数值分析课后习题与解答
课后习题解答
1.设x&0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(
已知x*的相对误差
满足 ，而 ，故
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限 ，相对误差限 有2位有效数字，
有5位有效数字，
3.下列公式如何才比较准确？（1）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）
4.近似数x*=0.0310,是&
位有数数字。
5.计算 取 ，利用 ：式计算误差最小。
四个选项：
第二、三章&
插值与函数逼近
习题二、三
用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.
解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
误差限 ，因 ，故
二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值
误差限 ，故
2. 在-4≤x≤4上给出 的等距节点函数表，若用二次插值法求
的近似值，要使误差不超过
，函数表的步长h应取多少?
解：用误差估计式（5.8），
解：由均差与导数关系
4. 若 互异，求
的值，这里p≤n+1.
解： ，由均差对称性 可知当 有 而当P＝n＋1时
解：解：只要按差分定义直接展开得
求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
解：根据给定函数表构造均差表
由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.67x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得
f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得
7. 给定f(x)=cosx的函数表
用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos
0.566的近似值并估计误差
解：先构造差分表
计算 ，用n=4得Newton前插公式
误差估计由公式（5.17）得
时用Newton后插公式（5.18)
误差估计由公式（5.19）得
这里 仍为0.565
求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造
使它满足，显然
p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝ ，于是
9. 令 称为第二类Chebyshev多项式，试求
的表达式，并证明
是［-1,1］上带权 的正交多项式序列。
10. 用最小二乘法求一个形如
的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.
解：本题给出拟合曲线
，即 ，故法方程系数法方程为
最小二乘拟合曲线为
11. 填空题　　(1) 满足条件 的插值多项式p(x)=(　　).　　(2)
,则f［1,2,3,4］=(　　)，f［1,2,3,4,5］=(　　).　　(3) 设 为互异节点，
为对应的四次插值基函数，则
＝(　　)， ＝(　　).　　(4) 设 是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中 ，则
＝(　　)， ＝(　　)
（2） （3）
第4章　数 值 积 分与数值微分
1. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.　　　　　
解　　本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。对 ，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出 ，按式（6.13）求得 ，积分
2. 用Simpson公式求积分 ，并估计误差
解：直接用Simpson公式（6.7）得
由（6.8）式估计误差，因 ，故
3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.　　(1) 　　(2) 　　(3)
解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令 代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得 ，于是有
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）令 代入公式两端使其相等，得
而对 不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。
（3）令 代入公式精确成立，得
解得 ，得求积公式
故求积公式具有2次代数精确度。
4. 计算积分
，若用复合Simpson公式要使误差不超过
要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间 应分为多少等分?
解：由Simpson公式余项及 得即 ，取n=6，即区间 分为12等分可使误差不超过 对梯形公式同样 ，由余项公式得
取n=255才更使复合梯形公式误差不超过
5. 用Romberg求积算法求积分 ，取
解：本题只要对积分 使用Romberg算法（6.20），计算到K＝3，结果如下表所示。
于是积分 ，积分准确值为0.713272
用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.　　　
解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为 ，所以先做变换 于是
本题精确值
用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分
解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算
，因n=2,即为三点公式，于是，即
8. 试确定常数A，B，C，及α，使求积公式　　　　　　　　　　　　　
有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?
解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令
对公式精确成立，得到
由（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。故可令 ，得（5）由（3）（5）解得
，代入（1）得 则有求积公式
令 公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。
第五章 　解线性方程组的直接法
1. 用Gauss消去法求解下列方程组.　　　　
解　本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
2. 用列主元消去法求解方程组
并求出系数矩阵A的行列式detA的值
解：先选列主元
，2行与1行交换得消元
3行与2行交换 消元
3. 用Doolittle分解法求
解：由矩阵乘法得
4. 下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?　　　　
