高一数学函数值域的多种解决方法_百度文库
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高一数学函数值域的多种解决方法
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&&高​一​数​学​函​数​值​域​的​多​种​解​决​方​法
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09-01-26 &
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别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。 （ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称 y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称； 如： 的图象如图，作出下列函数图象： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； （9） 。 五、反函数： （1）定义： （2）函数存在反函数的条件： ； （3）互为反函数的定义域与值域的关系： ； （4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。 （5）互为反函数的图象间的关系： ； （6）原函数与反函数具有相同的单调性； （7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 如：求下列函数的反函数： ； ； 七、常用的初等函数： （1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数； （2）一元二次函数： 一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ； 两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ； 顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ； ①一元二次函数的单调性： 当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数； ②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式
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往往有同学进入高中以后不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈。为什么会这样呢？让我们先看看高中数学和初中数学有些什么样的转变吧。  一、高中数学的特点  1、  理论加强  2、  课程增多  3、  难度增大  4、  要求提高  二、掌握数学思想  高中数学从学习方法和思想方法上更接近于高等数学。学好它，需要我们从方法论的高度来掌握它。我们在研究数学问题时要经常运用唯物辩证的思想去解决数学问题。数学思想，实质上就是唯物辩证法在数学中的运用的反映。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，初步公理化思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。  例如，数列、一次函数、解析几何中的直线几个概念都可以用函数（特殊的对应）的概念来统一。又比如，数、方程、不等式、数列几个概念也都可以统一到函数概念。  再看看下面这个运用“矛盾”的观点来解题的例子。  已知动点Q在圆x2+y2=1上移动，定点P（2，0），求线段PQ中点的轨迹。  分析此题，图中P、Q、M三点是互相制约的，而Q点的运动将带动M点的运动；主要矛盾是点Q的运动，而点Q的运动轨迹遵循方程x02+y02=1；次要矛盾关系：M是线段PQ的中点，可以用中点公式将M的坐标（x，y）用点Q的坐标表示出来。  x=(x0+2)/2    y=y0/2    显然，用代入的方法，消去题中的x0、y0就可以求得所求轨迹。  数学思想方法与解题技巧是不同的，在证明或求解中，运用归纳、演绎、换元等方法解题问题可以说是解题的技术性问题，而数学思想是解题时带有指导性的普遍思想方法。在解一道题时，从整体考虑，应如何着手，有什么途径？就是在数学思想方法的指导下的普遍性问题。  有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。只有在解题思想的指导下，灵活地运用具体的解题方法才能真正地学好数学，仅仅掌握具体的操作方法，而没有从解题思想的角度考虑问题，往往难于使数学学习进入更高的层次，会为今后进入大学深造带来很有麻烦。  在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。  要打赢一场战役，不可能只是勇猛冲杀、一不怕死二不怕苦就可以打赢的，必须制订好事关全局的战术和策略问题。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。一般地，在解题中所采取的总体思路，是带有原则性的思想方法，是一种宏观的指导，一般性的解决方案。  中学数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结全、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅。  如果有了正确的数学思想方法，采取了恰当的数学思维策略，又有了丰富的经验和扎实的基本功，一定可以学好高中数学。  三、学习方法的改进  身处应试教育的怪圈，每个教师和学生都不由自主地陷入“题海”之中，教师拍心某种题型没讲，高考时做不出，学生怕少做一道题，万一考了损失太惨重，在这样一种氛围中，往往忽视了学习方法的培养，每个学生都有自己的方法，但什么样的学习方法才是正确的方法呢？是不是一定要“博览群题”才能提高水平呢？  现实告诉我们，大胆改进学习方法，这是一个非常重大的问题。  （一）   学会听、读  我们每天在学校里都在听老师讲课，阅读课本或者资料，但我们听和读对不对呢？  让我们从听（听讲、课堂学习）和读（阅读课本和相关资料）两方面来谈谈吧。  