在梯形ABCD中,AB平行于CD,M为BC边的中点,且MN垂直于AD于N,求证:Sabcd=MN.AD图
望四刷粉0285
过M作EF垂直AB交AB于E,交DC的延长线于F,因为AB平行于CD,所以,EF垂直CD.所以,角CFM=角BEM=90度,角CMF=角BME,且CM=BM,所以,三角形CMF全等三角形BME,所以,MF=ME=EF/2.S三角形CDM+S三角形ABM=1/2*CD*MF+1/2*AB*ME=1/2（CD*EF/2+AB*EF/2）=1/2*EF/2（CD+AB）=1/2S梯形ABCD.所以,S三角形AMD=1/2S梯形ABCD,即有S梯形ABCD=2S三角形AMD=2*1/2*AD*MN=AD*MN.
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河南中招数学卷集附答案
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2007年河南省高级中等学校招生学业考试试卷 数
注意事项：
1. 本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟. 请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.
2. 答题前将密封线内的项目填写清楚.
题号 一 二 三 总分 16 17 18 19 20 21 22 23
分数 得分 评卷人 一、选择题（每小题3分，共18分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．
1．计算 的结果是 【 】 A．－1 B． 1 C．－3 D． 3
2．使分式 有意义的x的取值范围为 【 】 A． B． C． C．
3．如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，
则∠B的度数为 【 】
A．30° B．50° C．90° D．100°
4．为了某小区居民的用水情况，随机抽查了
10户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（吨） 4 5 6 9
户数 3 4 2 1
则关于这10户家庭的约用水量，下列说法错误的是【 】
A．中位数是5吨
B． 极差是3吨 C．平均数是5.3吨 D．众数是5吨
5．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是 【 】
6．二次函数 的图像可能是 【 】
得分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共27分）
7．的相反数是 ．
8．计算：＝ .
9．写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式 ．
10．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB 65°，则∠P 度．
11．如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥CD，AB 1cm，AD 2cm，CD 4cm，则BC ．
12．已知x为整数，且满足，则x＝ ．
13．将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第
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2013湖北圆中考数学题解析
以下是精品学习网为您推荐的 2013湖北圆中考数学题解析，希望本篇文章对您学习有所帮助。
&2013湖北圆中考数学题解析
一、选择题
1. (2012湖北黄石3分)如图所示，扇形AOB的圆心角为120&，半径为2，则图中阴影部分的面积为【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】扇形面积的计算，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理。
【分析】过点O作OD&AB，
∵&AOB=120&，OA=2，
∴ 。
∴OD= OA= &2=1， 。
∴ ，
∴ 。故选A。
2. (2012湖北黄石3分)如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于
点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当&APB的度数最大时，则&ABP的度数为【 】
A. & B. & C. & D. &
【答案】B。
【考点】切线的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】连接BD，
∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴&ADB=90&。
∵当&APB的度数最大时，点P和D重合，∴&APB=90&。
∵AB=2，AD=1，∴ 。∴&ABP=30&。
∴当&APB的度数最大时，&ABP的度数为30&。故选B。
(2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，在Rt△ABC中，&C=90&，&A=30&，AC=6cm，CD&AB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为【
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【答案】A。
【考点】扇形面积的计算，解直角三角形。
【分析】∵&A=30&，AC=6cm，CD&AB，
∴&B=60&，&BCD=30&，CD=3cm，BD= cm，
∴ 。
∴阴影部分的面积为： cm2。故选A。
4. (2012湖北宜昌3分)已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】直线与圆的位置关系。1419956
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交&hAd
线l和⊙O相离&hAd&r(d为直线与圆的距离，r为圆的半径)。因此，
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，
∵5&3，即：d
5. (2012湖北恩施3分)如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】
A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm
【答案】C。
【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。
【分析】如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC&AB。∴AC=BC= AB
∵OA=5cm，OC=4cm，
∴在Rt△AOC中， 。
∴AB=2AC=6(cm)。故选C。
6. (2012湖北咸宁3分)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为【 】.
A. &2 B. 2&3 C. &2 D. 2&3
【答案】A。
【考点】正多边形和圆，多边形内角和定理，等边三角形的判定和性质，切线的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，扇形面积。
【分析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴&AOB=60&。
又∵OA0OB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2。
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG&AB，
∴OG=OA&sin60&=2& 。
∴ 。故选A。
7. (2012湖北黄冈3分)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD&AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】
A. 8 B. 10 C.16 D.20
【答案】D.