解：A中 ，若A能分解，一步分解后， ，相互矛盾，故A不能分解，但 ，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B，显然 ，但它仍可分解为
分解不唯一， 为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。
5. 用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中　　　　
解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得
6. 用平方根法解方程组
分解直接算得由 及 求得
7. 设 ，证明　　
解： 即 ，另一方面
计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数
设 为 上任一种范数，
是非奇异的，定义
证明：根据矩阵算子定义和 定义，得
令 ，因P非奇异，故x与y为一对一，于是
10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计
，即 　　　　
则 的解 ，而 的解
由（3.12）的误差估计得
表明估计 略大，是符合实际的。
11.是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题目中 （1）若A对称正定,
,则 是 上的一种向量范数 　　（
　）（2）定义 是一种范数矩阵 　　（
　）（3）定义 是一种范数矩阵 　　（　
）（4）只要 ，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 　　（ 　 ）（5）只要 ，则总可用列主元消去法求得方程组
的解　　（　
）（6）若A对称正定,则A可分解为 ，其中L为对角元素为正的下三角阵 　　（ 　）（7）对任何 都有
）（8）若A为正交矩阵，则 　　（ 　）
答案：　（1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）　　　　（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）
第六章　解线性方程组的迭代法
1.证明对于任意的矩阵A，序列 收敛于零矩阵
解：由于 而 故
2. 方程组　　　　　　　　
　　(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.　　(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以 计算到
解：因为 具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。（2）J法得迭代公式是
取 ，迭代到18次有
GS迭代法计算公式为
3. 设方程组　　　　　　　　
证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散
解：Jacobi迭代为 其迭代矩阵，谱半径为 ，而Gauss-Seide迭代法为
其迭代矩阵，其谱半径为 由于 ，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。
4. 下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?　　　
解：Jacobi法的迭代矩阵是
即 ，故 ，J法收敛、
GS法的迭代矩阵为
故 ，解此方程组的GS法不收敛。
5. 设 ，detA≠0，用
,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.
解　J法迭代矩阵为
，故J法收敛的充要条件是 。GS法迭代矩阵为
由 得GS法收敛得充要条件是
6. 用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)　　　　　　
时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数
解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为
取 ，当 时，迭代5次达到要求
若取 ，迭代6次得
7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使 那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?
解：J法的迭代矩阵为
，故 ，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子
J法收敛速度
若要求 ，于是迭代次数
，取K＝15对于GS法 ，取K＝8对于SOR法 ，取K＝5
8. 填空题　　(1) 要使
应满足（）.　　(2) 已知方程组
，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.　　(3) 设方程组Ax=b,其中 其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.　　(4) 用GS法解方程组 ，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.　　(5) 给定方程组
,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.
(2)J法是收敛的，
(3)J法迭代矩阵是 ，GS法迭代矩阵
第七章　　非线性方程求根
1.用二分法求方程
的正根，使误差小于0.05
解　使用二分法先要确定有根区间
。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。
=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.　　(1) ，迭代公式
.　　(3) ，迭代公式
.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根
解：（1）取区间 且 ，在 且 ，在 中 ，则L&1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2） ，在 中 ，且 ，在 中有 ，故迭代收敛。（3）
，在 附近 ，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取 ，则
的迭代法　　　　　
　(1) 证明对
为方程的根.　(2) 取
=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过
,并列出各次迭代值.　(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论
解：（1）迭代函数 ，对 有 ，
，则有各次迭代值
取 ，其误差不超过
（3） 故此迭代为线性收敛
4. 给定函数
，设对一切x, 存在，而且
的任意常数
均收敛于方程
解：由于 ， 为单调增函数，故方程 的根是唯一的（假定方程有根
）。迭代函数 ， 。令 ，则 ，由递推有，即
5. 用Steffensen方法计算第2题中(2)、(3)的近似根，精确到
解:在(2)中 ,令
,与第2题中(2)的结果一致,可取 ,则满足精度要求.对(3)有 ,原迭代不收敛.现令
6. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.　　(1) 在
=2附近的根.　　(2) 在
=1附近的根
Newton迭代法
取 ，则 ，取
（2） 令 ，则 ，取
7. 应用Newton法于方程
的迭代公式，并讨论其收敛性.
