数列通项公式习题精选精讲 - 百度文库
数列通项公式习题精选精讲
数列通项公式的求法
几种常见的数列的通项公式的求法
一． 观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，,,
（2）1,2,3
910,,?4451617,?
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，,,,, ∴通项公式为：an?10n?1
（2）an?n?
（4）an?(?1)
点评：关键是找出各项与项数n的关系。
二、公式法 例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)，a 3 = f (d+1)= d ，∴a3－a1=d－(d－2)=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q，b3 =f (q－1)=(q－2)，
=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
等差数列?an?是递减数列，且a2?a3?a4=48，a2?a3?a4=12，则数列的通项公式是（
(A) an?2n?12
(B) an?2n?4 (C) an??2n?12
(D) an??2n?10
?(a3?d)?a3?(a3?d)?48
解析：设等差数列的公差位d，由已知?，
?a3?4?d??2
，又?an?是递减数列，
∴ d??2，a1?8，
∴ an?8?(n?1)(?2)??2n?10，故选(D)。
已知等比数列?an?的首项a1?1，公比0?q?1，设数列?bn?的通项为
bn?an?1?an?2，求数列
bn?的通项公式。
解析：由题意，bn?1?an?2?an?3，又?an?是等比数列，公比为q ∴
an?2?an?3an?1?an?2
?q，故数列?bn?是等比数列，b1?a2?a3?a1q?a1q?q(q?1)，∴
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贡献者：zhangyzhangkj
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数列通项公式解法总结及习题(附详解答案)
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数学数列 通项公式的求法
数列求通项公式似乎10种左右 现都忘
希望哪位哥姐能帮我忆
我种观察像列项
数列递推式求数列通项公式1、形an+1=pan+q递推式：p=1数列等差数列；q=0,p≠0数列等比数列；p≠1,p≠0,q≠0令an+1－t=p(an－t),整理an+1=pan+(1－p)t,由an+1=pan+q(1－p)t=q∴t=q/(1－p),an+1－q/(1－p)=p〔an－q/(1－p)〕, ∴数列﹛an－q/(1－p)﹜首项a1－q/(1－p)公比q等比数列故an=〔a1－q/(1－p)〕pn－1+ q/(1－p)2、形an+1= pan +f(n)递推式：式两边同除pn+1,an+1/ pn+1=an/ pn+f(n)/ pn+1,令bn= an/ pn,则bn+1=bn+ f(n)/ pn+1由求bn求an 3、形an+1=pan+qa n－1（n≥2）递推式：1°若p+q=1p=1－q,则an+1=(1－q)an+qa n－1,即an+1－an=(an－a n－1)(-q)知﹛an－a n－1﹜等比数列公比-q首项a2－a 1 an+1－an=(a2－a 1)(-q) n－1用叠加求an2°若p+q≠1存x1、x2满足an+1－x1an= x2 (an－x1a n－1)整理an+1=（x1+x2）an+ x1 x2a n－1 x1+x2=p-x1x2=qx1、x2看做元二程x2－px－q=0两根容易求x1、x2 数列﹛an+1－x1an﹜等比数列an+1－x1an= x2 n－1 (a2－x1a 1)①或an+1－x2an= x1 n－1(an－x1a n－1)②x1≠x2 由①②联立解an ；x1=x2转化类型递推式求an
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1公式：等差等比定义2加3乘4作差：SN候5构造：构造新数列想几
求数列的通项公式方法是很多，可是是根据不同数列来定的，实际上有许多序列的通项公式不可能在实数范围内求出。同时通项公式的求法依赖于个人的数学工具。比如斐波那契数列的通项公式就需要用到特征函数方法去解决。但是作为高中生的话，大致需要了解等差数列和等比数列等通项公式求法，然后加以拓展，基本上就可以搞定了。一般遇到的数列都可以用差分的方法找规律。
补充一下，08年广东理科数学高考的最后一题就是考题型3、形如an+1=pan+qa n－1（n≥2）的递推式
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出门在外也不愁求高一的各种数列的题型
求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难.而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要.本文给出了求数列通项公式的常用方法.一． 观察法例1：根据数列的前4项,写出它的一个通项公式：（1）9,99,999,9999,…（2） （3） （4） （1）变形为：101－1,102―1,103―1,104―1,……
∴通项公式为：
（4） .观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系. 二、定义法例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f (x) = (x－1)2,且a1 = f (d－1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q－1),(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2,a 3 = f (d+1)= d 2,∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d,∴d=2,∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q－1)=(q－2)2,∴ =q2,由q∈R,且q≠1,得q=－2,∴bn=b•qn－1=4•(－2)n－1当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比.三、
叠加法例3：已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项.解
…… 各式相加得 ∴ 一般地,对于型如 类的通项公式,只要 能进行求和,则宜采用此方法求解.四、叠乘法例4：在数列｛ ｝中,
(n+1)• =n• ,求 的表达式.由(n+1)• =n• 得 , = • • … =
所以 一般地,对于型如 = (n)• 类的通项公式,当 的值可以求得时,宜采用此方法.五、公式法若已知数列的前 项和 与 的关系,求数列 的通项 可用公式
求解.例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式,求 的通项公式.（1） . （2）
= = =3 此时, .∴ =3 为所求数列的通项公式.（2） ,当 时
由于 不适合于此等式 .
∴ 注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一.
例6. 设数列 的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系
求证：数列 是等比数列.
