[转载]三角形的三边基本性质、及三边与面积关系
1.三角形面积和周长的关系：S=根号(p(p-a)(p-b)(p-c))
& a、b、c为三边长，p为周长的一半，当a=b=c时，围成的三角形面积最大。
&“周长一定的情况下，正三角形面积最大”
2.三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，即：三角形的任意一边小于其它两边之和，大于其它两边之差。
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。
　　平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。
　　三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫，也叫三边形。
(1)按角度分
　　a.：三个角都小于90度。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
　　b.（简称Rt
三角形）：
　　⑴直角三角形两个锐角互余；
　　⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
　　⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；
　　⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；
　　⑸在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2＋b^2=c^2（）；
　　⑹斜边上的中线是半径；
　　⑺有一个角是90度的三角形，夹90度的两边称为“直角边”，直角的对边称为“斜边”。
(非直角三角形也称，包括锐角三角形、)。
　　c.钝角三角形：有一个角为钝角的三角形 。钝角三角形有两条高在钝角三角形的外面,钝角为大于90°且小于180°；
　　d.正三角形：三个角度数相等，三条边也相等，也称等边三角形。
　　(2)按边长分
　　a.：两条边相等的三角形。又可分为三条边都相等的等腰三角形，即等边三角形，和只有两条边相等的等腰三角形。普通等腰三角形中，两条相等的边称为“腰”，第三边叫做“底边”，腰对应的角（称为底角）也是相等的。
　　b.不等边三角形：三条边均不相等的三角形。
　　(3)特殊三角形
　　退化三角形：面积为零的三角形。（退化三角形按照狭义的三角形定义其实不属于三角形。）
　　在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.
　　（1）正弦定理
　　a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)
　　（2）余弦定理。
　　a^2=b^2+c^2-2bc*CosA
　　b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
　　c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
　　1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
　　2.三角形内角和等于180度
　　3.等腰三角形的顶，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
　　4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
　　５.三角形共有六心：
三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线
　　内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
　　性质：到三边距离相等。
　　外心：三条中垂线(垂直平分线的概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
　　垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
　　2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
　　3.条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
　　垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。)的交点，也是三角形外接圆的圆心。
　　性质：到三个顶点距离相等。
　　：三条中线的交点。
　　性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
　　垂心：三条高所在直线的交点。
　　性质：此点分每条高线的两部分乘积
　　旁心：三角形任意两角的平分线和第三个角的内角平分线的交点
　　性质：到三边的距离相等。
　　界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
　　性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
　　：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
　　6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
　　7.一个三角形最少有2个锐角。
　　8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
　　9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
　　10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a²+b²=c²
　　那么这个三角形就一定是直角三角形。
　　任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接
　　∵第三条边不可伸缩或弯折
　　∴两端点距离固定
　　∴这两条边的夹角固定
　　∵这两条边是任取的
　　∴个角都固定，进而将三角形固定
　　∴三角形有稳定性
　　任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
　　∴两端点距离不固定
　　∴这两边夹角不固定
　　∴n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性
　　（1）三角形三内角和等于180°；
　　（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
　　（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
　　（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
　　（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
　　（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
　　（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
　　（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的的交点，它到三个顶点的距离相等.
　　（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
　　（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
　　（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
　　注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部
　　.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
　　③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
　　1.相似三角形
　　（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做
　　（2）相似三角形性质
　　相似三角形对应边成比例，对应角相等
　　相似三角形对应边的比叫做相似比
　　相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
　　相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等
　　（3）相似三角形的判定
　　【1】三边对应成比例则这两个三角形相似
　　【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似
　　【3】两角对应相等则两三角形相似
　　2.全等三角形
　　（1）能够完全重合的两个三角形叫做.
