人人网 - 抱歉
哦，抱歉，好像看不到了
现在你可以:
看看其它好友写了什么
北京千橡网景科技发展有限公司：
文网文[号··京公网安备号·甲测资字
文化部监督电子邮箱：wlwh@··
文明办网文明上网举报电话： 举报邮箱：&&&&&&&&&&&&薛定谔方程的推导[谷歌翻译版本]
已有 5886 次阅读
|个人分类:|系统分类:|关键词:量子 物理 谷歌 翻译 薛定谔方程 严格 推导 时空平移 不变性
薛定谔方程的一种严格推导[，]很多量子力学教科书都提供了薛定谔方程的一种启发式的推导。它首先假设一个量子系统的状态由平面波的形式EI（KX-ωT）描述。德布罗意关系，动量和能量结合P=香港和E=ħω，这种状态成为EI（PX-ET）/ H。然后，它使用非相对论能量-动量关系：E = p2/2m经典力学中，以获得免费的薛定谔方程。最后，这个方程是广义的，包括外部的潜力，最终的结果是薛定谔方程。如何来的方程？有至少两个基于类比的对应与经典力学教科书中“派生”的奥秘。首先，即使是微观粒子的行为像波，因此需要一个波函数来描述他们，目前还不清楚为什么波函数必须承担一个复杂的形式一般。事实上，薛定谔发明他的方程时，他感到非常不解的必然出现虚数单位i在等式。接下来，不知道是怎么来的德布罗意动量和能量的关系，为什么非相对论能量 - 动量关系必须是E =p2/2m。通常，人们只能求助于经验和经典力学来回答这些问题。这在逻辑上是令人满意的，量子力学是一个更基本的理论，经典力学只是一个近似值。在本文中，我们将揭开这些谜团可以诉诸时空平移不变性和相对论不变性和教科书免费薛定谔方程“推导”可以变成一个真正的推导。动量和能量时空翻译给出的定义，使得时空平移不变性免费或孤立的量子系统具有一定的动量和能量状态假设平面波的形式EI（PX-ET）/ H。此外，相对论不变性的状态，进一步确定了相对论能量 - 动量关系，其非相对论近似为E= p2/2m。虽然这些不变性的要求已经广为人知，明确和完整的使用他们的免费的薛定谔方程推导似乎仍然缺少文献和教科书。新的综合分析，可能有助于了解薛定谔方程的物理起源。时间翻译和其不变性让一个孤立的系统的状态，在一个给定的时刻t是ψ（X，T）。连续运动的状态中，x（t）的，可以看作是一种特殊形式的ψ（X，T），即ψ（X，T）=δ（有XX（T）），其中δ为狄拉克函数。我们不需要知道什么物理状态ψ（X，T）在这里代表。让演化方程如下形式：U（T）ψ（X，0）=ψ（X，T），其中U（t）是需要确定的演化算符。由于状态的时间演化的状态只是时间平移，U（T）也被称为时间平移算。这个演化方程也可写成差分形式：我∂ψ（X，T）/∂T =Hψ（X，T）。如果在以后分析的方便，引入（期2 = -1的虚数单位）在方程。假设运营商H是独立的发展状态，即进化是线性的，时间平移算子U可以表示为U（T）= E-ITH（T）。因此，H被称为发电机的时间翻译。在量子力学中，H也称为能源运营商或哈密顿研究系统。为了能够孤立的系统或自由运动方程推导演化方程（线性），我们需要知道该方程必须满足的要求。其中一个重要的要求是从空间和时间上的一致性或均匀性。它是一种实验性的事实，即在两个不同的时间重复同样的实验，得到同样的结果，在两个不同的地方进行同样的实验也得到同样的结果。这一事实反映了空间和时间的均匀性。这也表明（隔离系统）的演变规律是一样的，在不同的时间和地点，即它满足时间平移不变性和空间平移不变性。现在，让我们来分析的演化方程的时空平移不变性的要求的影响。假设上述孤立系统处于状态ψ0在时间t1和发展为一个无限小的时间Δt。该系统的状态，在时刻t1+ΔT，ΔT的第一顺序，将ψ（X，T1 +ΔT）= [I - iδtH（T1）]ψ0。如果重复的演变在时刻t2，具有相同的初始状态开始，于时刻t2 +ΔT的状态将ψ（X，T2 +ΔT）= [I - iδtH（T2）]ψ0。时间的平移不变性需要的结果状态应该是相同的：ψ（X，T2 +ΔT） - ψ（X，T1 +ΔT）=iδt[H（T1） - H（T2）]ψ0= 0。由于初始状态ψ0是任意的，它遵循的H（T1）= H（T2）。此外，由于t1和t2是任意的，如下，H是与时间无关的。因此，的平移不变性需要，演化算符H有没有时间依赖性，即DH /DT = 0。