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线性代数练习题答案（DOC）
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线性代数练习题答案（DOC）
官方公共微信A,B为n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,证明：存在实可逆矩阵C使得C'AC和C'BC都是实对角矩阵.C'表示C的转置
伤不起uEd0
B正定,存在可逆阵D,使得D’BD=E,记M=D‘AD是对称阵,故存在正交阵Q,使得Q'MQ是对角阵,令C＝DQ,则C'AC=Q'D'ADQ=Q'MQ是对角阵,C'BC=Q'D'BDQ=Q'EQ=E是对角阵.
其实我想知道这题到底想考什么。
没什么，就是看你对正定阵的掌握程度如何。
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我有更好的答案
由正定阵的定义直接得结论
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出门在外也不愁矩阵A为半正定矩阵,矩阵B为正定矩阵,求证：|A+B|>|B| 哪位前辈教教我怎么作啊?
画画嗁噩鴏袀
矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa>0; 如果A、B都是正定的,那么对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;a'Ba>0; 显然对于任意非零向量a,就有a'(A+B)a>0; 所以A+B也是正定的!只要你搞清一个等价关系就行了,最好用反正法证一下.在实数范围内：A为n阶的正定矩阵,则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x,都有x[T]Ax>0,x[T]表示A的转置.因此有,x[T]Ax>0,x[T]Bx>0,相加得：x[T](A+B)x>0 即得A+B也为正定矩阵.在复数范围内：A为n阶的正定矩阵,则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x,都有x[H]Ax>0,x[H]表示A的共轭转置（称为A的Hemite矩阵）.因此有,x[H]Ax>0,x[H]Bx>0,相加得：x[H](A+B)x>0 即得A+B也为正定矩阵.
为正定矩阵 我 知道 后面的不知道怎么证啊 ？？？前辈
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什么是半正定矩阵？
只能得到|A+B|>=|B|，不可能保证严格不等式，比如A=0既然B正定，一定存在可逆阵C使得B=C*C^H，相应地令D=C^{-1}*A*C^{-H}，那么D半正定，I+D的特征值都不小于1，然后|B| = |C|*|C^H| <= |C|*|D+I|*|C^H| = |A+B|
扫描下载二维码&>&&>&线性代数模拟试题及答案
线性代数模拟试题及答案 21839字 投稿：董罼罽
全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分…
一、 选择题：（3×5=15分）2xxx?x1311、行列式中含有x4项的系数是（ ）（A） 2 （B） -2 （C） 1 （D） -12、已知A、B、C均为n阶可逆矩阵，且ABC=E，则下列结论必然成立的是 （ ）. (A) …
2005级线性代数考试试题 院系_____________________；学号__________________；姓名___________________ 一、单项选择题（每小题2分，共40分）。1．设矩阵A??1 2??1 4??3 4?, …
《 线性代数期末模拟试题一 》
一、填空（本题20分每小题2分）得分
1．设det(aij)为四阶行列式,若M23表示元素a23的余子式，A23表示元素a23的代
数余子式，则M23+A23
0中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该a33
2．三阶行列式0
三阶行列式的所有项中有
项不为零，这一结论对n阶行列式
（填成立或不成立）。
3．设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵A?(?1,?2,?3),记矩阵
B?(?1?2?2,?2??3,?1??3)，若B?6，则A?
4．设矩阵A??0
??1?1??1??3?,B??7
??10?,C???8
?，则AB?2C??4?
5．设矩阵A可逆，且矩阵C?AB，所以矩阵C一定可以由矩阵B经过（填行或列）初等变换而得到。
6．设向量组?1,?2,,?3,?4，若R(?1,?2,?3)?2,可以由向量
R(?2,?3,?4)?3, 则?1一定
唯一的线性表示。
7．非齐次线性方程组Ax?b有 唯一的解是对应的齐次方程组Ax?0只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A的行列式A?0 ，则矩阵A一定有一个特征值9．n阶矩阵A有n个特征值1，2，?,n，n阶矩阵B与A相似，则B?
10．向量组：p1?
（填是或不是）向
量空间R2一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）
注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！
1．设矩阵A为n阶方阵，则关于非齐次线性方程组Ax?b的解下列说法（
（A） 若方程组有解，则系数行列式A?0;
（B） 若方程组无解，则系数行列式A?0;
（C） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;
（D） 系数行列式A?0是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A为n阶可逆矩阵，下列正确的是（
） （A） (2A)T?2AT；
(B) (2A)?1?2A?1； (C)
[(A?1)?1]T?[(AT)]?1；(D) [(AT)T]?1?[(A?1)?1]T。
3. 奇异方阵经过（
）后，矩阵的秩有可能改变。 (A) 初等变换；
(B) 左乘初等矩阵；
(C) 左、右同乘初等矩阵；
(D) 和一个单位矩阵相加。
4．设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵A是4?5矩阵，且A的行向量组线性无关，则有（
(A) A的列向量组线性无关；
(B) 增广矩阵B的行向量组线性无关；
(C) 增广矩阵B的任意4个列向量组线性无关； (D) 增广矩阵B的列向量组线性无关。 5．设?
