你知道有余数除法怎样验算吗？-趣味数学
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你知道有余数除法怎样验算吗？
你知道有余数除法怎样验算吗？
　　我们先谈谈什么是有余数的除法。一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商。例如，32除以5，得不到一个整数商，而只能得到一个不完全商（6）和一个余数（2）。
　　一般地，被除数=除数×不完全商+余数。
　　有余数除法的定义是：已知整数a与自然数b，要求两个整数q与r，使a=b×q＋r，并且0＜r＜b，这种运算叫做有余数的除法，也叫做带余数除法。写作：a÷b=q（余r）或a÷b=q……r，读作“a除以b等于q余r”。a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商（也可以简称商），r叫做余数。例如：45=7×6＋3，且3＜7，所以45÷7=6（余3）或者45÷7=6……3，其中6是不完全商，3是余数。
　　当a＜b的时候，则q=0，r=a。例如：5=0×7＋5，所以，5÷7=0（余 5）。
　　在a=b×q＋r中，如果r=0，那么a=b×q，这时有a÷b=q。这就是说，能整除的除法是有余数除法的特殊情况。
　　下面谈谈有余数除法的验算。根据有余数除法的定义可知：
　　如果 a÷b=q（余r）
　　那么（1）a=bq+r；
　　（2） b=（a-r）÷q；
　　（3）q=（a-r）÷b；
　　（4）r=a-bq。
　　由此可见，在有余数的除法中，被除数等于除数乘以商再加上余数；除数等于被除数减去余数再除以商；余数等于被除数减去除数与商的积。
　　根据上述关系，可对有余数的除法进行验算。例如，根据a=bq+r来验算的方法是：在做完有余数的除法之后，可把所得的商与除数相乘再加上余数。如果计算是正确的，求出的结果应该等于被除数。
　　例如：32÷5=6……2
　　验算：5×6＋2=32。
　　此外，还可以根据b=（a-r）÷q、q=（a-r）÷b以及r=a-bq这几种关系进行验算。
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【第六单元运算律】本单位教学运算律，包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律。整数的运算律在小数、分数的运算中同样存在，教材先在整数范围内教学运算律，以后再推广到小数、分数的运算中去，是一种合理的安排。运算律是整数加法和乘法计算法则的推理依据。多位数加法把相同数位上的数相加，即具有相同计数单位的数直接相加，主要依据了加法结合律，也应用了加法交换律。三位数乘一位数把三位数个位、十位、百位上的数依次分别乘一位数，主要依据了乘法分配律。三位数乘两位数把三位数分别乘两位数个位、十位上的数，再把两次乘的结果相加，也是依据了乘法分配律。小学数学里，计算教学在前，运算律教学在后，计算方法不从运算律推出，是考虑了学生年龄与智力发展的阶段性特点。不过，在教学运算律以后，如果再认计算法则，还会有深一层的理解。运算律是继续教学某些数学知识的重要基础。如，几个分数连乘，应用乘法交换律和结合律，各个分数的分子、分母可以互相交叉约分。尤其是应用运算律进行简便计算，既提高了解决计算问题的效率，更提高了学生的计算能力。运算律是高度概括的运算知识，是在大量的计算现象中归纳出来的数学内容。运算律是加法、乘法计算中具有普遍意义的规律，经过演绎推理能够运用到具体的计算中去，对发展学生的数学思维十分有益。所以，教学运算律需要联系实际，从现实的解题活动中得出运算律。教学运算律不仅要解释数学规律，还要关注学生的数学思考。全单元编排七道例题，具体安排如下表：例1
加法交换律、结合律例2
应用加法运算律进行简便计算例3
乘法交换律例4
乘法结合律例5
乘法分配律例6
应用乘法运算律进行简便计算例7