当DH / DT = 0，这些解决方案的演化方程假设下列表格ψ（X，T）=φE（X）电子IETφE（X），称为本征态的H，满足与时间无关的方程：EφEHφE（X）=（X）。在量子力学中，E，时间独立H的特征值，被定义为一个系统，其运动状态（X）H，φE的本征态的能量。请注意，一般依赖于所研究的系统的能量算子H的具体形式。其结果是，在能量本征态能量本征值只能被确定为混凝土的情况下（见下文）。空间平移和其不变性让我们进一步分析的要求，空间平移不变性。的空间转换运算符可以被定义如下：T（A）ψ（X，T）=ψ（X - A，T）。这意味着翻译刚性一个孤立的系统的状态，ψ（t）的的量，通过在x轴正方向。运营商T（一）保留规范的状态，因为∫ψ*（X，T）ψ（X，t）的DX =∫ψ*（X - ，T）ψ（X - ，T）DX。这意味着，T（一）是单一的，满足T†（一）T（一）=一，作为一个整体的操作员，T（一）可进一步表示为T（A）= E-IAP，其中P是空间平移发电机，它是厄密共轭，它的特征值是真实的。在量子力学中，P也被称为动量算符。这种关系代入上面定义的空间平移的运营商和扩大双方下令，我们发现P =-I∂/∂X。这立即导致P eipx = eipx。其中eipx是本征态的P与特征值p。在量子力学中，p被定义为一个系统，其运动状态是一个动量本征态eipx的势头。注意动量算符的形式，能量算子不一样，不依赖于所研究的系统。在下面，我们将证明，空间平移不变性要求交换空间平移操作和时间平移算，即T（A），U（T）] = 0。假设在t = 0 A和B两个观察者在x = 0和x =，分别准备相同的孤立的系统。让ψ（X，0）是T（A）A.然后ψ（X，0）编制系统的状态是准备系统由B的状态，它是通过翻译（无失真）的状态ψ（0）由一个右侧的量。这两个系统看起来他们准备的人的观察员相同。经过时间t，演变成U（T）ψ（X，0）和U（T），T（A）ψ（X，0）。由于在不同的地方每个相同的系统的时间演化应该会出现相同的本地观察员，上述两个系统，只在t = 0由空间平移不同，不同之处仅在未来的时间由相同的空间平移。因此的状态ü（T）Ť（一）ψ（x，0）应该是的翻译版本的系统在时间t，即我们有ü（T）Ť（一）ψ（x，0）=Ť（一）U（T）ψ（X，0）。这种关系成立的任何初始状态ψ（X，0），因此，我们有[T（A），U（T）] = 0。此结果进一步导致[P，H] = 0。总之，空间平移不变性要求[P，H] = 0为一个孤立的系统。因此，H，φE（x）的本征态，本征态的P，即φE（X）= eipx。然后演化方程的解决方案我∂ψ（X，T）/∂T =Hψ（X，T）将ψ（X，T）E-IET =φE（X）= EI（PX-ET）。这意味着，状态営（像素 - 乙醚）描述一个孤立的系统（例如，一个自由电子）的动量p和能量E的方程。自由运动方程推导的最后一步是要找到孤立的系统动量p和能量E之间的关系。它可以表明的关系是由相对论不变性的状态（像素 - 乙醚）営，原来是E2 = P2C2 + m2c4，其中m是该系统的质量，和c的速度是光。在非相对论域，能量 - 动量关系减少E = p2/2m。的关系式E，H和P的操作员之间的关系是一个孤立的系统，其中，H是该系统的自由哈密顿H =P2/2m = p2/2m的状态（像素 - 乙醚）営。请注意，因为E的值是真实的能量 - 动量关系，H为埃尔米特U（T）是统一的免费演变。代运营商关系的演变方程，我们可以最终获得自由运动方程，假定免费薛定谔方程相同的形式：。这是值得注意的，与自由的薛定谔方程，约化普朗克常数h的行动与尺寸在这个等式中丢失。然而，这其实不是一个问题。其原因是，可以被吸收到的质量为m的尺寸的尺寸ħ。例如，我们可以为p值= 1 / L，E = 1 / T和m = T/L2，其中L和T表示空间和时间上的尺寸，分别为规定的尺寸的关系。此外，h的值可以被设置为单位数的原则。因此，上面的方程本质上是量子力学中的薛定谔方程。需要适当的期望值对应，的e&P&/ DT = &F& = &∂V /∂X&，包括降低普朗克常数h，我们可以进一步获得外势下薛定谔方程： 。请注意，在具体的形式中的一个经典的电位是由非相对论近似量子相互作用，这说明由相对论量子场理论。