【图文】常微分方程2_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
常微分方程2
上传于||暂无简介
大小：1.34MB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢方程组 x=t^2+1 ,y=4t+t^2 求dy/dx 怎么求 每一步给出清楚的分析 这是一道什么题
血刺青宁16526
dx=2tdy=4+2tdy/dx=(4+2t)/2t=t/2+1
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码对坐标曲线积分 请问这题如何设参数?∫L (y2 dx+z2 dy+x2 dz )L为 x2+y2+z2=a2 和 x2+y2=ax （z大于等于0 a大于0）的交线 从x轴看为逆时针方向 先求出参数方程
很简单,第二个方程x^2+y^2=ax,可设x=a/2+a/2*cosb,y=a/2*sinb.0
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码当前位置： >>
常微分方程xl
常微分方程Ordinary differential equation王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编常微分方程Ordinary differential equation? ? ? ? ? ? 第一章 绪 论 第二章 一阶微分方程的初等解法 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 第四章 高阶微分方程 第五章
线性微分方程组 第六章 非线性微分方程课程目的/Major Subjection of Course/? 学习各类可求解的常微分方程的类型及其求解方法。 ? 熟悉常微分方程解的基本性质，如解的存在性，唯一性等 内容。课时/Periods/ 4节/周，共64学时。考试/Examination/ 闭卷参考书目/Reference Books/?叶彦谦，常微分方程讲义，高等教育出版社。?王柔怀，伍卓群，常微分方程讲义，人民教育出版社。第一章 绪 论Introduction? 微分方程概述 /Sketch of ODE/ ? 基本概念 /Basic Conception/?CH.1 Introduction本章要求/Requirements/?能快速判断微分方程的类型；??掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；理解微分方程解的意义。§1.1 Sketch of ODE§ 1.1 微分方程概述/ Sketch of ODE/微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有 力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到Differential Equations（微分方程）这个名词。微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler 、Taylor 、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。 微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。§1.1 Sketch of ODE方程/Equation/含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如:1 代数方程(组)，其未知量为数 一元n次代数方程： 无理方程：2x ? a1xnn?1? ? ? ? ? an?1x ? an ? 0x ?5 ?6?x ? y ? 7 方程组：? ? x ? y ? ?12 超越方程（组），其含有超越函数 三角方程： 指数方程：sin( x ? 5) ? cos xe ?2 ?5x x其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）§1.1 Sketch of ODE 3 函数方程（或泛函方程），其未知量为函数? (t ) ? sin t ? 12 2?(t ) ? ? cos t?(t ) ? t2???(t ) ? 12? c1t ? c 2其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程 。 例1. y? ? x2. r22y ? ? f (x)d u dr22?rdu dr? (r ? 1)u ? 023.dy dx? p( x) y ? ? ( x)( n) 4. F ( x, y, y?,? ? ?, y ) ? 0§1.1 Sketch of ODE n阶隐式方程 n阶显式方程 方程组5. y( n)( n?1) ? f ( x, y, y?,? ? ?, y )? dx ? dt ? x ? y ? 6. ? ? dy ? x ? y ? dt ?7.? u ?x?y? u ?x?y22?0? u ?y2 2偏微分方程? u ??2 228.??? ?4??