相遇问题从表格里可以看到，教材的安排是先教学加法的运算律，再教学乘法的运算律；先教学交换律和结合律，再教学分配律；先教学运算律的含义，再教学运算律的应用。这样安排有三点原因：首先是由易到难，便于教学。我们知道，交换律的内容比结合律简单，分配律的内容更加复杂，学生对交换律的感性认识比结合律和分配律丰富，先教学比较容易的交换律，有利于激发学生探索运算律的兴趣。其次是提高教学效率，发挥学生的能动性。交换律的教学容易组织和实施，而交换律的教学方法与学习活动经验，可以应用到结合律和分配律的教学中去。这种内在的可迁移性，有利于确立学生的学习主体地位。再次是遵循了学生的认识规律。人们掌握运算律，应该先理解运算律的具体含义，再应用运算律使一些计算简便，小学生学习运算律，也应该达到理解和掌握的程度，也需要有合理的安排。教材把相遇问题编排在本单元的最后教学，这是因为两个物体作相向运动，如果分别已知它们的运动速度，以及同时相向运动的时间，求它们运动的路程和，通常有两种算法，而两种算法之间可以用乘法分配律沟通、转换。所以，把相遇问题编排在运算律的单元里教学，有助于学生联系实际问题里的数量关系，进一步体验乘法分配律的含义，也有助于学生联系乘法分配律，理解相遇问题两种解法的关系。（一） 在观察、实验、归纳、类比等学习活动中主动认识运算律数学教学不仅要学生获得重要的数学知识，还要发挥教学内容的育人功能，使学生在各个方面有所发展。教材希望学生在本单元的教学中，掌握运算律并发展初步的推理能力。为此，设计了一条鲜明的教学线索，在发现运算律、总结运算律的时候，都给学生留出自主探索、独立思考的空间，为他们安排了丰富、多样、有趣、高效的学习活动。教材安排的教学过程是“解决一个实际问题――看到一个数学现象――举出更多的例子――在众多案例中抽象概括――用符号表示发现的规律”，引导学生充分地观察、实验、归纳、类比，形成正确的数学结论。1. 引出一个实例，解决一个实际问题。教材编排四道例题分别教学加法交换律与结合律、乘法交换律、结合律、分配律。例1教学加法交换律，呈现的实际问题里已知28个男生跳绳，17个女生跳绳，23个女生踢毽子，求跳绳的学生有多少人。解决这个问题，数量关系可以是“男生跳绳人数+女生跳绳人数”，或者是“女生跳绳人数+男生跳绳人数”，即可以列出算式28+17或17+28。由于两个算式的得数相同，这两个算式可以组成等式28+17=17+28，这是加法交换律的第一个实例。例1接着求跳绳和踢毽子的一共有多少人，数量关系可以是“跳绳人数+踢毽子人数”，列出算式（28+17）+23；数量关系也可以是“男生人数+女生人数”，列出算式28+（17+23）。两个算式的得数相同，也能组成等式（28+17）+23=28+（17+23），这是教学加法结合律的第一个实例。例4教学乘法结合律，呈现的实际问题是“华丰小学举行跳绳比赛，每个班选派23人参加。每个年级有5个班，6个年级一共选派多少人参加比赛？”解决这个问题的数量关系式可以是“一个年级参加的人数×一共的年级数”或者是“每班参加的人数×一共的班级数”，列出的算式是（23×5）×6或者23×（5×6）。两个算式解决同一个问题，得数相同，能组成等式（23×5）×6=23×（5×6），这是乘法结合律的第一个实例。例5教学乘法分配律，呈现的实际问题是“四年级有6个班，五年级有4个班。每个班领24根跳绳，四、五年级一共领多少根跳绳？”解决问题的数量关系式是“四、五年级一共的班级数×每班领的根数”或者是“四年级领的根数+五年级领的根数”，算式是（6+4）×24或者6×24+4×24。两个算式可以组成等式（6+4）×24=6×24+4×24，是乘法分配律的第一个实例。各个实例的教学要点是等式表达的数学内容。在28+17=17+28这个等式里，等号两边的加数调换了位置；在（28+17）+23=28+（17+23）这个等式里，等号两边的运算顺序不同，分别是“先把前两个数相加，再加第三个数”和“先把后两个数相加，再与第一个数相加”。