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在充分的数学活动中积累经验――由“面积单位”教学引发的思考
作者:南京市力学小学
张云&&录入时间:&&阅读次数:4991
摘要：数学活动经验一般是指学习个体在经历一系列有效数学活动之后所留下的体验和感悟。这种体验和感悟既有助于学生更好地理解和应用数学知识，也是学生对数学形成更高层次认识的基础和前提。高质量数学活动经验的获得，一定程度上取决于活动本身是否足够充分，包括活动过程的完整性、活动形式的多样性、活动内容的综合性，以及活动本身所蕴含的思考性。
关键词： 数学活动经验& 完整& 多样& 综合&& 思考&& 面积单位&
&&& 认识面积单位是苏教版《义务教育课程标准实验教科书 数学》三年级（下册）的一节概念课。教学的目标主要有两个，一是让学生初步理解平方厘米、平方分米和平方米的含义，初步建立上述面积单位实际大小的正确表象；二是让学生初步学会应用这些面积单位测量或描述物体表面及平面图形的大小。围绕教学目标，我设计了如下的教学活动。
（一）引出面积单位
&&& 1.要求学生比较文具盒盖的面、数学书封面和课桌面的大小。
&&& 2.进一步要求：如果让你介绍课桌面有多大，你打算怎样做？
&&& 3.学生用不同方法测量课桌面大小。
&&& 4.提出问题：同样的课桌面，大家的测量结果却是五花八门。你觉得这里面有没有需要改进的地方？
&&& 5.指出：为了准确测量或计算面积的大小，要用统一的面积单位。
（二）认识平方厘米
&&& 1.介绍：边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米。
&&& 2.拿一拿：从学具中拿出1平方厘米的正方形纸片。
&&& 3.比一比：哪个手指甲的面积接近1平方厘米？
&&& 4.找一找：我们身边还有哪些物体面的大小接近1平方厘米？
&&& 5.算一算：下面两个长方形都是由1平方厘米的正方形拼成的，它们的面积各是多少平方厘米？（出示6×1和3×2的长方形各一个）
（三）认识平方分米
&&& 1.介绍：边长1分米的正方形，面积是1平方分米。
&&& 2.拿一拿：从学具中拿出1平方分米的正方形纸片。
&&& 3.找一找：我们身边哪些物体面的大小接近1平方分米？
&&& 4.比一比：收起1平方分米的纸片，先用手比画1平方分米的大小，再拿出1平方分米的纸片比一比，看谁比画出的最接近1平方分米。
（四）认识平方米
&&& 1.引导：我们已经认识了平方厘米和平方分米，由这两个面积单位你还能想到其他面积单位吗？
&&& 2.启发：什么样的正方形，面积是1平方米？
&&& 3.提出要求：老师在地面上画一个1平方米的正方形，你估计这个正方形里面能站多少个同学。
&&& 4.学生活动：在1平方米的正方形地面上站一站，看最多能站多少个同学。数出结果后，与先前的估计进行比较。
（五）指导完成“想想做做”第2题
&&& 在括号里填上合适的面积单位。
&&& （1）数学书封面的长大约是24（& ）。
&&& （2）方桌面的面积大约是64（& ）。
&&& （3）信封的面积大约是200（& ）。
&&& （4）操场的面积大约是3600（& ）。
&&& 实际教学时，前几个活动的组织显得十分顺畅：学生饶有兴趣地找、比、估、数，忙得不亦乐乎。我也沉浸在孩子们一个接一个成功的喜悦中，自认为经历如此丰富的教学活动之后，形成正确的面积单位的表象应该是水到渠成的。可是，“选择合适面积单位”的练习情况却如一盆冷水，浇了我个透心凉：全部填对的同学不足30%，其中典型的错误答案包括“数学书封面的长大约24平方厘米”，“方桌面的面积大约是64平方厘米”，“操场的面积大约是3600平方分米”。