由于势V（X，T）是实值，哈密顿= P2/2m + V（X，T）是埃尔米特，作为一个结果，时间平移算子U（t）是单一的。对于N体系统中，系统的状态可以表示为ψ（X1，X2，... xN的，吨），其中x1表示副系统1的坐标，所以对其他子系统的。当的N个子系统是独立的，我们可以推导出以类似的方式与上述的运动方程： ，其中ψ（X1，X2，... XN，T）=ψ1（X1，T），ψ2（X2，T）...ψN（XN，T），mi为我子系统的质量。当的N个子系统不是独立的，有相互作用的运动方程仍然是成立的。然而，该系统的状态不能被写为副系统状态的商品。此外，电势V将包含子系统之间的相互作用，其一般形式为V（X1，X2，... xN的，吨）。两个相互作用的子系统为一个系统的运动方程为购买测量分析是特别有用的。这是 。等价地，该系统的总哈密顿量为H= H1 + H2 + HI H1 = P12/2m1和H2 = P22/2m2的的是游离哈密顿子系统1和2，分别和HI = V（×1， X2）是相互作用哈密顿量，其一般形式为V（X1-X2）。进一步的讨论我们已经推导出了免费的基于薛定谔方程的时空平移不变性和相对论不变性的要求。的推导可以总结如下。关键的步骤是分析动量和能量来源。根据现代的理解，时空转换了动量和能量的定义。动量算符P被定义为空间平移的发电机，它是厄密共轭，它的特征值是真实的。此外，可以唯一地确定动量算符的形式，由它的定义。为P =-ⅰ∂/∂，它的本征态是eipx，其中p是一个真正的特征值。同样，能量算子H定义为时间平移发电机。但是，它的形式依赖于所研究的系统。幸运的是，一个孤立的系统，能源运营商，这就决定了演化方程的形式可以固定时空平移不变性和相对论不变性的要求（假设的演变时，是线性的）。具体而言，时间平移不变性要求的DH / dt = 0，从而演化方程的解决方案我∂ψ（X，T）/∂T =Hψ（X，T）必须承担的形式ψ（X，吨的） =φE（x）的电子IET。空间平移不变性要求[P，H] = 0，这进一步确定，φE（x）是本征态的P，即φE（倍）eipx中。因此，时空平移不变性使得一个孤立的系统具有一定的动量和能量状态假设平面波的形式EI（PX-ET）。此外，p和E或能量 - 动量关系之间的关系可以由相对论不变性的状态EI（PX-ET），其非相对论近似原来是E = p2/2m的。然后，我们可以得到一个孤立的系统，H = P2/2m，免费薛定谔方程形式的能源运营商。新的综合分析，可能会推出一些奥秘的教科书“”薛定谔方程推导，例如它可以回答为什么一个量子系统的状态有一个平面波的形式，为什么还有德布罗意关系。这使得更容易理解薛定谔方程。然而，仍有两个重要的问题需要回答。第一种是物理意义的函数（或通常被称为波函数）ψ（X，T）中的薛定谔方程。我们得出的方程，但它是未知的什么方程的波函数ψ（X，T）表示。在下一章中，我们将回答这个问题。第二个问题是是否存在波函数的非线性演化除了非线性薛定谔演化。如前所述，上述（免费）薛定谔方程推导依赖于哈密顿函数H是独立的发展状态，也就是说，进化是线性的前提。换句话说，推导了进化的线性部分，如果满足时空平移不变性和相对论不变性，必须承担薛定谔方程相同的形式在非相对论领域。显然，推导不能排除存在非线性量子进化。这似乎是一个合理的假设，都存在非线性演化和线性进化，而且，它们分别满足时空平移不变性，因为它们的效果不能相互抵消一般。然而，因为可以很容易地满足一般的非线性演化时空平移不变性，不变性要求可以不再确定可能的非线性演化的具体形式。我们将分析可能的非线性演化。
本文引用地址：&此文来自科学网高山博客，转载请注明出处。
上一篇：下一篇：
当前推荐数：2
评论 ( 个评论)
作者的精选博文
作者的其他最新博文
热门博文导读
Powered by
Copyright &薛定谔方程
好难懂的玩意儿
薛定谔方程
　　薛定谔方程（Schrodinger
equation）又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave
equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
　　薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
