当前位置： >>
数列求和的方法
Only me数列的前n项和 Sn 的计算方法1.公式法：直接利用等差、等比数列的前n项和公式及常见的求和公式进行求和。注意在计算等比数列的前n项和 Sn 时分两种情况q =1 和q ≠1进行讨论,即:?na1 (q = 1) ? Sn = ? a1 (1 ? q n ) ( q ≠ 1) ? 1? q ?<
br />常见的求和公式: 1） ∑ k = 1+2+3+...+n =k =1 n nn(n + 1) 22）∑ (2k ? 1) = 1+3+5+...+(2n-1) = n 2k =1 n3） ∑ k 3 = 13 + 2 3 + ? + n 3 = ? n( n + 1) ? k =1 ?2 ? 4）?1?2∑kk =1n2= 12 + 2 2 + 3 2 + ? + n 2 =1 n(n + 1)(2n + 1) 6a例 1.已知等差数列 {an } ， a2 = 9 ， a5 = 21 ， （1）求 {an } 的通项公式； （2）令 bn = 2 n ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn25 [1 ? 24 n ] 32(2 4 n ? 1) （1） an = 4n + 1 ;（2） {bn } 是首项为 b1 = 2 ，公比 q = 2 的等比数列， S n = = 1 ? 24 155 42.拆项求和法(分组求和法) 就是将一个数列的每一项适当拆开，转化成若干个等差、等比、常数数列的形式，分 别求和后再相加。例 1.. 数列 1×4，2×5，3×6，…，n×(n+3)，…则它的前 n 项和 Sn = 例 2 数列 1,(1 + 2),(1 + 2 + 22 ),?,(1 + 2 + 22 + ? + 2n?1 ),? 的通项公式 an = 1、 . ，前 n 项和 S n = .n(n + 1)(n + 5) 32、 2n ? 1; 2 n +1 ? 2 ? nn例 3.数列 {an } 满足 an = 2n + 3 ，求其前 n 项和。3 3n Sn = n 2 + n ? + 2 2例 4.①已知 an = n + ( )1 2n ?1，求数列 {an } 的前 n 项和。②求数列 2，22，222，2222，……….的前 n 项和。 Only me①. S n = (1 + 2 + 3 + ...... + n) + [1 + ②. an = 2 ?111..11 = 2 ?1 1 2 1 + ( ) + ....... + ( ) n ?1 ] 2 2 210n ? 1 2 n = (10 ? 1) 9 9例 5.在数列 {an } 中， a1 = 2, an +1 = 4an ? 3n + 1 ,（1）证明数列 {an ? n} 是等比数列； （2）求数列 {an } 的前 n 项和。 （1） an +1 ? ( n + 1) = 4( an ? n) ，又 a1 ? 1 = 1 ，∴ 数列 {an ? n} 是首项为 1, q = 4 的等比数列。 （2） an = 4n ?1+ n ，∴ S n =4n ? 1 n(n + 1) + 3 23．错位相减法。若数列 {an } 可写成一个等差数列与一个等比数列的积的形式,即:有 “ an = bn .cn ，其中 {bn } 为等差数列，{cn } 为等比数列，则可采用错位相减法,亦称（ S n ? qS n ” 法）例 1. 求数列1 3 5 2n ? 1 2n + 3 , 2 , 3 , ? , n , ? ; 前 n 项的和 Sn S n = 3 ? n 2 2 2 2 2n例 2.求数列 10，200，3000，…...., n.10 的前 n 项的和 Sn 。1 10(10n ? 1) S n = n.10n +1 ? 9 81例 3 数列１＋3q+5q2+7q3+9q ＝4? 9q 6 ? 11q 5 + q + 1 (q ≠ 1) ? (1 ? q)2 ? ?25(q = 1) ?例 4.已知数列 {an } 是等差数列，且 a1 = 2 ， a1 + a2 + a3 = 12 ， （1） 求数列 {an } 的通项公式； （2）令 bn = an x n ( x ∈ R )，求数列 {bn } 前 n 项和 Sn(1) an = 2n?n(2n + 1)( x = 1) ? (2) S n = ? 2 x(1 ? x n ) 2nx n +1 ? (1 ? x) 2 ? 1 ? x ( x ≠ 1) ?1 n a n +1 （1）设 bn = n ，求数列 {bn } 的通项公式； （2）求数列 {an } 的前 n 和 n 2 n例 5.在数列 {an } 中，a1 = 1 ， an +1 = (1 + ) an +Sn 。（1）an +1 an 1 1 = + n ， bn = 2 ? n ?1 n +1 n 2 2（2） an = 2n ?n n n n k k ，∴ S n = ∑ (2k ) ? ∑ k ?1 ， ∑ k ?1 是典型的错位相减的模 n ?1 2 k =1 k =1 2 k =1 2型，于是，∑2k =1nkk ?1= 4?n+2 n+2 ，∴ S n = n( n + 1) + n ?1 ? 4 n ?1 2 2 Only me例 6.已知数列 {an } ，对任意 n ∈ N ，都有?(n ? 1)2 +an ? 1 = n 2 则 an = (2n ? 