?2是非奇异矩阵
则矩阵?A2?A的一个特征值，
有一个特征值为 (
(A) 4/3； (B) 3/4；(C) 1/2； (D) 1/4。
三、计算（2道题，共16分）
1．设行列式D=
0，求M31?M32?M33?M34（其中2
分别是第三行各个元素的对应的余子式）。
1a1b2?bn?1bn得分
1a1a2?bn?1bn
1a1a2?bn?1bn
1a1a2?an?1an
四、（本题12分）
?1?A?已知A，B为3阶矩阵，E表示3阶单位阵，且?0
（1） 求A?1 ；（2）证明矩阵(A?E)为逆矩阵；
（3）若矩阵A，B满足AB?E?A2?B，证明B?A?E。
五、（本题12分） 问k取何值时，方程组
?x1?x2?2x3?3x4?1?
?x1?3x2?6x3?x4?3?3x1?x2?kx3?15x4?3 ?
?x1?5x2?10x3?12x4?1
⒈有唯一解；2.有无穷多解，并求通解。
六、（本题10分）
向量组A：?1,?2,?3,?4,由四个向量组成，其中
?1????1???1?1?， ???3???
??1??3???2?????????3??2???6?
，，?????3??1??4?10?，
25????????1??4??2???????
求：（１）向量组A的秩RA；（2）向量组A线性相关性；（3）向量组A的一个最大无关组。
七、（本题10分）
已知二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?x32?2ax2x3?2x1x3（其中a为待定系
数）经过正交变换x?Py化为f?2y22?y32，试回答下列问题：
(1) 写出二次型的矩阵A可以含待定系数a； (2) 写出A的全部特征值； (3) 利用（1）、（2）求出a的值
八、（本题5分）
在R中，取两组基
?组：?1?(1,0,?1)T，?2?(1,?1,0)T，?3?(0,1,?2)T
?组：?1?(2,1,0)T，?2?(?1,2,1)T，?3?(1,1,0)T
若向量b在基?1,?2,?3下的坐标为?1,?1,?1?，求它在基?1,?2,?3下的坐标
九、（本题5分）
设非齐次方程组Ax??有解?1,?2,?3,其中
4?,?2??3??0,
3?，并且R(A)?3,
（1）非齐次方程组Ax??是几元的？
（2）若Ax?0是Ax??对应的齐次方程组，则写出它的一个基础解系。 （3）写出方程组Ax??的通解。
《 线性代数期末模拟试题二 》
一、填空题（6×4=24分） 得分
11．若A?????1
,则AA??0??
x1??x1?x2?x3?3
2．方程组?x1
的唯一解为
x2??x?x?x?5x3?23?1
0??0?1??1?253
2,|B3?3|?0,则R(A)??1??
6．若A2?A?7E,则A?1?
二、方程组（12 得分
当k为何值时，方程组
??2x1?kx2?2x3?0
1．有唯一解；2．有无穷多解；3．无解。
三、（10 得分
?2???1?B?A
2．已知AY?Y?C
四、（12分）得分
??1?A?0设?
求正交矩阵?0??
Q和对角阵?，使Q
五、（8分）得分
?1??3??k??????
, A?[?1,?2,?3] 设向量组?1????????????3???1???k??
2．该向量组线性无关的充要条件是k满足
3．方程组Ax=0有非零解的充要条件是k满足k=3 ork=-4 4．若Ax=0的基础解系为[1，1，1]，则k=
六、单项选择题（5×2=10 得分
在括号内填上唯一选择项的代号：
1．设3个同阶方阵A，P，Q分别为对称阵，可逆阵，正交阵，下列四个矩阵变换中，保持A的秩、行列式的值、特征值和对称性都不变的矩阵变换是（
2．设A，B均为n阶方阵，在下列各项中只有（
（1）若A≠0，B≠0，则AB≠0；
（2）若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵；
（3）若AB不可逆，则A和B都不可逆；
（4）若AB可逆，则A和B都可逆
3．设n阶矩阵A，B，C满足关系式ABC=I,则（2
(1) ACB=I ;
(2) BCA=I ;(3) BAC=I ;
(4) CBA=I。
4．设A??aij?m?n , B??bij?n?m，则（
（1）当m<n时，AB可逆；
（2）当mn时，AB不可逆；
（4）当m>n时，AB可逆。 5．设A??aij?m?n , 若m
（1）A的列向量组线性无关；
（2）A的列向量组线性相关；
（3）A的行向量组线性无关；（4）A的行向量组线性相关。
七、（12分） 得分
f(x1,x2,x3,x4)?5(x1?x2)?k(x3?x4?2x1x2)?4x3x4
1．求该二次型对应的对称阵A；
2．当k满足什么条件时A正定？
八、证明下列各题（2×6=12分）得分
1．证明：若n阶实对称阵A的两个不同的特征值?和?对应的特征向量依次为则p和q正交。
2． 设A和B都是n阶方阵，
x为n维向量，r(AB)?r(B)?r,则(AB)x?0与Bx?0 同解
《 线性代数期末模拟试题三 》
一、填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分）
1．设aij(i,j?1,2,?,n)为n阶行列式D的元素，Aij为元素aij的代数余子式，则
ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn?