偏微分方程 不是微分方程9. f ( x) ? sin x§1.1 Sketch of ODE微分方程模型举例/Modeling of ODE/例1： 质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落， 物体下落距离S(向下为正）随时间 t 而改变。在不考虑 空气阻力的情况下，试求出距离 S 应满足的微分方程。 解： 设在时刻 t 物体下落的距离为 s (t ) 按牛顿第二定律md s 2 dt2? mg1 2d s 2 dt2? gs (t ) ?gt2? c1 t ? c 2§1.1 Sketch of ODE 例2：放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其 质量，这种现象成为衰变，实验知镭的衰变率与其当时的 质量成比例。试求镭衰变的规律。 解：设在任意时刻 t 镭的质量为R(t),R ? ( t ) ? kR ( t )微分方程模型：含有自变量，未知函数及未知函数导数 （或变化率）的关系式。§ 1.2 基本概念/Basic Conception/1. 常微分方程和偏微分方程 2. 一阶与高阶微分方程 3. 线性和非线性微分方程 4. 解和隐式解 5. 通解和特解 6. 积分曲线和积分曲线族 7. 微分方程的几何解释-----方向场§1.2 Basic Conception?常微分方程与偏微分方程/ODE and PDE/常微分方程/ODE / 在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程 称为常微分方程。 偏微分方程/ PDE/ 自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微 分方程。d y dt2 2?b?dy dt2? cy ? f (t )? ? T2(dy dt) ?t2dy dt? y?0? T2? T ?y2?x2?Z2?0? T2?x2?4?T ?t§1.2 Basic Conception?一阶与高阶微分方程/First and Higher ODE/微分方程的阶/Order/ 在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最 高阶数n称为该方程的阶。 当n=1时，称为一阶微分方程； 当n&1时，称为高阶微分方程。 例如d y dt2 2?bdy dt? cy ? f (t )(dy dt) ?t2dy dt? y?0? T2?x2?? T2?y2?? T2?Z2?0? T2?x2?4?T ?t§1.2 Basic Conception 一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：F ( x, y, y?) ? 0一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：y ? ? f ( x, y )类似的，n阶隐方程的一般形式可表示为：( n) F ( x, y, y?,? ? ?, y ) ? 0n阶显方程的一般形式为y( n)? f ( x, y, y?,? ? ?, y( n?1))其中F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。§1.2 Basic Conception?线性和非线性微分方程/Linear and NonlinearODE/)?0如果方程F ( x, y, y?,? ? ?, y( n)的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为 线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。 例如：d y dt2 2?bdy dt? cy ? f (t )(dy dt) ?t2dy dt? y?0? T2?x2?? T2?y2?? T2?Z2?0? T2?x2?4?T ?t§1.2 Basic Conception n阶线性微分方程的一般形式为：a 0 ( x) y( n)? a1 ( x) y( n ?1)? ? ? ? ? a n ( x) y ? g ( x)其中 a0 ( x) ? 0 a0 ( x), a1 ( x),? ? ?, an ( x), g ( x) 均为 x 的已知函数 如：2阶线性方程的一般形式a0 ( x) y?? ? a1 ( x) y? ? a2 ( x) y ? g ( x)y?? ? x y? ? y sin x ? xe2 x§1.2 Basic Conception?解和隐式解/Solution/对于方程或y( n)( n?1) ? f ( x, y, y?,? ? ?, y )若将函数 y ? ? (x) 代入方程后使其有意义且两端成立 即 F[ x, ? ( x), ? ?( x),? ? ?, ? ( n ) ( x)] ? 0则称函数 y ? ? (x) 为该方程的一个解.一阶微分方程 即关系式2dy dx2??x y有解y ? ? 1? x2x ? y ?1包含了方程的解，若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程 的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。