1)2 n + 1 2 2a ?1 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 + 2 + 3 + ....... + n n = n 2 ，求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 。 2 2 2 2S n = 1 ? 2 + 3 ? 22 + 5 ? 23 + ........ + (2n ? 3) ? 2n ?1 + (2n ? 1) ? 22 + n 2 S n = 1 ? 2 2 + 3 ? 23 + 5 ? 24 + ........ + (2n ? 3) ? 2n + (2n ? 1) ? 2 n +1 + 2n①－②得： S n = n + 6 + (2n ? 3) ? 2n +1 +① ②例 6. 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， 已知对任意的 n ∈ N ，点 (n, S n ) ，均在函数 y = b + r (b & 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常x数)的图像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记+bn =n +1 (n ∈ N + ) 4 an求数列 {bn } 的前 n 项和 Tnn解:对任意 n ∈ N ,点 (n, S n ) ，均在函数 y = b x + r (b & 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像上.所以得 S n = b + r , 时, a1 = S1 = b + r , 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = b ? bn n ?1当n =1= (b ? 1)b n ?1 ,n ?1又因为{ an }为等比数列, 所以 r = ?1 , 公比为 b , （2）当 b=2 时， an = (b ? 1)b 则 Tn =n ?1所以 an = (b ? 1)b= 2 n ?1 ,bn =n +1 n +1 n +1 = = n +1 n ?1 4 an 4 × 2 22 3 4 n +1 + 3 + 4 + ? + n +1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 Tn = 3 + 4 + 5 + ? + n +1 + n + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n +1 相减,得 Tn = 2 + 3 + 4 + 5 + ? + n +1 ? n + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 × (1 ? n ?1 ) 1 23 n +1 3 1 n +1 3 1 n +1 3 n + 3 2 = + ? n + 2 = ? n +1 ? n + 2 所以 Tn = ? n ? n +1 = ? n +1 1 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1? 2４.裂项相消法:将数列 {an } 的每一项拆成两项之差， 使得相邻的项正负相抵销， 剩下的 项是易于求和的形式。适用于： ①??c ? 1 1 ；②部分无理数列： an = 。即： ? ，其中{ a n }是等差数列，c 为常数，或： an = n( n + d ) n+d + n ? a n a n+1 ?1 1 1 1 1 1 = ( ? ) ,或 an = = ( n + d ? n) n( n + d ) d n n + 1 n+d + n dan =常见的裂项有：1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? ， = ( ? )， = ( 2n + 1 ? 2n ? 1) ， n(n + 1) n n + 1 n(n + 2) 2 n n + 2 2n + 1 + 2n ? 1 2 Only me例 1. .求和：1 1 1 + +? + = 1× 4 4 × 7 (3n ? 2) × (3n + 1)n 3n + 1例 2.求数列1 1 1 1 , 2 , 2 ,...., ... 的前 n 项和 Sn 2 2 + 4 4 + 8 6 + 12 (2n) + 4n2an =1 1 1 1 = ( ? ) 4n(n + 1) 4 n n + 1 1 n + n +1，求其前 n 项和 Sn例 3. an =an = n + 1 ? n2n n +1例 4. 求和： 1 +1 1 1 + +? + = 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 +? + n 1 例 5. 非等比数列 {an } 中，前 n 项和 Sn = ? (an ? 1)2 ， 4（1）求数列 {an } 的通项公式； （2）设 bn =m 1 (n ∈ N *) ，Tn = b1 + b2 + ? + bn ，是否存在最大的整数 m，使得对任意的 n 均有 Tn & 总成立？若存 n(3 ? an ) 32在，求出 m；若不存在，请说明理由。 （1） an = －2n＋1 例６.求 S n = （2） bn =1 1 ，最大整数为 8 2 n(n + 1)1 1 1 1 + + + .... + 1 ? 6 6 ?11 11 ?16 (5n ? 