学生学习的知识，往往是间接的知识，是抽象化、形式化的知识，这些知识是在前人探索和实践的基础上提炼出来的，一般不包含探索和思维的过程。因此必须听好老师讲课，集中注意力，积极思考问题。弄清讲得内容是什么？怎么分析？理由是什么？采用什么方法？还有什么疑问？只有这样，才可能对教学内容有所理解。  听讲的过程不是一个被动参预的过程，在听讲的前提下，还要展开来分析：这里用了什么思想方法，这样做的目的是什么？为什么老师就能想到最简捷的方法？这个题有没有更直接的方法？  “学而不思则罔，思而不学则殆”，在听讲的过程中一定要有积极的思考和参预，这样才能达到最高的学习效率。  阅读数学教材也是掌握数学知识的非常重要的方法。只有真正阅读和数学教材，才能较好地掌握数学语言，提高自学能力。一定要改变只做题不看书，把课本当成查公式的辞典的不良倾向。阅读课本，也要争取老师的指导。阅读当天的内容或一个单元一章的内容，都要通盘考虑，要有目标。  比如，学习反正弦函数，从知识上来讲，通过阅读，应弄请以下几个问题：  (1)是不是每个函数都有反函数，如果不是，在什么情况下函数有反函数？  （2）正弦函数在什么情况下有反函数？若有，其反函数如何表示？  （3）正弦函数的图象与反正弦函数的图象是什么关系？  （4）反正弦函数有什么性质？  （5）如何求反正弦函数的值？  （二）   学会思考  爱因斯坦曾说：“发展独立思考和独立判断的一般能力应当始终放在首位”，勤于思考，善于思考，是对我们学习数学提出的最基本的要求。一般来说，要尽力做到以下两点。  1、善于发现问题和提出问题  2、善于反思与反求
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从2014年北京中考25题体会初升高变化：高一如何解决不适应？
学而思初升高研究中心 刘鹏农
&&2014年北京中考即将落下帷幕，数学试卷也已经铺满网络，基本上难度是稳中有降，第25题仍然是新定义的问题，但这次涉及到了高中的概念：有界函数。& &在高一必修一的学习中，有界函数不是课本内容，但会在期中或者期末中出现，中考25题在高中期中期末考试中属于中等偏下的题目。一般高中会进行以下的强改编，增加难度：
& &1、使用集合、区间、逻辑语言等术语，加入函数的相关高中概念& &2、二次函数型函数的二次项系数变成参数，而不是常数& &3、变换成其他必修一函数：指数函数、对数函数或者复合函数& &本题对于初中生而言，难点有以下几个：1、对于存在、任意、最值等逻辑语言理解不明确，所以读不懂题目2、读懂了题目，一般(1)(2)小问的难度就很小了，出错就在等号能否取到3、不确定的二次函数作图及如何设计分类讨论
但不管如何，初中在最后时刻让我们略微体会了一下高中数学，起码也让我们知道高中的学习的特征。话不多说，先看题目。其中选取了有界函数相关的中考新题及高中相对应的延伸题，其中中考题也就是高中题目中中等题目难度，后面的高中题目一般期中考试会在压轴位置。
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& &具体答案请参考：
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& & 通过题目的对比就能很明显的看得出，不足两个月的时间，高中难度就会超过初中三年积累起来的难度，肯定会造成高一的不适应。
为什么高中数学会产生不适应？
&&一、科目多？容量大？&&确实高一就开始了八门科目的学习，确实高中数学理科要学习十本书，大概是初中知识量的5倍左右。但这是不是不适应的主要原因呢？不是！&&因为单纯从知识量上讲，能够用很多方法突破，例如像初三时苦学，多练习，提前预习，一个点一个点过。特别是看过高中课本的同学，认为一本书也就两到三章，看起来也不费劲。我暑假看一遍，秋季跟老师学一遍，学完练一遍，根据初中学习数学的特点，应该问题不大。但为什么还是不适应呢？
&&二、变难了？&&根据认知规律，高中数学的难度一定会提升。而且近几年高考的题型较为固定，有些知识点考查固定题型，所以对应的，虽然容量大了，难度提升了，我们还是有范围和方向的。所以到了高三时，很多学生能够从80多分提高到110多分，其实很简单，就是把几个固定的题型搞定就可以了。在初中里面，我们把这种学习的方式叫做“模子”教学，有时候也就是考经学习。但是这样我只能把简单题目完成，一上难度就又不会了，那么是不是题目难了呢？听老师一讲解，却瞬间觉得自己弱爆了，甚至于老师一提醒，接着就不是难题了。& &所以按照认知规律而言，高中其实不会变难，或者说变难不在于其真实的难度而在于我们的思维方式。
&&三、思维方式要变了！&&这里一个基础就是高中的语言更抽象化，跟生活关系越离越远。初中比较难的概念：函数，初中解释为y随着x变化而变化，强调函数图象，而不是本质含义。而高中是以集合为基本语言，强调数与数之间的对应关系，加上逻辑语言，光读懂题目就耗费很长时间。做题速度就会降下来了。&&这种抽象的远离生活的表述形式决定了思维方式直接向理性层次跃迁。初中阶段，为了适应做题规范，我们将各种题目都建立模型，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，旋转的模型有哪一些，比如今年中考中24题轴对称的性质等等，都是一些机械的便于操作的方式。但高中的抽象化，以及题目信息不确定性延伸出的分类讨论都是高一不适应的源泉。
高一数学不适应，一是集合和函数概念的不理解，不要看短短的几句话，包含很多信息及延伸知识点。这两个知识点在老师讲解时一定得认真听，千万不能轻视概念；二是集合形式及含参问题产生的分类讨论；三是用标准的抽象的数学语言表达题目。而且这些都需要在两个月之内完成，肯定是会出现不适的。&&那么如何解决高一不适应，就提上了日程。无论如何，中考让我们略微见识了高中知识。只不过我们要在两个月内适应初中三年才能积累起来的难度，那就必须要重视了！
一、初中好的习惯不能丢：& &例如课前预习，提前学习，做简单练习题，先把自己不会的重点标注，上课重点听。& &课上一定要认真听概念，特别是与初中的不同，需要注意的事项，相应的变形，如何分析等都要听取，切忌自认为懂了就不听课，发现题目根本不会做。& &课后做作业遇到问题及时解决，千万不要积累，因为高中的时间已经很难有让自己好好学习第二次的机会。
二、循序渐进，防止急躁，更不要存在突袭可以前进的侥幸心理。初中我们通过突袭还可以有大的提升，因为初中题型具象，很容易模仿。但高中的题目却很灵活，改变一个字母，一个符号，题目就会发生很大变化。我们会在电影中看到高考还有两个月，一个不及格的考生通过努力考上名校，但你要相信这仅仅是在电影中，属于科幻片。所以上了高中得一步一步来，需要更加的扎实。通过对学而思这么多学员高一至高三的跟踪，高一一年稳定下来的地位是很难撼动的，特别是文理分科之后；而且高一是最容易发力的一年，更容易赶超别人。 &&至于其他比较虚的思维方式的变化，大家可以先从初中怎么做压轴题或者怎么训练25题新定义题来体会，等上了高中或者暑假提前学习高中知识时，自然就能体会得到。