　　量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
　　薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当涉及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
　　.薛定谔提出的量子力学基本方程 。建立于
1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。
　　量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
　　薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
薛定谔方程的提出
　　当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家戴维逊和革末利用“电子的晶体粉末散射实验”证实后，薛定谔通过类比光谱公式成功地发现了可以描述微观粒子运动状态的方法——薛定谔方程
　　薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。
薛定谔简介
　　详细词条：埃尔温·薛定谔
　　埃尔温·薛定谔（Erwin
Schrodinger，年）日出生于奥地利首都维也纳。1906年至1910年，他就学于维也纳大学物理系。1910年获得博士学位。毕业后，在维也纳大学第二物理研究所从事实验物理的工作。第一次世界大战期间，他应征服役于一个偏僻的炮兵要塞，利用闲暇时间研究理论物理。战后他仍回到第二物理研究所。1920年他到耶拿大学协助维恩工作。1921年薛定谔受聘到瑞士的苏黎世大学任数学物理教授，在那里工作了6年，薛定谔方程就是在这一期间提出的。
埃尔温·薛定谔
1927年薛定谔接替普朗克到柏林大学担任理论物理教授。1933年希特勒上台后，薛定谔对于纳粹政权迫害爱因斯坦等杰出科学家的法西斯行为深为愤慨，移居牛津，在马达伦学院任。同年他与共同获得诺贝尔物理学奖。
　　1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖金，由奥地利科学院授给。
薛定谔方程具体介绍
　　ћ Ə Ə
　　-—— ——
ψ(x,t)+V(x)ψ(x,t)=iћ——ψ(x,t)=Hψ(x,t)
　　2m Əx Əx
　　其中H是哈密顿算符。
　　定态薛定谔方程：
　　ћ 2 Ə
　　-—— ▽
ψ(r,t)+V(r)ψ(r,t)=iћ——ψ(x,t)=Hψ(x,t)
　　2m Əx
单粒子薛定谔方程的数学表达形式
　　数学形式
　　这是一个二阶线性偏微分方程，ψ(x，y，z)是待求函数，它是x,y,z三个变量的复数函数（就是说函数值不一定是实数，也可能是复数）。式子最左边的倒三角是一个算符，意思是分别对ψ(x，y，z)的x,y,z坐标求偏导的平方和。
　　这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程。所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。其中，E是粒子本身的能量；U(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分e^(-t*i*E*2π/h)以后就成了完整的波函数了。
薛定谔方程的解——波函数的性质
　　简单系统，如氢原子中电子的薛定谔方程才能求解，对于复杂系统必须近似求解。因为对于有Z
个电子的原子，其电子由于屏蔽效应相互作用势能会发生改变，所以只能近似求解。近似求解的方法主要有变分法和微扰法。
　　在束缚态边界条件下并不是E
值对应的所有解在物理上都是可以接受的。主量子数、角量子数、磁量子数都是薛定谔方程的解。要完整描述电子状态，必须要四个量子数。自旋磁量子数不是薛定谔方程的解，而是作为实验事实接受下来的。
　　和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。氢原子以及类氢原子的分立值为：
