& 11回归分析的基本思想及其初步应用
11回归分析的基本思想及其初步应用
[导读]1.1回归分析的基本思想及其初步应用 本周题目：回归分析的基本思想及其初步应用 本周重点： （1）通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤；了解线性回归模型与函数模型的区别； （2）尝试做散点图，求回归直线方程； （3）能用所学的知识对实际问...
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
本周题目：回归分析的基本思想及其初步应用
本周重点：
（1）通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤；了解线性回归模型与函数模型的区别；
（2）尝试做散点图，求回归直线方程；
（3）能用所学的知识对实际问题进行回归分析，体会回归分析的实际价值与基本思想；了解判断刻画回归模型拟合好坏的方法――相关指数和残差分析。
本周难点：
（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.
（2）掌握回归分析的实际价值与基本思想.
（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.
（4）残差变量的解释；
（5）偏差平方和分解的思想；
本周内容：
一、基础知识梳理
１．回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数 →③写出回归直线方程 ，并利用回归直线方程进行预测说明.
2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.
③由经验确定回归方程的类型.
④按一定规则估计回归方程中的参数 （最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.
3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤：
（1）提出问题；（2）收集数据；（3）分析整理数据；（4）进行预测或决策。
4.残差变量 的主要来源：
（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述 与 之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差包含在 中。
（2）忽略了某些因素的影响。影响变量 的因素不只变量 一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在 中。
（3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的 的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在 中。上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。
二、例题选讲
例1：研究某灌溉渠道水的流速 与水深 之间的关系，测得一组数据如下：水深1.401.501.601.701.801.902.002.10流速1.701.791.881.952.032.102.162.21
（1）求 对 的回归直线方程；
（2）预测水深为1.95 时水的流速是多少？
分析：本题考查如何求回归直线的方程，可先把有关数据用散点图表示出来，若这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，说明这两个变量线性相关，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公式求得线性回归直线方程。解：（1）由于问题中要求根据水深预报水的流速，因此选取水深为解释变量，流速为预报变量，作散点图：
由图容易看出， 与 之间有近似的线性关系，或者说，可以用一个回归直线方程
来反映这种关系。由计算器求得 。
对 的回归直线方程为 。
（2）由（1）中求出的回归直线方程，把 代入，易得。计算结果表示，当水深为 时可以预测渠水的流速为 。
评注：建立回归模型的一般步骤：
（1）确定研究对象，明确两个变量即解释变量和预报变量；
（2）画出散点图，观察它们之间的关系；
（3）由经验确定回归方程类型（若呈线性关系，选用线性回归方程）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差出现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
例2：1993年到2002年中国的国内生产总值(GDP)的数据如下：年份GDP
(1)作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么。
(2)建立年份为解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并计算残差。
(3)根据你得到的模型，预报2003年的GDP，并查阅资料，看看你的预报与实际GDP的误差是多少。
(4)你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由。
解：(1)由表中数据制作的散点图如下：
从散点图中可以看出GDP值与年份近线呈线性关系；
(2)用yt表示GDP值，t表示年份，根据截距和斜率的最小二乘计算公式，
得：从而得线性回归方程：
残差计算结果见下表：
GDP值与年份线性拟合残差表
　　年份　　残差-9..055　　年份　　残差0.984-7.622-993.791(3)2003年的GDP预报值为，根据国家统计局2004年统计，2003年实际GDP值为，所以预报与实际相-；
(4)上面建立的回归方程的R2=0.974，说明年份能够解释约97%的GDP值变化，因此所建立的模型能够很好地刻画GDP和年份的关系。
说明： 关于2003年的GDP的值来源，不同的渠道可能会有所不同。
例3：如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x的地震个数为N，试建立回归方程表述二者之间的关系。震级33.23.43.63.844.24.44.64.85.0地震数震级5.25.45.65.866.26.46.66.87　　地震数25　　
解：由表中数据得散点图如下： 　　
从散点图中可以看出，震级x与大于该震级的地震次数N之间不呈线性相关关系，随着x的减少，所考察的地震数N近似地以指数形式增长.
