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芬兰新课改，到底改的什么？
来源：北京明远教育书院
最近，微信上疯传关于芬兰教育颠覆性改革的文章，虽然题目各异，但是内容雷同。似乎该文的原创来自“跟我看欧洲”微信公号，是于11月15日发出的，题目是“我们的孩子还在上补习班，芬兰人却决定颠覆学校教育”（以下简称“芬兰教育颠覆性改革”）。之后被不同的微信平台转载，有的还改了标题，如“芬兰将颠覆学校教育，成为世界第一个摆脱科目学习的国家”。由于近年来，芬兰在世界经合组织&PISA（国际学生能力测评）中的卓越表现，芬兰教育逐渐引起了世人瞩目。这个处于北欧一隅，并不为多数国人熟悉的神秘国家，也成为中国教育界关注的热点。所以不难理解，为什么这些帖子在各个平台的阅读量，能够在短短几天内就达到几十万之多。&
原文中最抓眼球，最有误导性的文字是：“日，请大家记住这一天。芬兰赫尔辛基教育局正式下发通知，从现在开始到2020年之前，正式废除小学和中学阶段的课程式教育，转而采取实际场景主题教学。也就是说，从现在开始，赫尔辛基的孩子们就不用再上单独的数学课、物理课、化学课，地理课等等等等。”&
其实，类似的误导性信息，也出现在国际范围内。为此，日，芬兰教育委员会（National&Board&of&Education）在网站公开澄清，一些关于芬兰废除分科式教学的新闻报道不符实。
日，微信公号“实而不作”发的帖子，已经把该网站澄清事实的全文翻译成中文，并对网上流传的关于芬兰废除分科教学帖子的一些不妥的说法进行了纠正。&
“芬兰教育颠覆性改革”的作者初衷或许是好的，想向国人介绍芬兰正在进行中的课程改革和相关的创新理念。可能在参考外文信息的时候，只看到了个别（有片面性）的报道，而没有详细了解芬兰的课程改革，更缺乏对芬兰教育管理体系的基本了解。&
要正确解读芬兰教育的变革和客观评判诸如“芬兰教育颠覆性改革”这样在网络流传的文章，有必有简单了解一些芬兰的新课改和芬兰中小学课程管理体制。&
由于经济、科技与社会的发展带来学生学习环境、劳动力市场及未来社会对人才能力需求的变化，芬兰政府认为维持传统的教学目标、教学内容或教学方法不利于培养新时代所需人才。为应对新世纪的挑战，更好地调动学生的学习积极性，2014年12月芬兰国家教育委员会公布了针对1-9年级的《国家基础教育核心课程》，同期也分别发布了针对学前教育和高中教育的课改方案。由此新一轮课改正式拉开序幕。新课程于2016年8月正式在全国范围内实施。&
新课改以培养适应瞬息万变的未来社会的人才为总目标，以最大程度地增强学生主动学习的参与度、促进有意义学习、快乐学习以及构建良好师生互动的学校文化，强调和促进“横贯能力”（transversal&competences）向传统学科教学的渗入。简单来说，横贯能力是相对于传统的学科能力而言，指贯穿于不同学科和领域需要具有的通用能力。它不等同于知识或能力，属于综合素养的范畴，包括价值观、态度、意愿在内的面对具体情境的综合表现。这种能力跨越学科界限，需要将不同领域的知识和技能整合起来，以保证学生能够面对个人发展、学习、工作和参与公共事务的各种需求。&
虽然芬兰的教学大纲（例如新的核心课程）由国家教育委员会（此外芬兰还有教育文化部）制定，但它仅仅是一个粗线条的框架，学校和教师在执行上有较大的自主权。芬兰的出版社会根据大纲来编印教材，但完全是市场运作，选什么教材由学校和任课教师做主。&
有了这些了解，就比较容易地进行分析了。&
芬兰新课程中十分强调横贯能力和培养这一能力所需的新型学习方式――如现象教学。这可能让一些人误读了它，以为芬兰要彻底颠覆传统的分科教学。新课程虽开宗明义强调横贯能力在芬兰未来基础教育改革中的重要地位，但并不是要取消传统的学科教学。以基础教育课改为例，仔细阅读新课程标准会发现“横贯能力”作为二级标题列于“基础教育使命与一般目标”这一一级标题之下。“1-2年级培养目标”、“3-6年级培养目标”以及“7-9年级培养目标”与“基础教育使命与一般目标”同为一级标题。以7-9年级培养目标为例，&其下的二级标题“7-9年级的学科教学目标”下分列出：母语与文学、第二语言、外语、数学、生物、地理、物理、化学、健康教育、宗教、伦理学、历史、社会研究、音乐、视觉艺术、手工、体育、家政等三级标题。由此可见，芬兰的新课程仍旧保留了原有的分科方式。&
再深入阅读核心课程可以看到，在每个分科课程的教学目标之中，会以表格的形式呈现出学科教学目标，并平行列出每一项分科教学目标对应的可发展的横贯能力。可见，横贯能力培养的主要形式是依托于具体学科。换句话说，新课程中芬兰仍可以以分科课程为主，但需要一方面将横贯能力的目标渗透入各个学科的日常教学之中，另一方面，要求各学校每学年至少组织一次跨学科学习模块。&
学科教学可以系统地传递给学生相应的学科知识和技能，让学生逐渐建立起对每一个学科体系的认识。横贯能力固然重要，但是失去了学科知识和技能的支撑，它就如同无源之水。芬兰意识到分科教学的弊端，提出了培养学生的横贯能力并开始探索现象教学。这是很大的进步，但要实施好，还需要很长的时间和耐心。&
按照芬兰课程的管理体制，即使赫尔辛基市政府真的提出到2020&年前废除分科式教学（相信他们也不会做这样硬性规定），学校和教师也有充分自由根据实际情况组织自己的教学。也许有些学校安排的跨学科的现象教学课程比重较大，但还没有完全取代分科教学。需要说明的是，由于芬兰的小学教育具有包班制的传统，即使在课改前，教师在教学中也常常会涉及到学科融合。&
尽管笔者在这里澄清一个事实，即芬兰的分科教学并没有被摒弃，但是对现象教学的理念还是赞赏的。“芬兰教育颠覆性改革”一文中提到的Marjo&Kyll?nen女士现任赫尔辛基市政府基础教育部（代理）负责人，也是“未来创新教育”（Education&For&Future&Innovation)项目的首席专家和现象教学的主要倡导者。笔者很钦佩她追求未来教育模式的热情与执着精神，也相信芬兰的学校教育还将是分科式和现象教学并行，且相得益彰。&
前面笔者主要理清了分科式还是现象式教学的问题，这仅仅是新课改的一个方面。那么芬兰新课改到底改的是什么？根据芬兰教育委员会官方网站，芬兰新教改主要包括以下九个方面：&
一、新课改的核心是培养目标的变化&
课程改革的目标是确保芬兰孩子和年轻人在学校获得的知识和技能，在未来无论是国内还是国际环境也能保持优势，同时学校要致力发展能有效提升学生学习兴趣和动力的方法。一些主要的改革目标包括加强学生社会参与、加强有意义的学习，并且使每一个学生有体验成功的机会以及引导他们在学校事务中承担更多责任。&
二、鼓励教师引导学生在教室外的学习和新技术的应用&
课改的一个具体目的，是创建优化的学校学习环境和工作方法。除了教室和学校的环境，学生也要进入其他的学习环境，例如走进自然、访问博物馆和公司等。游戏和其他的虚拟环境也应该更多地被认可为学习环境。新技术在学校常规教学等活动中应发挥更显著的作用，以便学生更容易地选择和进入他们的学习环境。&
三、为适应新能力培养，对课程内容和课时分布进行必要的调整&
基础教育法具体规定教学科目和课时分布。例如，社会学习和语言课程要在更低年级讲授。这些科目的教学目标和内容进行了更新，以贴近当今社会和体现未来需要的知识和技能。&
四、在所有科目的教学中都要加强七大未来横贯能力的培养&
国家核心课程规定横贯能力的培养目标，而市级政府和学校可以根据地方特点对这一能力进行进一步的定义。新课程描述了七种横贯能力，分别为：1）思考与学习的能力；2）文化识读、互动与表达能力；3）自我照顾、日常生活技能与保护自身安全的能力；4）多元识读（Multi-literacy）；5）数字化能力（Digital&competence）；6）工作生活能力与创业精神；7）参与、影响并为可持续性未来负责的能力。&
五、学生要熟悉编程基础&
每一门课程都应该提升学生掌握ICT能力的机会，在教学和学习中更多地应用技术。例如，编程应融入到数学课教育目标中，学生应在更低的年级学习编程基础。&
六、至少每年开展一次多学科学习模块&
每一所学校在每学年至少要组织一次跨学科的学习模块，包括主题活动、现象学习和实践项目等，需要学生综合不同课程的知识和从不同科目的视角来分析问题。学生也要参与到多学科学习模块的计划中。&
七、在较低年级开设更多选修课&
艺术和实践性的课程也列入到选修课，但由市级政府和学校决定具体课时数、课程内容和开设年级等。&