& &26日下午会更新初升高衔接知识总结，请继续关注！& &备注：什么是初升高衔接知识点总结？就是初中因为中考不好好讲但是高中老师认为你一定会也不好好讲的内容，这也会成为高一不适应的一块小小的绊脚石。
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<em id="authorposton14-6-26 17:44
琪爸来了 发表于
分析很到位啊，就是太长了，看看放上了附件，可以下载慢慢看
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<em id="authorposton14-6-26 10:27
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<em id="authorposton14-6-26 12:38
好帖！给儿子学习了，谢谢老师！
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<em id="authorposton14-6-26 14:57
分析很到位啊，就是太长了，看看
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& 学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷 Word版含解析
学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷 Word版含解析
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资料概述与简介
学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分．共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（　　）
　 A． P1=P2＜P3 B． P2=P3＜P1 C． P1=P3＜P2 D． P1=P2=P3
2．从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（　　）
3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）
　 A． 2 B．
4．某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图．现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为（　　）
　 A． 24 B． 18 C． 15 D． 12
5．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（　　）
　 A． A，C为对立事件
　 B． A，B为对立事件
　 C． A，C为互斥事件，但不是对立事件
　 D． A，B为互斥事件，但不是对立事件
6．下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（　　）
（注：标准差s=，其中为x1，x2，…，xn的平均数）
　 A． ＜，s1＜s2 B． ＜，s1＞s2
　 C． ＞，s1＞s2 D． ＞，s1＜s2
7．如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（　　）
　 A． i＜50 B． i＞50 C． i＜51 D． i＞51
8．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（　　）
二、解答题：本大题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
9．从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [5，6） 2 0.04
3 [7，8） a
4 [8，9） b
（I）求n的值；
（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，其中a，b∈R．
（I）若a随机选自集合{0，1，2，3，4}，b随机选自集合{0，1，2，3}，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
11．数列{an}满足a1=1，an+1=an﹣3（n∈N*），则a4=（　　）
　 A． 10 B． 8 C． ﹣8 D． ﹣10
12．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
　 A． ＞l B． ＜ C． |a|＞|b| D． a3＞b3
13．在等比数列{an}中，a1=2，a4=．若am=2﹣15，则m=（　　）
　 A． 17 B． 16 C． 14 D． 13
14．若实数x，y满足则z=x+3y的最大值是（　　）
　 A． 6 B． 4 C．
15．在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状为（　　）
　 A． 等腰三角形 B． 锐角三角形 C． 直角三角形 D． 等边三角形
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2k+1＞0，则一定有（　　）
　 A． ak＞0 B． Sk＞0 C． ak+l＞0 D． Sk+l＞0
17．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=2n﹣c，其中c为常数，n∈N*．若a4=3，则c=（　　）
　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
18．设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（　　）
　 A． 231 B． 230 C． 219 D． 218
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