做变换y=lgN，
得到的数据如下表所示：x33.23.43.63.844.24.44.64.85y4.04.13.33..25.45.65.866.26.46.66.87　　y2.82.01.31.398　　
x和y的散点图如下： 　　
从这个散点图中可以看出x和y之间有很强的线性相差性，因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系。根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得：
故线性回归方程为：
相关指数R2≈0.997，说明x可以解释y的99.7%的变化。因此，可以用回归方程
描述x和y之间的关系。
例4：电容器充电后，电压达到 ,然后开始放电，由经验知道，此后电压 随时间 变化的规律公式 表示，观测得时间 时的电压 如下表所示：
试求电压 对时间 的回归方程。
分析：由于两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，我们可通过对数变换把指数关系变为线性关系，通过线性回归模型来建立 与 之间的非线性回归方程。
解：对 两边取自然对数得
　　 ，令 ,即 。　　
由所给数据可得4.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.6
其散点图为：
由散点图可知 与 具有线性相关关系，可用 来表示。经计算得： （最小二乘法），　　 ，　　即 。　　所以， 。
评注：一般地，有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模型，即借助于线性回归模型研究呈非线性回归关系的两个变量之间的关系：
（1）如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选用线性回归模型来建模；
（2）如果散点图中的点的分布在一个曲线状带形区域，要先对变量作适当的变换，再利用线性回归模型来建模。
本周练习：
1.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是（　　 ）
A．回归分析　　 B.相关系数分析　　 C.残差分析　　 D.相关指数分析
2.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（　　 ）
A．预报变量在 轴上，解释变量在 轴上　　B.解释变量在 轴上，预报变量在 轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
3.两个变量相关性越强，相关系数 （　　 ）
　　A．越接近于0　　　　 B.越接近于1　　 C.越接近于－1　　 D.绝对值越接近1
4.若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（　　 ）　　
A．0　　 B.1　　　　 C.－1　　　　 D.－1或1
5.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：
年龄（岁）3456789身高（94.17.39.0由此她建立了身高与年龄的回归模型 ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是（　　 ）
A.她儿子10岁时的身高一定是145.83 　　B.她儿子10岁时的身高在145.83 以上
C.她儿子10岁时的身高在145.83 左右
D.她儿子10岁时的身高在145.83 以下
6.两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中， 的系数 （　　 ）　
　A. 　　 B. 　　 C. 　　　　 D.
7.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（　　 ）
A.样本点都在回归直线上　　 B.样本点都集中在回归直线附近
C.样本点比较分散　　　　　 D.不存在规律
8.在建立两个变量 与 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数 如下，其中拟合最好的模型是（　　 ）
A.模型1的相关指数 为0.98　　 B.模型2的相关指数 为0.80
C.模型3的相关指数 为0.50　　 D.模型4的相关指数 为0.25
9.相关指数 ＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。
10.某农场对单位面积化肥用量 和水稻相应产量 的关系作了统计，得到数据如下：
如果 与 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为 时水稻的产量大约是多少？（精确到 ）
11.假设美国10家最大的工业公司提供了以下数据：公司销售总额经x1/百万美元
利润x2/百万美元
通用汽车福特埃克森IBM通用电气美孚菲利普·莫利斯
克莱斯勒杜邦德士古
（1）作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；
建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；
你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由。
参考答案：
　　A B D B　　 C A A A9．10.由于问题中要求根据单位面积化肥用量预报水稻相应的产量，因此选取单位面积的化肥用量为解释变量，相应水稻的产量为预报变量，作散点图：
由图容易看出， 与 之间有近似的线性关系，或者说，可以用一个回归直线方程
来反映这种关系。由计算器求得 。
对 的回归直线方程为（ *）。
由（*）中求出的回归直线方程，把 代入易得。计算结果表示，当单位面积化肥用量为 时水稻的产量大约是 .11．(1)将销售总额作为横轴，利润作为纵轴，根据表中数据绘制散点图如下：
由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系；
(2)由最小二乘法的计算公式，得：
则线性回归方程为：
其残差值计算结果见下表：
销售总额64利润残差-361..销售总额6利润4802413残差-830.-.(3)对于(2)中所建立的线性回归方程，相关指数为R2≈0.457，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的46%，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系。
　　说明：此题也可以建立对数模型或二次回归模型等，只要计算和分析合理，就算正确。
1.2独立性检验的基本思想及其初步应用
本周题目：独立性检验的基本思想及其初步应用
本周重点：
（1）通过对实际问题的分析探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用.；了解独立性检验的常用方法：三维柱形图和二维条形图，及其K2（或R2）的大小关系.
（2）通过典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。
（3）理解独立性检验的基本思想及实施步骤，能运用自己所学的知识对具体案例进行检验.
本周难点：
（1）了解独立性检验的基本思想；
（2）了解随机变量 的含义， 太大认为两个分类变量是有关系的；
（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.
