当前位置：
＞＞＞已知（1+2x）n的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，..
已知（1+2x）n的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的56．（1）求n的值；（2）求（1+2x）n的展开式中系数最大的项．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）根据题意，设该项为第r+1项，则有Crn2r=2Cr-1n2r-1Crn2r=56Cr+1n2r+1（2分）即Crn=Cr-1nCrn=53Cr+1n亦即n=2r-1n!r!(n-r)!=53n!(r+1)!(n-r-1)!（4分）解得r=4n=7.∴n=7．（6分）（2）设第r+1项系数最大，则有Cr72r≥Cr-172r-1Cr72r≥Cr+172r+1，（8分）即2Cr7≥Cr-17Cr7≥2Cr+17亦即27!r!(7-r)!≥7!(r-1)!(7-r+1)!7!r!(7-r)!≥27!(r+1)!(7-r-1)!（10分）解得2r≥18-r17-r≥2r+1，∴133≤r≤163r=5，（13分）∴二项式展开式中系数最大的项为T6=C75（2x）5=672x5．（14分）
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“已知（1+2x）n的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，..”主要考查你对&&二项式定理与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二项式定理与性质
&二项式定理：
， 它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项.二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即； （2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。 当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。 二项式定理的特别提醒：
①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。&
二项式定理常见的利用：
方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有&但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．&方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地，对于多项式
方法6：多项式的展开式问题：对于多项式(a+b+c)n，我们可以转化为[a+(b+c)]n的形式，再利用二项式定理，求解有关问题。
发现相似题
与“已知（1+2x）n的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，..”考查相似的试题有：
4072712662973935538085378509993422410的阶乘为什么是1？不要给我说是规定的，我想要逻辑推理！！ | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
873495人加入此小组
求高手解答！
+ 加入我的果篮
通信专业博士生，编程爱好者
(n+1)! = (n+1) * n!把0带进去
斯以为，这种东西根本不本质，也就没有什么推理。数学上的一些东西只是工具，你定义他是啥就是啥，你也可以说0！=0，也不影响各种数学推理，大不了注明下0！=0,的特殊情况。就好像pi取为周长比直径=3.14，不取为周长比半径=6.28，不就是当时为了方便嘛，你也可以换成6.28，各个公式也都成立，不过是除个2而已。我还是高中的时候特别纠结这种东西，上了大学后接触到就明白了，包括很多学科现在都还有层出不穷的成果：代码、算法，等等等等，实际上最先定义（或发现）的人也就是出于自己的习惯或者使用方便，能解决实际问题就行，像这种根本不本质的问题就没意义纠结了。
语言爱好者
