这样我们也就同时证明了函数的幂级数展开的唯一性,找出了该展开式的系数通过这个函数在x=0时的各阶导数值表达的式子.这也即是说一般地有:如果函数f(x)能够展开为幂级数,则此展开式的形状一定是&&&&(3)&&&这即是所谓 Madaurin级数.令 并且把它们当作h的函数展开,我们就得到&&&&&&&再回到原来的记号,我们得到更一般的Taylor级数:&&&&(4)&&&把所有这些事实同我们在导数知识中说到过的Taylor公式和Madaurin公式进行比较,问题就会变得特别地明了.在那里我们没有讲到无穷级数,我们把&&&&&&&称为已知的Madaurin公式的余式并研究了其当x为无穷小时的性质.现在我们看到了就是这个量的性质决定了函数f(x)展开为幂级数中我们假设n是固定的而让x趋于零,现在则相反地我们应当选定某一个x值并且固定它,而令数n无限增加.条件&&&&&&&很显然地是公式(4)成立的必要而且充分的条件.通常,一个函数是否可以展开为Madaurin级数,是要通过余项的研究才能证明的,而余项又有多种形式,从中又要选定某一种.这些余项形式中,有一些我们在导数中已经讲过.这些形式中的哪一个对此目的而言最为方便------这当然完全取决于我们想要展开的函数的性质.&&&正如我们在上面所看到的,想在某个给定区间上展开为幂级数的函数,应当在该区间的每一个内点处具有任何阶的导数.反之,因为具备这些性质的每一个函数在该区间的每一点a附近都可以形式地写出Taylor级数(4)来,则就产生 一个诱人的假设:各阶导数存在这一条件对于将某一函数展开为幂级数也会是充分的.但是,这是不对的.首先,可能有这样的情况:对于已知函数形式地写出的Maclaurin级数(3)对任何 都是发散的.但是更加有意思的是这样一种情况,对某个函数所建立的Maclaurin级数是收敛的,但它却不可能完全不是以比函数为和,而且是以另一个函数为和.这种情形的一个例子已经成立经典的例子,它就是函数&&&&&&&容易算出,当x=0时函数本身以及它的各阶导数都变为零,因此起Maclaurin级数的全部系数都等于零,所以这级数的和对x的任意值都为0,而不是如上式所表示的函数.&&&顺便说一下,由此的出,我们已经看到,已知函数展开为幂级数的方法只有一种,但反过来任何收敛的幂级数就决不只一个函数的Maclaurin级数,而是无穷多个函数的Maclaurin级数.实际上,设f(x)是某个幂级数的和,该级数正如我们看到的,是f(x)的Maclaurin级数,很显然地,这时函数族 中所有的函数都以这个级数为Maclaurin级数(其中 为任意实数,而 则是我们上面定义的函数)当然,这族函数中只有一个能用此级数 表示(即为该级数之和) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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电话（传真）：等比级数在幂级数与概率计算中的应用
等比级数在幂级数与概率计算中的应用
编辑:悄缘&
　　等比级数，又称等比数列的前n项和，几何级数，多使用于台湾地区。等比级数公式：S=a+aq+aq^2+&&+aq^(n-1)=a(1-q^n)/(1-q)
　　摘要：等比级数是高等数学的教学重点之一，在函数的幂级数求和函数以及概率的某些计算中起着重要的作用。介绍了利用等比级数求幂级数和函数以及概率计算的常见情形，并给出了具体的例子。
　　关键词：等比级数;概率计算;幂级数
　　等比级数是收敛级数中最著名的一个级数。阿贝尔曾经指出&除了几何级数之外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数&。等比级数的增长速度令人震惊，有一个关于古波斯国王的传说，他对一种新近发明的象棋游戏留下深刻印象，以至于他要召见那个发明人而且以皇宫的财富相赠。当这个发明人DD一个贫困但却十分精通数学的农民DD被国王召见时，他只要求在棋盘的第一个方格里放一粒麦粒，第二个方格里放两粒麦粒，第三个方格里放四里麦粒，如此继续下去，直到整个棋盘都被覆盖上为止。国王被这种朴素的要求所震惊，他立即命令拿来一袋小麦，他的仆人们开始耐心地在棋盘上放置麦粒，令他们十分吃惊的是，他们很快就发现袋子里的麦粒甚至整个王国的麦粒也不足以完成这项任务，因为级数1，2，22，23，24，&的第64项是一个十分大的一个数：263=4775808.如果我们设法把如此多的麦粒DD假设每个麦粒直径仅一毫米DD放在一条在直线上，这条线将长约两光年。