八、开展多样的学习评价&
新的课程体系强调学习评价方法的多样性，通过评价来引导和促进学习。每一个学生的学习进展信息必须经常反馈给学生和他们的监护人，并且反馈信息要多样、多维度，不仅仅是成绩报告的形式。每学年结束学生会收到成绩报告，该报告的目的是反映学生这一学年是否达到既定目标。&
九、学生和家长要熟悉所在学校的课程体系&
学生和他们的监护人都必须了解学校的课程，这使得监护人有可能更有效地支持孩子的学习以及积极参与学校活动的计划和实施。家庭和学校间的有效合作可以改善学生、课堂以及整个学校社区的安全和健康发展，这是为学生铺垫成功学习之路的关键。&
最后我们想说的是，鉴于国内对芬兰教育持续高涨的关注和越来越多的对芬兰教育的网上报道，有必要构建一个更具专业性和权威性的宣传平台。而由中芬两国政府推动，2016年正式成立的“中芬联合学习创新研究院”正在筹划对芬兰教育进行系列的深度介绍和专业分析，相信不久就能登场。
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{ 编辑：罗彦琳 }
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看到一则新闻——“山东考生高考前撕书减压”，心情颇为沉重。 “撕书”分明是一种厌学情绪的强烈表达。 学校的目的本来是帮助学生们学到知识，结果却造成了对知识的反感。 长久以来，我一直在思考一个问题。 中国学生为了应试而付出的代价，真的无法避免吗？ 山东省属于分数线最高的省份。 对于渴望考上顶级名校的考生来说，各科都必须得到90%以上的分数。 那么，一个资质平凡的普通学生为了达到这个目的—— 各科都必须得到90%以上的分数，必须要拼命吗？ 必须要变成考试机器、做题机器吗？ 厌学情绪，无法避免吗？ 学习进度压力，无法避免吗？ 超负荷、高强度、长时间的学习，无法避免吗？ 表面上看，似乎是这个样子的。 名校名师、高考状元总结出来的学习方法，久经考验。 笔记整理，思维导图，录音背诵，联想记忆，错题宝，遗忘曲线，知识卡片...... 只要能够养成上述的良好学习习惯，学习就会有进步。 最好的学校，最好的老师，最好的生源，最好的习惯，最长的学习时间，最高的分数...... （注：这里的“最好”，是以应试分数为标准的一种狭义评价。） 似乎，所有的潜力都已经榨取干净，学习效率已经没有再提升的余地， 要想学业有成，只能对自己更狠、更拼命。 真的只能这样吗？
芬兰教育的整体教学思路，对于学生的天资、自律、毅力等个人特质没有特殊要求，因此，适用面最广，适用于绝大 多数普通学生。 不过，芬兰教育的具体教学内容，却不太容易直接借鉴， 同大多数小国一样，芬兰是外向型经济，芬兰对学生未来的要求是多语言（芬兰语、德语、俄语等）、多文化的国际 型人才。 芬兰的教学设计也是围绕着这个目标。 从语言学上讲，芬兰语和中文几乎处于两个极端。 从文字的发音规律方面来说，芬兰语是一种规律明显的拼音语言， 音形对应关系很明确，“听说”基本上就对应于“读写”； 中文的音形对应关系很模糊，“听说”和“读写”之间的距离相当遥远。 从语法方面来说，芬兰语的语法复杂严谨，中文的语法自由散漫。 英语处于两者之间靠近芬兰语的那一端。 英语的发音不如芬兰语那么规则，语法也没有那么严格，这带来了麻烦， 也带来了好处——日常用语中的英语单词不会太长。 每一种语言都有其优势和劣势。 比如，相对于其他语言来说，中文的一个明显优势就在于格律、押韵、谐音。 这使得中文非常适合速记口诀的创作和背诵。 比如，乘法口诀表，元素周期表，用中文背诵起来，比其他语言简单许多。
芬兰教育的教学资源整合策略，目前主要集中在各个科目之间的整合。 我的想法是，我们还可以再进一步，对多个年级阶段的学习内容进行统一规划整合。 这样，可以进一步提高学习效率。 目前的学制中，学生的时间分配极为不合理。 小学的学习内容最少，却占据了最长的时间——六年。 初中三年的学习内容是小学的很多倍，高中三年的学习内容又是初中的很多倍。 这就造成了一种严重的失衡——最简单的内容，占据的时间最多；最难的内容，占据的时间反而最少。 弥补这种失衡的最常见思路就是“缩短学制”，即，低年级学生提前学习高年级课程。 比如，跳级、奥数、早慧儿童自考等，都是“缩短学制”的具体实践。 “缩短学制”的初衷是为了更合理地利用学习时间，但是，同时也带来了“拔苗助长”的隐患。 越是高年级的教材，用于抽象思维的形式演算符号就越多，不适合低年级学生。 请注意，我不是说，低年级学生就不能学习高年级的“知识”。 我只是说，低年级学生不适合学习高年级的“教材”。 “知识”并不等于“教材”。 “教材”只是“知识”的载体。 低年级学生当然可以学习高年级的“知识”。不仅可以学习，而且应该学习。 只不过，这些高年级的“知识”必须以适合低年级学生的“样式”来呈现。 具体来说，高年级的“知识”必须适合低年级学生的“具象化形象思维”。 实际上，这个原则不仅适用于小学生，也适用于中学生和大学生。 形象思维和抽象思维之间并非对立的关系，而是相辅相成的关系。 甚至可以说，形象思维是抽象思维的基础。 那些最受广大学生们欢迎的国际知名的大学教材，大都有一个共同的特点—— 形象生动，一目了然，每一个抽象形式演算都尽量提供对应的几何意义和物理意义。 前面提到的分子动画，一开始就是从国外的大学课堂上流行起来的。 可见，形象化、具象化，是初等教育和高等教育的共同发展趋势。 中学、大学知识中的很多重点难点，经过恰当的形象化改造，完全可以提前引入到小学阶段。 小学生完全可以提前接触中学、大学中常用的具体形象模型， 比如，斜线，斜面，球面，柱面，锥面，切线，切面，截线，截面，等。 即使是中学生和大学生，也最好补上这一课，因为很多中学生和大学生也很少有接触这些实际模型的切身体验。 一些家长可能不理解：高考是人生中最重要的选拔考试，高考不考大学知识，我为什么总是要把大学知识带上？ 这是因为，很多大学基础知识正在一步步地移入到高中课本中，成为高考范围， 比如，微积分、线性代数矩阵、向量空间几何、线性回归，等等。 这些知识点散落在高中数学课本中，形成一个个孤立的知识点，体系散乱，形式枯燥，十分难学。 只有从更高的视角着眼，高屋建瓴，一线贯穿，才可以讲透这些知识点的几何意义和物理意义， 从而达到事半功倍的效果，不仅有利于高考，更有利于大学本科的期中期末考试、自考、考研。 以国内的高考难度和复杂度来看，如果希望两全其美，学业生活两不误， 我们就必须通盘考虑并设计小学、中学、大学的整体学习规划。 这个整体设计规划的工作，由谁来做呢？ 很多家长和学生自然而然地会想到授课老师。 老师最专业，老师最值得信任。 但是，不要忘记，在教育体系中，老师本身也是受限的。 教育期刊中，我经常看到一句话，描述老师的两难状态——戴着镣铐起舞。 老师当然希望为每一个学生今后的长期发展目标考虑，但是，在此之前，老师首先要满足迫在眉睫的短期目标—— 按照进度要求，把大纲规定的每一个知识点，传授（如果不是灌输的话）给每一个学生，从而达到自身绩效考核的要 求。 这个短期目标和长期目标之间，通常是处于冲突状态。 而且，在大部分学校中，每个老师只教一个年级，一个科目，学生每升一级，就会换一个老师（每个科目）。 对于大多数学生来说，很难找到一个老师为自己进行整体学习规划设计。 大多数情况下，这个整体规划设计，只能学生自己来做，或者家长帮忙做。 我在后面写的内容，就是帮助学生和家长来做这个规划设计。 如果老师能够从中受到启发并为学生做这个整体规划，那就更好了。 接下来的内容，将涉及到具体知识点的具体细节。 先从中小学数学说起。 有时候，也会涉及到一些大学数学思想。 中学的某些知识点是大学数学基础知识中移到中学课本的。 中学课本中的这类知识点问题最大，效率最低。
其实，中国教师也很有责任心和上进心。 中国的一些教师（很多是年轻教师），做出了大量的优秀教案，免费发布在网上， 包括但不限于 图文（如百度文库中的教案）、 教学动画（一些生物教学网站上的分子动画）、 教学软件（如几何画板）等几种形式。 这些都是对教育的巨大贡献。 只是，根据我和很多家长的讨论情况， 我发现，这些教师和教案的影响力并不大，藏在深山无人识。
并不是所有的中小学生都天资出众， 并不是所有的中小学生都有机会上名校听名师讲课。 那么，资质平凡的普通中小学生，是否能够同时达到如下两项要求： (1) 在决定命运的重大选拔考试 （小升初之奥数，中考，高考，自考，考研）， 各科都能得到90%以上的分数。 (2) 同欧美（芬兰）学生差不多的学习时间。不影响日常生活质量。 这可能吗？