在（23×5）×6=23×（5×6）这个等式里，等号两边的运算顺序不同，分别是“先把前两个数相乘，再与第三个数相乘”和“先把后两个数相乘，再与第一个数相乘”。在（6+4）×24=6×24+4×24这个等式里，等号左边是“两个数相加的和乘一个数”，右边是“两个加数分别乘一个数，并把两个乘积相加”。教学应组织学生仔细观察第一个实例的等式，了解等式表示的数学内容，明白知识特点，产生进一步探索规律的积极性。教学各条运算律的第一个实例要注意两点：一是教师要和学生共同参与列算式的活动。例1的第二个问题“跳绳和踢毽子的一共有多少人”可以列出许多个算式，但不都是研究加法结合律所适宜的算式。这时，教师与学生一起列式，可以避免列算式环节上不必要的纠缠，及时排除与结合律无关的那些算式。二是挖掘等式里的数学内容十分重要。必须把学生的注意力引导到对运算律的研究上去，看到等式两边的加数位置调换了，看到等式两边的运算顺序变了。但是，挖掘数学内容应紧密联系算式实际，尽量具体一些，不要太多、太早地抽象概括，更不要仅此一例就得出运算律。要充分联系熟悉的问题情境与数量关系，使学生在首次感受运算律时能体会到它的合理性。学生初步感受乘法分配律是教学的一个难点，例5首先要通过具体的数量关系来体会：左边算式是1个班领的根数乘10，得到10个班领的根数；右边算式是6个班领的根数加4个班领的根数，得到10个班领的根数。两个算式是解决同一个问题的算式，求出的都是四、五年级一共要领多少根跳绳。然后要适当抽象等式的本质特点，在运算层面上解释等号两边的联系：左边算式先算6加4的和，再把和乘24；右边算式先分别算6乘24与4乘24，再把两个积相加。两边都是求10个24是多少，可以组成一个等式。这里所谓“适当”是不离开24、6、4这些具体的数，所谓“抽象”是排除领跳绳的具体数量关系，只从运算的角度看这个现象。2.　举出更多的例子。从第一个实例中看到的数学现象是不是普遍规律，还需要在类似的情况里验证。教学加法交换律，例1要学生“再写几个这样的等式”，在众多实例中证实“两个数相加，交换加数的位置，和不变”。教学加法结合律，例1让学生分别计算（45+25）+16与45+（25+16）、（39+18）+22与39+（18+22），看看每组的两道算式中间能不能填上等号，在较多的实例里体会“三个数相加，可以先加前两个数，再加第三个数，也可以先加后两个数，再加第一个数”。例3、例4、例5分别教学乘法交换律、结合律、分配律，教材都要求学生仿照第一个实例，“再写几个这样的等式”，证实在有关乘法算式里都存在交换律、结合律、分配律，体验第一个实例中的数学现象在类似的例子中同样存在，具有普遍性。加法和乘法的交换律比较简单，学生寻找其他实例也比较容易。结合律和分配律比较复杂，例1教学加法结合律，教材给出两组算式，让学生通过计算证实同组的两道算式得数相同，组成的等式与解决实际问题的等式有相同的数学特征。例4、5教学乘法结合律、分配律，教材要求学生列举实例进行验证，引导他们把加法结合律的活动经验应用到学习乘法运算律上来，体现了学习水平的层次性。教学应帮助学生写出算式、算出得数、比较结果、形成等式。以教学乘法分配律为例，写出的每组算式都应该是两个算式，其中一个算式是两个数的和乘一个数，另一个算式是两个加数分别乘那个数，并把两个积相加。各组算式都可以模仿实际问题的算式（6+4）×24和6×24+4×24写出来。同组的两道算式之间不能随意写出等号，必须分别计算两道算式，比较得数以后才确定。这一步教学，从个案的等式关系到若干同类现象的等式关系，丰富了对运算律的感性认识，也体现了科学的认知方法与态度。3.　在丰富的案例中概括。教学每一条运算律，教材都要联系实际问题里以及继续列举的那些等式，说说“有什么发现”，引导学生对众多案例进行概括，把同一类案例的共同特征提取出来，并用数学语言描述。与过去教材不同的是，新教材没有用文字语言讲述各条运算律的内容。这并不是不需要概括性的描述，而是把概括运算律的活动留给学生进行，以避免机械接受、死记硬背。学生经过自己的观察、验证，再用自己的语言讲述运算律的内容，才是他们对运算律实实在在的理解。