19．不等式x2＜2x的解集为　　　　　　．
20．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=　　　　　　．
21．已知等差数列{an}的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是　　　　　　．
22．函数f（x）=x+（x＞1）的最小值是　　　　　　；此时x=　　　　　　．
23．设a∈R，n∈N*，求和：l+a+a2+a3+…+an=　　　　　　．
24．设数列{an}的通项公式为an=3n（n∈N*）．数列{bn}定义如下：对任意m∈N*，bm是数列{an}中不大于32m的项的个数，则b3=　　　　　　；数列{bm}的前m项和Sm=　　　　　　．
三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
25．（10分）（2015春o西城区期末）已知数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅰ）证明：当0＜q＜1时，{an}是递减数列；
（Ⅱ）若对任意k∈N*，都有ak，ak+2，ak+1成等差数列，求q的值．
26．（10分）（2015春o西城区期末）已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）当c=2时，求：△ABC面积的最大值．
27．（12分）（2015春o西城区期末）设m∈R，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集记为集合P．
（I）若P=（x|﹣1＜x＜2），求m的值；
（Ⅱ）当m＞0时，求集合P；
（Ⅲ）若{x|﹣3＜x＜2}?P，求m的取值范围．
28．（12分）（2015春o西城区期末）已知数列{an}的通项公式为an=2n+（﹣1）n+1o（1+λn），其中是常数，n∈N*．
（I）当an=﹣1时，求λ的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？证明你的结论；
（Ⅲ）若对于任意n∈N*，都有an＞0，求λ的取值范围．
学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分．共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（　　）
　 A． P1=P2＜P3 B． P2=P3＜P1 C． P1=P3＜P2 D． P1=P2=P3
考点： 简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．
专题： 概率与统计．
分析： 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
解答： 解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3．
点评： 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．
2．从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（　　）
考点： 古典概型及其概率计算公式．
专题： 概率与统计．
分析： 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个，其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．据此可得出答案．
解答： 解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．
其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．
故所求事件的概率P==，
点评： 把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可．
3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）
　 A． 2 B．
考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答： 解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
点评： 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
4．某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图．现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为（　　）
　 A． 24 B． 18 C． 15 D． 12
考点： 频率分布直方图．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据频率分布直方图，求出成绩在[90，100]内的频率，再利用分层抽样原理计算应抽取的学生数．
解答： 解：根据频率分布直方图，得；
成绩在[90，100]内的学生的频率为
0.03×10=0.3，
所以，从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为
60×0.3=18．
点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题目．
5．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（　　）
　 A． A，C为对立事件
　 B． A，B为对立事件
　 C． A，C为互斥事件，但不是对立事件
　 D． A，B为互斥事件，但不是对立事件
考点： 互斥事件与对立事件．
专题： 概率与统计．
分析： 结合已知中基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，分析A，B，C是否满足互斥事件和对立事件的定义，可得结论．
解答： 解：∵投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．
事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，
当掷出的点数3时，A，B同时发生，