这听起来好像是痴人说梦， 但是，我反反复复考察了中小学课本（甚至大学课本）、考点、各种教案之后， 我认为，这是完全可能的。 只是，需要一个非常精心的整体学习规划设计。
下面，我具体阐述一下我的思路。 为了便于讨论，我按照学习特点，把整个知识体系分为两大类—— “数学”知识体系和“非数学”知识体系。 “数学”知识体系指可以用数学模型（具体表现形式包括但不限于公式、算法等）来刻画的知识体系。 数学和物理这两个学科的内容，基本上都是用数学模型来刻画的。 化学科目中，约30%的内容可以用数学模型来刻画， 如“原子核外电子排布规律”、“元素周期表规律”、 “立体化学”、“晶体结构”等内容。 生物科目中，约10%的内容可以用数学模型来刻画， 如“DNA”、“细胞分裂”、“孟德尔遗传性状概率分布”、 “血液循环（心房心室动脉静脉）”、“器官进化”等内容。 地理科目中，约5%的内容可以用数学模型来刻画， 如“等高线”、“地球自转公转模型”、“经纬”、“时区”、 “气候带”、“阳光入射角”、“观星定位”、“大陆板块”、“对流”等内容。 “非数学”知识体系自然是指规律不明显、难以用数学模型来刻画的知识体系。 比如，语言（语文，英语）、政治、经济、历史、地理，以及生物、化学的资料性知识。 各个人文科目中，也或多或少包含一些可以用数学模型来刻画的规律， 比如，政治、经济、历史等科目中的计算题、论述题等，语言（语文、英语）中的语法规律等。 不过，这些“规律”占据的比例极小，可以忽略不计。
顶，好文
@chnxnghi
07:16:41 顶，好文 ----------------------------- 多谢支持。
“数学”知识体系的学习，则难得多。 这不是说，只要花了时间就能学会的。 如果没有突破那个瓶颈，那么，无论花多少时间在题海中扑腾，也收效甚微。 当然，一旦跨过了那个门槛，学习的速度就一日千里了。 这就是所谓的“难者不会，会者不难。”
楼主大才，请多解惑！
中国现在还是封建社会 你说的太理想化 等未来网络超级电脑获得社会管理权再说吧
@qsm6-06-05 08:01:30 楼主大才，请多解惑！ ----------------------------- 多谢支持。 欢迎大家一起探讨。
@thisnameok
08:04:19 中国现在还是封建社会 你说的太理想化 等未来网络超级电脑获得社会管理权再说吧 ----------------------------- 哈哈。若是网络超级电脑能够为每一个人类个体提供仿真的学习环境（如虚拟现实）和真实的实践环境（如直接操作原子），那时候，每一个普通劳动者的安全、健康、舒适等需求将成为社会第一需求。
“非数学”知识体系蕴含着海量的资料性信息， 需要占据大量的时间，很难速成， 这些知识只能一点一滴花时间堆积起来。 要想提高“非数学”知识体系的学习效率，我们需要在想象力、记忆术方面下功夫， 围绕一个个喜闻乐见或凭空虚构的主题场景， 把所有相关的知识点全都串联起来（归纳、总结、组织、构建）， 让这些“死”知识在脑海中“活”起来。
扯淡的鸡汤文 芬兰教育受苏联影响极大，你觉得能轻松！ 整天批判中国教育，确看不到其为中国提供了多少人才，整天推崇欧美素质的放羊教育，但你敢把自己孩子扔欧美公立学校里去吗！
“数学”知识体系的学习，则难得多。 这不是说，只要花了时间就能学会的。 如果没有突破那个瓶颈，那么，无论花多少时间在题海中扑腾，也收效甚微。 当然，一旦跨过了那个门槛，学习的速度就一日千里了。 这就是所谓的“难者不会，会者不难。”
为了方便大家理解，我设想了一个场景。 一座占地广袤的城镇中，大部分城区都是平房建筑，街巷纵横，如迷宫般复杂。 城镇中零零落落地分布着五座摩天大厦，这些大厦还未竣工，脚手架还没有拆除。 城镇中心的两座摩天大厦最高，是两座并立的双子塔，号称“数学-物理”双子座。 城镇的西部，有一片平房城区，叫做“化学区”。 化学区的中心，矗立着一座摩天大厦，高度还不到“数学-物理”双子座的一半。 这座大厦叫做“化学”大厦。 城镇的南部，有一片平房城区，叫做“生物区”。 化学区的中心，矗立着一座摩天大厦，高度还不到“化学”大厦的一半。 这座大厦叫做“生物”大厦。 城镇的东部，有一片平房城区，叫做“地理区”。 化学区的中心，矗立着一座摩天大厦，高度还不到“生物”大厦的一半。 这座大厦叫做“地理”大厦。 这片城区中的大厦，代表着“数学”知识体系， 广大的平房区域则代表着“非数学”的资料性知识。
还有几个城区是完全的平房区， 分别是“语言区”（语文，英语）、 “社科人文区”（历史、经济、政治等）。 这片城区中的大厦，代表着“数学”知识体系， 广大的平房区域则代表着“非数学”的资料性知识。
我们有两个任务需要完成。 “攀高”任务：我们需要攀上所有大厦的顶部。 “游历”任务：我们需要摸清平房区域的所有大街小巷。 “攀高”任务代表“数学”知识体系。 “游历”任务代表“非数学”知识体系。 “攀高”任务最难，“游历”任务最耗时间。
我们先来看“攀高”任务。 顺着脚手架向上攀爬，可不是一件容易事儿。 力量不足的话，无论爬多少次，也爬不上去。 要想高效率地完成“攀高”任务，我们需要对脚手架进行改良，便于学生的攀爬。 这些大厦的脚手架的主要构成部分就是“题海战术”。 “数学”知识体系的课本，也基本上都是以“例题集”的形式来组织的。 学生的主要学习方式就是刷题。 课本上的例题太少，不够刷的，学生主要刷的是真题——即试卷上的综合题目。 刷真题的学习效率是极低的。 因为，真题的目的不是为了帮助学生，而是为了难住学生，制造足够的区分度。 真题通常是多个知识点统合起来的综合体。 由于学习进度的压力，老师通常没有足够的时间让学生透彻掌握这些知识点， 只能寄希望于题海战术，希望学生在刷题过程中“渐悟”或“顿悟”。 只是，要想通过刷真题来加深对那些知识点的理解，可不是一件容易事儿。 就像我们可以很容易把水和酒精混合到一起， 但是，把水和酒精分开，就不容易了， 这是一个难度颇高的“逆向工程”。 很多学生就卡在这一关上。 浪费了大量时间刷真题，勉强掌握了一类题型的解题套路， 结果，题目的知识点组合方式稍微变换一下，就识别不出来了。 这是很常见的现象。 押题猜题老师和出题老师之间是一种斗智斗勇的关系。 要想提高题海战术的刷题效率，只能从最根本的知识点本身入手。 只有把知识点本身理解了，才能达到“万变不离其宗，一眼识别根底”的境界。 课本中的不少知识点的讲法，效率极低，如果换成高效率讲法，效率可以大大提升。 如果把知识点的各种组合规律都精心组织起来，大概能节省80%的时间。
我们再来看“游历”任务。 “游历”任务没有太大的难度，只要勤走路就行。 问题在于，“游历”任务需要走的路太多了。 要想高效率地完成“游历”任务， 我们最好能够事先画出一张地图， 然后，拿着地图走街串巷，效率就高得多。 有了这张地图，我们大概能够节省30%的时间。
下面，我先列出中小学数学课本中最影响学习效率的“低效率陷阱”。 请注意，这些问题并非中国数学课本独有的问题。 我参阅过一些英文数学课本， 在相同的知识点上，通常也有同样的问题。
小学数学的“低效率陷阱”以及“高效率替代方案”。 (1) 竖式。 替代方案：更灵活、更通用的笔算法 (2) 除法的“分东西”讲法。 替代方案：矩形数量模型。 (3) “鸡兔同笼”问题的“抬腿法”。 替代方案：列表法。 这些观点有可能会引起争议。 具体细节放在后面一一探讨。
中学数学的“低效率陷阱”就比较多了，而且纠缠在一起。 比如， “配平化学方程式”不应该作为化学科目中的特殊技巧， 而应该作为数学中的通用算法——多元一次不定方程组。 比如， 空间几何、函数图像、向量、复数、三角函数、 矩阵、线性回归、排列组合概率统计等 知识点的讲法和顺序安排。 比如，初等函数（三角函数、对数函数、指数函数等）的求导公式， 原理可以很简单，甚至可以直接“看”出来，完全不用背。 比如，三角函数为什么招人恨，招人厌？ 比如，三角函数、复数、圆为什么不放在一起讲？ 比如，三角函数的求导公式为什么不放到物理的圆周运动中来讲？ 其他的各个知识点（考点），也都有优化的教学方案设计。 欢迎大家探讨具体知识点（小学、中学、大学数学范围内）。
太长没看完～～只是觉得～～哟，教育又该和芬兰比了？
@bolichang