　　等比级数虽然是一个重要级数，但笔者多年的教学发现，学生在直接应用级数时还可以，但应用到幂级数就不能把变量x看做常数，看不出两者关系。同时，在概率中涉及到很多计算，这其中有很多是跟等比级数有关，学生缺乏这种把知识融会贯通的能力;而在以往的教学中，有些教师对这个重视不够，而有的老师只是单独专注于自己的学科(微积分或概率)。基于这种情况下，笔者通过典型例题，阐述它们的关系，使学生达到活学活用。
　　等比级数又称为几何级数，&
　　SymboleB@ n=0aqn=a+aq+aq2+&+aqn+&(a&0)。
　　若q&1，有limn&
　　SymboleB@ sn不存在。综上所述，当q&1时，等比级数收敛，且a+aq+aq2+&+aqn+&=a1-q。
　　一、等比级数线性运算性质的直接应用
　　例1：把一个球从a米高下落到地平面上，球每次落下距离h碰到地平面再跳起距离rh，其中r是小于1的正数，求这个球上下的总距离。
　　解：总距离是 s=a+2ar+2ar2+2ar3+&=a+2ar1-r=a(1+r)1-r。
　　若a=6，r=2/3，则总距离是s=a(1+r)1-r=6(1+2/3)1-2/3=30(米)。
　　例2：把循环小数5.232323&表示成两个整数之比。
　　解：5.++231003+&
　　=5+0+11002+&)
　　=5+2;10.99=51899
　　例3：求级数&
　　SymboleB@ )。
　　在收敛域(-1，1)内，有：
　　1+x+x2+x3+&+xn+&=11-x
　　例5：求级数11.3+12.32+13.33+14.34+&+1n.33+&的和。
　　解：所求级数的和是幂级数&
　　SymboleB@ n=1xn-1=11-xx&(-1，1)，两边积分，得：
　　&x0s&#39;(x)dx=&x011-xdx=-ln(1-x)，即s(x)-s(0)=-ln(1-x)。
　　又因s(0)=0，所以s(x)=-ln(1-x)，故所求原级数的和为：
　　s(13)=-ln(1-13)=ln32
　　注：1+x+x2+x3+&+xn+&=11-x，x&(-1，1)，和s&(x)=&
　　SymboleB@ i=1P{X=i}=p+p2+p3+&=1，而由等比级数性质知上式为p1-p=1，解得p=12。
　　例7：已知某自动生产线一旦出现不合格品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率是0.1，如果用X表示两次调整之间生产出的产品数，则求EX。
　　解：X是离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，&
　　P{X=k}=P{调整后生产出的产品前k-1格为合格品，第k个为不合格品}
　　=P{A1&Ak-1Ak}，
　　其中Ai=&第i个生产出的产品为合格品&，Ai相互独立。
　　P(Ai)=0.9，P{X=k}=0.9k-1&0.1
　　EX=SymboleB@ k=1xk)&=0.1&(x1-x)&=0.1(1-x)2
　　把0.9回代，则EX=0.1(1-0.9)2=10。
　　综上所述，学生在应用等比级数时要能&透过现象看本质&，利用好这个级数，对我们求幂函数的和以及好多概率计算起到非常重要的作用。
　　[1]吴赣昌.微积分(经济类)[M].北京：中国人民大学出版社，.
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