4)(5n + 1) 1 1 1 1 n an = = [ ? ] Sn = (5n ? 4)(5n + 1) 5 (5n ? 4) (5n + 1) 5n + 1 n n n n 2 +1 4 +1 6 +1 (2n) + 1 例７.求和 S n = n + n + n + ..... + 。 2 ?1 4 ?1 6 ?1 (2n) n ? 1(2n) n + 1 2 1 1 = 1+ = 1+ ? n (2n) ? 1 (2n ? 1)(2n + 1) 2n ? 1 2n + 1 例８.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S n + nan = 1 恒成立，求 Sn 。 an =an＝S n－S n－1 ，Sn = n +2n 2n + 1an n ?1 1 n ＝ ，由累乘法求得： an = ， Sn = an－1 n + 1 n(n + 1) n +122 + 1 32 + 1 32 + 1 n 2 + 1 (n + 1) 2 + 1 例９.求数列 2 , , ,..... 2 , 的前 n 项和 Sn 2 ? 1 32 ? 1 32 ? 1 n ? 1 (n ? 1) 2 ? 1an =(n + 1) 2 + 1 1 1 1 1 3 = 1+ ? ， Sn = n ? ? + , ( n ≥ 2) 2 (n ? 1) ? 1 n n+2 n +1 n + 2 22例１０.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足： S n + S n ? n ? n = 0 ，求数列 ?22? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn 。 ? an an +1 ?由 S n + S n ? n ? n = 0 得 ( S n ? n)( S n + n + 1) = 0 ，即 S n = n ， an = 2n ? 1 ， Only me1 1 1 1 n = ( ? ) ， Tn = an an +1 2 2n ? 1 2n + 1 2n + 1例１１.在直角坐标平面上，有一点列 P ( a1 , b1 ), P2 ( a2 , b2 ),.....Pn ( an , bn )...... 对任意自然数 n ≥ 1 ，点 P , P2 , P ,.......Pn ,..... 都 1 1 3 在曲线 y = x 2 上，且点 Pn 与点 An ( n, 0), Bn ( n + 1, 0) 构成以 Pn 为顶点的等腰三角形。 1）求 P , P2 , P ,.......Pn ,.... 各点的纵坐标构成的数列的通项公式。 1 3 2）设 cn =1 ，求 c1 + c2 + c3 + ...... + cn 2bn ? an + n21） bn = an 又 ?An Pn Bn 为等腰三角形，故满足 Pn An = Pn Bn ， an = 2） cn =2n + 1 2n + 1 2 ， bn = ( ) 2 21 1 1 1 n = ( ? ) ， c1 + c2 + c3 + ...... + cn = 2bn ? an + n 2 n n + 1 2(n + 1) 1 例１２.已知点 (1, ) 是函数 f ( x ) = a x ( a & 0, 且a ≠ 1) 的图像上一点。等比数列 {an } 的前 n 项和为 f ( n) ? c ，数列 3 {bn } (bn & 0) 的首项为 c，且前 n 项和 sn 满足 S n ? S n?1 = S n + S n?1 (n ≥ 2) 。（１）求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式； （2）若数列 ?? 1 ? 1000 的最小正整数 n 是多少？ ? 的前 n 项和为 Tn ，问满足 Tn & 2009 ? bn bn +1 ?1 ?1? ， 即 f ( x) = ? ? 3 ? 3?x∵ 点 (1, ) 是函数 f ( x ) = a x ( a & 0, 且a ≠ 1) 的图像上一点，∴ f (1) = a =n1 31 ?1? 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 An ，依题意，得 An = f ( n) ? c = ? ? ? c ，所以，当 n=1 时， a1 = ? c ，当 n≥2 时， 3 ?3? a n = An ? An ?1 ?1? ?1? = ? ? ?? ? ?3? ?3?n n ?12?1? =? ? ? 3 ? 3?n ?1，1?1n ?11 2?1? 2?1? 由数列 {an } 为等比数列，可知 a1 = ? c = ? ? ? ，解得 c=1,所以数列 {an } 的通项公式为 an = ? ? ? 3 3 ?3? 3?3? * n∈ N 。 数列 {bn } (bn & 0) 的首项为 b1 = c = 1 ，前 n 项和 sn 满足 S n ? S n ?1 = S n + S n ?1 ( n ≥ 2) 。整理，得 ( S n +?1? = ?2 ? ? ?3?nS n?1 )( S n ? S n ?1 ? 1) = 0 S n ?1 & 0 ， S n ? S n ?1 ? 1 = 02由 bn & 0 可知 S n & 0 ，所以 S n + 所以S n ? S n ?1 = 1 ，又 S1 = b1 = 1 ，即 S1 = 12∴数列 { S n } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， S n = 1 + ( n ? 