&&& 活动内容如此丰富，活动过程如此顺畅，可是学习效果却如此糟糕，这究竟是什么原因？这些活动中是否存在一些关键的疏漏或缺失？高质量活动经验的获得是否一定依赖于较长时间的重复练习？这些困惑盘旋在我的心头，挥之不去……
&&& 为了解开心中的困惑，课后我找了几个学生，和他们进行小范围交流，试图一窥他们内心的真实想法。
&& &师 &你是怎么想到“数学书封面的长是24平方厘米的？”
&& &生 &这节课学的是面积单位，我就填了“平方厘米”，没想到要求填长度单位……我太粗心了！
&& &师 &那“方桌面的面积为什么是64平方厘米，而不是64平方分米呢？”
&&& 生 &如果是64平方分米的话，那就相当于6米多了，桌子哪有那么长的？（其他学生点头附和）
&& &师 &“操场面积是3600平方分米”又是怎么想的？
&&& 生 &前几题填的都是“平方厘米”，我觉得这题不应该还是填“平方厘米”。
&&& 生 &我觉得“平方厘米”小了，“平方米”又好像大了，所以……
&&& 生 &边长1分米的正方形，面积是1平方分米，操场一边有几百米，也就是几千分米，边长3600分米的正方形面积就是3600平方分米……
& &&随着交流的深入，我心中的困惑慢慢得到了化解，原先活动设计的不足和缺失也逐渐明朗起来：从表面来看，学生作出错误选择的原因是已有的对长度单位的认识干扰了他们对新的数学知识的理解和应用。“面积和面积单位”的学习是建立在“长度和长度单位”基础上的。在一个较长的学习区间，学生所了解的测量知识都与长度有关，积累的都是一维空间的活动经验，面积的概念刚刚建立，测量面积的经验几乎空白。在这种情形之下，相关数学知识和方法的负迁移几乎不可避免。另一方面“选择合适单位”的过程，其实不仅需要对相关单位本身有正确而清晰的认识，而且还应具有一些用单位进行测量的经验――很难想象，一个从未应用面积单位进行过测量的人，却对物体表面或平面图形的大小能够进行相对合理的判断。
&&& 从更深层次来看，上面的数学活动看似热热闹闹，但活动本身其实是不充分的，学生所获得的活动经验也大多属于模糊的、低水平的，甚至是错误的。我们只是关心学生对1平方厘米、1平方分米、1平方米实际大小的感知，却没有为他们提供感知若干平方厘米、若干平方分米、若干平方米大小的机会；我们重视了对几个面积单位自身的认识，却没有创设更多富有吸引力的问题情境，让学生在新的情境中应用知识、开展探索、解决问题。尽管在教学中也安排了看图说出“两个长方形的面积各是多少平方厘米”这样的活动环节，但这样的活动显然不足以让学生真正了解面积测量的基本方法，而且无论是活动本身的强度，还是学生参与的深度都远远不够。至于“找出1平方厘米的正方形纸片”“比画1平方分米的大小”“找出表面面积接近1平方厘米（或平方分米）的物体”“看1平方米的正方形里能站出多少个同学”等活动，大多着眼于让学生丰富感知经验，不仅思维含量不足，而且缺少对具体经验的反思、提升和再应用，由此学生难以超越已有的认识也就不足为怪了。
&&& 基于上述认识，我对本节课进行了二次设计。下面是按新设计组织教学时的课堂实录片断。
（一）引出面积单位（略）
（二）认识平方厘米
&&& 在介绍1平方厘米的含义、组织“拿一拿”“比一比”“找一找”等活动之后，接着安排如下3个活动。
【活动1】一枚邮票的面积有多少平方厘米？
&& &师 &我们已经知道1平方厘米有多大，你能根据对1平方厘米的认识估计这枚邮票的面积吗？
&&& 生（纷纷猜测） 4平方厘米、5平方厘米、8平方厘米……