故A，B不是互斥事件，
故A，B也不是对立事件；
即B，D错误；
A，C不可能同时发生，故A，C为互斥事件，
但A∪B={1，2，3，4，6}≠Ω，
故A，C不是对立事件，
故A错误，C正确，
点评： 本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，熟练掌握并正确理解对立事件和互斥事件的概念是解答的关键．
6．下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（　　）
（注：标准差s=，其中为x1，x2，…，xn的平均数）
　 A． ＜，s1＜s2 B． ＜，s1＞s2
　 C． ＞，s1＞s2 D． ＞，s1＜s2
考点： 茎叶图．
专题： 概率与统计．
分析： 将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案
解答： 解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53
∴第1组的7名同学体重的平均数为：=（53+56+57+58+61+70+72）=61kg
因此，第1组的7名同学体重的方差为：s2=[（53﹣61）2+（56﹣61）2+…+（72﹣61）2]=43.00kg2，
同理，第2组的7名同学体重的平均数为：=（54+56+58+60+61+72+73）=62kg
因此，第2组的7名同学体重的方差为：s2=[（54﹣62）2+（56﹣62）2+…+（73﹣62）2]=63.14kg2，
∴＜且s1＜s2
点评： 本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题．
7．如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（　　）
　 A． i＜50 B． i＞50 C． i＜51 D． i＞51
考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有50项作和，所以执行完s=后的i值为51，再判断时i=51应满足条件，由此可以得到正确答案．
解答： 解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．
判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；
判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；
判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；
由此看出，当执行s=时，执行n=100+2=102，i=50+1=51．
在判断时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞50？．
点评： 本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题．
8．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（　　）
考点： 古典概型及其概率计算公式．
专题： 概率与统计．
分析： 从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，根据互斥事件的概率公式计算即可．
解答： 解：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有C53=10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，
∴每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为1﹣=，
点评： 本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题
二、解答题：本大题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
9．从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [5，6） 2 0.04
3 [7，8） a
4 [8，9） b
（I）求n的值；
（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．
考点： 频率分布直方图．
专题： 概率与统计．
分析： （I）根据频率=，求出n的值；
（II）根据频率、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补全数表，并绘制频率分布直方图；
（III）根据平均数的定义，列出方程组，求出a、b的值，计算日平均睡眠时间不少于8小时的概率．
解答： 解：（I）∵小组[5，6）内的频数是2，对应的频率是0.04，
∴样本容量为n=；（1分）
（II）小组[6，7）内的频数为50×0.20=10，
小组[7，8）内的频率为=0.20，
小组[8，9）内的频数为50﹣2﹣10﹣10﹣8=20，
频率为=0.40，
小组[9，10）内的频数为50×0.16=8，
由此补全数据见下表（3分）；
组号 分组 频数 频率
1 [5，6） 2 0.04
2 [6，7） 10 0.20
3 [7，8） 10 0.20
4 [8，9） 20 0.40
5 [9，10） 8 0.16
绘制频率分布直方图见下图：（5分）
（III）根据题意，得
解得；（8分）
设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A，
则P（A）=．（9分）
点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与概率的计算问题，是基础题目．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，其中a，b∈R．
（I）若a随机选自集合{0，1，2，3，4}，b随机选自集合{0，1，2，3}，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题： 应用题；概率与统计．
分析： （I）根据判别式△≥0得出一元二次方程有实根的条件为事件A，
由a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，列出基本事件数，计算对应的概率即可；