09:47:10 太长没看完～～只是觉得～～哟，教育又该和芬兰比了？ ----------------------------- 学习成绩方面，中国的要求基本上高于芬兰。这个不用和芬兰比。 但是，学习效率方面，学生单位学习时间内的产出，这方面，芬兰教育有很多参考价值。
先谈谈竖式的问题。 在数学发展史上，应用了阿拉伯数字（或印度数字）的笔算法，大行其道，胜过了算盘、算筹。 问题就来了。 除了一些短数字的速算技巧之外，涉及到大数字加减乘除计算的场合，竖式，竟然成为了最为主要的（甚至是唯一）的通用笔算法。 为什么要选择竖式？ 我百思不得其解。 从各方面看，竖式的弊端都远远大于益处。 与其它笔算法相比，竖式只有一点独特的微不足道的好处： 数位对齐，格式极为严格，每一个数字都必须在规定的位置上。一个竖式，无数人计算无数遍，只要计算不出错的话，每一个数字都在相同的位置上。 但，即使是这么一点好处，也伴随着其最大的负面意义 -- 格式僵化，没有任何自由度。
竖式本质上是一种僵化利用“分配律”（数位对齐对应）的笔算法，不给学生任何自由度。 学生无法使用"交换律"，更无法发展出与"交换律"相关的速算法。 学生无法自由使用"分配律"，更无法发展出"分配律"相关的速算法。 要知道，"分配律"是整个数学运算中最为重要的定律，无论是在小学的数字运算阶段，还是中学的形式符号演算阶段（如多项式），"分配律"都是第一要律。 若是不用竖式而改用其他通用笔算法的话，学生很容易就会掌握"分配律"的要义，理解多项式形式是小菜一碟，更别说自行推演出各种五花八门的速算法了。 在多位数的除法竖式中，小学生竟然还要学习一种荒谬的“试商”技能， 一次次的试错，如果错了，那么，这个步骤的计算结果就需要整个抛弃，再重新计算。 这不仅给学生的学习带来了不必要的负担，也给老师的教学带来了不必要的麻烦。
郑毓信在《数学教育:从理论到实践》一书中引用了一位台湾妈妈讲述的故事。 妈妈带着儿子和女儿在外吃了三份比萨，每份199元（当然是台元）。 妈妈问儿子和女儿：三份比萨，每份199元，一共要多少钱。 儿子已经上了三年级，念叨着： 三九，二十七进二，三九，二十七进二...... 妈妈，你有没有纸和笔？我需要纸和笔来写“进位”，否则会忘。 女儿还在上幼儿园，扳着手指头，也在数。 过了一会儿，女儿就告诉了妈妈：600元给阿姨，她会找给妈妈3元。 妈妈问女儿怎么算的。 女儿说： 我用数的啊！199过去就是200，400，600，三个人一共要600元。 但是，阿姨一定要找给我们3元，因为她多拿了3元嘛。 更富有戏剧性的情节还在后面。 两年后，女儿也上小学了。 妈妈再次带着儿子和女儿在外吃饭，类似的场景，妈妈再次让儿子和女儿算钱。 女儿和儿子异口同声地要纸和笔，没有纸和笔就算不出来。
这个故事中描述的思维桎梏，主要原因之一是数字符号和数量模型之间的脱节问题。 小学生在学习“数字”符号的时候，把数量模型的形象体验给抹杀了。 思维桎梏的第二个主要原因就是竖式。 竖式的严格固化格式（再加上大量竖式训练），容易禁锢了小学生的算法思维。
所说芬兰人种与中国人种是近亲，不知对不对。芬兰成绩好，我认为是人种的原因。
1＋1=2，100分。
学习旧知识，创造新知识。中国教育为什么有矛盾？
@弥勒佛-06-05 10:31:02 所说芬兰人种与中国人种是近亲，不知对不对。芬兰成绩好，我认为是人种的原因。 ----------------------------- 据我看过的一些脑神经科学的研究成果，印象中，关于先天基因遗传和学习成绩之间的关系简述如下。 1. 先天基因遗传方面，子女代和父母代之间的相关度一般都不足40%（甚至不到30%），不形成特别明显的相关度。 2. 先天基因遗传方面，同卵双胞胎之间的智商相关度大概在 70% 以上。 这说明，智商确实和基因有一定关系。 但是，两代之间的遗传规律并不显著。龙生龙，凤生凤，这还是不一定的事儿。 3. 同卵双胞胎在青少年期之前，智力表现受后天家庭学校社会环境影响极大，如果家庭学校社会环境相差较大，那么，学业表现相差极大。 4. 青少年之后，智力表现开始趋同，年纪越大，越相近。 而中小学几乎实在青少年期完成的，这说明，后天家庭学校社会环境在中小学的学习中，还是占据了不可忽视的作用。
@无耻坚挺
10:36:22 学习旧知识，创造新知识。中国教育为什么有矛盾？ ----------------------------- 矛盾？ 我这个帖子主要关心的是代价，学生付出的代价。我希望，在不影响学业成果的前提下，有效地降低这个代价。
加减法的通用笔算法 竖式的最大优势就是数位对齐。 我们完全可以在普通等式算法中借鉴数位对齐的思路。 我的建议是，小学生不得不进行竖式训练的时候， 可以同时采用其他形式进行验算，扩展思路。
先来看加法。 123 + 59 竖式算法如下。 123 +
59 ------- 182
（个位到十位，有进位操作） 第一种普通笔算法（运用凑整）如下。 123 + 59 = 123 + 60 - 1 = 182 第二种普通算法（模拟竖式格式）如下。 123 + 59 = 123 +
59 = ------------- 123 + 60 - 1 = -------------- 183 - 1 = 182 第三种普通笔算法（数位拆项，体现位值概念）如下。 123 + 59 = 100 + 20 + 3 + 50 + 9 = 100
= ------------- 182 请注意，第二种和第三种算法形式，只是为了表现普通笔算法的灵活性。 做试卷的时候，还是要遵守现行判卷标准。 在这些普通笔算法中，小学生可以更加深刻理解进位制、数位、位值、分配律、交换律等重要数学思想。
再来看减法。 123 - 59 竖式算法如下。 123 -
59 ------- 64
（个位、十位、百位，有借位操作） 第一种普通笔算法（运用凑整）如下。 123 - 59 = 123 - 60 + 1 = 64 第二种普通笔算法（模拟竖式格式）如下。 123 - 60 = 123 -
60 + 1 = ------------- 63 + 1 = 64 第三种普通笔算法（数位拆项，体现位值概念）如下。 123 - 59 = 100 + 20 + 3 - 50 - 9 = 100 +
= ------------- 100 -
= -------------- 50 +
3 ------------- 64
乘法的通用笔算法 再来看乘法。 24 × 26 竖式算法如下。 24 ×
26 ----------- 144
480 ------------ 624 第一种普通笔算法（运用拆项和分配律）如下。 24 × 26 = (20 + 4) × (20 + 6) = 20 × 20
24 （注：## 符号是一些常见计算机编程语言中的注释符号。这里借用一下。） = 400 +
24 --------- 624 这种算法有几个好处。 第一个好处就是乘法简单，全都是个位数的表内乘法。 第二个好处就是练习了分配律，同时体验了二项式展开情境（进一步可以推出组合公式）。 第三个好处就是加深了数量级、数位、位值等重要概念的体验。 第四个好处就是有助于发现速算规律。 这个两位数的乘法算式存在着明显的速算规律。 十位数相同，个位数之和等于十。 这样类型的题目做上几道，学生很可能自行“发现”出速算规律。 上式 = 20 × 20 + 20 × (4 + 6) + 4 × 6 = 20 × 30 + 4 × 6 = 624 十位数相同，个位数之和等于十。 这样类型的题目做上几道，学生很可能自行“发现”出速算规律。 速算规律如下。 十位数是2，那么，百位数就是 2 × (2 + 1) = 6 后两位就是个位数的乘积
4 × 6 = 24。 最后结果就是 624。 运用这个速算原理，可以很快计算出下面的乘法。 77 × 73 = 7 × 8 × 100 + 7 × 3 = 5621 很多乘法速算原理都是分配结合律的运用。 如果局限于竖式算法的话，小学生很难有机会自行“发现”这些速算规律。 自由格式乘法通用算法还有一个好处，那就是有助于发展出新算法。 有一种有趣的多位数乘法算法，叫做“铺地锦”， 其基本思想就是上述的分配律多项展开算法。
03.03 除法的通用笔算法 再来看除法。 133 ÷ 17 竖式算法如下。 7 ----------- 17
