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几类非线性矩阵方程的Hermite正定解及其扰动分析.pdf108页
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几类非线性矩阵方程的Hermite正定解及其扰动分析.pdf
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西安电子科技大学
博士学位论文
几类非线性矩阵方程的Hermite正定解及其扰动分析
姓名：尹小艳
申请学位级别：博士
专业：应用数学
指导教师：刘三阳
座机电话号码
矩阵方程是矩阵理论中非常重要的分支，在数学本身及其它自然科学中有着广泛的
应用．由于非线性现象在实际生活和应用的各个领域广泛存在，因此非线性矩阵方程的
求解问题成为当今计算数学各领域最活跃的课题之一．近些年来，一类对称非线性矩阵方
程X士A*X―A Q，n 1，2 其中，A为可逆矩阵，Q为任一正定矩阵 因其在电子
网络，动态规划，随机过程，控制理论和统计学等工程应用中的重要作用引起了众多学者
的关注，对这类方程的研究已取得了一系列的成果．同时，人们将此类方程推广到更为广
泛的形式：
1 ．X士A+X“A Q，n为正整数； 2 ．X。4-A+X―A Q，s，t为正整数；
3 ．X4-A‘X―qA Q，q 0等．
本文主要研究以上几类对称非线性矩阵方程的可解性理论，不动点迭代算法和解的扰
1．在此条件下给出计算唯一解的不动点迭代算法并证明了算法的收敛性．结合Schauder
不动点定理讨论正定解的扰动问题，给出正定解的扰动上界，同时根据Rice条件数理论，
给出正定解条件数的显式表达式．
2．对方程x+∥x―A Q n为正整数 ，讨论了该方程的可解性．给出这一方程存在
两个互异正定解的充分条件： 悄|12|lQ_1Il¨1 丽号亭可．在此条件下，得到了正定解存在
的具体范围及不动点迭代算法．给
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半正定矩阵
半正定矩阵
positive semidefinite matrix正定矩阵的推广.半正定实二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(AT＝A)称为半正定矩阵....非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的.设A是n阶实对称矩阵，则下列的条件等价：1.A是半正定的.2.A的所有主子式均为非负的.
与"半正定矩阵"相关的文献前10条
设A是n阶实矩阵,如果对任意非零实n元向量X,均有X＇≥(0),就称A为半正定矩阵(正定矩阵)。已有不少文章研究了正定矩阵的性质,但关于半正定矩阵的研究尚不多见。本文给出半正定矩
本文对一个半正定Hermite矩阵的奇异值的不等式给予证明与推广,改进了关于这类半正定矩阵不等式的相应结果。
半正定矩阵与正定矩阵在不等式的研究上有相当大的区别,将正定矩阵推广至半正定矩阵,需要用Moore Penrose逆来代替一般的逆。利用分块矩阵和Schur补得到了关于半正定矩阵M
对正定、半正定矩阵在欧氏空间和酉空间里进行对比,目的是为了更好地了解正定、半正定矩阵在不同数域的性质,并且给出在复数域上的严格证明.
从半正定二次型的定义出发 ,推导出与其定义等价的几个条件 ;并且根据半正定矩阵的定义 ,推导出半正定矩阵的若干性质
用控制不等式等理论,对矩阵之积的特征值进行了估计,得到若干半正定矩阵特征值的不等式,并推广了其中的一些结论。
研究了下列问题:给定X∈Rn×p,B∈Rp×p,A0∈SRn× n0(pn),求子阵约束条件下n×n阶对称半正定矩阵A,使得XTAX=BTB s.t.A([1,r])=A0,其中
由半正定二次型的定义及其引理,得出了半正定二次型和实对称半正定矩阵的一些性质和不等式,并给出其证明.
本文首先证明了关于Hermite矩阵迹的一个不等式,在此基础上,得出了关于半正定矩阵迹的几何-算术平均不等式,特别地,该不等式对实对称半正定阵也是成立的,这就给出了文〔1〕中,R
利用分块矩阵和Schur补得到了关于半正定矩阵Moore-Penrose逆的若干矩阵等式和矩阵不等式,相应地推广了某些已知结果.