　　En=-1/n*2&2.18&10*(-18)J，n
越大能量越高电子层离核越远。主量子数决定了电子出现的最大几率的区域离核远近，决定了电子的能量。N=1，2，3，……；常用K、L、M、N……表示。
　　和能量有关的量子数。电子在原子中具有确定的角动量L，它的取值不是任意的，只能取一系列分立值，称为角动量量子化。L=√l(l+1)
·(h/2π) ，l=0，1，2，……（n-1）。l
越大，角动量越大，能量越高，电子云的形状也不同。l=0，1，2，……常用s，p，d，f，g
表示，简单的说就是前面说的电子亚层。角量子数决定了轨道形状，所以也称未轨道形状量子数。s 为球型，p 为哑铃型，d 为花瓣，f
轨道更为复杂。
　　和能量无的量子数。原子中电子绕核运动的轨道角动量，在外磁场方向上的分量是量子化的，并由量子数m
决定，m 称为磁量子数。对于任意选定的外磁场方向Z，角动量L 在此方向上的分量LZ
只能取一系列分立值，这种现象称为空间量子化。LZ=m·h/2π，m=0，±1，±2……±l。磁量子数决定了原子轨道空间伸展方向，即原子轨道在空间的取向，s
轨道一个方向（球），p 轨道3 个方向，d 轨道5 个，f 轨道7 个……。l 相同，m
不同即形状相同空间取向不同的原子轨道能量是相同的。不同原子轨道具有相同能量的现象称为能量简并。
　　能量相同的原子轨道称为简并轨道，其数目称为简并度。如p 轨道有3
个简并轨道，简并度为3。简并轨道在外磁场作用下会产生能量差异，这就是线状谱在磁场下分裂的原因。
自旋磁量子数m
　　粒子的自旋也产生角动量，其大小取决于自旋量子数。电子自旋角动量是量子化的其值为Ls=√s(s+1)
·(h/2π) ，s= 1/2 ，s 为自旋此量子数，自旋角动量的一个分量Lsz 应取下列分立值：Lsz= ms(h/2π),
ms=±1/2。
　　原子光谱，在高分辨光谱仪下，每一条光线都是由两条非常接近的光谱线组成，为解释这一现象提出了粒子的自旋。电子的自旋表示电子的两种不同状态，这两种状态有不同的自旋角动量。
　　电子的自旋不是机械的自身旋转，是本身的内禀属性，是新的自由度。就像质量和电荷一样是它的内在属性，电子的自旋角动量为：ħ
希尔伯特空间与薛定锷方程
　　一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这种形式下的薛定锷方程如右图所示。
薛定锷方程
H为哈密顿算符。这个方程在这个形式下充分显示出了时间与空间的对应性（时间与能量相对应，正如空间与动量相对应，后述）。这种算符（物理量）不随时间变化而状态随时间变化的对自然现象的描述方法被称为薛定谔绘景。与之对应的是海森伯绘景。
　　空间坐标算符x与其对应的动量算符p满足以下交换关系：
　　所谓的薛定锷表示就是将空间算符直接作为x，而动量算符为下面的包含微分的微分算符：
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。量子力学课程论文由薛定谔方程引发的深思_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
量子力学课程论文由薛定谔方程引发的深思
上传于||暂无简介
阅读已结束，如果下载本文需要使用1下载券
想免费下载本文？
下载文档到电脑，查找使用更方便
还剩3页未读，继续阅读
你可能喜欢这个薛定谔方程的推导哪里有问题？
&img src=&/50b54e04cc88a0f3a0fd8b_b.jpg& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&/50b54e04cc88a0f3a0fd8b_r.jpg&&&img src=&/fee1ab0c78998_b.jpg& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&/fee1ab0c78998_r.jpg&&
按投票排序