133 119 -------------- 14 这个除法竖式需要“试商”。 如果一次“试商”不成功，就需要再试，再不成功，就要再试。 普通笔算法（运用连减法和分配律）如下。 133 ÷ 17 17 × 5 = 85
133 - 85 = 48 17 × 2 = 34 48 - 34 = 14 商 = 5 + 2 = 7 余数 = 14 133 ÷ 17 = 7 + (14 ÷ 17) 说明一下，上述的结果中，(14 ÷ 17)是余数部分。 因为14小于17，不够减了，就成为余数。 为了突出余数，课本中一般写成如下形式。 133 ÷ 17 = 7 ..... 14 我还是倾向于比较“原始”的形式。 133 ÷ 17 = 7 + (14 ÷ 17) 这种形式有一个好处，等号“=”两端的相等关系能够明确保持。 两端同时乘以17，就可以转换成乘法形式。 133 = 17 × 7 + 14
# 除数是 17，商是7
小数除法（分数）的通用笔算法 竖式在这个地方的负面作用最大。 如果使用通用避算法，小学生可以更充分深入地理解 分数、循环节、等比数列、同余定理、抽屉算法等重要数学思想。
小学数学课程中还有一个明显的问题是除法教学中的“除数”和“商”的概念。 小学数学教材中的“除法概念”教学，很大程度上，就是一个语言游戏。 15分成3份儿，每份是几？ 每份3个，15个能分成几份？ 在这些除法的数学模型中，除数是什么意义？商是什么意义？份数？份额？ 不仅学生头疼，家长抱怨，老师也颇为纠结。
小学生在数学学习中遇到的主要困难，实际上是“数学语言理解困难”。 小学数学的一个重要任务是帮助小学生理解并掌握数学语言（包括数学符号）的使用。 很多时候，小学生不理解“数学”，其实只是不理解老师所使用的数学语言。 小学生还处于具体运算思维和形象思维阶段，需要从具体事例中学习。 于是，“分东西”就成为除法教学中最常见的教学情境。 比如，几个小朋友分苹果，每个人分几个，等等。 遗憾的是，除法算法模型本身涉及的复杂度，已经远远超过了“分东西”所能涵盖的范畴。 强行使用“分东西”情境来讲解除法模型，很多时候，适得其反，人为制造理解障碍。
我的看法是，只要还纠结于这些语言游戏中，“除数”和“商”这两个概念是没有办法搞清楚的。 只有挑出这个语言游戏的怪圈，引入更加形象直观的数量模型，才能从根本上讲清楚“除数”和“商”的概念。 除法算法的数学模型，理解起来确实不容易。 这是除法算法这个数学模型本身的复杂度决定的。 要透彻理解除法算法的数学模型，必须透彻理解如下几个关键点。 (1) 透彻理解乘法中两个乘数（因数）的交换律。 这时候，我们需要引入一个二维的矩形数量模型。 两个乘数（因数）就是矩形数量模型的两个维度（如长度、宽度）。 □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ (2) 透彻理解乘法和除法之间的逆运算关系。 (3) 在除法存在余数的情况下，商和除数之间的交换律在什么条件下成立。 矩形数量模型搞清楚之后，上述的乘除法关系搞清楚之后， “除数”和“商”的概念就迎刃而解了。
下面，谈谈“鸡兔同笼”问题的“抬腿法”解法。 “抬腿法”解法是千古流传下来的“鸡兔同笼”问题的经典解法。 现代人给了这个解法新的讲法。 “鸡和兔都抬起了两条腿。鸡抬起两条腿之后，一屁股就坐地上了”。 这个段子在家长圈中疯传，甚至成为了“灵活数学思维”的标杆。 实际上，“抬腿法”的应用范围极窄，并不能体现通用数学思想。 一些数学家也在科普读物试图把“抬腿法”这种特殊解法推广成二元一次方程组的通用解法。结果适得其反，把本来简单的通用算法复杂化了。 对“抬腿法”这种特殊解法的强调，反而是有害无益的。 既阻碍了小学生对此类问题通用算法思想的理解，也阻碍了将来向“方程法”的过渡。 这里涉及的内容较多，如果有人感兴趣，我就展开讲一下。
小学数学课程的问题相对容易梳理，中学数学课程的问题可就难办了， 内容庞杂，交叉干扰，盘根错节，积重难返，极难梳理。 我就先讲一个例子吧。
第一个例子就是“配平化学方程式”。 可能会有人觉得奇怪，“配平化学方程式”不是一个化学问题吗？怎么会是一个数学问题？ 其实，我也觉得奇怪。 数学是一种工具学科，理应是为其他科目服务的。 但是，奇怪的是，无论是物理，还是化学，这些最需要数学辅助的科目， 却往往最希望自成体系，免除数学的“不必要”干扰。 我想，这可能就是传说中的“门户之见”吧。 毕竟，每一个科目的老师都不希望自己所教的科目过多依赖于其他科目的进程。 若是化学老师的教学过多依赖于数学老师的教学质量，那么，如果学生学不好数学的话，就没法学好化学了。 化学老师当然不希望这种情况发生。 于是，“配平化学方程式”就成了一个化学科目中的特殊技巧， 而不是数学科目中最普遍最通用的“多元一次不定方程组”问题。
@学父五迁
08:41:59 为了方便大家理解，我设想了一个场景。 一座占地广袤的城镇中，大部分城区都是平房建筑，街巷纵横，如迷宫般复杂。 城镇中零零落落地分布着五座摩天大厦，这些大厦还未竣工，脚手架还没有拆除。 城镇中心的两座摩天大厦最高，是两座并立的双子塔，号称“数学-物理”双子座。 城镇的西部，有一片平房城区，叫做“化学区”。 化学区的中心，矗立着一座摩天大厦，高度还不到“数学-物理”双子座的一半...... ----------------------------- 这模型似乎错了，人应该是在盆地中心，向四周的山地攀爬， 越攀爬风景越好，风景越好越难攀爬
下面，我们来看一个“配平化学方程式”的具体例子。 当丙烷气体燃烧时，丙烷（C3H8）与氧气（O2）结合产生二氧化碳（CO2）和水（H2O）。 形成如下的化学方程式。 (a1) C3H8 + (a2) O2 = (a3)CO2 + (a4)H2O a1, a2, a3, a4 分别是四种分子的个数。 分子有上述4种。 所有的可能原子有碳（C）、氢（H）、氧（O）3种。 第一步，列个表格，列出每种分子中含有某种原子的个数。 C3H8
H2O 碳（C）
0 氢（H）
2 氧（O）
1 第二步，根据上述表格，列出下面的不定方程组。 （为了方便起见，所有未知数都移到等式左边） 3 a1
= 0 8 a1
= 0 2 a2
= 0 第三步，用消元法或代入法解方程就行了。 这个方程组很适合用代入法，直接就可以看出
a3 = 3 a1,
a4 = 4 a1 代入最后一个方程，就可以得到 a2 = 5 a1 这是一个不定方程组，有无穷多组解。 取一组最小公约数为1的整数解即可。 a1 = 1 a2 = 5 a3 = 3 a4 = 4 可见，化学科目的“配平化学方程式”不需要任何特殊技巧， 只需要按部就班运用数学通用解法即可。
@学父五迁
10:58:46 再来看减法。 123 - 59 竖式算法如下。 123 -
59 ------- 64
（个位、十位、百位，有借位操作） 第一种普通笔算法（运用凑整）如下。 123 - 59 = 123 - 60 + 1 = 64 第二种普通笔算法（模拟竖式格式）如下。 123 - 60 = 123 - 60 + 1 = ------------- 63 + 1 = 64 第三种普通笔算法（数位拆项，体现位值概念）如下。 123 - 59 = 100 + 20 + 3...... ----------------------------- 会把孩子教迷糊，这就是奥数的套路
@学父五迁
10:58:46 再来看减法。 123 - 59 竖式算法如下。 123 -
59 ------- 64
（个位、十位、百位，有借位操作） 第一种普通笔算法（运用凑整）如下。 123 - 59 = 123 - 60 + 1 = 64 第二种普通笔算法（模拟竖式格式）如下。 123 - 60 = 123 - 60 + 1 = ------------- 63 + 1 = 64 第三种普通笔算法（数位拆项，体现位值概念）如下。 123 - 59 = 100 + 20 + 3...... ----------------------------- @理工理工3
12:18:40 会把孩子教迷糊，这就是奥数的套路 ----------------------------- 这种数字符号运算，不应该一开始就教给一年级的小孩子。 我的建议是，尽量运用数量模型代替数字符号，直接用数量模型表达这些复杂的算法思想。 加减乘除的种种原理，都可以用数量模型（比如，立方块）直接摆出来。 很多孩子上蒙台梭利幼儿园的家长反应，孩子自己用"蒙台梭利十进制教具"，自己学会了千以内的加减法。 "蒙台梭利十进制教具"有两个不足。 一是 贵，二是