Solution/ 常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几意常?通解和特解/General Solution and Special§1.2 Basic Conception数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。例：二阶方程 其通解 而 s (t ) ?1 2d s 2 dt2? g1 2s (t ) ?2gt2? c1 t ? c 2gt是方程满足初始条件 s ( 0 ) ? 0 , s ?( 0 ) ? 0 解。§1.2 Basic Conception初值条件/Initial Value Conditions/对于 n 阶方程 y ( n) ? f ( x, y, y?,? ? ?, y ( n?1) ) 初值条件可表示为? y ( x 0 ) ? y 0 , y ?( x 0 ) ? y 0 , ?? y ?? ( x 0 ) ? y 0 , ? , y( n ?1 ) ( n ?1 )( x0 ) ? y0n阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示? y ( n ) ? f ( x , y , y ?, ? , y ( n ?1 ) ) ? ? ( n ?1 ) ( n ?1 ) ? ? ( x0 ) ? y0 ? y ( x 0 ) ? y 0 , y ? ( x 0 ) ? y 0 , y ?? ( x 0 ) ? y 0? , ? , y ?一阶和二阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示? y? ? f ( x, y ) ? ? y ( x0 ) ? y0 ? y ?? ? f ( x , y , y ? ) ? ? ? y ( x 0 ) ? y 0 , y ?( x 0 ) ? y 0§1.2 Basic Conception?积分曲线和积分曲线族 /Integral Curve(s)/一阶微分方程dy dx ? f ( x, y )的解 y ? ? (x)表示 x, y平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解y ? ? ( x, c) 表示 x, y 平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。§1.2 Basic Conception?方向场/Directional Pattern/对于一阶微分方程 的定义域为 D ，dy dx ? f ( x, y ) 其右端函数 f ( x, y )y) 在定义域的每一点 ( x, 处，画一个小线段，其斜率等于 f ( x, y ) ，此时，点集 D 就成 为带有方向的点集。称此区域为由方程 确定的方向场。 常微分方程求解的几何意义是： 在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线 的方向等于方向场中该点的方向。dy dx ? f ( x, y )§1.2 Basic Conception 例 画出方程dy dx ?? x y x y的方向场。等倾线方程??k即y??1 kx也就是说，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。yxo
非线性方程和常微分方程的解法_理学_高等教育_教育专区。非线性方程和常微分方程...-x &&fc=inline(‘x-exp(-x)’); &&xl=fsolve(fc,0) xl= 0.5671 ...0 0 4、利用向量场研究常微分方程定性理论答: 向量场对于求解微分方程的近似解...xl ;当初值条件满足 0 ? y0 ? 2 时,其解都渐进稳定于直 线 y ? 0。 ...熟悉掌握常微分方程的初值问题的数值格式并程序实现 考虑下列常微分方程的初值问题...(j,1) = EllIni2Uxl(minx,miny+(j-1)*hy); u0(j,nx) = EllIni2Uxr...MATLAB 提供了 7 个常微分方程求解器(solver) ,分别是 ode45, ode23, ode113...文档贡献者 zhyxl666 贡献于
专题推荐 2014教师资格材料分析辅.....许多偏微分方程通过空间离散 化可以化为常微分方程的初值问题。 传统上,人们从...解 x=xm,其中 m2, Im(x) 为 Bessel 函数, 且当 2l&m 时, 有 xl&xm...之算法,主要事将原一组的椭圆型和 物线型偏微分方程式转化为一组常微分方程...(xl,ul,xr,ur,t) pl=[0 ul(2)]'; ql=[1 0]'; pr=[ur(1)-1 ...一阶偏微分方程能套用常微分方程求通解再定特解的方法。线性一阶方程用特征线...{ y ?? :| xl ? yl |? ? } ,因 Diu( x) ? lim ? ? ?0 ?? ...19 1.前言常微分方程的初值问题是微分方程定解问题的一个典型代表,以下面的...x x … xL xL* xL xL1 xL O xL 于是可以把一般的 Gauss 格式 其中 AL ...(数学) 基础数学 应用数学 高等数学 常微分方程 《高等数学》 (上)第四版,...考生复试时须持本人学信网在线验证报告 (.cn/xlcx/bgys...多项式插值方法第十章 常微分方程第三章教学目的及要求: 多项式插值方法 要求...? xi ? xl ?? i ?0 ?ll ?0 ? ? ?i ? 引进记号 ?n ? ? ? f ...