谢邀。应该说，高中生看量子力学并且亲手做一些推导是值得鼓励的。但是少年，我可以感受得到你和你的小伙伴的急功近利以及囫囵吞枣。推导过程当中具体的细节充满了问题。不是数学上的问题，相信你作为高中尖子生，数学上的低级错误是不会犯，而是物理意义的问题。但是这些问题太过细节和平凡，哪天你对量子的理解更深刻一点了自然就懂了，没理解的话我们说再多也没用，所以我就不细讲了。我这里就讲一点，就是「你想要做什么」。你想要「推导薛定谔方程」，可是薛定谔方程在初等量子力学中是公理，没有办法可以「推导」它，所以一切这类的努力从根子上就是很奇怪的。而你在这里所做的，我说实话，就是把一个波的色散关系（还是你手放进去的，公式2.9）用量子力学的语言写出来，把频率换成哈密顿量，把波数换成梯度。仅此而已。当然，非相对论量子力学里粒子的哈密顿量形式确实就是这么来的。但是这实在称不上「对薛定谔方程」的推导。广义的薛定谔方程是这个而不是后面哈密顿量的某个具体形式。先说这么多，有什么问题再问吧，有事先离开了。
噗嗤， 峰哥不要那么 mean 嘛，谁还没有个中二的年纪。恭喜你推导出了 Klein-Gordon 方程（除了用的速度不应该是运动速度而是光速）！推得当然很好啦，但是请告诉我这个诡异的速度到底是个什么鬼？可别拿自由电子忽悠我哟我说的可是谐振子。你这个当然是“字面意义上”的波动方程，而且可以是纯粹的实方程，相传（我不保证真实性）薛定谔写下的第一版波动方程就大概长这个样子，谁不喜欢实方程呢。后来当然是不 make sense 啦，如果用速度就必须回答速度是什么鬼，用光速虽然还满足洛伦兹对称性，但逗我么，低速物理怎么混进来一个光速，还取极限也消不掉。于是就写下了现在的版本。再后来就有了概率幅这个解释的解释，有了这个解释就不能随便搞二阶导数了，因为概率不守恒。另外就是你这里用了德布罗意关系，可是哪儿去了？薛定谔方程就能给出这点，并且满足群速度是电子速度，比你这个二阶方程好多了。BTW，那个attention真是逗比，还有是行波才不是驻波。自己思考推导讨论是好事儿，但你的问题是读书太少但想得太多。（补充一句：不是反对你推导，不过你推完了自己思考一下合不合逻辑嘛！学学深入的知识看看自己说对了没有嘛～）
数学过程很漂亮，中间的几步也有物理意义。最后的结果当成描述氢原子系统的薛定谔方程就行了。但是你发现没有？你最开始就假设了电子波函数是服从波动方程的。你作出这种假设是出于某种深刻的物理原因吗？在薛定谔方程出现前，我们并不知道那是个波动方程啊。能在100年前得到一个波动方程（哪怕是特殊情况下的）就离量子力学的大门很近了。如果你能在玻尔和薛定谔之前得到这个方程解释氢原子光谱，那诺奖非你莫属啦。薛定谔方程，按照薛定谔的说法，是猜出来的。这都能猜出来，果然是大神。我猜题主应该是从薛定谔方程得到了波动方程形式的启示..实际上在薛定谔之前没人能从经典力学得到波动力学的启示。尽管经典力学和波动力学是有深刻的联系的，物理学家完全可能更早地从经典力学得到波动力学的启示，但是巨星云集的20世纪初也没人没有完成这份工作。德布罗意这个人很厉害，他就从经典力学的哈密顿雅克比方程推导出了经典波动方程。然后又发现薛定谔方程也能推导出（量子）哈密顿雅克比方程。哈密顿力学和波动力学其实只有一步之遥了。但是这个工作是在薛定谔方程出现后的。德布罗意还按照这个思路写过量子力学的教材。不过后来哥本哈根学派的体系成为了主流，德布罗意的这个思路就被遗忘了。再后来，除了少数量子理论物理学家，大多数学物理的没有机会接触德布罗意的思路了。给张图提示一下：为什么波动方程的猜测很合理？因为力学本来就可以写成波动方程的形式。看，经典波动方程和薛定谔方程长得多像？经典力学和量子力学的差别就只有的这一项。多出来的一项在德布罗意玻姆理论里叫做“量子势”。
你们为啥都嘲讽……我觉得从书上能找到或者用到这么多公式（有些公式，比如说波动方程，是高中不学的，有些是不作为教学重点的），能没有数学错误地进行推导，而且能出来一个正确的结论（虽然是特殊情形下的），作为一个高中生，已经是很值得鼓励的啊……至于物理意义神马的，要求太高了亲