"珠子"样式。 在表达数量模型方面，立方格模型更加简单。 等到孩子把数量模型摆弄熟了，理解了其中的基本运算原理了，再升级到数字符号也不迟。
@学父五迁
08:41:59 为了方便大家理解，我设想了一个场景。 一座占地广袤的城镇中，大部分城区都是平房建筑，街巷纵横，如迷宫般复杂。 城镇中零零落落地分布着五座摩天大厦，这些大厦还未竣工，脚手架还没有拆除。 城镇中心的两座摩天大厦最高，是两座并立的双子塔，号称“数学-物理”双子座。 城镇的西部，有一片平房城区，叫做“化学区”。 化学区的中心，矗立着一座摩天大厦，高度还不到“数学-物理”双子座的一半...... ----------------------------- @理工理工3
12:14:27 这模型似乎错了，人应该是在盆地中心，向四周的山地攀爬， 越攀爬风景越好，风景越好越难攀爬 ----------------------------- 哈。这个建议很好。
自带五毛： 这个什么意思？详细解释一下啊，那么多方格子是啥？不要用评论功能回复，请在帖子里说明 学父五迁： 两个乘数（因数）就是矩形数量模型的两个维度（如长度、宽度）。 □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ 这个模型的意思是表现乘法
7 X 6。 横向有 7 个立方格，纵向有 6 个立方格。 可以表达 6个7，或者，7个6。 如果用于表达除法
42 ÷ 7。 先按照十进制方式摆出 42 个立方格。 （每行10个，四行之后，还有一行只有2个立方格。） □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□ 然后，把这42个立方格，摆成 7 个一行。 □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□ 最后一数，摆出了 6 行。 6 就是 42 ÷ 7 的结果。
@宝贝安静： 12:29:53
评论 是啊。奥数会针对一些IQ在数学方面相对好一些的同学开设这类练习。但肯定不适用于所有人。楼主完全沉浸在自己的想象中，浑然不管人与人的差异。 ================ 有个问题，叫发生学 小娃娃呀呀学语的时候，没法教给他语法什么的 过去有过做这个尝试的，开始就教孩子集合论，可是孩子没法真的理解集合论
@学父五迁 关键是及时升级，小学完全不必六年，考试完全不必满分， 或者规定小学达到90分就当作满分，中学达到80分就算满分 考试考到99.5分，纯属浪费自己，以99.5分做指挥棒的，纯属祸害别人
@理工理工3
12:36:41 @宝贝安静
： 12:29:53
评论 是啊。奥数会针对一些IQ在数学方面相对好一些的同学开设这类练习。但肯定不适用于所有人。楼主完全沉浸在自己的想象中，浑然不管人与人的差异。 ================ 有个问题，叫发生学 小娃娃呀呀学语的时候，没法教给他语法什么的 过去有过做这个尝试的，开始就教孩子集合论，可是孩子没法真的理解集合论 ----------------------------- 法国数学教育发展史上，也发生过这样的事情。（好像是因为 克莱茵 的关于现代数学的说法） 小学就 过早引入 抽象的形式符号和概念。 集合论，之类的。 结果，适得其反。 我的看法，直到大学本科，我们学习的内容，也都限定在 古典数学 （多元微积分） 的范围内。 而古典数学范围内的数学，几乎都是从具体的物理意义和几何意义中发展出来的。 因此，形象思维和具体模型十分重要。 抽象符号，越晚引入越好。 我甚至建议，整个小学阶段，都可以直接用数量模型的形象思维来代替数字符号演算。 当然了，我并不反对用数量模型直接演算中学、甚至大学的数学思想，只要是小学生可以直接摆弄体验的数量模型，符合小学生的形象思维。
@学父五迁
12:42:21 法国数学教育发展史上，也发生过这样的事情。（好像是因为 克莱茵 的关于现代数学的说法） 小学就 过早引入 抽象的形式符号和概念。 集合论，之类的。 结果，适得其反。 我的看法，直到大学本科，我们学习的内容，也都限定在 古典数学 （多元微积分） 的范围内。 而古典数学范围内的数学，几乎都是从具体的物理意义和几何意义中发展出来的。 因此，形象思维和具体模型十分重要。 抽象符...... ----------------------------- 抽象、符号、理论， 应该及时引入， 过早夹生，过迟浪费，都不好
2*3，与其矩阵，不如两个苹果一堆，三堆 5*7
五个葡萄一堆，7堆 之后指出，用乘法的简洁性，必要性 这个，用计算机很容易弄出形象化教案
@理工理工3
12:45:04 抽象、符号、理论， 应该及时引入， 过早夹生，过迟浪费，都不好 ----------------------------- 现在，国外大学中的教材都有一个趋势，尽量用 物理意义和几何意义 代替原来的 形式符号推演。 只有这样的教材，才是最受学生们欢迎的。 （只有极少的数学专业人士 会钻研那些纯粹符号推演的现代数学算法。） 形象思维是抽象思维的基础。 我想，形象化，具体模型化，可操作化，应该是未来学习资料的总体趋势。
你前面说的199元。。。。可以用鸡蛋托盘讲，
@理工理工3
12:49:49 2*3，与其矩阵，不如两个苹果一堆，三堆 5*7
五个葡萄一堆，7堆 之后指出，用乘法的简洁性，必要性 这个，用计算机很容易弄出形象化教案 ----------------------------- 这种 分堆法，对于 普通乘法 是够了。 但是，没法体现 两个维度，不易体现 交换律。 矩形数量模型，两个维度，一目了然，转一下就行了。 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 转一下。 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口
@学父五迁
12:50:24 现在，国外大学中的教材都有一个趋势，尽量用 物理意义和几何意义 代替原来的 形式符号推演。 只有这样的教材，才是最受学生们欢迎的。 （只有极少的数学专业人士 会钻研那些纯粹符号推演的现代数学算法。） 形象思维是抽象思维的基础。 我想，形象化，具体模型化，可操作化，应该是未来学习资料的总体趋势。 ----------------------------- 但是教育不可越位，算数弄清之前，不可以讲技巧
这个乘法的 两个维度（因数，乘数），对于 除法 概念，是非常重要的。 如果用 分东西、分堆的模型，很难讲清楚的。 比如， 15分成3份儿，每份是几？ 每份3个，15个能分成几份？ 在这些除法的数学模型中，除数是什么意义？ 商是什么意义？ 份数？ 份额？
@理工理工3
12:52:47 你前面说的199元。。。。可以用鸡蛋托盘讲， ----------------------------- 鸡蛋托盘？ 能否详细说说？
@理工理工3
12:49:49 2*3，与其矩阵，不如两个苹果一堆，三堆 5*7
五个葡萄一堆，7堆 之后指出，用乘法的简洁性，必要性 这个，用计算机很容易弄出形象化教案 ----------------------------- @学父五迁
12:53:06 这种 分堆法，对于 普通乘法 是够了。 但是，没法体现 两个维度，不易体现 交换律。 矩形数量模型，两个维度，一目了然，转一下就行了。 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 转一下。 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- 容易得很，什锦糖！按袋算，按种类算
@理工理工3
12:54:27 但是教育不可越位，算数弄清之前，不可以讲技巧 ----------------------------- 这里的"技巧"是指？ 特殊算法吗？ 我反对奥数培训的一个原因就是，过度强调 特殊算法，忽略 通用的数学思想和数学模型。 比如，流传下来的“鸡兔同笼”问题的“抬腿法”，就是一种不宜推广和强调的特殊算法。
鸡蛋托盘？ ============= 这就是缺了一个鸡蛋的鸡蛋托盘， 口口口口口- 口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 -----------------------------