0相似，A?1??
2．设3阶矩阵A的特征值为
3．设A为n阶矩阵，若
，则称 A为正交矩阵。
4．n元非齐次线性方程组Ax?b存在解的充分必要条件为
二、选择填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分）
1.设A和B均为n阶矩阵，则下列结论正确的是（
） (A)A?B?A?B ；
(B)(A?B)2?A2?2AB?B2； (C) kAB?kAB
(D) kAB?knAB 。
2.设A为n阶方阵，且R(A)?n?1，?1,?2是非齐次线性方程Ax?b的两个不同的解向量，则Ax?b的通解为（
）（其中k、k1、k2为任意常数） (A) k?1??2
(B) k1?1?k2?2??1
(C) k(?1??2)??1
(D) k(?1??2)??2
a3. 设A???21??a31?0
???0?10(A) ????1
??a23，B?a11
?a33???a31
a13?a11， ?a33?a31??
0，且有P1AP2?B，则P2?（
(C) ?1???1
4.设A为n阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中（
必有一列向量是其余列向量的线性组合；(B)
必有一列元素全为0； (C)
必有两列元素成比例；
任意一列向量是其余列向量的线性组合。
三、（每小题6分，共12分）计算下列行列式
1．计算4阶行列式
2．计算n+1阶行列式
四、（10分）得分
已知A，B为3阶矩阵，满足aB?bA?BA，其中a和b都是不为0的常数 （1） 计算(B?bE)(A?aE)，其中E是3阶单位矩阵 （2） 证明A?aE及B?bE均可逆；
（3） 若a?2，b?4，B??1
0?，求矩阵A。 2??
五、（10分）得分
1．求矩阵A的秩；
2．判别A的列向量组的线性相关性；
3．求矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组；
六、（12分）得分
求非齐次线性方程组?3x1
?4x?1??5x1
?3x?4x?2x-15x?11x
?x5?x5?x5?6x
?514?1132?41
通解，并指出对应齐次方程组的基础解系。
七、（14 得分
已知二次型
f(x1,x2,x3)?x1?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
1．写出二次型的矩阵A，并写出二次型的矩阵表达式； 2．求A的全部特征值；
3．求一个正交变换X?PY将二次型化为标准形；并指出二次型的正定性。
八、证明下列各题（每小题5分，共10分）
1．设n阶矩阵A与B相似，证明AT与BT相似 2．设3维向量组?1,?2,?3线性无关，b1证明：b1,b2,b3线性无关
??1??2,b2??2??3,b3??3??1，
《 线性代数期末模拟试题四 》
一、填空题（本题18分，每小题3 得分
， 则A? 。
2、若对一个矩阵实施一次行变换等价于在该矩阵的 边乘以一个相应的初等矩阵。
3、A为四阶的方阵，且A?k,A*是它的伴随阵，则A*?
?0初等变换?4、矩阵A??????0??0
?，则该矩阵的秩至少是?3?
5、设n阶矩阵A???1?2 A1???1?2
6、若2，4，6，8是四阶矩阵A的4个特征值，则矩阵(A?3I)的4个特征值
?n?的行列式A?0，
?n?1?，则方程组A1X??n
（有，无）解
二、选择填空（每小题只选择一个答案，选错或不选一律不得分，每小题3分，共18分）
1、设矩阵A???,?,??，行列式A?3，若矩阵B?(3?,???,?2???)
行列式B?（
（A）?18 ；
2、设A、B、C为n阶矩阵，且矩阵A可逆，则下列四个结论中不正确的是（
(B) 若AB?AC,则B?C； (C)
若AC?0,则C?0； (D) 若 AB?0，则B?0。
3、设非齐次线性方程组AX?b的系数矩阵A是m?n矩阵,且秩（A）?r,组（ ）。
（A）在r?m时一定有解；
（B）在m?n时有唯一解； (C) 在r?n有无穷解；
（D）在r?n时有唯一解。 4、向量组?1,?2,?,?m线性无关的充分必要条件是（
(A) 存在一组全不为零的数k1,k2,?,km，使等式k1?1?k2?2???km?m?0成立； (B)存在一组全为零的数k1,k2,?,km，使等式k1?1?k2?2???km?m?0成立； (C)每个?i都不能用其他向量线性表示；
(D)有线性无关的部分组。 5、若I?A2?0其中A是n阶矩阵，则下列四个结论中正确的是（
）。 (A)?1都是A2的特征值 ；
(B) 1是A的特征值； (C) -1或1至少有一个是A的特征值；
(D) -1是A的特征值
6、n阶矩阵A与n阶矩阵B相似，则下列四个结论中不正确的是（
(A) A与B有n个相同特征值；
(B) A与B有相同的特征向量； (C) A与B有相等的行列式；
(D) A与B有相同的秩
三、计算（每小题6分，共12分）
四、（11 得分
3?,?2???1,?1?,?5
3?,?3??0,8?