本周内容：
一、基础知识梳理
1.独立性检验
利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为"两个分类变量有关系"的方法称为两个分类变量的独立性检验。
2.判断结论成立的可能性的步骤：
（1）通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。
（2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
二、例题选讲　　
例1.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：　　患病不患病合计吸烟不吸烟合计
试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？
分析：最理想的解决办法是向所有50岁以上的人作调查，然后对所得到的数据进行统计处理，但这花费的代价太大，实际上是行不通的，339人相对于全体50岁以上的人，只是一个小部分，已学过总体和样本的关系，当用样本平均数，样本方差去估计总体相应的数字特征时，由于抽样的随机性，结果并不唯一。现在情况类似，我们用部分对全体作推断，推断可能正确，也可能错误。如果抽取的339个调查对象中很多人是吸烟但没患慢性气管炎，而虽不吸烟因身体体质差而患慢性气管炎，能够得出什么结论呢？我们有95%（或99%）的把握说事件 与事件 有关，是指推断犯错误的可能性为5%（或1%），这也常常说成是"以95%（或99%）的概率"是一样的。
解：根据列联表中的数据，得
　　 。　　
因为 ，所以我们有99%的把握说：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关。　　
评注：对两个分类变量进行独立性检验，要对样本的选取背景、时间等因素进行分析。
例2．甲乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
班级与成绩列联表　　优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390
画出列联表的条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关；利用列联表的独立性检验估计，认为"成绩与班级有关系"犯错误的概率是多少　　
解：列联表的条形图如图所示：
由图及表直观判断，好像"成绩优秀与班级有关系"；由表中数据计算得K2的观察值为k≈0.653&0.455。由下表中数据
P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.50.001k0.32.15.910.828得：P(K2≥0.455)≈0.50，
从而有50%的把握认为"成绩与班级有关系"，即断言"成绩优秀与班级有关系"犯错误的概率为0.5。
评注：　　
（1）画出条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系。这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错。
（2）计算得到K2的观测值比较小，所以没有理由说明"成绩优秀与班级有关系"。这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立。在独立性检验中，在假设"成绩优秀与班级没有关系"的情况下，计算得到的K2的值比较小，且P(K2≥0.653)≈0.42，说明事件(K2≥0.653)不是一个小概率事件，这个事件的发生不足以说明"成绩优秀与班级没有关系"，即没有理由说明"成绩优秀与班级有关系"。这里没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾。
例3．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联列表：
药物效果与动物试验列联表　　患病未患病总计服用药104555
没服用药203050总计3075105请问能有多大把握认为药物有效？
解： 假设"服药情况与是否患病之间没有关系"，则K2的值应比较小；如果K2的值很大，则说明很可能"服药情况与是否患病之间有关系"。由题目中所给数据计算，得K2的观测值为k≈6.110，而P(K2≥5.024)≈0.025，所以有97.5%的把握认为"服药情况与是否患病之间有关系"，即大约有97.5%的把握认为药物有效。　　
例4．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，根据此资料你是否认为在恶劣气候中男人比女人更容易晕机？　　晕机不晕机合计男人243155女人82634合计325789
分析：这是一个 列联表的独立性检验问题，根据列联表的数据求解。
解：由条件中数据，计算得：，因为 ，所以我们没有理由说晕机是否跟男女性别有关，尽管这次航班中男人晕机的比例 比女人晕机的比例 高，但我们不能认为在恶劣的气候飞行中男人比女人更容易晕机。
评注：在使用 统计量作 列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5，为此，在选取样本的容量时一定要注意这一点，本例中的4个数据都大于5，且满足这一要求的。　
　本周练习：
1．在一次独立性检验中，其把握性超过了99%，则随机变量 的可能值为（　　　　 ）
　　A．6.635　　　　 B．5.024　　 C．7.897　　 D．3.841　　
2．把两个分类变量的频数列出，称为（　　　　 ）
A．三维柱形图　　　　 B．二维条形图　　　　 C．列联表　　　　 D．独立性检验　
3．由列联表　　合计1134合计
则随机变量 的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。
4．某大学希望研究性别与职称之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？　　答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。
5．某高校"统计初步"课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况，具体数据如下表：　　非统计专业
统计专业男
为了检验主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到　　 。
因为 ，所以断定主修统计专业与性别有关系。这种判断出错的可能性为　　　　　　　　　 。
6．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。
（1）根据以上数据建立一个 的列联表；
（2）检验性别与休闲方式是否有关系。
7． 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表。试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生的时间有关系。
出生时间性别晚上白天合计男婴243155女婴82634合计325789
参考答案：　　1．C 　　2．C　　3．7.469　　4．女教授人数，男教授人数，女副教授人数，男副教授人数（或高级职称中女性的人数，高级职称中男性的人数，中级职称中女性的人数，中级职称中男性的人数。）　　5．5%（或0.05）　　6．答案：　　（1） 的列联表：　　看电视运动合计女3354合计6460124
（2）假设休闲方式与性别无关，计算　　 ；
因为 ，所以有理由认为假设休闲方式与性别无关是不合理的，即我们有97.5%的把握认为休闲方式与性别无关。　
7．由所给数据计算得K2的观测值为k≈3.689，而由
P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.50.001k0.32.15.910.828知P(K2≥2.706)=0.10
所以有90%的把握认为"婴儿的性别与出生的时间有关系"。
2.1合情推理与演绎推理
编稿：周尚达　　　　审稿：张扬　　　　责编：严春梅
学习目标：
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；
2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用"三段论"进行简单的推理.