首先我们需要知道我们想干什么。从给出的推导来看，我猜想题主是希望从波动方程来得到量子力学的Schrodinger方程，并且不借助其他的假设。下面的内容都是在这样的前提下展开的。我来梳理一下推导过程中明显的和隐含的假设吧。（排序按照公式编号）(1)波函数满足波动方程，这个先放着，毕竟是最基本的假设；(2.1)波函数中，时间和空间变量可以分离，这个后面细说；(2.2)“电子的运动形式为驻波”，并且这个波有确定的唯一的频率，即简谐波；(2.6)时间部分函数在所考虑的范围内没有零点，所以可以消去；(2.7)电子的波长与动量满足给出的关系；(2.9)电子的能量（动能）与动量满足(2.9)的关系；虽然看起来有很多其他的假设，但是我们还要进一步分析一下：(1)是基本假设，没问题；(2.1)在不做其他假设的条件下认定波函数的时间可空间变量可分离，并不是合适的做法；题目中给出的理由“显然+不在考虑范围”是不恰当的。数学上讲，这并不显然；而“不在考虑范围”本身就导致了这样得出的结论也是非常局限的。如果坚持这样的理由，我们只能说导出的并不是Schrodinger方程。实际上，这种看法被称作“分离变量法”，是求解微分方程的常用方法。一个“好”的函数（比如限制得紧一些无穷阶可导）总可以展开成一系列其它函数的无穷求和：这里“一系列函数”是在一定要求下任意选取的。幸运的是，三角函数（题目中最终选择的就是中的那一个）是满足要求的，也就是说，任意（无穷阶可导）的函数都可以用三角函数展开，这样得到的解适用的范围就大大扩展了。(2.2)假设的部分来由在(2.1)中说过了，剩下的部分主要是“电子的运动形式”这个问题。题主能做出这样的推导，一定也知道“哥本哈根诠释”，也就是波的振幅代表出现在此处的几率。说“电子的运动形式是驻波”，实际上假定了波的振幅不随时间变化而变化。如果一个电子的波的振幅不随时间而变化，我们称这个电子处于“定态”，这只是电子的一种存在形式。举个例子来说，稳定氢原子中的电子处在“定态”，如果我们给氢原子加上一个交变的电场，这个电子就不处于定态了。(2.2)中的假设是(2.1)的物理表述。(2.6)这个没有太大关系，在这里我们面对的就是一个没有零点的函数。只是在其他一些问题里，零点是非常重要的。(2.7)这个关系里面出现了普朗克常数。实际上这才是真正关键的假设。把电子的动量（粒子性）与波长（波动性）联系起来。这个假设没有不行。(2.9)这个假设也不是显然的。我们知道是经典力学的结果。如果考虑粒子的相对论性，这个关系就不对了。综合(2.2)和(2.9)，我们就知道最终得到的方程应该称为“非相对论性定态薛定谔方程”，简称“定态薛定谔方程”。小结一下：如果我们的目的是“从波动方程来得到量子力学的Schrodinger方程，并且不借助其他的假设”，那显然是没有成功的。至少(2.2)、(2.7)和(2.9)是三个绕不开的假设。同时，这样的推导也没有说明我们应该怎样求物理学量：我们只是得到了波函数的方程，并不能（由上述推导）得知粒子某时刻的能量等物理量如何从波函数得到。所以，这样的推导并没有建立起Schrodinger方程。但是，并不能说这个推导没有意义或者错误：1. 这个推导提供了一种理解Schrodinger方程的方法，即波函数满足的方程（在一定条件下）的确就是波动方程，从而某些结论可以直接套用。比如波动方程的解一般是不同频率简谐波的叠加，Schrodinger方程也可以这样解。2. 事实上量子力学的发展也是得益于与波动的类比，所以这个推导某种程度上反映了当时科学家们的心路历程。不过当时大家应该是以哈密顿力学为基础，而并不是直接拿波动方程来，但是思想是相通的。最后个人感想：物理理论的动人之处，往往在于大胆而精准的假设，而不是严密的逻辑。
时间久远，道理上的东西大家都说了，题主现在应该又学了很多东西。如果还不太明白，我说两个实际的：1. 如果是常数，那么你验证了平面波解满足非相对论自由粒子的薛定谔方程。2. 如果不是常数，那么也不是常数，你把2.4代入1时，指数因子不能提到拉普拉斯算符外面。
好吧，反正一看到电磁波有关的就晕了……过程也没有好好看。但是最后你得到的只是定态薛定谔方程罢了……有的假设太牵强……量子力学是公理化比较好的物理学。最初的公理可以是薛定谔非常，格里菲斯的书里就是这么讲的。当然，另外的书把对易当成公理也是等价的……你这个推导无非也是假设了什么……