（1）该向量组的秩；
（２）该向量组的一个最大无关组；
（３）将向量组中不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
五、（12分）得分
试求方程组?
?3x1??1???x2?
??x3?x4?0?x3?0?x3?2x4?0??1???x3??x4?1
当?为何值时有唯一一组解、无解或有无穷多组解 ? 并在有无穷多组解时求其通解。 六、（10 得分
矩阵A、B、C满足ABAT?2BAT?C
求B。其中?1?
七、（14分）得分
已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?2x22?4x32?2x1x2， ⒈写出二次型的矩阵A，并写出二次型的矩阵表达式； ⒉求A的特征值；
⒊求一个正交变换X?PY将二次型化为标准形； ⒋指出二次型的秩与正定性。
八、证明题（5 得分
已知向量组 ?1,?2,
?s和?1，?2，??t
并且每个?i和每个?i都正交。
证明：向量?1,?2,
?s,?1，?2，??t
《 线性代数期末模拟试题五 》
一、填空题（每小题5分，共20得分
b3?k，则c3
3c12b1c1?a1
3，则A= ?2??
3c22b2c2?a2
3c32b3c3?a3
⒊设?1,?2,?,?m均为n维向量（m?n），则向量组?1,?2,?,?m必线性
关。 ⒋设?是矩阵A的特征值,则Am??mI?
（其中m为正整数） 二、选择填空（每小题只选择一个答案，选错或不选一律不得分，每小题5分，
⒈设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（
） (A)当m?n时，必有行列式(C) 当m?n时，必有行列式
AB?0；(B) 当m?n时，必有行列式
AB?0； AB?0。
（D）当m?n时，必有行列式AB?0；
⒉如果向量?可由向量组?1,?2,?,?m线性表示，则必有（
(A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,km，使等式??k1?1?k2?2?km?m成立； (B)存在一组全为零的数k1,k2,?,km，使等式??k1?1?k2?2?km?m成立； (C)对?的表示式不唯一；
(D)向量组?,?1,?2,?,?m线性相关。
⒊n元方程组Ax?b有唯一解的充分必要条件是（
）。 (A)秩(A)?n ；
(B) A为方阵且A?0；
(C)秩（A?b)?n ；
(D)秩(A)?n，且b可由A的列向量组线性表示。 ⒋设???2是可逆矩阵A的特征值，则矩阵(3A)?1有一个特征值为（
三、计算下列行列式（每小题6分，共12分）
x1?1x1?2x2?2?xn?2
x1?nx2?n?xn?n
⒉计算n阶行列式(n>2)
四、（10分）得分
问λ取何值时，方程组
?x1?x2??x3?2?
??x1??x2?2x3?1 ??5x?5x?4x??1
⒉有唯一解；
⒊有无穷多解，并求通解。
五、（7分） 得分
?12设 A?????0
1,求(AB)?1 ?0??
六、（7分）
设A和D分别为m和n阶矩阵，且A可逆,B和C分别为n?m和m?n矩阵，证明：
0??A??I??C
B??I??D??0
?可逆的充分必要条件是矩阵D?CAD?
??A⒋秩???C
?秩(A)?秩(D?CA??D???
七、（14分）得分
已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2且已知二次型的矩阵A的?3x3?2ax2x3(a?0)，
一个特征值为1。
⒈写出二次型的矩阵A，并写出二次型的矩阵表达式； ⒉求a得值，并求A的另两个特征值；
⒊求一个正交变换X?PY将二次型化为标准形； ⒋指出二次型的秩与正定性。
八、（每小题5分，共10分）证明下列各题
⒈已知n维向量w?(w1,w2,?,wn)的各分量均大于零，即wi?0(i?1,2,?,n)，又设n阶矩阵
1???w?n?w1?
w1?wn??w2?
A的第i行第j列元素a?，即矩阵wn?ij
⑴证明秩(A)?1；
⑵证明向量w是A的特征向量，并求所对应的特征值。 ⒉已给2n维向量组?i?(ai1,ai2,?,ai2n)T(i?1,2,?,n)和2n维向量组
?i?(bi1,bi2,?,bi2n)(i?1,2,?,n)，而且该向量组是方程组
?a??x1?a12x2???a12nx2n?0
?a2?x1?a22x2???a22nx2n?0
?an?x1?an2x2???an2nx2n?0?
的基础解系。
证明向量组?i?(ai1,ai2,?,ai2n)T(i?1,2,?,n)是方程组
?b??x1?b12x2???b12nx2n?0?
?b2?x1?b22x2???b22nx2n?0
(2)的基础解系。 ?
?bn?x1?bn2x2???bn2nx2n?0?
《 线性代数期末模拟试题六 》
一、填空（每题2分，共20 得分
1、排列的逆序数为2、当k满足
时，矩阵A???