　　（2）全等三角形的性质。
　　全等三角形对应角（边）相等。
　　全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。
　　（3）全等三角形的判定
　　① SAS ②ASA ③ ④SSS ⑤HL
(RT三角形)
　　3.等腰三角形
　　等腰三角形的性质：
　　（1）两底角相等；
　　（2）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
　　等腰三角形的判定：
　　（1）等角对等边；
　　（2）两底角相等；
　　4.等边三角形
　　等边三角形的性质：
　　（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
　　（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。
　　等边三角形的判定：
　　（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
　　(1)S&#*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）
　　(2)S&#*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见）
　　(3)S△=√［s*（s-a）*（s-b）*（s-c）］ 【s=1/2(a+b+c)】
　　(4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】
　　(5)S&#*(a+b+c)*r 【r是内切圆半径】
　　(6)........... | a b 1 |
　　S&# * | c d 1 |
　　................| e f 1 |
　　【.| a b 1 |
　　....| c d 1 | 为,此三角形ABC在内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC
　　....| e f 1 |
　　选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】
　　雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、、三角内裤、机器上用的三角铁、某些、、等。
　　三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等
　　（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。
　　（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。
　　（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。
　　（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。
　　（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。
　　全等三角形的性质
　　全等三角形的对应角相等，对应边也相等。
　　中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。
　　高：顶点到对边垂足的连线。
　　角平分线：顶点到两边距离相等的点所构成的直线。
　　中位线：任意两边中点的连线。
　　重心定理
　　三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
　　上述交点叫做三角形的重心.
　　外心定理
　　三角形的三边的垂直平分线交于一点．
　　这点叫做三角形的外心.
　　垂心定理
　　三角形的三条高交于一点．
　　这点叫做三角形的垂心.
　　内心定理
　　三角形的三内角平分线交于一点．
　　这点叫做三角形的内心.
　　旁心定理
　　三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
　　这点叫做三角形的．三角形有三个旁心．
　　三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．
　　它们都是三角形的重要相关点．
　　中位线定理
　　三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
　　三边关系定理
　　三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
　　勾股定理
　　在Rt三角形ABC中，A≤90度，则
　　AB·AB+AC·AC=BC·BC
　　A〉90度，则
　　AB·AB+AC·AC&BC·BC
　　梅涅劳斯定理
　　梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)&(BD/DC)&(CE/EA)=1。
　　证明：
　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
　　则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
　　三式相乘得：AF/FB&BD/DC&CE/EA=AG/BD&BD/DC&DC/AG=1
　　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)&(BD/DC)&(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
　　塞瓦定理
　　设O是△ABC内任意一点，
　　AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　证法简介
　　（Ⅰ）本题可利用证明：
　　∵△ADC被直线BOE所截，
　　∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
　　而由△被直线所截，∴
BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
　　②&①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
　　∵BD/DC=S△ABD/S△=S△BOD/S△=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
　　同理 CE/EA=S△/ S△AOB ④
AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
　　③&④&⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　利用证明三角形三条高线必交于一点:
　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
　　根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
　　[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
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相似三角形
鲁教版八年级上册第二章第四节
经历相似三角形概念的形成过程，理解相似三角形的含义及相似比的概念；学会利用相似三角形解决一些实际问题。
在探索相似三角形本质特征的过程中，进一步发展学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用。
使学生认识数学与世界的密切联系，培养学生联系实际的意识，增进数学应用的能力；通过数学活动培养学生合作意识，科学精神和创新品质。
认识理解相似三角形的定义及其性质。
相似三角形性质的应用。
一：图片欣赏：
请同学们观察屏幕上的这组图片，这里有我们熟悉的几何图形吗？
请同学们直观地判断一下，每幅图片中的三角形之间是什么关系？
动画演示三角形重合
请同学们继续观察，这两个三角形之间有什么关系？全等三角形在形状和大小上有什么特点？全等三角形有什么性质？
对应角相等
对应边相等
动画演示三角形变化
这两个三角形之间有什么关系呢？
改变其中一个三角形的形状，你有什么发现？
另一个三角形也随之改变且始终形状相同。
形状相同的两个三角形，它们的角和边会不会也像全等三角形那样存在一定的对应关系呢？
请同学们观察老师事先为大家准备好的两个形状相同的三角形，猜测一下它们的角和边分别有什么关系？
小组讨论得出猜想：角对应相等，边对应成比例。
如何验证他们的角是对应相等的呢？
如何用量角器测量角呢？
由于操作过程中存在误差因此所得结论未必十分准确，老师利用z+z智能平台的测量功能进行验证。
其他学生动手验证
结论：只要两个三角形形状相同，角就对应相等。
它们的边对应成比例该如何验证呢？
教师借助z+z智能平台动态测量验证
测量，计算
一生演示验证步骤其他学生动手验证
得出结论：边对应成比例
定义：三角对应相等三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
△ABC与△A’B’C’相似
记作：△ABC∽△A’B’C’
读作：△ABC相似于△A’B’C’
在记两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
“∽”隐含对应关系
△ABC∽△A’B’C’意味着已经对应好了，可以按顺序找到对应角和对应边。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
通过刚才的探究我们知道形状相同的两个三角形它们的角和边分别有什么关系？
形状相同的三角形又叫相似三角形，如何定义相似三角形？
介绍记法读法及注意问题
三角对应相等，三边对应成比例。
总结出相似三角形定义
已知：△ABC∽△EFD,请找出它们的对应角和对应边。
怎样可以找的又快又准？
学生讲解找对应角和对应边的方法
相似比：相似三角形对应边的比。
△ABC∽△EFD，AB=2,EF=4,则△ABC与△EFD的相似比为____;△EFD与△ABC的相似比为_____.