All rights reserved Powered by
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。卷积公式的介绍
已有 691 次阅读
|个人分类:|系统分类:|关键词:麻省理工；公开课
麻省理工的公开课。不同于一般常微分方程课程千篇一律地从分离变量和一阶线性方程讲起，MIT《微分方程》第一讲就以独特的视角从全局的角度诠释了微分方程的内涵。课程从方向场和积分曲线入手，深入透彻地剖析了微分方程的实质。一上来，撇开那些有解的特殊的微分方程不谈，却从几何方向通俗易懂，而又全面深入地告诉我们什么是微分方程，解微分方程其实是什么。[第2课]老头爽约了，他没有按之前说的，讲线性方程的解法，而是开始讲数值方法。按他自己的话说：“线性方程还是推迟到下一讲吧，多数微分方程都是通过数值方法解出来的，先讲这个更好”。他还说：“现在已经是二十一世纪了，计算机都能帮你搞定”。听了他的课才领略，数学不只是那几个臭公式，更重要的是应用。听了他的课，让人深刻地意识到，计算机和数学之间的联系如此紧密。[第3课]这一讲的主要内容是一阶线性ODE：y'+p(x)y=q(x)，及其解法积分因子法。这一讲通过两个实际问题——“热传导问题”和“溶液浓度扩散问题”，引出了ODE中“最重要”的一节线性微分方程，并透彻讲解。[第4课]这一讲介绍换元法（或译作代换法，substitution method），并以此为思想将某些特定形式的一阶方程转化为可分离变量方程或线性方程。本讲用换元法解决了两类特定的一阶方程，即伯努利方程和齐次方程。伯努利方程y'=p(x)y+q(x)yⁿ，通过换元化为可分离变量方程。齐次方程y'=F(y/x)，令z=y/x可化为线性方程。[第5课]这一讲的主题是一阶自治方程y'=f(y)。这一讲不涉及到此类方程的解法，转而考虑在不求解方程的前提下，进行定性分析，直观地获得方程的相关信息，从而避免了由于积分复杂造成不必要的无用功。这一讲还详细讲解了自治方程的一些实用模型：银行存款模型、人口增长模型。[第6课]复数在ODE中应用相当广泛。这一讲从复数的运算着手，落脚于复数的极坐标形式。围绕欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ展开，从各个方面详细介绍了这种美妙形式的由来。这一讲还利用复指数巧妙地解决了∫e^x(sinx)dx这种指数、三角函数混合型积分，方法效率远大于常规的分部积分法。[第7课]这一讲特别介绍了一阶常系数线性方程y'+ky=q(t)，并解释了k&0时稳态和暂态的内涵。特别地，这一讲强调了y'+ky=kq(t)形式的方程及在相应模型中的应用，并引入输入-响应的概念。最后以正弦波输入作为例子，讲解了分析和求解此类方程的复方法。[第8课]这一讲继续强调一阶常系数线性方程和复数思想。特别强调了正弦输入的情况，并巧妙地通过向量法和复数法给出了三角恒等式acosθ+bsinθ=Ccos(θ-φ)的证明。这一讲的最后，用温度、混合、RC电路、衰变和增长等多个模型为一阶常系数线性方程画上了完美的句号。[第9课]这一讲的主题是二阶常系数齐次线性ODE：y''+Ay'+By=0。这种方程在实际中对应弹簧-质量-阻尼系统，其一般性解法是代入e^(rt)，然后通过特征方程r²+Ar+B=0求出r。根据特征方程根的性质，分为两个不同实根、二重实根和复根三种情况，分别对应过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种情况。[第10课]这一讲首先深入讲解了二阶常系数齐次线性常微分方程y''+Ay'+By=0的解如何在实解和复解之间进行转换。然后将方程化为具有物理意义的形式的振动方程y''+2py'+ω²y=0，分别讨论了无阻尼情形（p=0）时解的性质和意义，以及阻尼情况下解的性质和振动的情况。[第11课]这一讲的讨论对象是二阶齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=0，讨论了其通解的性质，为何用两个线性独立的解就能表示所有解，而且所有解都在通解的集合内。并解释了叠加原理、唯一性定理、朗斯基行列式等概念。[第12课]这一讲的重点是二阶非齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)。首先是将f(x)看成输入或驱动，用弹簧和电路两个例子强调方程的重要性。然后用线性算子，描述了解的一般形式和结构。这一讲的另一个重点是暂态和稳态，在什么条件下对二阶线性方程成立，教授用一句精辟的结论总结了这个问题。[第13课]本讲用算子方法求解高阶非齐次线性方程p(D)y=e^(αx)，α为复数，p(D)为D的多项式。考虑p(α)≠0时，特解为e^(αx)/p(α)[用到了代换法则]；p(α)=0时，需要分情况讨论，其中单根时，特解xe^(αx)/p'(α)[用到指数位移法则]。[第14课]这一讲是关于共振的。为什么输入频率等于固有频率时，振幅会达到最大？教授从微分方程和数学的角度解释了这个问题。之后教授讲解了带阻尼情况下的&共振&，考虑了输入频率和阻尼伪频率之间什么关系时，才能实现这种&共振&。