3、若A是5阶方阵，且=1，则 2A=
列矩阵时,下列运算可以进行
?123?X??5、矩阵A???
?;其结果是行列矩阵。
的伴随矩阵A?， 逆阵A?1。
6、向量组?1??2,?1,3?,?2???1,1,?3?是线性关的。 7、2是A的特征值，则A?2E?
8、向量空间V?x?(0,x2,?,xn)x2,?,xn?R的维数为
。 9、若AAT
?x1??3x3?x2?0
10，如果与四元线性方程组AX=O的同解方程组是?，则有R(A)=
AX=O的基础解系有
个解向量。
二、单项选择（每题2分，共10 得分
1, 设A、B为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，则AB+B=
(A) (A+1)B ;
B(1+A) 。 2，A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则A*A?
设AX?b为非齐次线性方程组，下列结论正确的是；
（A） 若AX?b无解,则AX?0也无解; （B） 若AX?0有解,则AX?b也有解;
（C） 若AX?0只有零解,则AX?b只有唯一解
； (D) 若AX?b有无多解,则AX?0也有无穷多解。
设A、B为n阶方阵，若AB?0，则；
（A） A?0或B?0 ；（B） A=0或B=0 ; (C) A+B=0 ; (D) BA=0
下列结论不正确的是；
（A） 如n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则矩阵A一定可以对角化；
（B） 如n阶矩阵A有n个不同的特征值，则矩阵A一定可以对角化； （C） 如n阶矩阵A有n个不同的特征向量，则矩阵A一定可以对角化； （D） 如n阶矩阵A是对称阵，则矩阵A一定可以对角化。 三、计算行列式（每题7分，共14分）得分
n?1n?1n?1?1?n
四、计算矩阵（每题8分，共16 得分
0??0?1??3??
1???1?3???3??
2、已知A，B为3阶矩阵，其中A可逆，且2B?4A?AB，
（1）证明A?2E及B均可逆；
五、方程组的解（12分）
0?，求矩阵A。 2?
?x1?x2??2x3???
?取何值时，方程组?x1?2x2?x3?1??
有唯一一组解、无解或有无穷多组解 ? 并在有无穷多组解时求其通解。
六、向量组的线性相关性（10分） 得分
阅卷向量组A：?1,?2,?3,?4,?5由五个向量组成，其中
?2??2???1???1??1?
???????????????
?1??4??1???2??1?
，，，?????1??????,? ?2???2??6?
???????????3??9??6???9??7???????????
求：（１）向量组A的秩RA；（２）向量组A的一个最大无关组；（３）将向量组
中不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 七、二次型（12 得分
已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x22?3x32?2x2x3， 1) 写出二次型的矩阵A，并写出二次型的矩阵表达式； 2) 求A的全部特征值；
3) 求一个正交变换X?PY，将二次型化为标准型。
八、证明题（６分） 得分
设A为n阶矩阵且满足AT??A，?是矩阵A的特征值，求证： ??也是矩阵A的特征值。
《 线性代数期末模拟试题一答案 》
一、填空：1．0； 2．2，不成立；3．-2；4．AT
B?2C????201???1
?3；7、充分；8．0； 9． n！
；10．是。 二、单项选择：
三、1．解：方法一：M31
=A31?A32?A33?A34
11?11?1=-2
方法二：M31
000?02． 解：原式=
b2?a2b2?a2
00?0?????bn-1?an?1bn?1?an?1bn?1?an?10?0bn?an
四、解：（1）?A
1??2?0?； ?1??2?
（2）?A?E??0
0?,?A?E?1?0,??A?E?可逆； 0??
（3）由AB?E?A2?B得(A?E)B?(A?E)(A?E),?(A?E)可逆，
?B?(A?E)。
?0?五、解：B?(A?b)??0??0
1??2? 8??4?
当k?2时，R(B)?R(A)?4?n，此时方程有唯一解。 ⒉当k?2时，R(B)?R(A)?3?n?4，此时方程有无数解。 ?1?0
? 与原方程同解的方程为?x2?6?2x3， ?4??x?4
?x1??0???17???????x2?26
取x3?c得方程的通解为???c?
?x3??1??0???????x04?????4?
六、解：（1）向量组所对应的矩阵A~
?故R(A)?R?3；
（2）?R(A)?RA?3<4，故向量组A线性相关；
?1?0??0??0
?，知?,?,?是A的一个最大无关组；
七、解：（1），二次型的矩阵A=?0
1??a?； 1??
二次型的矩阵表达式f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)?0
?0??x1??x2?x?3??
（2），写出A的全部特征值为0，2，1；
（3）A?0E??0
a?， ?A??a?0,?a?0 1??
八、解：记A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3) 方法一：由过渡阵P?A?1B（2分）
?E?AB?得：?0
利用初等变换(A?B)~
??58? 109??