重点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用"三段论"证明问题.
难点：用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。
学习策略：　
①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势　　
②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是"开拓型"或"发散型"的思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.
③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是"封闭型"或"收敛型"的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.
知识要点梳理
知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．
知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
1.归纳推理
（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
（2）一般模式：部分整体，个体一般
（3）一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；
③检验猜想.
（4）归纳推理的结论可真可假
归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.
2.类比推理
（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.　　
（2）一般模式：特殊特殊　
（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.　　
（4）一般步骤：
①找出两类对象之间的相似性或一致性；
②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；
③检验猜想.　　
（5）类比推理的结论可真可假
类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。
知识点三：演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．　
（2）一般模式："三段论"是演绎推理的一般模式，常用的一种格式
① 大前提--已知的一般原理；
② 小前提--所研究的特殊情况；
③ 结论--根据一般原理，对特殊情况作出的结论.
（3）用集合的观点理解"三段论"　
若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质
（4）演绎推理的结论一定正确　　
演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。
规律方法指导
合情推理与演绎推理的区别与联系
（1）从推理模式看：
①归纳推理是由特殊到一般的推理．
②类比推理是由特殊到特殊的推理．
③演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）从推理的结论看：
①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。
②演绎推理所得的结论一定正确。
（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
经典例题透析
类型一：归纳推理
1．用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.
思路点拨：依题意，表示数列的前项和，即.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式.　　解析：对数列的前项和分别进行计算：　　　　　，，　　　　　，　　　　　，　　　　　.观察可得，数列{Sn}的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方，由此猜想数列的前项和.　
总结升华：
①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.　
②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一　　
③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.　　④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.
举一反三：　　
【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，...，（2－1），...的前项和的归纳过程.　　
【答案】对等差数列1，3，5，...，（2－1），...的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：；　；；；；： 观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想.　　
【变式2】设，计算的值，同时归纳结果所具有的性质，并用验证猜想的结论是否正确.
【答案】　　　　　　
，　　　　　　 ，.　
∵43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都为质数
由此猜想，为任何正整数时，都是质数.　
验证：当时，，为合数，
因此猜想的结论不正确.
【变式3】在数列中，a1=1，且，计算a2、a3、a4，并猜想的表达式.　　
解析：，，，　猜想：.
2．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？　　
思路点拨：可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数，从中发现规律，再归纳出结论.
解析：设平面被n条直线分成部分，则：
当n=1时，S1=1+1=2；
当n=2时，S2=1+1+2=4；
当n=3时，S3=1+1+2+3=7；
当n=4时，S4=1+1+2+3+4=11.　据此猜想，得.
举一反三：
【变式1】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成块区域，有，，，......，则的表达式是___________.【答案】
【变式2】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形　 　　
（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？（2）推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系.
（1）各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：
顶点数（)边数()区域数()a332b57
（2）观察：3+2－3=2；8+6－12=2；6+5－9=2；10+7－15=2.通过观察发现，它们的顶点数、边数、区域数之间的关系为：.
类型二：类比推理
3．在三角形中有下面的性质：
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；
(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；　　
(4)三角形的面积，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆半径)．
请类比写出四面体的有关性质．
思路点拨：利用三角形的性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从而类比出四面体的相似命题，提出猜想．
解析：　　
(1) 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2) 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面；
(3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心；
(4) 四面体的体积，(为四面体的四个面的面积，为四面体的内切球半径).　　
总结升华：
1. 把平面几何的问题类比立体几何的问题，常常有如下规律：
(1)平面中的点类比为空间中的线；
(2)平面中的线类比为空间中的面；
(3)平面中的区域类比为空间中的空间区域；
(4)平面中的面积类比成空间中的体积．
2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系.即进行类比的对象必须具有某些类似特征，并且已知其中一类对象的某些已知特征，否则会使类比成为"乱比"，对两个"风马牛不相及"的事物，没有可比性，也没有类比的价值.可从不同角度选择类比对象，但要强调类比的原则是根据当前问题的需要.
