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5.3同角三角比关系与诱导公式
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2016届高考数学复习同角三角函数专项检测（附答案）
三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数，以下是同角三角函数专项检测，请考生及时练习。
1.若sin &，cos &是方程4x2+2mx+m=0的两根，则m的值为(　　).
C.1& D.-1-
解析　由题意知：sin &+cos &=-，sin &cos &=，
又(sin &+cos &)2=1+2sin &cos &，
解得：m=1&，又&D=4m2-16m&0，
m&0或m&4，m=1-.
2.若Sn=sin +sin +&+sin (nN*)，则在S1，S2，&，S100中，正数的个数是(　　).
A.16 B.72 C.86 D.100
解析　由sin =-sin ，sin =-sin ，&，sin =-sin ，sin =sin =0，所以S13=S14=0.
同理S27=S28=S41=S42=S55=S56=S69=S70=S83=S84=S97=S98=0，共14个，所以在S1，S2，&，S100中，其余各项均大于0，个数是100-14=86(个).故选C.
二、填空题
1.已知cos&=-，且&是第二象限的角，则tan(2&-&)=________.
解析由&是第二象限的角，得sin&==，tan&==-，则tan(2&-&)=-tan&=.
2.已知&为第二象限角，则cos &+sin &=________.
解析原式=cos &+sin &
=cos &+sin & =cos &+sin &=0.
3.已知sin &=+cos &，且&，则的值为________.
解析　依题意得sin &-cos &=，又(sin &+cos &)2+(sin &-cos &)2=2，即(sin &+cos &)2+2=2，故(sin &+cos &)2=;又&，因此有sin &+cos &=，所以==-(sin &+cos &)=-.
4. f(x)=asin(&x+&)+bcos(&x+&)+4(a，b，&，&均为非零实数)，若f(2 012)=6，则f(2 013)=________.
解析　f(2 012)=asin(2 012&+&)+bcos(2 012&+&)+4=asin &+bcos &+4=6，asin &+bcos &=2，f(2 013)=asin(2 013&+&)+bcos(2 013&+&)+4=-asin &-bcos &+4=2.
三、解答题
1.已知=3+2，求cos2(&-&)+sin &cos +2sin2(&-&)的值.
由已知得=3+2，
∴cos2(&-&)+sin cos +2sin2(&-&)
=cos2&+(-cos &)(-sin &)+2sin2&
=cos2&+sin &cos &+2sin2&
2.已知sin(3&+&)=2sin，求下列各式的值：
(1);(2)sin2&+sin 2&.
解　法一　由sin(3&+&)=2sin，得tan &=2.
(1)原式===-.
(2)原式=sin2&+2sin &cos &=
法二　由已知得sin &=2cos &.
(1)原式==-.
(2)原式===..是否存在&，&(0，&)，使等式sin(3&-&)=cos，cos(-&)=-cos(&+&)同时成立?若存在，求出&，&的值;若不存在，请说明理由.
解　假设存在角&，&满足条件，
则由已知条件可得
由2+2，得sin2&+3cos2&=2.
sin2&=，sin &=&.&&，&=&.
当&=时，由式知cos &=，
又&(0，&)，&=，此时式成立;
当&=-时，由式知cos &=，
又&(0，&)，&=，此时式不成立，故舍去.
存在&=，&=满足条件.
3.已知函数f(x)=tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设&，若f=2cos 2&，求&的大小.
解　(1)由2x+&+k&，kZ，得x&+，kZ.所以f(x)的定义域为，f(x)的最小正周期为.
(2)由f=2cos 2&，得tan=2cos 2&，
=2(cos2&-sin2&)，
整理得=2(cos &+sin &)(cos &-sin &).
因为&，所以sin &+cos &&0.
因此(cos &-sin &)2=，即sin 2&=.
由&，得2&.所以2&=，即&=.
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相关链接：《同角三角函数的基本关系》教学设计说明
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一、教学目标
1.知识与技能目标（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；
（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值.
2.过程与方法目标（1）牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；
（3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯.
3.情感、态度、价值观目标
通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.
二、教材分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书& 数学必修4》第1.2.2节，课型为新授课，所用的教材为人民教育出版社A版，课时安排为1课时，所用教具主要为多媒体、实物投影仪.