由坐标转换公式，b在基?1,?2,?3下的坐标
y?p?1x???3,方法二：由过渡阵P?A?1B
又?b在基?1,?2,?3下的坐标y?p?1x
Ax得y???3,
九、解：（1）?解向量是四维的，?非齐次方程组Ax??是四元的；
（2）?R(A)?3,?Ax?0的基础解系含4-3=1个向量；
??1,?2,?3,是非齐次方程组Ax??的解
?2?1?(?2??3)是Ax?0的一个解
又?2?1?(?2??3)=?2
?2?1?(?2??3)是Ax?0的基础解系
方程组Ax??的通解
4?.（c成为任意常数）
《 线性代数期末模拟试题二答案 》
一、填空题：1．5
x2??1；3．???0?1?x3?1?
1???1??0?0????k??0
?；4．a4?b4； ?1??3?
二、解：?2
??2?0????2k??0
?2?(k?1)(2?k) 1
1．当k≠2且k≠－1时有唯一解；
2．当k=－1时，?0
???0??103．当k=－1时，????0
有无穷多解； ?0??
无解。 ?6??
?A?E显然可逆，?B?A?E?1三、解： 1．(A?E)B?(A?E)(A?E)，
2．(A?E)Y?C
法1：[A?E,C]??1
Y?(A?E)C??2??
?1??(??3)(??3) ?
法2： (A?E)?1
???1???1??1
四、解：|?E?A|??2
?1?3,?2??3,?3?0
02?20?4?20?1?2
?3???0?2??1???2?0
??3???0?2??1
?1,特征向量q1?2 ?3??
?0???2??1??2?1???
1,特征向量q2?1 ???3
?0????2???2??2?1???
1,特征向量q3??2 ??3???0??1??Q
令Q?[q1,q2,q3],则Q是正交矩阵，使
五、解答：1．－2（k+4）(k－3)；2． k≠-4且k≠3；3． k=-4或k=3；4.－4 。 六、单项选择题：1．（ 4 ）;2．（ 4 ）;3．（ 3 ）； 4．（ 3 ）;5．（ 2 ）。
七、解：设
A正定??k?0,得2?k?5
项系数都是
3．由题意得标准形中平方
A的特征值且大于0，其和等于
tr(A),其积等于|A|
于是m?2?k?2?8?5?5?k?k,即m?k?2
2?8m(k?2)?(25?k2)(k2?4),?25?k2?16,k??3 因为k=－3时A不正定，所以k=3,m=1 法2：
2． |?E?A|?[(??5)2?k2][(??k)?4]
A的特征值为
?1?5?k,?2?5?k,?3?k?2,?4?k?2
?k?0?k?0?2?0?2?0
tr(A),其积等于|A|
3．由题意得标准形中平方
项系数都是A的特征值且大于0，其和等于
所以，A的特征值分别为m,
由于k?2，所以k?5?2,k?2?2。
当5?k?2，即k?3时,?1?8，?2?2，?3?4，?4?1
此时A的特征值分别为m,
当k?2?2，即k?4时,?1?9，?2?1，?3?6，?4?2
?(k?2)y3?8y4 。 此时二次型的标准形不能是g(y1,y2,y3,y4)?my12?2y2
总之，当k=3,m=1时。
八、1．证明：因为AT?A,Ap??p(p?0),pTAq??pTq,Aq??q(q?0),pTAq??pTq 所以(???)pTq?0,????,?pTq?0,即p和q正交。
2．证明：设t?n?r，?r(B)?r,?Bx?0的基础解系有
设Bx?0的基础解系为
v1,v2,?,vt,下面证明v1,v2,?,vt也是ABx?0的基础解系?0,即vj也是ABx?0的解，j?1,2,?,t.
（1）?Bvj?0,?ABv
（2）?v1,v2,?,vt是Bx?0的基础解系,?v1,v2,?,vt线性无关 （3）?r(AB)?r,?ABx?0的基础解系所含向量的
所以v1,v2,?,vt也是ABx?0,的基础解系，因此
个数为n?r?t
ABx?0与Bx?0同解
《 线性代数期末模拟试题三 答案》
一、填空：1．0; 2．2,5,1; 3．ATA?I; 4．R(A)?R(B)(其中B?(A,b))
二、选择填空：1. D； 2. C ;3.C；4.A
三、解：1.原式=
?20=-144 0
=(?1)2?4?3
2．原式=(?1)
a1a2?an ?an?10 =(?1)?
四、解：（1）(B?bE)(A?aE)=BA?bA?aB?abE；
（2）将aB?bA?BA代入（1）得(B?bE)(A?aE)=abE，
?ab?0，?B?bE?A?aE?0，故A?aE及B?bE均可逆；
（3）由aB?bA?BA得，A?(B?bE)?1aB，即A?(B?4E)?12B
?E?AB?得：A?(B?4E)2B=??1
0?????0????0
解：1．A?[?1,?2,?3,?4]??