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】连接OC，根据题意，CE= CD=6，BE=2.
在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，∴(x-2)2+62=x2，解得：x=10。
∴直径AB=20。故选D.
8. (2012湖北随州4分)如图，AB是⊙O的直径，若&BAC=350，则么&ADC=【 】
A.350 B.550 C.700 D.1100
【答案】B。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。
【分析】∵AB是⊙O的直径，∴&ACB=90&(直径所对的圆周角是直角)。
∵&BAC=35&，∴&B=90&-&BAC=90&-35&=55&(直角三角形两锐角互余)
∵&B与&ADC是 所对的圆周角，
∴&ADC=&B=55&(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等)。故选B。
9. (2012湖北襄阳3分)△ABC为⊙O的内接三角形，若&AOC=160&，则&ABC的度数是【 】
A.80& B.160& C.100& D.80&或100&
【答案】D。
【考点】圆周角定理。1028458
【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案&ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得&AB&C的度数：
如图，∵&AOC=160&，∴&ABC= &AOC= &160&=80&。
∵&ABC+&AB&C=180&，∴&AB&C=180&&ABC=180&80&=100&。
∴&ABC的度数是：80&或100&。故选D。
15.10. (2012湖北鄂州3分)如下图OA=OB=OC且&ACB=30&，则&AOB的大小是【 】
A.40& B.50& C.60& D.70&
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。
∵ &ACB和&AOB是同弧 所对的圆周角和圆心角，且&ACB=30&，
∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得&AOB=60&。故选C。
二、填空题
1. (2012湖北荆门3分)
如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F.已知A(2，0)，B(1，2)，则tan&FDE=　
【答案】 。
【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。
【分析】连接PB、PE.
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB&BC，PE&OA。
∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。
∵A(2，0)，B(1，2)，∴AE=1，BE=2。∴ 。
∵&EDF=&ABE，∴tan&FDE= 。
(2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(0，2)，半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为　
【答案】( ，0)或( ，0)。
【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。
【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析：
①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5， ，
∴圆心N的坐标为( ，0)。
②⊙M与⊙N内切，MN=41=3， ，
∴圆心N的坐标为( ，0)。
综上所述，圆心N的坐标为( ，0)或( ，0)。
3. (2012湖北咸宁3分)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度
线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半
圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 ▲ 度.
【答案】140。
【考点】圆周角定理。
【分析】连接OE，
∵&ACB=90&，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上。
∴&EOA=2&ECA。
∵&ECA=2&35&=70&，
∴&AOE=2&ECA=2&70&=140&，即点E在量角器上对应的读数是140&。
4. (2012湖北孝感3分)把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是
▲ (结果不取近似值).
【答案】3000&。
【考点】圆柱的计算。
【分析】∵底面是边长为20cm的正方形，∴其内切圆的半径为10cm。
∴这个圆柱底面积为100&cm2。∴这个圆柱体积为100&&30=3000&(cm3)。
5. .(2012湖北襄阳3分)如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60&的扇形ABC，
并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为　 ▲ 　dm.
【答案】1。
【考点】圆锥的计算，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆锥的侧面展开图弧长与圆锥的底面周长的关系。1028458
【分析】如图，作OD&AC于点D，连接OA，
∴&OAD=30&，AC=2AD，∴AC=2OA&cos30&=6。
∴ 。
∴根据圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长得，圆锥的底面圆的半径=2&&(2&)=1。
三、解答题
1. (2012湖北武汉8分)在锐角△ABC中，BC=5，sinA= 4 5.
(1)如图1，求△ABC外接圆的直径;
(2)如图2，点I为△ABC的内心，BA=B C，求AI的长。
【答案】解：(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD。
则&CBD=900，&D=&A。
∴ 。
∵BC=5，∴ 。
∴△ABC外接圆的直径为 。
(2)连接BI并延长交AC于点H，作IE&AB于点E。
∵BA=BC，∴BH&AC。∴IH=IE。
在Rt△ABH中，BH=AB&sin&BDH=4， 。
∵ ，∴ ，即 。
∵IH=IE，∴ 。
在Rt△AIH中， 。
【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。
【分析】(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得&CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得&D=&A，从而由已知
，根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。
(2)连接BI并延长交AC于点H，作IE&AB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定
和性质，知IH=IE。在Rt△ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由 求得
。在Rt△AIH中，应用勾股定理求得AI的长。
(2012湖北荆门10分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O，半径为5m，&D=56&，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据：sin53&&0.8，tan56&&1.5，&&3，结果保留整数)
【答案】解：如图，连接AO、BO.过点A作AE&DC于点E，过点O作ON&DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F.则OF&AB.