"半正定矩阵"的相关词
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作者：JHJ()
日期：<span style="color:#12/08/24
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关于正定稀疏矩阵的一种快速求解方法。对Cholesky分解的一种优化。四年前的论文，当时做语音信号处理时写的，现在分享给大家。具体内容见点。
大型稀疏正定矩阵的分解
文利用无向图来确定分解的下三角矩阵的非零结构图，提出了两种算法，即消去图和通过商图找顶点的可达集。本文主要利用有向图来确定分解的下三角矩阵的非零结构图，采用有向图算法可以进一步减小算法的时间和空间复杂度，提出利用动态规划思想确定顶点的终点集即文可达集的概念以及有向图中的消去图算法。本文同时给出了这两种算法的数据结构，这种数据结构有利于大型稀疏矩阵的压缩。
1.1标准choleskey算法时间复杂度分析
本文介绍直接法求解对称正定线性方程组
其中是阶大型稀疏对称正定矩阵。应用分解求解是一稳定有效的方法。分解的算法如下：
for j = 1 : n&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1
&&&& for i = j : n&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2
&&&&&&&&&&& v(i) = aij&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3
&&&&&&&&&&& for k = 1 : j – 1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4
&&&&&&&&&&&&&&&&&& v(i) = v(i) - gjk *gik;&&&&&&&&& 5
&&&&&&&&&&& end&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6
&&&&&&&&&&& gij = v(i) /&;&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7
&&&& end&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8
end&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 9
其中gij为对称正定矩阵经过分解得到的下三角矩阵。
记为程序中第行程序运行的次数。
所以分解算法的时间复杂度为。
1.2理论上稀疏矩阵choleskey分解最小时间复杂度
标准分解计算了下三角矩阵的主对角线及以下元素的所有&#20540;。但是若为稀疏矩阵，如果我们能事先知道中非零元素的位置，则我们只需要这些非零元&#20540;。显然，这可以很好的降低时间复杂度。
，则δ为矩阵的稀疏密度。
若我们只计算中非零元的&#20540;，则我们可知，
对于第个循环，第列有δ×＋个非零元素。
对于第个循环，由于第行有×δ个非零元素，如果我们只操作第行的非零元素，则此循环平均次数为。此时
比较式、、我们发现，当我们只优化前两个循环时，时间复杂度可减少δ倍，当我们优化第三个循环时，时间复杂度可减少δ倍。这就是理论上分解最优&#20540;。若为稀疏矩阵，一般δ＝，若能实现式的优化，则时间性能可以提高约倍。
优化后的分解算法的伪代码如下：
for j = 1 : n&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1
&&&& 对第j列每个非零元素i&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2
&&&& &&&&&& v(i) = aij&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3
&&&&&&&&&&& 对每个gjk不为零的k(k = 1:j-1)&&&& 4
&&&&&&&&&&&&&&&&&& v(i) = v(i) - gjk *gik;&&&&&&&&&&&&&&&& 5
&&&&&&&&&&& end&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6
&&&&&&&&&&& gij = v(i) /&&;&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7
&&&& end&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8
end&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 9
1.3稀疏矩阵choleskey优化――矩阵操作
分解算法分析
设是一个阶对称稀疏矩阵，的非零结构记为＝≠≠。设经分解，被分解为，其中为下三角矩阵。称＝为的填充矩阵，的非零结构为＝≠
分解中，有关系式
其中为矩阵的行，为矩阵的列。我们所关心的是什么情况等于零，显然有以下三种情况：
这三种情况都可能发生，只有第种情况下，我们是无需计算就可以确定的&#20540;，其它两种情况我们都需要计算才可以确定的&#20540;。
因此我们可以得到结论：
是需要计算的如果满足以下两个条件的任何一个：≠；，且≠，≠。
我们称是一个填充元素，如果满足条件。
优化算法实现
初始条件：为×其中所有元素初始化为零的空矩阵。其中为中第行第列的元素，为中第行第列矩阵，表示元在分解中无需被计算。
满足且≠且≠
记录第列中主对角线下面非零元的个数
记录第列中主对角线下面非零元的行号
优化复杂度分析
则此程序的时间复杂度为
考虑平均情况，，代入式得时间复杂度为。
1.4稀疏矩阵choleskey优化――图论应用
用表示一个有向图，其中，是图顶点的集合，是中有序顶点对所构成的边的集合。图的一个排序α是……到的一个映射，是中顶点的个数，以αα记之。
现在建立图与矩阵之间的关系。设是一个阶对称正定矩阵（根据的对称性，矩阵中只需要存储其下三角部分即可，这并不影响分解，同时可以节省内存空间），它所对应的图为。其顶点其边≠且。图、、分别给出了一个有向图及其两种表现形式。其中①表示矩阵的第个对角线元素，它对应图的第个顶点，表示对角线以外的非零元素，它对应图中的边。
我们可以将矩阵的下三角部分表示成图的形式。下面分析如何从的非零元结构图得到分解下三角矩阵的非零结构图。
定义图中，若属于，则表示从到的一条弧，且称为起始点，为终端点。
本文中，属于的必要条件是。即起始点的序号要大于终端点的序号。
在中，我们有这样一个结论：是需要计算的如果满足以下两个条件的任何一个：≠；且≠且≠。
此结论在有向图中是这样的：
结论：到的一条弧存在，如果满足以下两个条件中的任何一个：∈；不属于，但存在顶点，使∈且∈。
≠在有向图中的意义为存在。
结论确定了弧存在的条件。对结论的第种情况，图发生了“增弧现象”这对应矩阵中的“填充现象”。
如图所示，中，，，但是对于，图中存在顶点，使和属于，因此根据结论，发生了“增弧现象”，即中增加了一条弧。
现在的问题是：对任意顶点，需要找到其所有的增弧。如果把顶点看成起始点的话，则需要找到的所有增加的终端点。
记点集∈，称为以顶点为的起始点的弧的终端点集。记∈，称为以顶点为的终端点的弧的起始点集。
若要确定，则必须先要确定，∈。
因为这里有子问题重叠现象，且需要自底向上的求解问题，因此可以采用动态规划思想来解决这个问题，即我们依次求解、、、、……、、，这样便可以确定的非零元结构了。即在矩阵中，元是需要求解的，若∈∈或。
算法描述如下：
根据矩阵先初始化
如果采用图的链表结构，则需要两个此结构和，用来存放，用来存放。
时的结构就确定了的结构。
在文消去图算法种，若要消去第个顶点，记第个顶点的相邻点有个，则需要次操作，而采用有向图的消去图算法，则只需次操作，显然这种算法可以很好的减小时间复杂度。其算法如下：
图论在稀疏对称矩阵中的应用
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排名：千里之外
原创：15篇
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(1)(1)(2)(3)(1)(4)(3)(3)(1)(2)(4)(3)(1)(1)(1)已解决问题
正定矩阵证明问题
&老师，在证明一个矩阵式正定矩阵时，为什么先要证明其为实对称矩阵呢？
提问时间： 18:11:50提问者：
一个n 阶的实对称矩阵 M 是正定的对于所有的非零实系数z，都有 z&Mz & 0。其中z&表示z的。则M是正定矩阵也就是说，M为正定矩阵的一个前提是M是实对称的。 欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
回答时间： 23:51:29
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