1) × 1 = n ∴ S n = n 当 n≥2 时， bn = S n ? S n ?1 = n ? (n ? 1) = 2n ? 1 ，2又当 n=1 时，2n-1=1= b1 ,符合以上公式，所以，数列 {bn } 的通项公式为 bn = 2n ? 1 ( n ∈ N )。*1 1 1? 1 1 ? = = ? ? ? bn bn +1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 ? 2n ? 1 2n + 1 ? ? 1 ? 所以，数列 ? ? 的前 n 项和为 ? bn bn +1 ?（2）由（1）知1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 Tn = ?? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? + ? ? ? ?+? ?? 2 ?? 1 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 3 2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 2n + 1 ? ? Only me1? 1 ? n ?1 ? ?= 2 ? 2n + 1 ? 2 n + 1 n
1000 令 Tn = = 111 所以，满足 Tn & & ，解得 n & 的最小正整数 n 是 112. 2n + 1
2009=5.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.例 1. 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) + f (1 ? x ) =1 2 3 n ?1 an＝f (0)+f ( ) + f ( ) + f ( ) + ..... + f ( ) + f (1) ，求 an ，并判断该数列是否等差数列。 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （1）令 x= ， 则 f ( ) + f (1 ? ) = 2 f ( ) = ， f( )= ，令 x= ， 则 f ( ) + f (1 ? ) = ；（ 2 ） 2 2 2 2 2 2 4 n n n 2 1 2 n ?1 ? k ? an＝f (0)+f ( ) + f ( ) + ..... + f ( ) + f (1) 可看成是数列 ? f ( ) ? 的前 n 项和 Sn 。 n n n ? n ? 1 2 3 n ?1 an＝f (0)+f ( ) + f ( ) + f ( ) + ..... + f ( ) + f (1) ① n n n n n ?1 n?2 2 1 an＝f (1)+f ( )++ f ( ) + ..... + f ( ) + f ( ) + f (0) n n n n由①+②得：1 1 1 n ?1 ， 求 （ 1 ） f ( ) 及 f ( )+ f ( ) ；（ 2 ） 数 列 {an } 满 足 2 2 n n②1 n ?1 2 n?2 1 n +1 2an＝[f (0) + f (1)]+[f ( ) + f ( )] + [ f ( ) + f ( )] + ..... + [ f (1) + f (0)] = (n + 1). = n n n n 2 2 1 又 an +1 ? an = ,所以, {an } 是等差数列. 4例 2.已知 lg( xy ) = a ，其中 S = lg x n + lg( x n ?1 y ) + lg( x n ? 2 y 2 ) + lg( x n ?3 y 3 ) + ...... + lg y n ，求 S。 将和式中各项倒序再与原式两边相加，得： 2 S = lg( xy ) n + lg( xy ) n + lg( xy ) n + ....... + lg( xy ) n ， ＝ n( n + 1) lg( xy ) ，共 n + 1 项。 lg( xy ) = a ， S =所以， an =n +1 ， 41 n(n + 1)a 24x 1 2 3 100 例 3.已知 f ( x ) = x ，求 f ( )+ f ( )+ f ( ) + ...... + f ( ) 之和。 4 +2 101 101 101 101设 x + y = 1 ，则有 f ( x ) + f ( y ) = 令S = f (4x 41? x + 1? x =1 4x + 2 4 + 21 2 3 100 )+ f ( )+ f ( ) + ...... + f ( )① 101 101 101 101 100 3 2 1 倒序得: S = f ( ) + ...... + f ( )+ f ( )+ f ( )② 101 101 101 101 两式相加，得 2 S = 1 + 1 + 1 + ..... + 1 = 100 , S = 506.奇偶分析法：当数列中的项有符号限制时，应分 n 为奇数、偶数进行讨论。一般地， 先求 S2 n 再求 S2 n+1 ，且 S2 n+1 = S2 n + a2 n +1 。例 1.若 an＝(-1) .(4n ? 