∵OA=OB=5m，AB=8m，
∴AF=BF= AB=4(m)，&AOB=2&AOF，
在Rt△AOF中， ，
∴&AOF=53&，∴&AOB=106&。
∵ (m)，由题意得：MN=1m，∴FN=OM-OF+MN=3(m)。
∵四边形ABCD是等腰梯形，AE&DC，FN&AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。
在Rt△ADE中， ，∴DE=2m，DC=12m。
∴ (m2)。
答：U型槽的横截面积约为20m2。
【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。
【分析】连接AO、BO.过点A作AE&DC于点E，过点O作ON&DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF&AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出&AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由
即可得出结果。
3. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田8分)如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分&ACD.
(1)求证：CD是⊙O的切线;(2)若AC=2，BC=3，求AB的长.
【答案】(1)证明：过O点作OE&CD，垂足为E，
∵AC是切线，∴OA&AC。
∵CO平分&ACD，OE&CD，∴&ACO=&ECO，&CAO=&CEO，
又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO(AAS)。∴OA=OE。
∴CD是⊙O的切线。
(2)解：过C点作CF&BD，垂足为F，
∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3。
∴CD=CE+DE=5。
∵&CAB=&ABD=&CFB=90&，∴四边形ABFC是矩形。
∴BF=AC=2，DF=BDBF=1。
在Rt△CDF中，CF2=CD2DF2=5212=24，∴AB=CF=2 。
【考点】切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。
【分析】(1)过O点作OE&CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。
(2)过点D作DF&BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。
4. (2012湖北宜昌8分)如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为
(1)求证：OF∥BD;
(2)若 ，且⊙O的半径R=6cm.
①求证：点F为线段OC的中点;
②求图中阴影部分(弓形)的面积.
【答案】(1)证明：∵OC为半径，点C为 的中点，∴OC&AD。
∵AB为直径，∴&BDA=90&，BD&AD。∴OF∥BD。
(2)①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF= BD。
∵FC∥BD，∴&FCE=&DBE。
∵&FEC=&DEB，∴△ECF∽△EBD，
∴ ，∴FC= BD。
∴FC=FO，即点F为线段OC的中点。
②解：∵FC=FO，OC&AD，∴AC=AO，
又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形。
∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为 。
∴ (cm2)。
答：图中阴影部分(弓形)的面积为 cm2。
【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。
【分析】(1)由垂径定理可知OC&AD，由圆周角定理可知BD&AD，从而证明OF∥BD。
(2)①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点;
②根据S阴=S扇形AOCS△AOC，求面积。
5. (2012湖北恩施12分)如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD&OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB.
(1)求证：BC是⊙O的切线;
(2)连接AF，BF，求&ABF的度数;
(3)如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径.
【答案】解：(1)证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴&A=&OBA，&CEB=&ABC。
又∵CD&OA，
∴&A+&AED=&A+&CEB=90&。
∴&OBA+&ABC=90&。∴OB&BC。
∴BC是⊙O的切线。
(2)连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD&OA，
∴△OAF是等边三角形。
∴&AOF=60&。
∴&ABF= &AOF=30&。
(3)过点C作CG&BE于点G，由CE=CB，
∴EG= BE=5。
易证Rt△ADE∽Rt△CGE，
∴sin&ECG=sin&A= ，
∴ 。
∴ 。
又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得 ，即 ，解得 。
∴⊙O的半径为2AD= 。
【考点】等腰(边)三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】(1)连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明&OBC=90&即可证明BC是⊙O的切线。
(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出&ABF的度数。
(3)过点C作CG&BE于点G，由CE=CB，可求出EG=
BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。
(2012湖北咸宁9分)如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC.
(1)已知AB=18，BC=6，求弦CD的长;
(2)连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置?试说明理由.