解析：因为
所以,数列 是等比数列.六、阶差法例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是
,其中b是与n无关的常数,且 .求出用n和b表示的an的关系式.解析：首先由公式： 得：
利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系,即其和为 .七、待定系数法例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn设
点评：用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式,一般地,若数列 为等差数列：则 , （b、c为常数）,若数列 为等比数列,则 , .八、 辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式.例9.在数列 中, , , ,求 .解析：在 两边减去 ,得 ∴
是以 为首项,以 为公比的等比数列,∴ ,由累加法得 =
例10.（2003年全国高考题）设 为常数,且 （ ）,证明：对任意n≥1, 证明：设,
用 代入可得 ∴
是公比为 ,首项为 的等比数列,∴
（ ）,即： 型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.(1)f(n)= q (q为常数),可转化为an+1+k=p(an+k),得{ an+k }是以a1+k为首项,p为公比的等比数列.例11：已知数 的递推关系为 ,且 求通项 .∵
∴ 令 则辅助数列 是公比为2的等比数列∴ 即
∴ 例12： 已知数列｛ ｝中 且 （ ）,求数列的通项公式.∵
设 ,则 故｛ ｝是以 为首项,1为公差的等差数列
∴ 例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列 的首项 ．（1）求 的通项公式；（1）由
． 又 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,得
注：一般地,对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且,p≠0,p≠1)可等价地改写成
则{ }成等比数列,实际上,这里的 是特征方程x=px+q的根.(2) f(n)为等比数列,如f(n)= qn (q为常数) ,两边同除以qn,得
,令bn= ,可转化为bn+1=pbn+q的形式.例14.已知数列{an}中,a1= , an+1= an+（ ）n+1,求an的通项公式.an+1= an+（ ）n+1 乘以2n+1 得
2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan
则 bn+1= bn+1 易得 bn=
an= (3) f(n)为等差数列例15.已知已知数列{an}中,a1=1,an+1+an=3+2 n,求an的通项公式.∵
an+1+an=3+2 n,an+2+an+1=3+2(n+1),两式相减得an+2-an=2 因此得,a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1),
∴ an= .注：一般地,这类数列是递推数列的重点与难点内容,要理解掌握.(4) f(n)为非等差数列,非等比数列例16.（07天津卷理）在数列 中, ,其中 ．（Ⅰ）求数列 的通项公式；由 , ,可得 ,所以 为等差数列,其公差为1,首项为0,故 ,所以数列 的通项公式为 ．这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式.九、归纳、猜想如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之.例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ,其中 , , 是线段 的中点, 是线段 的中点,…, 是线段 的中点,…（1） 写出 与 之间的关系式（ ）.（2） 设 ,计算 ,由此推测 的通项公式,并加以证明.（3） 略解析：（1）∵
是线段 的中点, ∴ （2） , = , = ,猜想 ,下面用数学归纳法证明
当n=1时, 显然成立；
假设n=k时命题成立,即
则n=k+1时, =
= ∴ 当n=k+1时命题也成立,∴ 命题对任意 都成立.例18：在数列｛ ｝中, ,则 的表达式为
.分析：因为 ,所以得： ,猜想： .十、倒数法数列有形如 的关系,可在等式两边同乘以 先求出 例19．设数列 满足
求 原条件变形为 两边同乘以 得 .∵ ∴ 综而言之,等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.
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急！怎么求数列的通项公式（明天考试）
比累加、乘求尽量讲解易懂些用太全面要能解决般数列问题拜托谢谢
求详细实例再谢
提问者采纳
累加：已知a(n+1)-an=n
且a1=1求an解：a2-a1=1
a3-a2=2 a4-a3=3
…… an-a(n-1)=n-1
各式左右叠加an-a1=1+2+……+(n-1)=(n-1)*n/2 故an=a1+(n-1)*n/2=……叠乘：已知a(n+1)/an=(n+1)/n 且a1=1求an解：a2/a1=2/1 a3/a2=3/2 a4-a3=4/3 …… an/a(n-1)=n/(n-1) 各式左右叠乘an/a1=2/1*3/2*4/3……*n/(n-1)=n 故an=a1*n=n（总结：知道相邻两项差（且两项系数相反）关系则用叠加知道相邻两项比值则用曡乘自体总结即） 主要几种求：定义（等差数列等比数列）、叠加、错位相减（等差数列乘等比数列）、组求（般等比数列加等差数列）、裂项相消（1/(1*2）+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)
其实运用公式：1/n(n+1）=1/n-1/(n+1)
裂项）、套用公式（已知an=n^2
求sn 便运用公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)
种能靠记住用公式）除外其些自找本资料看看应该挺
提问者评价
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a(1)=5/6, n&1 a(n+1)=a(n)/3+(1/2)^(n+1),a(2)=a(1)/3+(1/2)^2=5/18+1/4=19/36 a(n) = a(n-1)/3+(1/2)^n, a(n)/2 = a(n-1)/6+(1/2)^(n+1), b(n)=a(n+1)-a(n)/2 = a(n)/3-a(n-1)/6 = [a(n)-a(n-1)/2]/3 = b(n-1)/3 {b(n)}首项b(1)=a(2)-a(1)/2=19/36-5/12=1/9,公比1/3等比数列 a(n+1)-a(n)/2=b(n)=(1/9)(1/3)^(n-1)=(1/3)^(n+1), 3^(n+1)a(n+1) = 1 + (3/2)3^na(n), 3^(n+1)a(n+1)+2=(3/2)[3^na(n)+2], {3^na(n)+2}首项3a(1)+2=3*5/6+2=9/2,公比3/2等比数列 3^na(n)+2=(9/2)(3/2)^(n-1)=3*(3/2)^n, a(n) = [3*(3/2)^n - 2]/3^n = 3/2^n - 2/3^n
S(n+1)-Sn=an这是通用的。- -
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