本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、符号表示及定义域、三角函数在各象限的符号等教学之后进行的.是对前面三角知识的延续，同时为后续进行三角函数相关内容打下重要基础。因此本节内容具有承前启后的作用.另外，本节内容是三角函数部分的重要内容，是三角计算的基础.
三、学情分析
本节课的教学对象是高一学生，时间为高一下学期.学生的数学基础较好，对学习有着较浓的学习兴趣.经过长时间的探究性学习和合作性学习的训练，思维比较活跃，平时教学中勇于发表个人观点，课堂讨论气氛较好.
四、本节课教学的重、难点
教学重点：公式和的推导及其应用
教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用
五、教法特点及预期效果分析
教学模式以启发、诱导发现教学为主.本节教学从抛出问题，引发学生思考，探究知识开始，到公式在使用时应该注意的问题，再到例题的多种不同解法，直至最后的小结归纳的过程，均由学生通过独立思考和讨论共同完成，真正体现以学生为主体的教学理念.在教学过程中，教师的作用是把握教学重难点、教学流程，对学生探究的结果进行归纳总结，对学生不同的解法进行提炼，帮助学生理清思维“脉络”.
本节课要求学生多看、多体会、多讨论，学生是演员，是参与者，学生应该有一定兴趣.但另一方面，因为让学生说得较多，对口头表达能力有一定欠缺的同学可能形成一定的心理压力.因此，有可能形成课堂气氛不够活跃的情况。本节课采取了循序渐进的推进方式，且教学难度不大，对于绝大多数同学应该能较顺利地接受.
六、教学过程中可能存在的困难
（1）本节课开头出现的引例是想让学生探究“两个公式”但由于学生思考问题角度的差异，学生可能用其他方法解题，绕过“探究”.
（2）本节课练习和例题两个小题均可能出现“一题多解”，展示不同的解法，课堂教学时间可能不够，不展示又觉得失去对学生认可、让更多学生体会别人不同思路的机会很可惜.最终形成两难的二选一的境地.
（3）“两个公式”探究后辅以及时练习，学生可以及时体会“同角”的重要，但其他应该注意的事项，学生独立分析时可能有不到位、不全面的情况.
（4）教师要抓住学生的不同解法及时提炼出其中蕴含的数学思想和方法，对教师反应要求较高.
七、教学流程
（一）提问引入
1、提出问题：已知，求、的值.
2、在解题过程中，让学生自己探索同角的三角函数关系.
（二）探究新知
1．探究对同角三角函数基本关系
（1）根据学生探究出的结果，得出结论.引导学生注意“正弦的平方”的表示方法是“”，而不是：“”，进而得到符号表达式：；开方计算时，注意“分类”的思想在象限角正负号问题处理时的应用.
（2）探究正弦、余弦和正切函数三者的关系：.
以上的探究由学生自由完成，可以从图形角度，也可以从定义角度加以探究，让学生体会图形语言与符号语言之间的转换关系，体会两种语言的区别于联系.
为了让学生及时熟悉公式，同时为后续学生归纳“同角”作铺垫，要求学生完成以下的课堂练习：
（1）_______________；
（2）&________________；
（3）＝_______________
（3）学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：
①注意“同角”指相同的角，例如：、、；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如中，且需有意义等.
（三）架构迁移
（1）探究上述两个关系式的等价变形式
教师点明：由等价变形式已知余弦值可以求正弦值；由等价变形式
已知余弦值可以求正弦值，学生可能得到:的结论，此时，应该向学生说明：、的符号受所在象限的限制，不是无条件的，不同于“由可以推出”这种情形，此情况类似于“”而不是“”. 等价变形式可以将分式可以化为整式
例1 已知锐角满足,求（1）；（2）.
让学生探究第一小题的解法，注意、、之间的关系的应用，学生的解题方法可能有很多种，注意每种解法后对数学思想方法的归纳.然后让学生尝试解决第二小题.第二小题较第一小题难度有所增加，可以让学生采取合作学习的办法，分小组讨论，探究其解题方法.再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处.体会类比、化归思想，化未知为已知.
本例在时间允许的情况下进行，否则放到下节课解决.
若时间允许，则进行强化练习：
练习1：已知，且为第三象限角，求、的值.该题与引例配套.
练习2:已知，求的值.该题与例2配套.
（四）反思升华：
由学生自己反思：“本节课你有些什么收获？”让学生自己总结本节课所学内容，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节。
（五）布置作业：课本P21&&&& A组第10、11、12题；B组第3题
七、板书设计
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