3) ，求 Snn-1 Only me??2n(n为偶数） n 为偶数时,即 n = 2k ， S n = ?2n ； n 为奇数时,即 n = 2k + 1 ， S n = 2n ? 1 Sn = ? 1 ?2n ?（n为奇数）例 2.已知在数列 {an } 中, an = ( ?1) n ,求其前 n 项和 Snn 2? n(n ? 1) ? 2 (n为偶数） n(n ? 1) n(n ? 1) ? n 为奇数时, S n = ? , n 为偶数时, S n = Sn = ? 2 2 ?? n(n ? 1) n为奇数） （ ? ? 2评注:正负交替数列即符号数列一般适合此法,关键是要注意数项数的奇偶性及能否正确配对.如数列an = (?1) n (an + b) , an = (?1) n (an 2 + bn + c) 均适用此法.例 3.已知数列 {an } 满足: a1 =2 , an +1 + an = 2n ? 1 ,求 Snn = 1 时, a2 +a1 =1 得 a2 =-1 , ∵ an +1 + an = 2n ? 1①即 an + 2 + an +1 = 2n + 1②,由②-①得:an + 2 ? an = 2 ,∴ 奇数项 a1 , a3 , a 5 ...... 构成首项 a1 =2 ,公差为 2 的等差数列,偶数项 a2 , a4 , a 6 , ....... 构成首项 a2 =-1 ,公差为 2的等差数列. n 为偶数时, S n =n(n ? 3) 1 2 , n 为奇数时, S n = (n ? n + 4) 2 2n评注:形如 an +1 + an = an ? b 或 an +1.an = q 型的数列通过递推相减(或相除),可得到奇数项和偶数项成等差或等比数列,此时 对奇偶项分别求和,有时结合已知条件恰当地对 n 的奇偶性进行讨论也可.7.周期求和法：若一个数列具有周期性，则只需求出数列在一个周期内各项的和，就 可利用这个和与周期性对数列的前 n 项和进行转化合并。例 1.已知数列 {an } 中， a1＝－1 ， an an +2 +2＝0 ，求 a1 +a2 +.......+a2009 的值。 由 an an +2 +2＝0 , 得 an an +2 =-2 , an +2 an + 4 =-2 , 则 an＝an + 4 , 即 数 列{an }的 周 期 是 4, 又 a3 = 2 , a4=-1 故a1 +a2 +a3 +a 4 =2 , a2009 = a4?502 +1 = a1 , a1 +a2 +a3 +a 4 +.......+a2009 = 502(a1 +a2 +a3 +a4 ) + a2009 = 1003例 2.已知在数列 {an } 中， a1 = 2 ， an +1 = 1 ?1 ，其前前 n 项和为 Sn ，求 S 2008 an1 1 3 a1 =2,a2 = ,a3 =-1,a4=2,a 5 = ,a 6 =-1 ,数列具有周期性,周期为 3,每个周期的各项之和为 , an +3 = an 2008 是 669 个周期余 2 2 2 3 2011 1.所以 S n = .669 + 2 = 2 2
数列求和的基本方法和技巧一、总论:数列求和 7 种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合...数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)一、总论:数列求和 7 种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法...数列求和7种方法(方法全_例子多)_数学_高中教育_教育专区。一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和...数列求和的基本方法和技巧与大题_数学_高中教育_教育专区。高考数列问题 数列求和的基本方法和技巧一、分组法求和 1、已知 an ? 3n ? 1 ? 2n ,求前 n 项...数列求和的常用方法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。一.数列求和的常用方法: 1. 公式法 (1) 直接用等差、等比数列求和公式 等差数列的求和公式为 Sn ? n(...数列求和的常用方法_数学_高中教育_教育专区。方法与思路 数列求和的常用方法数列是高中数学的重要内容, 又是学习高等数学的基础。 在高考和各种数学竞赛中都占有重要...2 常用公式法直接利用公式求和是数列求和最基本的方法,常用的数列求和公式有: 等差数列求和公式: sn ? na1 ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d? 2 2 ? na1 ...数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定 的技巧。 下面,简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类:公式...数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)一、总论:数列求和 7 种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法...数列求和的基本方法归纳_化学_自然科学_专业资料。数列求和的基本方法归纳知识点 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法....