（II）利用几何概型求出对应的概率即可．
解答： 解：（I）设“关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0有实根”为事件A，
由△=（﹣2a）2﹣4b2≥0，得a2≥b2；
因为a≥0，b≥0，
所以a≥b时事件A发生；
又a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，
所以它的基本事件共20个：
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），
（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（3分）
且事件A包含的基本事件有14个：
（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），
（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（4分）
所以P（A）=；（5分）
（II）因为a∈[0，4]，b∈[0，3]，
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，
Ω的面积为μΩ=3×4=12；（6分）
事件A所构成的区域A={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，
A的面积为，如图所示；（8分）
所以P（A）=．（9分）
点评： 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了几何概型的应用问题，是基础题目．
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
11．数列{an}满足a1=1，an+1=an﹣3（n∈N*），则a4=（　　）
　 A． 10 B． 8 C． ﹣8 D． ﹣10
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由an+1=an﹣3得到数列{an}是等差数列，进行求解即可．
解答： 解：∵an+1=an﹣3，
∴an+1﹣an=﹣3得
数列{an}是公差d=﹣3的等差数列，
则a4=a1+3d=1﹣9=﹣8，
点评： 本题主要考查等差数列的应用，根据条件判断数列是等差数列是解决本题的关键．
12．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
　 A． ＞l B． ＜ C． |a|＞|b| D． a3＞b3
考点： 不等式的基本性质．
专题： 不等式．
分析： 对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．
解答： 解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＜1，故A不成立，
对于B，若a=1，b=﹣1，则＞，故B不成立，
对于C，若a=1，b=﹣1，则|a|=|b|，故C不成立，
对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3＞b3，故D成立，
点评： 本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题
13．在等比数列{an}中，a1=2，a4=．若am=2﹣15，则m=（　　）
　 A． 17 B． 16 C． 14 D． 13
考点： 等比数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据等比数列的通项公式进行求解即可．
解答： 解：∵a1=2，a4=．
∵am=2﹣15=a1qm﹣1=2×（）m﹣1=22﹣m，
∴2﹣m=﹣15，
点评： 本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键．
14．若实数x，y满足则z=x+3y的最大值是（　　）
　 A． 6 B． 4 C．
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
解答： 解：先根据约束条件画出可行域，
当直线z=x+3y表示直线y=x+，当过点B（1，1）时，
z最大是4；
点评： 本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
15．在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状为（　　）
　 A． 等腰三角形 B． 锐角三角形 C． 直角三角形 D． 等边三角形
考点： 三角形的形状判断．
专题： 解三角形．
分析： 由条件利用正弦定理可得sinA=sinB，故有a=b，可得△ABC为等腰三角形．
解答： 解：∵△ABC中，已知asinA=bsinB，
∴由正弦定理可得 sinAsinA=sinBsinB，
∴sinA=sinB，∴a=b，
故△ABC为等腰三角形，
点评： 本题主要考查正弦定理的应用，考查运算能力，属于基本知识的考查．
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2k+1＞0，则一定有（　　）
　 A． ak＞0 B． Sk＞0 C． ak+l＞0 D． Sk+l＞0
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据等差数列的性质以及前n项和公式进行推导即可．
解答： 解：∵S2k+1=×（2k+1）=ak+l×（2k+1）＞0，
∴ak+l＞0，
点评： 本题主要考查等差数列的性质，利用等差数列的前n项和公式进行转化是解决本题的关键．
17．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=2n﹣c，其中c为常数，n∈N*．若a4=3，则c=（　　）
　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用a4==3计算即得结论．
解答： 解：∵Tn=2n﹣c，a4=3，
∴a4===3，
解得：c=4，
点评： 本题考查数列递推式，注意解题方法的积累，属于基础题．
18．设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（　　）