?1?0???0??0
所以r(A)?3
2．由于矩阵A的秩为3，所以A的列向量组的秩也为3，而向量的个数为4，所以矩阵A的列向量组是线性相关的。
3．由于A经过初等行变换后化为U，而U的第1，2，4列是U的列向量组的一个极大线性无关组，所以?1,?2,?4是A的列向量组的一个极大?1??2~~~~
六、解：A??3
31??15?28?15?
线性无关组。
?13?51?300
?524?520300
??1?????0???????0????0??0
?x4?x5对应同解方程组?x2?1515?
?x?20?x?1x
???15?28?15??
20??3?0?0?
令x4?x5?0，得非齐次方程组得一个特
1??15??14?x??x?x5
，对应齐次方程组的同解方程组?24?
?8???15?14?15??
?x4??1??0???令??1??得齐次方程组得基础解系：?1??1?，?2?0??，??x????
?????? ?????
f(x1,x2,x3)?[x1,x2,x3]?2
???4????x3??
得特征值为：?1??2?0,?3?9
⒊当?1??2?0时，解方程组(0I?A)x?0,得基础解系?1?1,?2?0
???????0???1??
?2??2??2????????5?535?????4?14?
?,????单位化得
?35??5??5?
???????????35?
当?3?9时，解方程组(9E?A)x?0,得?3
??2,单位化得?3??
作正交变换：x2??
?????x3???
3?y??1?2???2
y2，则二次型化为标准形f?9y3
??2??y3??3?
⒋由于?1??2?0，?3?9，所以二次型的秩是1，二次型不是正定的。
八、1．证明：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使P?1AP?B， 因此PA(P)
?B，所以A与B相似。
2． 证明：设有常数?1，?2，?3，使得?1b1??2b2??3b3?0，则有
(?1??3)?1?(?2??1)?2?(?3??2)?3?0
由于向量组?1,?2,?3线性无关，所以有??2??1?0
，所以b1,b2,b3线性无关。
《 线性代数期末模拟试题四 》
一、填空题：1、12； 2、左；3、k3；4、3；5、无；6、-1，1，3，5。 二、选择填空：1、A；2、A；3、A；4、C；5、C；6、B。
1?53三、解：1、
000?312 =-3 。
bbbbbb2，原式=
bbab=(a2?b)?(a?3b)
bbb=(a2?b2
0a?b00200a?b0=(a2?b)?(a?3b)(a?b)3
=(a?b)?(a?3b)(a?b)4
??2?1011?四、解：令TTA?(?1,?2,?TTT
)=?11?102???
?25?4?29? ???33?3
1?102?1?102?
??2?1011???1???3213??
?25?4?29????0?000?12?，由此得： ?????
（1）该向量组的秩为3。
（2）?1,?2,?4是该向量组的一个最大无关组。继续对A实行行的初等变换得： 165
??3?，由此得： ?0001?2?
（3）?123??3
??1??1?0??1?~
五、解：：由A??0
1?10?0????1?
（1）??3且??
时，方程组有唯一解。
（2）??3时，无解。
?（3）??1时，有无穷解。在有无穷多组解时，A??
??0??0??x1
3???1???5????x?x
通解为：X?k?1???0?。 ?x?x??33??1?0????0?
245??????5?? 166
?0?得： ?0
5?1?10?0??
，由此得：001??2?5?0
六、解：?ABA
?C?B??A?2I?CA
??3???0??0??
0?2? ?3?1??3??
??1???0??0??
0?，则B??1
3?1???。 3?1??9??
七、解：（1）A?1
0，f(x1,x2,x2)?X?4??
（2）A??I?10
=(2??)?1(4??)
?2????1，??4即?1?1，?2?3，?3?4。
（3）?1?1时(A?I)X?0，A?I?1
??0~0??4????0
基础解系：?1??1?，单位化?1??1?；
同理可求：?2
?1??1??0??0???????1????1?，?2?1??0??；，?????0?。 33
2???0??1??1?
0，正交变换X?PY可以使二次型化为标准形： ?1????
f(x,x,x)?y1?3y2?4y3
??0~0??4??0??
0所以，二次型的秩是3； ?4??
由于特征值都大于零，故属正定二次型。 八、证明：设有k1,?,ks,?1,?,?t使得：
k1?1???ks?s??1?1????t?t?0成立，
则需证：ki?0,?i?0。
令r?k1?1???ks?s???1?1????t?t，则?r?r??0
?r?0，而?1,
?s线性无关，?ki?0。
同理可证?i?0。
《 线性代数期末模拟试题五答案 》
一、填空题：一、⒈ 6k；⒉ A?0
?3； ⒊ 相； ⒋ 0 。 ?4??
二、选择填空：⒈ (B)；⒉ (D)；⒊(D)； ⒋ (C) ?
⒉相邻两列相减（后列减前列）得
x1?1x2?1?xn?1
x1?2x2?2?xn?2
x1?nx2?n?xn?n
四、解：B?(A?b)??1
?1???24?5?
⒈当???⒉当???