3．类比推理是数学教学中经常采用的推理形式，如向量的运算性质与实数的运算性质的类比，立体几何中的许多定理性质与平面几何中的有关定理、性质的类比等.
举一反三：
【变式1】在平面几何中有命题"正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值"，那么在正四面体中类似的命题是什么？
【答案】类似的命题为"正四面体内任意一点到四个面的距离之和是一个定值".　　　　　　 平面几何中的命题可用面积法证明其正确性，即该点与正三角形三个顶点连结所得到的3个小三角形面积和等于正三角形的面积. 由此类比可得到启发，可用体积法证明正四面体中这个类似的命题.
【变式2】在中，若，则，请在立体几何中，给出类似的四面体性质.
【答案】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体，且三个面与面所成的二面角分别是，，， 类比直角三角形的性质猜想四面体的性质.如图所示，在中，.　于是把结论类比到四面体中，　　　　　　 若三个侧面、、两两互相垂直且分别与底面所成的角为，，,　　　　　　则.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式3】已知等差数列的公差为，前项和有如下性质：①通项②若，则
④，，构成等差数列.
类比上述性质，在等比数列中，写出相类似的性质.　
【答案】在等比数列中，公比为，前项和为
①通项：　
②若，则　
④，，构成等比数列.
【变式4】在△ABC中，若BC⊥AC，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S-ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体S-ABC的外接球半径R=________.
类型三：演绎推理　
4．已知：在空间四边形中，、分别为、的中点，用三段论证明：∥平面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：连结∵三角形两边中点的连线是三角形的中位线............大前提
而、分别两边、的中点，......小前提
∴是的中位线.....................................结论
∵三角形的中位线平行于第三边..................大前提
而是的中位线，..................小前提
∴∥.....................................结论
∵平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.........大前提
EF在平面外，在平面内，且∥，......小前提
所以∥平面.......................................................结论
总结升华：①三段论是演绎推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断.
②演绎推理是由一般到特殊的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.
③归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
举一反三：【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：
证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，............大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，..............................小前提
所以菱形是正多边形.......................................................结论
（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？
【答案】上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为所有边长都相等，内角也相等的凸多边形才是正多边形），所以所得的结论是错误的.
【变式2】写出三角形内角和定理的证明，并指出每一步推理的大前提和小前提.
已知：中，求证：.　　　　　　　　　　　　　　
【答案】延长到，得的外角，过点在内作∥　　　　　　 ∵若两直线平行，则同位角相等、内错角相等，............　　大前提
而∥，................................................小前提
∴.....................................结论
由平角是，................................................大前提
而 ＝是一个平角，..................小前提
∴.................................结论
【变式3】如图2-1-8所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：ED=AF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD=∠A，（小前提）所以，DF∥EA.（结论）
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）
DE∥BA且DF∥EA，（小前提）
所以，四边形AFDE为平行四边形.（结论）
（3）平行四边形的对边相等（大前提）
ED和AF为平行四边形的对边，（小前提）
所以，ED=AF.（结论）
上面的证明通常简略地表述为：
四边形AFDE是平行四边形ED=AF.
【变式4】用三段论证明函数在（－∞，+∞）上是增函数.
证明：设，则，　因为，
所以，即.　
于是根据"三段论"，得在上是增函数.
法二：.　当时，有恒成立，
即在（－∞，+∞）上恒成立.所以在（－∞，+∞）上是增函数．
【变式5】函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是___________.
【答案】∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，由0＜x+2＜2得-2＜x＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数由图象可得f(2.5)＞f(1)＞f(3.5).
学习成果测评
基础达标：
1．下列关于归纳推理的说法中错误的是（ ）
A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B．归纳推理是由特殊到一般的一种推理过程
C．归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识过程
2．有这样一段演绎推理："有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数"结论显然是错误的，是因为( )　　
A．大前提错误　　　 B．小前提错误　　　 C．推理形式错误　　　 D．非以上错误
3．数列3，8，15，___，35，48，...　根据数列的特点，在横线"___"上，应填写的数字是（ ）　
A．２０　　 　　　 B．２４　　　　 C．２８　 　　　D．３０
4．由集合，，，...子集的个数归纳出集合的子集的个数为（ ）
A．　　 　　B．　　　 　C．　　　　 　D．D．　
5．三角形的面积为、、为三角形三边长，为三角形内切圆的半径.利用类比推理可以得出四面体的体积为（ ）
C．、、、分别为四面体的四个面面积，为四面体内切球的半径）
D．为四面体的高）
6．函数在上是增函数，函数是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是___________.