All rights reserved Powered by
copyright ©right 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
求Sn=1+4+9+16+………………………………+n^2的和.
宽粉固拦15
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6 证法一（归纳猜想法）：1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6 则当N＝x＋1时,1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2 ＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6 ＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6 ＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6 ＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6 也满足公式 4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 .3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得：n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得：1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
为您推荐：
其他类似问题
平方求和，是有公式的Sn=n(n+1)(2n+1)/6证明过程要用归纳法先验证n=1,2,3......时，等式成立。假设n=k时，等式成立，则n=k+1时，证明等式同样成立，则命题得证。也就是如果1^2+2^2+3^2…+k^2=(1/6)k(k+1)(2k+1)成立，则1^2+2^2+3^2…+k^2+(k+1)^2=(1/6)k(k...
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1..............................3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.以上等式相加得：(n+1)^3...
扫描下载二维码知识点视频
校园号本地优质教育机构
在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，an-1an+1，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式an（II）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Sn（III）是否存在正整数对（m，n），使等式n+4m=0成立？若存在，求出所有符合条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．【考点】；．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】题意构造向，利用向量的线性运算表示量从而可求M的长；用向的数量积公式，出向量与的夹角的余弦值，可求异面线N与CM成角余弦值．【解答】解：如图示，设=，=，=．=[a+a2+a+2（22-22-22）]=22．∴csθ=，∴量与夹角的余弦值为．题意可知||=||=||=a且，，三向两两夹角均为60．又∵||=||=a，∴o=||o||cosθ=22，∵=-=（+）-=（+-），∴||=a，即MN的为a．∵=（+）=（+），=-=-，从而异面线A与M所成的余弦值为．【点评】本题考查空间线段的算，考间角，考查向量知识的运，属于．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：吕静老师 难度：0.46真题：3组卷：16
解析质量好中差
&&&&，V2.313761/1+1/2+1/3+1/4+……+1/n
=？？ 数列求和【数论吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：8,449贴子：
1/1+1/2+1/3+1/4+……+1/n
=？？ 数列求和收藏
收敛于lnn+γ，无通项公式
这是调和级数，级数和减去Ln(n)在n趋于无穷大时收敛，就是 n 越大，得到的差的小数位数越多，越精确。这个数叫“欧拉常数”，记为希腊字母“r”（读作gama）。
但也要注意1/n与1/（n+1）无论从比例上，还是数值的相差上也越来越小。
当 n 趋向无穷大时，(1+1/2+1/3+1/4+……+1/n) 趋向无穷大，极限不存在。 因为当 x＞0 时，不等式 x＞ln(1+x) 恒成立（这是一个重要的不等式，可用“导数”证明），所以 1＞ln(1+1)=ln2 1/2＞ln(1+1/2)=ln(3/2) 1/3＞ln(1+1/3)=ln(4/3) 1/4＞ln(1+1/4)=ln(5/4) …… 1/(1-n)＞ln[1+1/(n-1)]=ln[n/(n-1)] 1/n＞ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n], 于是 (1+1/2+1/3+1/4+……+1/n) ＞ln2 + ln(3/2) + ln(4/3) + ln(5/4) +……+ ln[n/(n-1)] + ln[(n+1)/n] = ln[2·3/2·4/3·5/4·……·n/(n-1)·(n+1)/n] = ln(n+1)， 当 n---&∞ 时，ln(n+1)---&∞，所以 (1+1/2+1/3+1/4+……+1/n)---&∞.