[第15课]傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。这一讲首先介绍以2π为周期的函数f(t)可以写作c0+∑(ancosnt+bnsinnt)的傅里叶无穷级数形式。教授通过三角函数正交关系的证明，给出了an和bn的表达式。[第16课]这一讲是上一讲的续集，首先考虑了奇函数和偶函数两种情况，讲解了傅里叶级数在这些情况下如何简化运算（以及如果将积分简化到半个周期内）。然后将2π周期延伸到了任意周期2L的情况。最后课程介绍了非周期函数的延伸，任意有限区间都可以用到傅里叶级数。特别地，教授还讲到了傅里叶级数和泰勒级数着眼点的异同。[第17课]这一讲主题是利用傅里叶级数求x''+ω0²x=f(t)的特解，其中f(t)化为傅里叶级数，通过sin和cos的可解性来求特解。这一讲采用了方波的例子，告诉我们方程的输入响应系统是如何自然选出与固有频率最接近的共振项的，并以此简单介绍了人耳识别乐音的机理。[第19课]记得幂级数吧，如1/(1-x)=Σ(x^n)、e^x=∑(x^n/n!)，考虑某种变换，让两个幂级数的系数1和1/n!分别对应于f(x)=1/(1-x)或f(x)=e^x，这很容易。其实拉普拉斯变换与这是对应的。教授用这种深入浅出的讲解，让我们了解了拉普拉斯变换的由来。然后分别计算了1、e^at、cos(at)等几种常见函数的变换，并讲解了指数位移的重要公式。大名鼎鼎的拉普拉斯变换，其实并不难。[第20课]这一讲的主要目标是用拉氏变换求解线性ODE，特别的，解y''+py'+qy=f(t)形式方程。为此，教授首先引入导数的拉氏变换公式，即已知y(t)经过拉氏变换得到Y(t)，那么y'及y''如何用Y(t)来表示。拉氏变换解法也就是方程两边同时进行拉氏变换，然后求解得到的代数方程，之后运用部分分式，最后用拉氏逆变换求出解y(t)。播放中[第21课]卷积公式这一讲引入了卷积公式f(t)*g(t)=∫f(u)g(t-u)du。教授从两个方面介绍了卷积的由来和用途：理论方面，卷积和拉氏变换密切相关，L(f)L(g)=L(f*g)，卷积由拉氏变换乘积关系的自然产生；实践方面，卷积最普遍的例子是用作放射物质倾泻的积累量问题。教授另外还举了三个实际例子。这一讲全面剖析了卷积公式，并做到了真正的深入浅出。[第22课]这一讲主要是讲跳跃式不连续函数u(t)=1(t&0); 0(t&0)的情况，重新定义拉普拉斯逆变换的唯一性，即L(u(t))=1/s。之后教授讲到了函数平移之后的拉普拉斯变换如何进行，之后推广到更一般的不连续输入问题。最后教授以几个实用的例题作结。[第24课]这是一阶方程组的第一讲，首先引入了形如x'=f(x,y,t);y'=g(x,y,t)的一阶方程组。教授讲了一些实际用到一阶方程组的例子，然后利用煮鸡蛋的例子，演示了如何用比较直观的消元法来求解。最后教授给出了速度场的几何解释。[第26课]这一讲继续以矩阵形式x'=Ax讨论常系数齐次线性方程组。课堂上引入了重复实特征值和复特征值两种特殊情况，即特征方程解出重根或复根的情况，两种情况教授分别举出一个实际例子进行讨论。一个是鱼缸温度传递的例子，一个是苏飞传中的爱情例子，引起满堂哄笑。[第27课]这一讲教授讲到了2x2常系数齐次线性方程组各种情况的图像，以此希望给学生一个比较直观的感受，此类方程组解是什么样子。为此，教授引入了两州旅游竞争模型，分别就特征方程中存在两负实根、一正一负实根、以及复根的三种情况给出了方程组解的草图。[第28课]这一讲过渡到非齐次方程组，还是以2x2常系数方程组为例，以矩阵形式x'=Ax+r进行讲解。首先，教授介绍了两个相关定理，为求解做了铺垫。然后介绍了x'=Ax的基本矩阵X。最后通过参数变分的方法，给出了非齐次方程组的特解xp=X∫X^(-1)rdt。[第29课]这一讲给出了齐次微分方程组x'=Ax的解的一般公式，即用矩阵指数e^(At)表示基本矩阵X。同单个微分方程x'=ax中，a可以看作是1x1矩阵，其解是e^at。这里就是方程组在nxn矩阵上的推广，以此引入矩阵指数及其在解方程组中的应用。[第30课]这一讲给出了齐次线性微分方程组x'=Ax的解耦解法，这是第三种方法。由于在自科和工程领域，方程组通常具有物理意义，解耦解法能偶提供对解更为本质的认识，因此教授将其作为这一讲的主题。首先是一个实际例子，然后是一般方程组的解法。[第31课]这一讲介绍非线性的情况，主要是通过轻微阻尼的非线性摆的例子，介绍了该情况下如何求临界点，并作轨迹草图。简谐振动中，摆使用的是小角近似为线性情况，这一讲是一个推广，摆使用的不一定是小角，不过仍然通过线性化得到解释。[第32课]这一讲的主题是极限环，首先教授给出了极限环的定义，它首先是方程组的解形成的一条闭合轨迹，另外它不同于一般闭合轨迹，它必须是附近轨迹在t趋于无穷时逼近的轨迹。然后教授介绍了极限环何时不存在的两个准则，分别是本迪克松准则和临界点准则，证明本迪克松准则时，证明过程中涉及了反证法，以及逆否命题逻辑。最后教授介绍了极限环的一些历史，并用他经历的一个有趣故事结束了本课，与某位中国教授有关。
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自籍利平科学网博客。链接地址：
上一篇：下一篇：
当前推荐数：0
评论 ( 个评论)
扫一扫，分享此博文
作者的精选博文
作者的其他最新博文
热门博文导读
Powered by
Copyright &