@理工理工3
12:49:49 2*3，与其矩阵，不如两个苹果一堆，三堆 5*7
五个葡萄一堆，7堆 之后指出，用乘法的简洁性，必要性 这个，用计算机很容易弄出形象化教案 ----------------------------- @学父五迁
12:53:06 这种 分堆法，对于 普通乘法 是够了。 但是，没法体现 两个维度，不易体现 交换律。 矩形数量模型，两个维度，一目了然，转一下就行了。 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 口口口口口 转一下。 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- @理工理工3
12:56:54 容易得很，什锦糖！按袋算，按种类算 ----------------------------- 袋、种类。。是指两个乘数吗？ 能否具体举个例子？
口口口口口- 口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- + 口口口口口- 口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- + 口口口口口- 口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- = 口口口口口口口 口口口口口口口 （ 口口口口口口口
）X 3 - 3 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------- 这就是你的199 的故事
鸡蛋托盘？ ============= 这就是缺了一个鸡蛋的鸡蛋托盘， 口口口口口- 口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- @理工理工3
12:59:42 ----------------------------- 明白了。 我也是极力推崇这种思路的。
口口口口口- 口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- + 口口口口口- 口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- + 口口口口口- 口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------------------- = 口口口口口口口 口口口口口口口 （ 口口口口口口口
）X 3 - 3 口口口口口口口 口口口口口口口 ----------------- @理工理工3
13:01:43 这就是你的199 的故事 ----------------------------- 多谢详细解说。 我也非常推崇这种数量模型的思路。
@学父五迁
13:01:51 明白了。 我也是极力推崇这种思路的。 ----------------------------- 万万不可越界于过早！！！！！！！！！！否则是揠苗助长，苗必死
@学父五迁
13:01:51 明白了。 我也是极力推崇这种思路的。 ----------------------------- @理工理工3
13:03:37 万万不可越界于过早！！！！！！！！！！否则是揠苗助长，苗必死 ----------------------------- 没错。 "拔苗助长"的隐患极为深远。
谢谢 理工理工3 的深入探讨。 我这里就先说一下
我关于小学生数学启蒙的看法吧。 数量模型的认识，应该先于 数字之前。 比如，数字“1”到“9” 当小学生对于数量模型有了足够的直观体验之后， 师长就可以教小学生书写数字了。 口 口口 口口口 口口口口 口口口口口 口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口口 口口口口口口口口口 第一阶段，把上述的每一行数量模型，都一行行记录下来。 一个立方格，就对应一个数字“1”。 这种记录法，是为了突出单位数量“1”的意义。 1 1, 1 1, 1, 1 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 小学生之间相互出题。 一个小学生给出一行“1”，另一个小学生构造出一行立方格。 等到小学生熟悉了单位数量“1”和立方格之间的对应关系后， 师长就可以教小学生书写阿拉伯数字了。 师长给出如下对应列表， 给出每一行“1”的简写形式——阿拉伯数字。 1: 1 2: 1, 1 3: 1, 1, 1 4: 1, 1, 1, 1 5: 1, 1, 1, 1, 1 6: 1, 1, 1, 1, 1, 1 7: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 8: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 9: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
@学父五迁
13:00:31 袋、种类。。是指两个乘数吗？ 能否具体举个例子？ ----------------------------- 水果袋：桃，李，杏 5个 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 按袋，3*5 按种类，5*3 等于你的矩阵，但是矩阵元素必须不同，以免迷糊。熟悉之后再考虑抽象
先给学生看一个较大的数量“25”。 首先，二十五个立方格，需要摆成十个一行，构成“整十行”。 不够摆的，也暂时构成一行“多余数”。 口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 同样，在纸上，用单位数量“1”记录这个数量。 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 这时候，我们把“整十行”和“多余数”分别记录。 我们为每一个整十行，都记录一个“1”。 二个整十行，就是二个“1”，简写为“2”。 这个“2”，就叫做“十位数”。 “多余数”里面有五个“1”，简写为“5”。 这个“5”，就叫做“个位数”。 这两个数连在一起写。 十位数放在左边，个位数放在右边，就构成了一个两位数“25”。 这就是“十进制数字”的记录方法。 关于“进制”的概念，师长现在不必讲解。 接下来，师长再引入一个整十的数量“30”。 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 三个整十行，就是三个“1”，简写为“3”。 “十位数”就是“3”。 这个数量模型里面没有“多余数”。 那么，“个位数”就是“空位”。 我们引入一个特殊的数字“0”来表示这个“空位”。 数字“0”的含义颇为丰富。 这个阶段，学生只需要理解到“空位”这个占位符的意义就够了。
数位与数字“0” 数量“9”之后，还有无穷无尽的数量。 我们不可能为所有的数量都设计一个简写数字。 我们需要用一种叫做“数位”的记录规则， 来利用现有数字记录无限的数量。
@学父五迁
13:07:31 谢谢 理工理工3 的深入探讨。 我这里就先说一下
我关于小学生数学启蒙的看法吧。 数量模型的认识，应该先于 数字之前。 比如，数字“1”到“9” 当小学生对于数量模型有了足够的直观体验之后， 师长就可以教小学生书写数字了。 口 口口 口口口 口口口口 口口口口口 口口口口口口 口口口口口口口 口口口口口口口口 口口口口口口口口口 第一阶段，把上述...... ----------------------------- 还是苹果比较好，不适合用“1”，会妨碍以后用2
【口】不等于就是1！违背了数学的抽象性和普适性
@学父五迁
13:00:31 袋、种类。。是指两个乘数吗？ 能否具体举个例子？ ----------------------------- @理工理工3