时，R(B)?3,R(A)?2，此时方程组无解。
,??1时，R(B)?R(A)?3?n，此时方程有唯一解。
⒊当??1时，B?0
?3 ??9???1
与原方程同解的方程为
，取x2?c得方程的通解为?x2?c
?x1?1?x2?x?1
五、解：(AB)
?5????2??0?
1?2?1?? 2?1??2??
1?2?1??2?1??2??121?212
1?2?1??2?1??2??
??0?1??3?0
?7??2?7=??2?3??2
六、证明：⒈根据分块矩阵乘法直接可得证
⒉对⒈式两边取行列式可得证
⒊由⒉式可知，??I⒋由于?
?可逆的充分必要条件是D?CAD?
即矩阵D?CAB?0，
?均可逆，所以由⒈式 I?
0??A??I??C
B??I??D??0
?r(A)?r(D?CA???I??
r???C????B??I????r??
七、 解： ⒈
f(x1,x2,x3)?[x1,x2,x3]0??
???3????x3??
因为?1?1是特征值，所以E?A?0而
?a??(4?a)，所以a?2(a??2舍去）
?2?(??1)(??2)(??5)
所以A的另两个特征值为?2?2,?3?5
⒊当?1?1时，解方程组(?1E?A)x?0,得?1?1,单位化得?1??
??????1???
当?2?2时，解方程组(?2E?A)x?0,得?2
?1??1??????0,单位化得?2?0 ???????0???0??
??00????1???
当?3?5时，解方程组(?3E?A)x?0,得?3?1,单位化得?3??
???2????1??1?
作正交变换：x2??
?????x3???
f?y1?2y2?5y3
??y?，则二次型化为标准形
2??????y3????
⒋由于二次型的特征值均大于零，所以二次型的秩是3，二次型是正定的。
八、证明：⒈⑴
因为矩阵A的各列成比例，且不为零，所以秩(A)?1；
因为Aw?nw，所以向量w是A的特征向量，并且所对应的特征值为n。
⒉因为?1,?2,?,?n?r?1是非齐次线性方程组Ax?b(b?0)的n?r?1线性无关的特解，所以?1??n?r?1,?2??n?r?1,?,?n?r??n?r?1是对应的齐次线性方程组Ax?0的n?r解，且可证它们是线性无关的。
因此方程组Ax?b的通解为
)?k2(?2??n?r?1)???kn?r(?n?r?n?r?1)??n?r?1
其中k1,k2,?,kn?r是任意常数。取kn?r?1?1?
x?k1?1?k2?2???kn?r?1?n?r?1
《 线性代数期末模拟试题六答案 》
一、填空：1、10；2、?
；4、3行2列，1行2列；
2?1? ， 1?10?
2??；6、无 ；7、0；8n?1 ；9、AT；10、 2 ， 2。 ?1?
二、 单项选择：1,C；2，D；3,D；4,A； 5,C。
三、计算行列式（每题7分，共14分）
n?1n?1n?1?1?n
n?12(n?1)2(n?1)
n2n2n=2?2n
四、计算矩阵（每题8分，共16分）
0??0??1??2??
1??1???1??0
=??30????3???0
解：1、原式=?
2、（1）由2B?4A?AB可得：AB?2B?4A?8E?8E，即
(A-2E）（B-4E）?8E所以A?2E可逆；
又由2B?4A?AB可得：4A?(A?2E)B，即
B?4(A?2E)A，而A?2E及A均可逆，
（2）由2B?4A?AB可得：A?2B(B?4E)
???2???1??0?
0??0?=??80?1?????02?
???2??1??0?
?1??? ???1
五、解：增广矩阵B??1
??1???1????1??11??
当?2?1?0时，即???1时，R(A)?R(B)?3，方程组有唯一一组解； 当???1时，R(A)?2，R(B)?3，方程组无解；
当??1时，R(A)?R(B)?2，方程组有无数组解； ?1
此时，B??0
1??1??1???0
对应的同解方程组为：?
令x3?0，得特解：???1?，
?0???1?????1?k0此时方程组的通解是：x????=???? 。 ?0??1?????
令A=(?2,?1,?3,?4,?5)=?
2??4?4??9??
故R(A)?3，故向量组A的秩为3；
???0由于??,?,??~?214????0
，即R(?,?,?)?3，
故?,?,?是向量组A的一个最大无关组；
故??????， ?312?3?0??
七、解：二次型矩阵为A??0
（2-?）(4??)， =
故A的特征值为?1,2?2，?3?4；
当?1,2?2时，解方程组(A?2E)x?0由
0??0??1?~?0
?????0?得基础解系?1??0?，?2???1?
?1??0?0??????
； ?2?2?2?
当?3?4时，解方程组(A?4E)x?0，由 ?-2?
0??1??1?~?0
???-1?得基础解系?3??1?，
?12????x1??1
于是正交变换为?x2???0
2??y2?，且有f?2y??2???y3?
八、证明：?是矩阵A的特征值，故有A??E?0， 则A??E
?0，即AT??E?0，-A??E?0，
（-1）nA??E?0，
A??E?0，故??是矩阵A的特征值。
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