　 A． 231 B． 230 C． 219 D． 218
考点： 简单线性规划．
专题： 数形结合；不等式的解法及应用．
分析： 由约束条件作出可行域，求出可行域内点的横坐标的范围，然后分别取范围内的整数x，求出对应的整数y，得到整点个数．
解答： 解：由约束条件作出平面区域是W，
联立，解得A（﹣80，﹣60）；
联立，解得B（60，40）．
分别取x=﹣80，﹣79，﹣78，﹣77，…，60，求出满足不等式组的整数y值，
可得总的整点个数为231．
点评： 求平面区域的整点个数是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后分析平面区域内的点，易求出平面区域内的整点个数，是中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
19．不等式x2＜2x的解集为　（0，2）　．
考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 通过提公因式可因式分解，求对应方程的根，比较两根大小，写出不等式的解集．
解答： 解：不等式x2＜2x化为：x2﹣2x＜0，
可因式分解为x（x﹣2）＜0，
对应方程的实数根为：x1=0，x2=2，
不等式x2＜2x的解集为：（0，2）．
故答案为：（0，2）．
点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法，用到了通过提公因式因式分解、比较两根大小．
20．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=　　．
考点： 余弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入数据，即可得到答案．
解答： 解：由余弦定理知，c2=a2+b2﹣2abcosC
故答案为：
点评： 本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．
21．已知等差数列{an}的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是　6　．
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据等差数列的通项公式表示出a1=2015﹣7d，则当d取最大值时，即可得到结论．
解答： 解：设公差为d，则d为整数（d＞0），
由a8=a1+7d=2015，
得a1=2015﹣7d，
∴当d=287时，a1=6最小，
故答案为：6．
点评： 本题主要考查等差数列通项公式的应用，比较基础．
22．函数f（x）=x+（x＞1）的最小值是　3　；此时x=　2　．
考点： 基本不等式在最值问题中的应用．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由x＞1可得x﹣1＞0，函数y=+x=x﹣1++1，利用基本不等式即可得出．
解答： 解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．
∴函数y=+x=x﹣1++1≥2+1=3，
当且仅当x=2时取等号．
∴函数y=+x的最小值是3．此时x=2．
故答案为：3，2．
点评： 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形：x=x﹣1+1，属于基础题．
23．设a∈R，n∈N*，求和：l+a+a2+a3+…+an=　　．
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 分a=0、a=1、a≠0且a≠1分别求解得答案．
解答： 解：当a=0时，l+a+a2+a3+…+an=0；
当a=1时，l+a+a2+a3+…+an=1+1+…+1=n+1；
当a≠0且a≠1时，l+a+a2+a3+…+an=．
验证当a=0时，上式成立．
∴l+a+a2+a3+…+an=．
故答案为：．
点评： 本题考查等比数列的前n项和，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．
24．设数列{an}的通项公式为an=3n（n∈N*）．数列{bn}定义如下：对任意m∈N*，bm是数列{an}中不大于32m的项的个数，则b3=　243　；数列{bm}的前m项和Sm=　　．
考点： 等比数列的性质．
专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： 利用数列{bn}定义如下：对任意m∈N*，bm是数列{an}中不大于32m的项的个数，可得bm=32m﹣1，即可得出结论．
解答： 解：由题意，3n≤36，∴n≤243，∴b3=243；
由3n≤32m，∴n≤32m﹣1，∴bm=32m﹣1，∴Sm==．
故答案为：243，．
点评： 本题考查等比数列的性质与求和，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
25．（10分）（2015春o西城区期末）已知数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅰ）证明：当0＜q＜1时，{an}是递减数列；
（Ⅱ）若对任意k∈N*，都有ak，ak+2，ak+1成等差数列，求q的值．
考点： 等差数列与等比数列的综合．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （I）运用等比数列的通项公式，求得an，再由an+1﹣an，分解因式，结合条件即可得证；
（II）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，化简整理，计算即可得到q．
解答： （I）证明：因为数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，
所以an=qn﹣1，n∈N*．
所以an+1﹣an=qn﹣qn﹣1=qn﹣1（q﹣1），
当0＜q＜1时，有qn﹣1＞0，q﹣1＜0，
所以an+1﹣an＜0，n∈N*．
所以{an}是递减数列．
（II）解：因为ak，ak+2，ak+1成等差数列，
所以2ak+2﹣（ak+ak+1）=0，其中k∈N*．
即2qk+1﹣（qk﹣1+qk）=0，
整理得qk﹣1o（2q2﹣q﹣1）=0．
因为q≠0，
所以2q2﹣q﹣1=0，
解得q=1，或q=．