这个定义跟pi与2pi之争还不是一回事，它的定义是有道理的。我们可以这样说。lz想一下，如果要写一段算n!的程序，应该怎么写。是不是这样：f = 1for i = 1 to n {f = f * i}好，那么如果n = 0，运行的结果是什么呢？是1吧！所以就定义0! = 1了。简单地说，规定0! = 1的理由是“乘法的出发点是1”。同样，加法的出发点是0。比如我要定义一种“阶加”运算，n$ = 1 + 2 + ... + n，那么0$应该等于0，也是比较容易理解的。再如，我们可以对一个有限数集A定义其所有元素的和A$及其所有元素的积A!。如果A是空集怎么办呢？有了上面的讨论，就会发现A$ = 0和A! = 1是最合理的定义。一般的书不想在这个细节上多费口舌，所以就说“规定”了，但这个“规定”是有道理的。
按照ls的说法，0！的值其实还是为了(n+1)!在n=0时成立规定的。
斯以为，这种东西根本不本质，也就没有什么推理。数学上的一些东西只是工具，你定义他是啥就是啥，你也可以说0！=0，也不影响各种数学推理，大不了注明下0！=0,的特殊情况。就好像pi取为周长比直径=3.14，不取为周长比半径=6.28，不就是当时为了方便嘛，你也可以换成6.28，各个公式也都成立，不过是除个2而已。我还是高中的时候特别纠结这种东西，上了大学后接触到就明白了，包括很多学科现在都还有层出不穷的成果：代码、算法，等等等等，实际上最先定义（或发现）的人也就是出于自己的习惯或者使用方便，能解决实际问题就行，像这种根本不本质的问题就没意义纠结了。
语言爱好者
这个定义跟pi与2pi之争还不是一回事，它的定义是有道理的。我们可以这样说。lz想一下，如果要写一段算n!的程序，应该怎么写。是不是这样：f = 1for i = 1 to n {f = f * i}好，那么如果n = 0，运行的结果是什么呢？是1吧！所以就定义0! = 1了。简单地说，规定0! = 1的理由是“乘法的出发点是1”。同样，加法的出发点是0。比如我要定义一种“阶加”运算，n$ = 1 + 2 + ... + n，那么0$应该等于0，也是比较容易理解的。再如，我们可以对一个有限数集A定义其所有元素的和A$及其所有元素的积A!。如果A是空集怎么办呢？有了上面的讨论，就会发现A$ = 0和A! = 1是最合理的定义。一般的书不想在这个细节上多费口舌，所以就说“规定”了，但这个“规定”是有道理的。
啊。其实就是因为1是乘法运算的“零元”。
应该是为了排列组合里面公式在n=0的时候也有意义吧，比如说1P0=1 可以解释成从一个里面取0个只有一种取法 不取
机械电子工程、消费产品设计专业
这就是为了计算完整性做出的规定
引用TIM的回应：啊。其实就是因为1是乘法运算的“零元”。群论里面的乘法的叫单位元……可交换的加法才叫零元……
这和2^0=1是一样的吧。
一较真你就输了
的话：这个定义跟pi与2pi之争还不是一回事，它的定义是有道理的。我们可以这样说。lz想一下，如果要写一段算n!的程序，应该怎么写。是不是这样：f = 1for i = 1 to n {f = f * i}好，那么如果n = 0，运行的结果是什么呢？是1吧！所以就定义0! = 1了。简单地说，规定0! = 1的理由是“乘法的出发点是1”。同样，加法的出发点是0。比如我要定义一种“阶加”运算，n$ = 1 + 2 + ... + n，那么0$应该等于0，也是比较容易理解的。再如，我们可以对一个有限数集A定义其所有元素的和A$及其所有元素的积A!。如果A是空集怎么办呢？有了上面的讨论，就会发现A$ = 0和A! = 1是最合理的定义。一般的书不想在这个细节上多费口舌，所以就说“规定”了，但这个“规定”是有道理的。你的解释还是在0！=1的规定上进行的，觉得6楼说法更简单易懂些，只是为了强调乘法中1是单位元
正整数的运算或者实际问题里无法抛弃0，所以做出这个规定，总之自己能解开纠结就好
就是规定的，数学和现实无关，只要自洽爱咋定咋定，一般按最方便的定。
就是规定的
咦，难道规定就不是逻辑推理出来的？
从阶乘的实际意义出发不难得到此结论。3！表示：给三个东西排队，有3！= 6种排法；2！表示：给两个东西排队，有2！= 2种排法；。。。那么，给零个东西排队有0！= 1种排法
通信专业博士生，编程爱好者
(n+1)! = (n+1) * n!把0带进去
压力容器初级工程师
在自然数域，0!=1是规定出来的，方便递归推导定义。更明确的定义是从推导出来的，因为Γ(1)=1，所以0!=1
引用 的话：1的阶乘是1，这个好理解吧。(n+1)的阶乘是n的阶乘乘以(n+1)，也就是说（n-1)的阶乘是n的阶乘除以n，那么取n=1，就得到0的阶乘等于1。这个解释不错！
根据阶乘的定义(n+1)=(n+1)*n!1!=1*0!只好定义0!=1了。
楼主要0！=1的具体来历的话，请看这里 简单的说就是gama函数在0处的函数值。