相似比具有顺序性。
介绍相似比的概念，
强调顺序性。
加强概念理解，
体会顺序性。
△ABC与△A’B’C’的相似比和△A’B’C’与△ABC的相似比有什么关系？
当这两个相似比相等时，△ABC与△A’B’C’之间有什么关系？
追问：全等三角形与相似三角形之间有什么关系？
得出结论：全等三角形是相似三角形的特例。
小明请木工师傅做了两个形状相同的三角形模板，请你想办法帮他验收！
追问：这样做的意图是什么？
想利用什么来判定相似？
相似三角形的定义是我们判定三角形相似的一种方法
所测数据如图所示，这两个三角形形状相同吗？
测量角测量边
看角是否对应相等边是否对应成比例。
下图分别为等边三角形和等腰直角三角形，请画出与其相似且相似比不为1的三角形。
请在你们的练习卷上画一画
请学生展示所画三角形
你有什么发现吗？
能用今天所学知识解释吗？
动手画三角形
展台展示所画三角形
所有等边三角形都相似
所有等腰三角形都相似
根据定义说明所发现的结论
两个直角三角形一定相似吗？
两个等腰三角形一定相似吗？
出示反例图片
学生举出反例
∵△ABC∽△A’B’C’
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
如果△ABC∽△A’B’C’，你能得到哪些结论。
强调：在写比例式的时候比的前项和后项属于同一个三角形
请语言叙述形似三角形的性质
由定义得到相似三角形的性质
如图，有一块三角形的草坪，其中一边的长是20m。在这个草坪的图纸上，这条边的长画成5cm，其他两边的长都画成3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度。
3.5cm&& 3.5cm
骤思考到相似三角形
请同学们试着在练习卷上独立完成
请同学展示做法
订正解法和步骤
独立思考完成
展示讲解自己的做法
如图△ADE∽△ABC
（1）若∠BAC=45°,∠ABC=40°,求∠ADE和∠AED度数？
（2）若AD=50,BD=30,BC=70,求DE的长？
（3）DE与BC之间有怎样的位置关系？
变式训练一
如图△ADE∽△ABC
（1）∠A=45°,∠AED=95°,求∠B的度数？
（2）若AD=4,AE=3,AB=6,求AC的长度？
变式训练二
如图△ADE∽△ABD
若AD=4,AE=3,求AB的长度？
变式训练三
如图△ADE∽△ABC,
（1）BC与DE有怎样的位置关系？
（2）若AD=4,AE=3,AB=6, △ABC与△ADE
的相似比是多少？
变式训练四
如图△ADE∽△ABC且相似比为1/2，若AD=10,AE=8,求AB的长度？
板书解题步骤
订正学生解题步骤
利用相似三角形的性质可以求哪些量？
口述解题步骤
（1）题口头回答
（2）题学生板书
梳理总结：
相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
相似比：相似三角形对应边的比。
相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
请同学们回顾一下本节课的内容，大家都有哪些收获呢？
回顾叙述收获
必做题：《伴你学》P40一、二
选做题：《伴你学》P41能力挑战
【上一篇】
【下一篇】三边对应成比例可以证相似三角形吗?(要理由)
可以!ab:AB=bc:BC=ac:BC两边对应成比例、夹角相等也可以!
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可以 这是公理 不需要证的啊
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三角形相似的判定条件----3(三边成比例)
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