13:09:28 水果袋：桃，李，杏 5个 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 按袋，3*5 按种类，5*3 等于你的矩阵，但是矩阵元素必须不同，以免迷糊。熟悉之后再考虑抽象 ----------------------------- 明白了。 不过，我觉得，这个模型会给 每个单位数量（即单位数字1） 附上了不同的属性（如 桃、李、杏），有可能让小学生分心多想。
@理工理工3
13:12:59 【口】不等于就是1！违背了数学的抽象性和普适性 ----------------------------- 没错。【口】不等于就是1！ 这个 矩形数量模型，还可以用其他形式展示， 比如，在一个围棋盘中的方格中，摆上围棋子。 每一个棋子，也可以抽象为 "1" 。
@学父五迁
13:10:37 数位与数字“0” 数量“9”之后，还有无穷无尽的数量。 我们不可能为所有的数量都设计一个简写数字。 我们需要用一种叫做“数位”的记录规则， 来利用现有数字记录无限的数量。 ----------------------------- 十进制就是手指进制，不可以提前说到“进制”
@学父五迁
13:00:31 袋、种类。。是指两个乘数吗？ 能否具体举个例子？ ----------------------------- @理工理工3
13:09:28 水果袋：桃，李，杏 5个 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 按袋，3*5 按种类，5*3 等于你的矩阵，但是矩阵元素必须不同，以免迷糊。熟悉之后再考虑抽象 ----------------------------- @学父五迁
13:13:09 明白了。 不过，我觉得，这个模型会给 每个单位数量（即单位数字1） 附上了不同的属性（如 桃、李、杏），有可能让小学生分心多想。 ----------------------------- 过早抽象更不好
@理工理工3
13:11:38 还是苹果比较好，不适合用“1”，会妨碍以后用2 ----------------------------- 对。苹果、棋子、豆子，都可以作为计数的对象。每个物体都可以抽象出"1"。 不过，我特意给出这个 1 的阵列，是为了强调一种 同质性。 也是为了直接用模型展示一个深层次的数学思想 ： 10进位的一个 1，就是一个 10，其中含有 10 个 1。 这个思想用语言来表述，不如用模型直接展示，小学生摆弄时间长了，自行就领会了。
@理工理工3
13:15:27 十进制就是手指进制，不可以提前说到“进制” ----------------------------- "进制"这个名称，是不用讲给小学生的。 另外，我觉得，手指其实不适合作为数量模型，因为，手指的数量有限，而且，手指是不一样的，不太适合代表 同质性 的 1。
@学父五迁
13:00:31 袋、种类。。是指两个乘数吗？ 能否具体举个例子？ ----------------------------- @理工理工3
13:09:28 水果袋：桃，李，杏 5个 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 袋：桃，李，杏 按袋，3*5 按种类，5*3 等于你的矩阵，但是矩阵元素必须不同，以免迷糊。熟悉之后再考虑抽象 ----------------------------- @学父五迁
13:13:09 明白了。 不过，我觉得，这个模型会给 每个单位数量（即单位数字1） 附上了不同的属性（如 桃、李、杏），有可能让小学生分心多想。 ----------------------------- @理工理工3
13:16:22 过早抽象更不好 ----------------------------- 过早抽象，是指数字“1”的引入？ 数字的引入，可以尽量晚。 我的意思是，当引入数字的时候，应该 数量模型 先行。
@理工理工3
13:15:27 十进制就是手指进制，不可以提前说到“进制” ----------------------------- @学父五迁
13:19:51 "进制"这个名称，是不用讲给小学生的。 另外，我觉得，手指其实不适合作为数量模型，因为，手指的数量有限，而且，手指是不一样的，不太适合代表 同质性 的 1。 ----------------------------- 容易，够一手榛子，在碗里放一个核桃，空出手来继续数，自然就出来十进制了
@理工理工3
13:15:27 十进制就是手指进制，不可以提前说到“进制” ----------------------------- @学父五迁
13:19:51 "进制"这个名称，是不用讲给小学生的。 另外，我觉得，手指其实不适合作为数量模型，因为，手指的数量有限，而且，手指是不一样的，不太适合代表 同质性 的 1。 ----------------------------- @理工理工3
13:25:07 容易，够一手榛子，在碗里放一个核桃，空出手来继续数，自然就出来十进制了 ----------------------------- 哈哈。用榛子和核桃来代替 1 和 10 吗？好办法。
现在的小学生，几乎都没有这类 大数量 计数 的经验，直接就开始运算 多位数 数字 符号，题海战术，练习计算速度。 这种做法是 事倍功半 的。 只有深入体验并掌握了 数位 相关模型之后，才可能直接通关。
@学父五迁
14:30:18 现在的小学生，几乎都没有这类 大数量 计数 的经验，直接就开始运算 多位数 数字 符号，题海战术，练习计算速度。 这种做法是 事倍功半 的。 只有深入体验并掌握了 数位 相关模型之后，才可能直接通关。 ----------------------------- 为了直观体验大数量的处理，每组小学生需要数出一千多个豆子。 ============= 没哪个老师敢玩，万一孩子偷吃一个粒豆子，家长会把园长活吃了
@学父五迁
14:30:18 现在的小学生，几乎都没有这类 大数量 计数 的经验，直接就开始运算 多位数 数字 符号，题海战术，练习计算速度。 这种做法是 事倍功半 的。 只有深入体验并掌握了 数位 相关模型之后，才可能直接通关。 ----------------------------- @理工理工3
15:06:02 为了直观体验大数量的处理，每组小学生需要数出一千多个豆子。 ============= 没哪个老师敢玩，万一孩子偷吃一个粒豆子，家长会把园长活吃了 ----------------------------- 园长？ 应该是校长吧。 小学生应该已经过了吃豆子的年龄了吧。:D
@理工理工3
15:06:02 没哪个老师敢玩，万一孩子偷吃一个粒豆子，家长会把园长活吃了 ----------------------------- @学父五迁
15:08:24 园长？ 应该是校长吧。 小学生应该已经过了吃豆子的年龄了吧。:D ----------------------------- 都一样，小一小二偷吃了教室的教学豆子，都是园长校长负责的
@理工理工3
15:13:59 都一样，小一小二偷吃了教室的教学豆子，都是园长校长负责的 ----------------------------- 那就还是用较大的棋子（比较难吞的）吧，袋子换成更大个的就行。:D 其实，我一直觉得，仓库中点货、包装的活儿，对于理解基本数量模型极为有效。 若是有一种机制，组织小学生经常上这种劳动课，对于数学很有帮助。
数字符号，只是 具体数量模型 的指代，并非 数量模型本身。 返璞归真，是一种 事半功倍 的高效做法。 文字符号，也是如此。 很多时候，文字符号，并非代表事物的本来面目。
明成祖朱棣有几个儿子。 其中，长子名“朱高炽”，次子名“朱高煦”。 这两个人，一个性格刚猛，炽烈如火，身形高大威猛；一个性格敦厚，如春风般和煦，身形肥胖柔和。 猜一猜，哪一个是朱高炽，哪一个是朱高煦？ 我想，当年朱棣给两个幼子起名的时候，也没有想到，这两个儿子的名字和本人之间竟然能够形成如此鲜明的反差。
@学父五迁
15:16:40 那就还是用较大的棋子（比较难吞的）吧，袋子换成更大个的就行。:D 其实，我一直觉得，仓库中点货、包装的活儿，对于理解基本数量模型极为有效。 若是有一种机制，组织小学生经常上这种劳动课，对于数学很有帮助。 ----------------------------- 小心反童工主义者们，呵呵
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