&& &师 &咱们把问题再说明白一点，你估计这枚邮票的面积不会小于多少平方厘米，不会大于多少平方厘米？
&&& 生 &不会小于4平方厘米，不会大于10平方厘米。
&& &生 &应该在6平方厘米到10平方厘米之间。
&& &师 &怎样才能知道准确的答案？
&&& 沉默片刻后，有学生提出：用1平方厘米的小正方形去摆！
&&& 教师肯定学生的想法后，学生主动进行分组操作。
&&& 学生得出结论：这枚邮票的面积比6平方厘米略大一些，但肯定比8平方厘米小，因为一排摆3个，摆了2排还空一点点。
【活动2】一张扑克牌的面积有多少平方厘米
&&& 提出问题后，学生纷纷猜测。
&& &生 &应该不小于20平方厘米。
&& &生 &应该比100平方厘米小。
&& &师 &如果把这张牌和刚才的一枚邮票比较，你能想到什么？
&& &生 &我觉得应该是36平方厘米到60平方厘米之间，因为它肯定比6枚邮票的面积大，但不会超过10枚……
&&& 要求学生用1平方厘米的小正方形摆一摆。
&&& 活动开始后不久，有学生提出：我们小组里的小正方形纸片不够，3行都不能摆完……
&&& 话没说完，有人站了起来：不用这么麻烦，只要横着摆一行，竖着摆一行就行了！
【活动3】边长1分米的正方形纸片的面积是多少？
&&& 出示一张边长1分米的正方形纸片，提出要求：你能估计这张正方形纸的面积吗？
&& &生 &一张扑克牌的面积大约是四十多平方厘米，这张纸的面积应该不小于80平方厘米。
&&& 学生操作验证后组织交流。
&& &生 &用1平方厘米的小正方形摆，每行摆10个，正好摆了10行，面积是100平方厘米。
&& &生 &正方形边长是10厘米，也就是1分米，它的面积能不能说成是1平方分米……
&& &师 &这位同学想的很有道理。事实上，边长1分米的正方形面积确实就是1平方分米。平方分米也是一个面积单位。
&&& 接下来的活动包括：用一张纸剪1平方分米的正方形，比谁剪出的正方形面积最接近1平方分米；用1平方分米的正方形测量课桌面的面积、估计一扇窗户的面积；认识平方米，用旧报纸拼出1平方米的正方形，用1平方米的正方形测量黑板的面积，根据黑板面积估计教室地面的面积，等等。
&&& 在最后组织的选择合适单位的练习中，绝大多数学生都填对了。个别同学出现错误选择后，很快就得到其他同学的纠正。例如，当有人说方桌面的面积是64平方厘米后，有学生站起来：一张扑克牌的面积就接近50平方厘米了，一张方桌难道放不下两张扑克牌？
&&& 数学活动经验一般是指学生个体在经历一系列有效数学活动之后所留下的体验和感悟。这种体验和感悟既有助于学生更好地理解和应用知识，也是学生对数学形成更高层次认识的基础和前提。高质量数学活动经验的获得，一定程度上取决于活动本身是否足够充分，包括活动过程的完整性、活动形式的多样性、活动内容的综合性，以及活动本身所蕴含的思考性。
（一）活动过程的完整性
&& &科尔比的经验学习理论认为，处于理想状态的经验至少要经过四阶段（具体经验、反思性观察、抽象概括、主动实践）的循环过程才能完成，学生获得高质量数学活动经验的过程也是如此。在不同的活动阶段，学生获得的数学活动经验的内容和形式可能存在很大程度的不同。因此，教学中需要使学生经历数学知识发生、发展、拓展和应用的完整过程，体验每一个活动环节，获得不同的经验内容。认识面积单位时，如果仅把活动目标指向感知每个面积单位的实际大小，学生获得的感性经验往往是不够全面的。而让他们利用对相关面积单位的初步感知，测量或估计某些物体表面的面积，既能进一步丰富对面积单位的感知经验，又能帮助他们初步体会面积计量的一般方法，体会直接计量与间接计量的某种内在关联，体会估计物体表面大小的一些常用策略。这些体会和感悟显然能够成为构成更高层次数学活动经验的理想材料。