7．在某报《自测健康状况》的报导中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中"　　　　"处.
年龄（岁）6065
收缩压（水银柱毫米）5
舒张压（水银柱毫米）　88
8．设数列满足，，则＝_________，＝________，___________，由此，可猜测可能为＝___________（用表示）.　　9．从中得出的一般性结论是_____________.
10．若数列中则.
11．若，则____________.
12．判断下列推理是否正确.
（1）如果不买彩票，那么就不能中奖.因为你买了彩票，所以你一定中奖；
（2）因为正方形的对角线互相平分且相等，所以，若一个四边形的对角线互相平分且相等，则四边形是正方形；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以.
13．找出圆与球相似的性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质.
①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；
②与圆心距离相等的两弦相等；
③圆的周长是直径）；
④圆的面积.
14．找出三角形与四面体相似的性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质.
15．证明函数在内是增函数．
能力提升：
16．已知函数，定义域为，，对任意，有　　　　，猜想的表达式为（ ）　　
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．　　17．设...，，则（ ）　　
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　D．
18．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则　　；当时__________（用表示）.
19．由图1有面积关系：，则由图2有体积关系：________.　　　　　　　　　　　　　　
20．在等差数列中,若,则有等式(, )成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若,则有等式___________成立.
21．如图所示，图(1)中有五条线段，图(2)、图(3)见下图，由此猜想第个图形中有线段的条数为　　　　　　　　.　　　　　　
22．证明：函数的值恒为正数.
综合探究：　　
23．数一数下图中的凸多面体的面数、顶点数和棱数，然后归纳推理得出它们之间的关系.　　　　　　　　　
参考答案：
基础达标：
6．f(2.5)＞f(1)＞f(3.5).
解析：∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，由0＜x+2＜2得-2＜x＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，又∵函数y=f(x+2)是偶函数， ∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数由图象可得f(2.5)＞f(1)＞f(3.5).
7．140,85.
8．3；4；5；
解析：由，得； 由，得；
由此猜想.9．10．；解析：前项共使用了个奇数，由第个到第个奇数的和组成，即11．；
12．（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确.
13．解析：二者相似的性质有：①圆是平面上到一定点的距离等于定长的点的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的点的集合.②圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质：圆球
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
球心与截面圆（不经过球心的截面圆）的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等
与球心距离相等的两个截面圆的面积相等
圆的周长是直径）
球的表面积
14．解析：二者的相似性有：①三角形是平面内数目最少的基本元素（直线）围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中数目最少的基本元素（平面）围成的最简单的封闭几何体.
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形；四面体可
以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形.通过与三角形的有关性质类比，可以推测四面体的有关性质：三角形四面体
三角形两边之和大于第三边.
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心.
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心.
三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边.
四面体的中位面（以任意三条棱的中点为顶点的三角形）的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面.
15．证明：.当时，有，所以. 所以在内是增函数
能力提升：16．C　　
所以，　　　　
，　　　　　
根据，猜想的表达式为：.17．B　解析：，　　　　　　　　　　　　　　　故可猜测是以4为周期的函数，有　　　　　　　　　　所以
解析：，　可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数.猜测得出，有，　　　　　.19．20．(, ).
解析：等差数列中, 此处用了：　　　　　。
而的前一项为，故成立.若等比数列中,对于, 则有，　　　　　且的前一项为,所以(, ).
21．解析：图（1）中有5条线段，图（2）中有条线段，图（3）中有条线段，故可猜想第（）个图形中有条线段.
22．证明：　　
①当时，其各项均为正数，时，.
②当时，，　　　右边代数式中三项均为正数，.
其右边代数式中三项均为正数，.综上所述，对任意都有成立.综合探究：
23．解析：各多面体的面数、顶点数、棱数如下表所示.多面体面数（）
顶点数（）
棱数（）三棱锥446四棱锥558三棱柱569五棱锥6610立方体6812
正八面体8612五棱柱71015截角正方体71015尖顶塔9916观察：4+4―6=2；5+5―8=2；5+6-9=2；6+6―10=2；6+8―12=2；8+6―12=2；
7+10―15=2；9+9－16=2；发现，它们的顶点数、棱数及面数有共同的关系式：.
2.2直接证明与间接证明
编稿：周尚达　　　　审稿：张扬　　　　责编：严春梅
学习目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解间接证明的一种基本方法：反证法；
2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.重点：根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.
