一个真正的圆的周长公式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-12-04 04:43 标签： 圆的周长
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圆形周长推导过程!
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在古代这个问题几乎是依赖于对实验的归纳.人们在经验中发现圆的周长与直径有着一个常数的比,并把这个常数叫做圆周率（西方记做π）.于是自然地,圆周长就是C = π * d其中d是圆的直径.后来的古代数学家们就想办法算出这个π的具体值来,早期数学家都用的是类似“割圆术”的方法,也就是用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长逼近圆周长,以期求得圆周率的近似解.割圆术的大致方法在中学的数学教材上就有.然而必须看到,它很大程度上只是计算圆周率的方法,而圆周长是C = π * d似乎已经是事实了,这一方法仅仅是定出π的值来.我们仔细想想就知道这样做有问题,因为他们并没有从逻辑上证明圆的周长确实正比于直径,更进一步说他们甚至对周长的概念也仅是直观上的、非理性的.真正从理论上严密推导圆的周长必须依赖近代的分析数学,包括微积分的使用才行.现在推导圆周长最简洁的办法是用积分.在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2这可以写成参数方程x = r * Cos ty = r * Sin tt∈[0,2π]于是圆周长就是C = ∫√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt,t从0积到2π.结果自然就是C = 2π * r（注：三角函数一般的定义是依赖于圆的周长或面积的,为了避免逻辑上的循环论证,可以把三角函数按收敛的幂级数或积分来定义而不依赖于几何,此时圆周率就不是由圆定义的常数,而是由三角函数周期性得到的常数）如果不需要更多的理论讨论,上面的做法就足够了.当然更确切地,我们或许还需要知道在数学上曲线的周长是如何定义的,以及圆的周长的存在性问题.这里就一时之间说不清了.
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用积分的方法得出，圆其实是一个无限多边形，而其坐标方程就是x^2 + y^2 = r^2用代换法x = r*Cosθy = r*Sinθ而后积分，最后得到的就是2πr,这就是圆的周长
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