的根为 ，用Newton迭代法
此公式迭代函数 ，则 ，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设 ，对
一般的，当 时有
这是因为 当 时成立。从而 ，即 ，表明序列 单调递减。故对 ，迭代序列收敛于
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专题：函数的性质及应用
分析：（1）由a=1，x∈[1，4]，可得函数f（x）=x-4x，再用定义证明函数f（x）在[1，4]上的单调性．（2）当x∈[1，4]时，分当①a≤1、a∈（1，2）、a∈[2，4）、a≥4这4种情况，分别利用单调性求得f（x）的最大值M（a），综合可得结论．（3）由于f（x）=2a-x-4x，x≤ax-4x，x＞a，故由f（x）=3，求得x=-1，或 x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤-1，f（-6）=3，由此求得a的值．
解：（1）若a=1，x∈[1，4]，则函数f（x）=|x-1|-4x+1=x-4x，设1≤x1＜x2≤4，则f（x1）-f（x2）=[（x1-1）-4x1+1]-[（x2-1）-4x2+1]=（x1-x2）+4x2-4x1=（x1-x2）+4(x1-x2)x1•x2=（x1-x2）（1+4x1•x2&）．由1≤x1＜x2≤4可得x1-x2＜0，1+4x1&#，∴（x1-x2）（1+4x1•x2&）＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在[1，4]上是增函数．（2）对于函数f（x）=2a-x-4x，x∈(1，a)x-4x，x∈[a，4)，当x∈[1，4]时，①若a＜1，则函数f（x）=x-4x，显然f（x）在[1，4]上是增函数，故f（x）的最大值的表达式M（a）=f（4）=4-1=3．②若a∈[1，2），f（x）=2a-x-4x，x∈(1，a)x-4x，x∈[a，4)，显然f（x）在[1，a）上是增函数，f（x）在[a，4]上是增函数，故f（x）的最大值为f（4）=3．③若a∈[2，4），f（x）=2a-x-4x，x∈(1，a)x-4x，x∈[a，4)，f（x）在[1，2]上是增函数，在[2，a）上是减函数，在[a，4]上是增函数，故f（x）的最大值为max{ f（2），f（4）}=max{ 2a-4，3}．由2a-4=3，求得a=72，故f（x）的最大值为max{ f（2），f（4）}=3，2≤a＜722a-4，72≤a＜4．&④当a≥4时，f（x）=a-x-4x+a=2a-（x+4x）≤2a-2x&#a-4．综上可得M（a）=3，a＜722a-4，a≥72．（3）对于函数f（x）=2a-x-4x，x≤ax-4x，x＞a，由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x-4x=3，求得x=-1，或 x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=-1，x3=4，x1 =-6，∴a≤-1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为-6，再根据f（-6）=2a+6+23=3，求得a=-116，满足a≤-1，故存在实数a=-116，使得f（x）=3有3个不等实根x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列．
点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．
请在这里输入关键词：
科目：高中数学
已知等比数列{an}中，3a1，12a3，2a2成等差数列，则a7a5=．
科目：高中数学
已知函数f（x）=sinx3cosx3+3cos2x3．（Ⅰ）求该函数图象的对称轴；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2=ac，求f（B）的取值范围．
科目：高中数学
已知函数f（x）=13x3-ax2+1．（Ⅰ）若函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，直接写出a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，求a的最大值．
科目：高中数学
（理做）设集合M&#，4，6，7}，且M&#，5，6，7}，则集合M的元素个数最少是（　　）
A、0B、1C、2D、3
科目：高中数学
在数列{an}中，a1=4，an+1=an+k•3n+1（n∈N+，k为常数），a1，a2+6，a3成等差数列．（1）设数列{bn}满足bn=nan-n，求数列{bn}的前n项和Sn；（2）设数列{cn}满足cn=n2an-n，证明：cn≤49．
科目：高中数学
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，-2）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的最小值和最大值．
科目：高中数学
已知函数f（x）=2sin（x+π6），x∈R（1）已知tanθ=-2，θ∈（π2，π），求f（θ）的值；（2）若α，β∈[0，π3]，f（α）=2，f（β）=85，求f（2β+2α）的值．
科目：高中数学
数列{an}的前n项和Sn=n2-2n，则a4等于（　　）
A、-7B、-1C、0D、1函数解析式求法和值域求法总结及练习题_百度文库
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