【答案】解：(1)∵BF与⊙O相切，∴BF&AB。
又∵BF∥CD，∴CD&AB。
又∵AB是直径，∴CE=ED。
连接CO，设OE=x，则BE=9-x。
由勾股定理得： ，
即 ，解得 。
∴ 。
(2)∵四边形BDCF为平行四边形，∴BF=CD。
而 ，∴ 。
∵BF∥CD， ∴△AEC∽△ABF。∴ 。∴点E是AB的中点。
【考点】切线的性质，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质。相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由BF与⊙O相切，根据切线的性质，可得BF&AB，又由BF∥CD，易得CD&AB，由垂径定理即可求得CE=DE，然后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的长，从而求得CD的长。
(2)由四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得点E是AB的中点。
(2012湖北荆州9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O，半径为5m，&D=56&，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据：sin53&&0.8，tan56&&1.5，&&3，结果保留整数)
【答案】解：如图，连接AO、BO.过点A作AE&DC于点E，过点O作ON&DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F.则OF&AB.
∵OA=OB=5m，AB=8m，
∴AF=BF= AB=4(m)，&AOB=2&AOF，
在Rt△AOF中， ，
∴&AOF=53&，∴&AOB=106&。
∵ (m)，由题意得：MN=1m，∴FN=OM-OF+MN=3(m)。
∵四边形ABCD是等腰梯形，AE&DC，FN&AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。
在Rt△ADE中， ，∴DE=2m，DC=12m。
∴ (m2)。
答：U型槽的横截面积约为20m2。
【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。
【分析】连接AO、BO.过点A作AE&DC于点E，过点O作ON&DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF&AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出&AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由
即可得出结果。
(2012湖北荆州12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan&CBE=
，A(3，0)，D(1，0)，E(0，3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0
【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(3，0)，D(1，0)，∴设抛物线解析式为y=a(x3)(x+1)。
将E(0，3)代入上式，解得：a=1。
∴抛物线的解析式为y=-(x3)(x+1)，即y=x2+2x+3。
又∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴点B(1，4)。
(2)证明：如图1，过点B作BM&y于点M，则M(0，4).
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴&1=&2=45&， 。
在Rt△EMB中，EM=OMOE=1=BM，
∴&MEB=&MBE=45&， 。
∴&BEA=180&&1&MEB=90&。
∴AB是△ABE外接圆的直径。
在Rt△ABE中， ，∴&BAE=&CBE。
在Rt△ABE中，&BAE+&3=90&，∴&CBE+&3=90&。∴&CBA=90&，即CB&AB。
∴CB是△ABE外接圆的切线。
(3)存在。点P的坐标为(0，0)或(9，0)或(0， )。
(4)设直线AB的解析式为y=kx+b.
将A(3，0)，B(1，4)代入，得 ，解得 。
∴直线AB的解析式为y=2x+6。
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F( ，3)。
情况一：如图2，当0
则ON=AD=t，过点H作LK&x轴于点K，交EF于点L.
由△AHD∽△FHM，得 ，即 ，解得HK=2t。
= &3&3 (3t)2 t&2t= t2+3t。
情况二：如图3，当
由△IQA∽△IPF，得 .即 ，
解得IQ=2(3t)。
= &(3t)&2(3t) (3t)2= (3t)2= t23t+ 。
综上所述： 。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。
【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。
(2)过B作BM&y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得&BEA=90&，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求出tan&BAE的值，结合tan&CBE的值，可得到&CBE=&BAE，由此证得&CBA=&CBE+&ABE=&BAE+&ABE=90&，从而得证。
(3)在Rt△ABE中，&AEB=90&，tan&BAE= ，sin&BAE= ，cos&BAE= 。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。
由D(1，0)、E(0，3)，得OD=1、OE=3，
即tan&DEO= =tan&BAE，
即&DEO=&BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。
因此 O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0)。
②DE为短直角边时，P2在x轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似&DEP2=&AEB=90&sin&DP2E=sin&BAE= 。
而DE= ，则DP2=DE&sin&DP2E= & =10，OP2=DP2OD=9。
即P2(9，0)。
③DE为长直角边时，点P3在y轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
则&EDP3=&AEB=90&cos&DEP3=cos&BAE= 。
则EP3=DE&cos&DEP3= & ，OP3=EP3OE= 。即P3(0， )。
综上所述，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0， )。
(4)过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。
9. (2012湖北黄冈8分)如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆⊙O，交AC 于点D.连结DB，
过点D 作DE&BC，垂足为点E.
(1)求证：DE 为⊙O 的切线;
(2)求证：DB2=AB&BE.