（二）活动形式的多样性
&&& 学生的数学活动，主要是指学生在教师指导下开展的以实物、模型、数学语言、数学思想和方法等为工具，以完成特定数学任务为目标，知、情、意、行诸要素全面参与的学习和应用数学的过程。一方面，不同形式的活动有助于学生获得更加全面、更加完整的数学活动经验，能使一些难以自知或粗糙模糊的想法逐步清晰，能使某些内隐的思想方法逐步外显为可以表达的经验内容；另一方面，不同形式的活动也有能效吸引学生参与活动的热情，避免因活动形式单一而可能引起的枯燥感甚至厌倦的情绪。在原先的活动设计中，我曾多次要求学生拿出1个面积单位的正方形纸片、找出自己身边与某个面积单位大小接近的物体。这些活动固然简便易行，但在类似的情境中重复这些活动，学生参与活动的热情自然会逐步递减，活动效果也跟着打了折扣。在改进后的活动设计中，不再要求学生重复“拿一拿”“找一找”，而是要求他们“自己剪出1平方分米的正方形纸片，比谁剪出的正方形最接近1平方分米”；“用旧报纸拼出1平方米的正方形”。尽管这些活动都是着眼于让学生感知相关面积单位的实际大小，但由于活动本身更加贴近学生的生活，也更富有趣味性，学生参与活动的主动性和积极性更强了，获得的活动经验也更加丰富了。
（三）活动内容的综合性
&&& 大部分数学知识的学习和数学问题的解决，都需要学生各种不同的活动经验参与其中，既要有操作的经验，也要有思考的经验、探究的经验和交流的经验。充分和有效的数学活动，不仅能够吸引学生主动参与活动的过程，而且能够体现数学内部以及数学与实际生活或不同学科之间的关联，能够引导学生动脑、动口、动手，具有某种程度的综合性。在认识1平方厘米的含义、初步感知1平方厘米实际大小之后安排的“估计一枚邮票的面积”和“估计一张扑克牌的面积”等活动，既可看作是“平方厘米”这一新知的应用，也可看作是具有一定综合性的数学活动。通过估计一枚邮票的面积，可以初步了解测量面积的方法，也能初步积累估计面积的经验；通过估计一张扑克牌的面积，不仅能使测量面积的经验得以丰富，而且也使估计面积的策略得以拓展。事实上，在这些活动中，动手、动脑固然必不可少，而动口及在交流中相互启发、不断改进的体验同样十分重要。
（四）活动本身在思考性
&&& 数学活动经验的核心是思维活动的经验。已有的经验之所以能够不断得到改造和提升，新的经验之所以能够不断超越旧经验，关键就在于经验主体对相关具体经验的反省、评价、归纳、抽象和应用。只有给学生留出足够的思维空间、不断提出具有适度挑战性的问题，并不失时机地加以启发和引导，数学活动才能真正地充分展开，学生也才能够真正完成活动经验的高质量积累。在提出“估计一枚邮票有多少平方厘米”这一问题之后，学生的思维是无序的，估计出的结果也是盲目的。此时提醒他们“你估计这枚邮票的面积不会小于多少平方厘米，不会大于多少平方厘米”，既点明了估计面积的方法，又暗示了可以通过在邮票上摆1平方厘米的正方形来确认估计是否合理。让学生“估计一张扑克牌的面积有多少平方厘米”时，尽管他们已经初步会用“不小于多少平方厘米”和“不大于多少平方厘米”的方式表达自己的估计结果，但这样的估计仍然是比较粗略的。此时提醒学生“把这张扑克牌和刚才的一枚邮票进行比较”，他们的思维角度自然就更宽了，思维水平也随着有了明显的提升。
&&& 总之，数学活动经验的获得离不开数学活动，而数学活动的开展是否充分则直接影响经验的质量和层次。在这方面需要我们进行更多的实践探索和理性思考。
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