难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.
学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.它适合证明"存在性问题、唯一性问题"，带有"至少有一个"或"至多有一个"等字样的数学问题.
知识要点梳理
知识点一：直接证明
（1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.　　
（2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫"顺推证法"或"由因导果法".它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.
（3）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）
2、分析法　
（1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.　
（2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫"逆推证法"或"执果索因法".它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
（3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：　　　　　　　　　　　　（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）　　
（4）分析法的格式：要证......，只需证......，只需证......，因为......成立，所以原不等式得证。
知识点二：间接证明
反证法　　
（1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.　　
（2）反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和"假设"这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.
（3）反证法的基本思路："假设--矛盾--肯定"　 　　　
①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．
（4）用反证法证明命题"若则"，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：　　　　　　
（5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.
规律方法指导
1.用反证法证明数学命题的一般步骤：
①反设--假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；
②归谬--从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
③存真--由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.
2.适合使用反证法的数学问题：
①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如"存在性问题、唯一性问题"等；
②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有"至少有一个"或"至多有一个"等字样的数学问题.
经典例题透析
类型一：综合法
1．如图，设在四面体中，，，是的中点.　　　　　　求证：垂直于所在的平面.　　　　　　　　　　　　　　　　
思路点拨：要证垂直于所在的平面，只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直.
解析：连、因为是斜边上的中线，所以又因为,而是、、的公共边，所以于是,而，因此∴，由此可知垂直于所在的平面.
总结升华：这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：　　（1）由已知是斜边上的中线，推出，记为（已知）；　　（2）由和已知条件，推出三个三角形全等，记为；
（3）由三个三角形全等，推出，记为；
（4）由推出，记为（结论）.　　　　 这个证明步骤用符号表示就是（已知）（结论）.
举一反三：
【变式1】求证：.
【答案】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.∵，∴左边∵，　 　　　　　∴.
【变式2】在锐角三角形ABC中，求证：　　【答案】∵在锐角三角形ABC中，，∴，∵在内正弦函数单调递增，∴,即同理，，∴
类型二：分析法
思路点拨：由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到，，也可用综合法证明.　
　法一：分析法
要证成立，
只需证明，
两边平方得，
所以只需证明，
两边平方得，即，∵恒成立，∴原不等式得证.
法二：综合法
∵，，　　，∴.
∴.∴.即原不等式成立.
总结升华：
1．在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.
2．综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程.
举一反三：
【变式1】求证：
【答案】∵、、均为正数
∴要证成立，只需证明，
两边展开得即，所以只需证明即，　 　　　　 ∵恒成立， ∴成立.
【变式2】求证：　　
法一：要证成立，
只需证明，即只需证明即，∵恒成立，∴成立.法二：∵　∴，　　　　　∴
【变式3】若求证：.
【答案】由，得，即 （*）另一方面，要证，　 　　　　 即证，
即证，　 　　　　 化简，得.　 ∵上式与(*)式相同.所以，命题成立.
类型三：反证法
3．设二次函数中的、、均为奇数，求证：方程无整数根.
思路点拨：由于要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论.
证明：假设方程有整数根，则成立，所以.　　　　　因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.因为已知、为奇数，又为奇数，所以为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
总结升华：反证法适宜证明"存在性"、"唯一性"，带有"至少有一个"或"至多有一个"等字样的数学问题.
举一反三：
【变式1】若都为实数，且，，，　　求证：中至少有一个大于0.
【答案】假设都不大于0，则，，，所以又　　　　　　 　　　　 .　 因为，，，，所以，所以，这与矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
【变式2】设函数在内都有，且恒成立，求证：对任意都有.
【答案】假设"对任意都有"不成立，则，有成立，　 　　　　　∵，∴
又∵这与矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
【变式3】已知：，求证
【答案】假设，则成立，所以.　 　　　　 因为，所以，所以，这与矛盾，　 　　　　 所以假设不成立，原命题成立.
学习成果测评
基础达标：
1．要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）
A．综合法 　　　B．分析法 　　　C．反证法　　　 D．归纳法　　
2．设,,则的大小关系是( )
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
3．已知函数，，则是大小关系为（ ）　
A．　　　 B．　　　　C．　　　　D．　　4．至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．　　 　B．　　 　C．　 　　D．或
5．如果都是正数，且，求证：．
6．已知都是正数，，且，求证：．
7．用反证法证明：如果，那么．
能力提升： 8．已知a3＋b3=2,求证：a+b≤2.
　　　　9．已知a,b是正实数，求证：.