不明白这楼里为啥有那么多冷嘲热讽的，甚至还有用投稿来嘲笑人的，不知道是期末考砸了，还是考研没考上。不客气的说，放在一百年前，这个推导没有任何问题，不仅没问题，花点钱把这个发出来基本上就等着成为一代宗师吧薛定谔方程现在看来确实是基本理论，但是这个东西不是凭空出现的，肯定是推导出来的。虽然薛定谔本人是从哈密顿-雅克比方程出发得到的薛定谔方程，但也用到了基本的德布罗意的观点，那就是物质波的基本假设，有些回答的人说第一步就禁不住推敲，简直就是不负责任，没有第一步薛定谔这辈子也别想推导出薛定谔方程题主基本上走的是目前教学中最容易的一种推导方式，那就是知道结果推过程，我们现在已经知道了薛定谔方程长什么样，所以有N多方法从物质波理论推出薛定谔方程（楼主可以去维基百科搜一下薛定谔方程，里面有好几种推导方式），但这点可笑吗，一点都不可笑，除了国内教材，朗道他老人家也用直接类比的方法推过薛定谔方程，按楼中一些人的风格，朗道把物质波和光波直接类比是不是也是一种不成熟的表现？对于开嘲讽认为这个方程的推导过程没有物理意义的，或者认为薛定谔方程不能被推导的，当然，主要是题主，我们看看薛定谔最早提出的方程长什么样（图片来源于我本科讨论班的一个PPT，全部截图来源于赵凯华老师的一篇文章——创立量子力学的睿智才思———纪念矩阵力学和波动力学诞生80 ～ 81 周年
赵凯华 大学物理 2006年第11期 ，建议题主有理论力学的基础之后读一读）没错，上面这个充斥于现在量子力学教材第二章的公式（第一章一般会友情回顾一下旧量子论）就是薛定谔发表的那一篇惊世骇俗的，给后世留下了很多传说（所谓雪山啊，情人啊种种）的论文中提出的薛定谔方程，连时间都没有，是不是比题主的那个推导结果low多了？但是这才是薛定谔方程的本来面目，也是最终得到其终极形式的开始没错，上面这个充斥于现在量子力学教材第二章的公式（第一章一般会友情回顾一下旧量子论）就是薛定谔发表的那一篇惊世骇俗的，给后世留下了很多传说（所谓雪山啊，情人啊种种）的论文中提出的薛定谔方程，连时间都没有，是不是比题主的那个推导结果low多了？但是这才是薛定谔方程的本来面目，也是最终得到其终极形式的开始薛定谔第一篇文章的大致过程（来源于赵凯华文章的整理，薛定谔原文参见，这是英译版，原版我就不贴了——Schr? dinger E.Collected Papers on Wave Mehanics , [ M] .London &Glasgow:Blackie &Son Limited , 1928）如下：推导建立在哈密顿-雅克比方程的基础上，根据我的观察，整个过程只在一个地方用了德布罗意的假设，就是W=h ln(fai)好了，鸡汤灌完了，题主首先你得知道目前你的做法是对的，你正在重复一些伟大的前人的工作，而且对你的数学能力也是一个提升，对波动理论的掌握对电动力学的学习也十分重要———————————————————————————————————————————接下来，我开始回答问题，那就是这个推导有什么问题根本上来说，还是那一句，放在一百年前，没有任何问题，物质波的结论是德布罗意的，电磁波的波动方程是早就定好的，把两者混在一起，最后推导出一个方程来也没什么难度，基本上任何一个二十世纪的 掌握理论力学的人都能干，薛定谔成功的原因是他推导出来的方程解释氢原子很恰当但是从现在的观点来看，这个推导问题就有了，因为薛定谔方程现在已经成为了一个基础理论，对于现在的物理研究者来说，薛定谔方程等价于另外一句话——所有能够被测量到的物理量都对应一个本征值，后者是薛定谔方程的文字表述形式，而这句话。。。直观来看跟什么都没说没啥区别，但是无数的实验证明了这一点所以如果说这个推导有什么问题的话，那就是，现在的物理学已经不需要这种从经典力学到波动力学的所谓推导了，其意义恐怕也只有教学上的意义
作为后来人，觉得面对这些伟大的公式，如果自己没有任何创见，不如好好欣赏它的美，何必把自己搞得太累？
好吧我也是高中生。我想说的是，Schr?dinger方程是量子力学中最基本的假设，犹如数学中的公理，是不能用其他定理来推导的，其正确与否只能通过实验检验。而一般量子力学教科书中得到它的过程只能称之为导出。推荐您看一看曾谨言的《量子力学》，讲的比较清楚，导出Schr?dinger（感谢
的提醒，我第一遍把他的名字打错了，第二遍又错了)方程，上面也有提到。独自研究量子力学是比较困难的，而且容易误入歧途。
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录