【答案】证明：(1)连接OD、BD，则&ADB=90&(圆周角定理)，
∵BA=BC，∴CD=AD(三线合一)。
又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线。
∴OD∥BC。
∵&DEB=90&，∴&ODE=90&，即OD&DE。
∴DE为⊙O的切线。
(2)∵&BED=&BDC =900，&EBD=&DBC，
∴△BED∽△BDC，∴ 。
又∵AB=BC，∴ 。∴BD2=AB&BE。
【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接OD、BD，根据圆周角定理可得&ADB=90&，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出&ODE=90&，这样可判断出结论。
(2)根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BC&BE，将BC替换成AB即可得出结论。
10. (2012湖北十堰10分)如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且&CBD=&BAC，OD交⊙O于点E.
(1)求证：BD是⊙O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
(3)作CF&AB于点F，连接AD交CF于点G(如图2)，求 的值.
【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到&BCA=90&，则&ABC+&BAC=90&，
而&CBD=&BA，得到&ABC+&CBD=90&，即OB&BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切
(2)连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是&BOE=60&，又因为AC∥OD，则&OAC=60&，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。
(3)由CF&AB得到&AFC=&OBD=90&，而OD∥AC，则&CAF=&DOB，根据相似三角形的
判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有 ，即 ，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则 ，即 ，然后求FG与FC的比即可。
11. (2012湖北孝感10分))如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、
BN于点D、C，DO平分&ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线;
(2)若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R.
【答案】解：(1)证明：过O点作OE&CD于点E，
∵AM切⊙O于点A，∴OA&AD。
又∵DO平分&ADC，∴OE=OA。
∵OA为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径。
∴CD是⊙O的切线。
(2)过点D作DF&BC于点F，
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB&AD，AB&BC。
∴四边形ABFD是矩形。∴AD=BF，AB=DF。
又∵AD=4，BC=9，∴FC=9-4=5。
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE。∴DC=AD+BC=4+9=13。
在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，∴ 。
∴AB=12。∴⊙O的半径R是6。
【考点】切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质。
【分析】(1)过O点作OE&CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。
(2)过点D作DF&BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径。
(2012湖北襄阳10分)如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.
(1)求证：直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明;
(3)若BC=6，tan&F= ，求cos&ACB的值和线段PE的长.
【答案】解：(1)连接OB，
∵PB是⊙O的切线，∴&PBO=90&。
∵OA=OB，BA&PO于D，
∴AD=BD，&POA=&POB。
又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO(SAS)。
∴&PAO=&PBO=90&。∴直线PA为⊙O的切线。
(2)EF2=4OD&OP。证明如下：
∵&PAO=&PDA=90&，∴&OAD+&AOD=90&，&OPA+&AOP=90&。
∴&OAD=&OPA。∴△OAD∽△OPA，∴ ，即OA2=OD&OP。
又∵EF=2OA，∴EF2=4OD&OP。
(3)∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD= BC=3(三角形中位线定理)。
∵tan&F= ，∴FD=2x，OA=OF=2x3。
在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x3)2=x2+32，
解得，x1=4，x2=0(不合题意，舍去)。∴AD=4，OA=2x3=5。
∵AC是⊙O直径，∴&ABC=90&。
又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos&ACB= 。
∵OA2=OD&OP，∴3(PE+5)=25。∴PE= 。
【考点】切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角
形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。1028458【分析】(1)连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，&POA=&POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论。
(2)先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可。
(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos&ACB，再由(2)可得OA2=OD&OP，代入数据即可得出PE的长。
13. (2012湖北鄂州10分)如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长
为直径作圆，交BC于E，过E作EH&AB于H。
(1)求证：OE∥AB;
(2)若EH= CD，求证：AB是⊙O的切线;
(3)若BE=4BH，求 的值。
【答案】解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴&B=&C。
∵OE=OC，∴&OEC=&C，∴&B=&OEC。∴OE∥AB。
(2)证明：过点O作OF&AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G。
∵AB=DC，∴&B=&C。
∴OC=OE，∴&OEC=&C。∴&OEC=&B。∴OE∥GB。
又∵EH&AB，∴FO∥HE。∴四边形OEHF是平行四边形。∴OF=EH。
又∵EH= CD，∴OF= CD，即OF是⊙O的半径。
∴AB是⊙O的切线。
(3)连接DE。
∵CD是直径，∴&DEC=90&。∴&DEC=&EHB。
又∵&B=&C，∴△EHB∽△DEC。∴ 。
∵BE=4BH，设BH=k，则BE=4k，
∴CD=2EH=2 。∴ 。
【考点】等腰梯形(三角形)的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】(1)判断出&B=&OEC，根据同位角相等得出OE∥AB。
(2)过点O作OF&AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G，证明OF是⊙O的半径即可。
(3)求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。