不对，e=(1+1/n)^n=∑1/n!+1=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+^1/n!，1/1+1/2+1/3+1/4+……+1/n是另外一个式子。
应该是正无穷。你求过Y=1/X在（0，+∞）定积分吗？
很简单的一个说明：1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+.....1/16)+.....&1+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+.....,后者为1+1/2+1/2+1/2+.......,你说收敛不？
学过微积分的应知
调和级数发散呀！数论吧的都不学级数的么？
首先阐明它是调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明： ∵ln(1+1/n)&1/n （n=1，2，3，…） 所以调和级数的前n项部分和满足 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n&ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在，调和级数发散。 但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)&ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n) =ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)] =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)&ln(1+1/n)-1/n&0 所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此 S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。 于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.09，目前还不知道它是有理数还是无理数。于是我们得到Sn的公式是：Sn=lnn+γ
回复16楼:Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)] =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)&ln(1+1/n)-1/n&0 所以Sn单调递减。你说说它怎么递减的
楼主呢，吱一声
卧槽。。你们都是百度出来的呗？？？
。只能帮忙挽尊了
那个误差是欧拉常数，现在不知道是不是无理数，个人猜想是超越数。
都什么水平啊
调和级数无法求和也无法求极限。
LonN十欧拉常数
直接把1/2、1/3放成1/2*2,把1/4到1/7放成1/4*4类推，得到无穷大
楼主说的是只加到1/n为止，各位都自讨没趣。
登录百度帐号推荐应用n^3=3(1^+2^+3^+4^+...+n^)-3(1+2+3+4+...+n)+n
公式:1^2+2^2+3^2+.......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明:由立方差公式：
n^3-(n-1)^3=[n-(n-1)][n^+n(n-1)+(n-1)^]=3n^-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^-3(n-1)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-2)^-3(n-2)+1
2^3-1^3=3*2^-3*2+1
1^3=3*1^3-3*1+1
以上n个式子相加：
--->n^3=3(1^+2^+3^+4^+...+n^)-3(1+2+3+4+...+n)+n
--->1^+2^+3^+4^+...+n^=[n^3+(3/2)n(n+1)-n]/3
=(1/6)n[2n^+3n+3-2]
=(1/6)n(n+1)(2n+1)
设定此数列前n项和为SS+(1+2+3+...+n)=(1+2+3+..+n)+(1*1+2*2+...n*n)S+n(...
设定此数列前n项和为S
S+(1+2+3+...+n)=(1+2+3+..+n)+(1*1+2*2+...n*n)
S+n(n+1)/2=1*2+2*3+3*4....+n*(n+1)
由于:n(n+1)=1/3[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]
S+n(n+1)/2=1/3[(3*2*1-2*1*0)+(4*3*2-3*2*1)+(5*4*3-3*2*1)......[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]]
=1/3[(n+2)(n+1)n-2*1*0]
整理下就得到
S=(1/6)*n(n+1)*(2n+1)
1+4+9+……+N^2=(1/6)*n(n+1)*(2n+1)具体证法可以用数学归纳法,见高三数学人教版理科教材的第6...
1+4+9+……+N^2=(1/6)*n(n+1)*(2n+1)
具体证法可以用数学归纳法,见高三数学人教版理科教材的第64页
学习帮助相关知识
我可以给你提供个想法，仅供参考咯~！
可以从培训人才和被培训人才的...
小学科学教案|小学科学教案下载 21世纪教育网
请说的明白点啊，你是要什么性质考试的啊，自考？成考？普通？
大家都关注
有问题 @ 爱问Powered
举报原因(必选)：
广告或垃圾信息
不雅词句或人身攻击
激进时政或意识形态话题
侵犯他人隐私
其它违法和不良信息