综合探究：
10．求证：正弦函数没有比小的正周期.
参考答案：
基础达标：1．B
2．C解析：假设,即.　,∴,　　　　　　　∴,显然不成立,∴.　　
3．A解析：∴
∴．又函数是减函数，∴．　　
4．C解析：（1）当时，，符合题意；（2）当时，要使方程有一正一负根，只需，即；要使方程有两个负根，只需解得．综上可知，．
5．证明：因为＝　　　　　　　　　＝，又因为且，所以，　　　　　　 即。
6．证明：要证原式成立，则只需要证明， 即只需要证明（＊）即证明．因为，所以（＊）式可变形为 即，因为都是正数，所以要证原式成立，只需证明因为对于一切，显然成立．所以原不等式得证．
7．证明：假设，则．容易看出，下面证明．因为，所以，即，从而，变形得综上得，这与已知条件矛盾。因此，假设不成立，即原命题成立．
能力提升：
8．证明：假设a+b＞2,则b＞2-a，∴b3＞(2-a)3∴a3＋b3＞a3＋(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2≥2,与已知矛盾，∴a+b≤2
9．证法一：分析法：
要证，只要证
即证，即证.显然成立，所以
证法二：综合法
（当且仅当a=b时取等号），所以
综合探究：
10．证明：假设T是正弦函数的周期则对任意实数x都有令x=0,得即假设最小正周期，故。从而对任意实数x都应有这与矛盾。因此,原命题成立.
3.1数系的扩充与复数的引入　
编稿：周尚达　　审稿：张扬　　　责编：严春梅
学习目标：
1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示法及其几何意义；
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
重点：复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充
难点：对概念的准确理解复数的几种不同的表示
知识要点梳理
知识点一：复数的基本概念
1．虚数单位:（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）的周期性：，，，（）.
2. 概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部.
说明：这里容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
3．复数的分类（）4．复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：
5．复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数（），
当且仅当时，复数是实数；
当且仅当时，复数叫做虚数；
当且仅当且时，复数叫做纯虚数；
当且仅当时，复数就是实数0.
6．复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果，那么.特别地: .　　说明：（1）（2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
（4）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
6．共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数.复数的共轭复数记作：（）.
知识点二：复数的代数表示法及其四则运算
1．复数的代数形式:
把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.
2．四则运算　　
设，（a，b，c，d∈R）　　　　　　注意：复数除法通常上下同乘分母的共轭复数.
知识点三：复数的几何意义
1．复平面、实轴、虚轴：
复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
2．复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；
（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.　　　　 向量的长度叫做复数的模，记作.即.理解：（1）向量与点以及复数一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
3．复数加减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.
规律方法指导
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；
2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.
经典例题透析
类型一：复数的有关概念
1．已知复数，试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.
解析：（1）当z为实数时，有，∴当时，z为实数.
（2）当z为虚数时，有，∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数.
（3）当z为纯虚数时，有　
∴不存在实数a使z为纯虚数.
总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为与.
①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；
②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；
③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0(当然也要考虑分母不为0)，还需虚部不为0，两者缺一不可.
举一反三：
【变式1】设复数z=a+bi（a、b∈R），则z为纯虚数的必要不充分条件是（ ）
A．a=0 　　　B．a=0且b≠0 　　　C．a≠0且b=0 　　　D．a≠0且b≠0
【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0且b≠0是复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.
【变式2】若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A.1　　　 B.2　　　 C.1或2　　　 D.-1
【答案】B；∵是纯虚数，∴且，即.　　【变式3】如果复数是实数，则实数m=（ ）
A．1 　　　B．－1 　　　C．　　　 D．
【答案】B；
【变式4】求当实数取何值时，复数分别是：
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
【答案】（1）当即或时，复数为实数；
（2）当即且时，复数为虚数；
（3）当即时，复数为纯虚数.
类型二：复数的代数形式的四则运算
2. 计算：(1)； 　　　(2)
(3); 　　(4)　　
解析：(1)∵，∴，，同理可得：当时，
当时，，当时，当时，，(2)(3)　　　　(4)　　　总结升华：熟练运用常见结论：
1）的"周期性"（）2）3）
举一反三：
【变式1】计算：
（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）（3）　　
【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)　　　 　=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）（3）（4）　　　　
【变式2】复数( )
（Ａ）　　　　　（Ｂ）　　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）
【答案】A；
【变式3】复数等于( )
A. i 　　　B. -i 　　　C. 　　　D.
【答案】A；，故选A
【变式4】复数等于( )
A.8　　　 B.
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