引用 的话：楼主要0！=1的具体来历的话，请看这里简单的说就是gama函数在0处的函数值。不对г函数与阶乘函数不是这样对应的。应该说г（1）=0！=1即当s是正整数的时候，г（s)=(s-1)!这个г（s)函数是解析数论里面最为基本的一个函数之一。
七楼说的有一定道理，本来n个数的全排列就是n!，我们自然就会按这个往下推，那么0！应该是多少呢？如果我们把它写开n!=n(n-1)(n-2)……，所以自然就会问0！该如何展开，但是我们只要按照全排列的理解就能理解0！了，但为了不使多数人无法理解，书本干脆就规定0！=1了。
引用 的话：1的阶乘是1，这个好理解吧。(n+1)的阶乘是n的阶乘乘以(n+1)，也就是说（n-1)的阶乘是n的阶乘除以n，那么取n=1，就得到0的阶乘等于1。原来还可以这样
不是有一个函数吗
空间信息与数字技术专业
// Proof done
定义0！=1还有一个好处，这样伽马函数不需要分段定义了。因为，而。：）
逻辑（理性）必须是在一定的前提下进行的 你没办法用这个去针对前提（通常就是一些规定或者假设）
3!=4!/4 2!=3!/3 1!=2!/2 那么0!=1!/1就是1
n!/n=(n-1)!,去n=1,则1！/1=0!=1
引用 的话：1的阶乘是1，这个好理解吧。(n+1)的阶乘是n的阶乘乘以(n+1)，也就是说（n-1)的阶乘是n的阶乘除以n，那么取n=1，就得到0的阶乘等于1。貌似有道理耶。
数学本质上就是定义。。。你读到高数。。或者涉猎一下就懂了 数学本质上就是在定义的基础上进行逻辑推理 （其实如果你读高中 选择填空什么的压轴题就常有定义题目的。。为了和高数思维衔接吧。。。像向量积这种东西也是定义的 你要问它为何是这样的么，，那只好了解一下数学史了）在物理学里有一种看法 数学就等于所有可能的宇宙的定义的情况。。参见《皇帝新脑》所以不要对定义 很藐视
引用 的话：数学本质上就是定义。。。你读到高数。。或者涉猎一下就懂了 数学本质上就是在定义的基础上进行逻辑推理 （其实如果你读高中 选择填空什么的压轴题就常有定义题目的。。为了和高数思维衔接吧。。。像向量积这种东...而且 像0的阶乘是1 这种算是整个算法的基础定义了 。。。非要什么很强的目的逻辑性。。。
引用 的话：而且 像0的阶乘是1 这种算是整个算法的基础定义了 。。。非要什么很强的目的逻辑性。。。为了计算的符号有对应意义 不至于写到0！的时候哎呀 。。不知道怎么操作 这种理由就很强了吧
这样定义，对于0个元素的全排列方式就有了意义。很多数学知识起初都是从某些问题领域产生的。
1楼有道理。我认为还可以这样理解，根据排列数公式A00=0!=0!/(0-0)!=1来自
因为零的的意义不是零本身的阶乘, 而是零个数的意思 而阶乘起始点为1 若没有数相乘 则自然为起始数1~~~回答完毕
学习科学是为了have a better understanding of our world.学习数学是为了have a better understanding of a world.
因为gamma函数
引用 的话：应该是为了排列组合里面公式在n=0的时候也有意义吧，比如说1P0=1 可以解释成从一个里面取0个只有一种取法 不取 正解
引用 的话：斯以为，这种东西根本不本质，也就没有什么推理。数学上的一些东西只是工具，你定义他是啥就是啥，你也可以说0！=0，也不影响各种数学推理，大不了注明下0！=0,的特殊情况。就好像pi取为周长比直径=3.1...pi等于6.28...圆神要杀了你.
就是规定是1，方便以后表示。因为经常会出现通项式里有阶乘的，吧0！当做1就方便很多，不需要列出特殊情况了。而且这种东西确实没有什么本质不本质的，你规定是什么就是什么
引用 的话：pi等于6.28...圆神要杀了你.那是tau
排列公式+1
引用 的话：斯以为，这种东西根本不本质，也就没有什么推理。数学上的一些东西只是工具，你定义他是啥就是啥，你也可以说0！=0，也不影响各种数学推理，大不了注明下0！=0,的特殊情况。就好像pi取为周长比直径=3.1...这个PI是有历史原因的，祖冲之和割圆形法的最直观体验就是周长比直径和半圆周比半径。
第二类欧拉积分（gamma函数）
数集有定义单位元。单位元是在指定的计算下不改变数据的那个值。在加法、减法计算下，0是单位元，任意数+-0都不变同理，乘除的单位元是1
1+1为什么等于2？
引用 的话：1+1为什么等于2？你问出这种问题来企图显摆自己的行为十分脑残这个号要么是马甲，要么是来自某个组织的脑残但这个问题早就解决了请善用搜索
0！=1的原因应该是用起来方便符合公式，符合实际，而且使得伽马函数不需要分段
(C)2016果壳网&&&&京ICP证100430号&&&&京网文[-239号&&&&新出发京零字东150005号&&&&
违法和不良信息举报邮箱：&&&&举报电话：