点评： 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查数列的单调性的证明，考查运算能力，属于中档题．
26．（10分）（2015春o西城区期末）已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）当c=2时，求：△ABC面积的最大值．
考点： 正弦定理的应用；三角形的面积公式．
专题： 综合题；解三角形．
分析： （Ⅰ）由a=2csinA，利用正弦定理，结合△ABC为锐角三角形，a求角C；
（Ⅱ）当c=2时，利用余弦定理，结合基本不等式，可得ab≤12，即可求：△ABC面积的最大值．
解答： （I）解：由正弦定理得，（1分）
将已知代入得sinC=．（2分）
因为△ABC为锐角三角形，所以0＜C＜，（3分）
所以C=．（4分）
（II）证明：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，（5分）
即12=a2+b2﹣ab，（6分）
又a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab
所以ab≤12．（8分）
所以△ABC的面积S=absinC=ab≤3，（9分）
当且仅当a=b，即△ABC为等边三角形时，△ABC的面积取到3．
所以△ABC面积的最大值为3．（10分）
点评： 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
27．（12分）（2015春o西城区期末）设m∈R，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集记为集合P．
（I）若P=（x|﹣1＜x＜2），求m的值；
（Ⅱ）当m＞0时，求集合P；
（Ⅲ）若{x|﹣3＜x＜2}?P，求m的取值范围．
考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （Ⅰ）因为P={x|﹣1＜x＜2}，所以方程mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为﹣1和2，根据根与系数的关系即可求出m的值；
（Ⅱ）不等式mx2﹣（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化为（x﹣2）[mx﹣（m+1）]＞0，需要分类讨论，即得到不等式的解集；
（Ⅲ）依题意，当x∈（﹣3，2）时，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立，分类讨论即可求出m的范围．
解答： 解：（I）因为P={x|﹣1＜x＜2}，
所以方程mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为﹣1和2．
将x=﹣1代入上述方程，得m（﹣1）2﹣（3m+1）（﹣1）+2（m+1）=0，
（II）不等式mx2﹣（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化为（x﹣2）[mx﹣（m+1）]＞0．
当m＞0时，方程m（﹣1）2﹣（3m+1）（﹣1）+2（m+1）=0的两根为和2．
①当=2，即m=1时，解得x≠2．
②当＞2，即0＜m＜1时，解得x＜2或x＞．
③当＜2，即m＞1时，解得x＜或x＞2．
综上，当0＜m＜1时，P={x|x＜2或x＞}；当m=1时，P={x|x∈R，且x≠2}；当m＞1时，P={x|x＜或x＞2}．
（III）依题意，当x∈（﹣3，2）时，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立．
当m=0时，原不等式化为﹣x+2＞0，即P={x|x＜2}，适合题意．
当m＞0时，由（II）可得0＜m≤1时，适合题意．
当m＜0时，因为=1+，所以P={x|＜x＜2}．
此时必有≤﹣3成立，解得．
综上，若{x|﹣3＜x＜2}?P，则m的取值范围是[]．
点评： 本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论是关键，属于中档题．
28．（12分）（2015春o西城区期末）已知数列{an}的通项公式为an=2n+（﹣1）n+1o（1+λn），其中是常数，n∈N*．
（I）当an=﹣1时，求λ的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？证明你的结论；
（Ⅲ）若对于任意n∈N*，都有an＞0，求λ的取值范围．
考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （I）通过在an=2n+（﹣1）n+1o（1+λn）中令n=2，计算即得结论；
（II）通过an=2n+（﹣1）n+1o（1+λn）（n∈N*）求出前4项的值，假设存在λ使{an}为等差数列，利用2a2=a1+a3可知λ=，验证即可得出结论；
（III）通过an＞0可知（﹣1）n，分n为正奇数、正偶数两种情况讨论即可．
解答： 解：（I）因为an=2n+（﹣1）n+1o（1+λn）（n∈N*），
所以n=2时，a2=3﹣2λ．（1分）
由3﹣2λ=﹣1，
解得λ=2．（2分）
（II）结论：数列{an}不可能为等差数列．
证明如下：
由an=2n+（﹣1）n+1o（1+λn）（n∈N*），得
a1=3+λ，a2=3﹣2λ，a3=7+3λ，a4=7﹣4λ．（4分）
若存在λ，使{an}为等差数列，则2a2=a1+a3，（5分）
即2（3﹣2λ）=（3+λ）+（7+3λ），
解得λ=．（6分）
于是，a2﹣a1=﹣3λ=，a4﹣a3=﹣7λ=，这与{an}为等差数列矛盾！
所以，对任意实数λ，{an}都不可能是等差数列．（7分）
（III）由an＞0，得2n+（﹣1）n+1o（1+λn）＞0，
将上式变形为（﹣1）n，其中n∈N*．①
（i）当n为正偶数时，①式化简为．
因为2﹣随着正偶数n的增大而增大，
欲使上式对于任意正偶数恒成立，则λ＜2=．（9分）
（ii）当n为正奇数时，①式化简为．
因为随着正奇数n的增大而增大，
欲使上式对于任意正奇数恒成立，则λ≥﹣2．（11分）
综上，若对于任意n∈N*，都有an＞0，则λ的取值范围是[﹣2，）．（12分）
点评： 本题考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于中档题．
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