教学应十分重视这个环节，给学生提供充分的思考、交流时间，这是锻炼数学思维的极好时机。当然，对学生的口头表述不应提出过高的要求，能说得基本正确、能说得基本清楚就可以了。概括叙述交换律比较容易，概括叙述结合律和分配律比较难，特别是首次叙述加法结合律可能更难一些。要引导学生应用运算顺序的知识和混合运算的经验，以分别讲述等号两边算式的计算步骤为载体进行概括。如，（28+17）+23、（45+25）+16、（39+18）+22都是三个数相加，都要先把前两个数相加，再与第三个数相加；28+（17+23）、45+（25+16）、39+（18+22）都是先把后两个数相加，再与第一个数相加。等号表示它左右两个算式的得数相同，即“和不变”。概括要联系等式，在教学的各个环节有计划地进行，逐步达到要求。4.　用字母表示运算律。用字母表示运算律，可以视为建立关于运算律的数学模型。它简明、准确、概括地表达了各条运算律的本质数学内容，有助于学生记忆与交流。教学加法交换律，教材鼓励学生“用自己喜欢的方法表示”。可以像“番茄”卡通那样用语言叙述，可以像“蘑菇”卡通那样用图形组成的式子表示，也可以像“辣椒”卡通那样用文字写成的等式表示，还可以用其他方法表示。学生采用任何一种方法表示，都反映了“交换两个加数的位置，和不变”的规律，都经历了建立数学模型的过程。用含有字母的等式表示运算律，是人们已有的约定。教材指出，如果用字母表示加数，运算律可以写成字母表示的等式，体现了这种表示方法的优越性，既能加强对运算律的理解，又有利于培养符号意识，发展符号感。用符号表示各条运算律的教学过程不尽相同。加法交换律先用图形表示，再用字母表示。因为图形比字母生动、有趣，学生容易接受，也喜欢采用。而字母表示，则相当简明、方便。其他各条运算律，直接用含有字母的等式表示，跳过了用图形或别的方法表示的环节，这是考虑到学生已经具有用字母表示运算律的体验与能力，不必在其他表示方法上花费时间和精力了。5.　根据结合律和分配律进行逆向推理。加法、乘法的结合律以及乘法分配律都可以逆向理解与应用，逆向理解能深刻认识运算律，逆向应用能提高计算效率。三个数相加（或相乘），先把后两个数相加（乘），再加（乘）第一个数，可以改变成先把前两个数相加（乘），再加（乘）第三个数。两个乘式相加，如果有一个相同乘数，那么可以先把不同的乘数相加，再乘相同的乘数。教材把这些逆向推理安排在练习里教学。如例1的“练一练”让学生说说75+（47+25）=（75+25）+47应用了什么运算律，练习九第8题“在130+（70+65）=（□+70）+□”的□里填合适的数，这两题逆向表示了加法结合律。例4的“练一练”根据乘法运算律，在□里填合适的数：5×（14×9）=（5×□）×□，逆向表示了乘法结合律。例5的“练一练”在□里填数，在○里填运算符号：15×26+15×14=□○（□○□），逆向表示了乘法分配律。（二） 体验简便运算，培养主动应用运算律的意识应用运算律能使一些计算简便，这是计算能力的重要组成部分。采用简便运算不应是教材或教师对学生的规定，而应是学生的主动追求和自觉行为。教材只编排少量例题作为简便计算的引导，而在练习里提供了许多实施简便计算的机会，让学生主动进行简便运算。关于应用运算律的简便计算，分四步教学。第一步是渗透简便运算。例1教学加法运算律，在“练一练”里，给出了两组等式：（84+68）+32=84+（68+32）、75+（47+25）=（75+25）+47。每个等式里，左右两边算式的三个加数相同，而运算顺序不同。其中一道算式的计算比较简便，另一道算式的计算稍麻烦些。如果体会到等式的左右两边可以利用加法运算律相互改写，体会到稍麻烦的算式可以改写成比较简便的算式，就受到了有关简便计算的启发，能为后面学习简便计算作些铺垫。练习九第3题配合例1的教学，给出了两组加法题：38+76+24与38+（76+24）；88+45+12与45+（88+12）。同组两题可以用加法运算律相互沟通，一题的计算比较容易，能够口算，另一题的计算比较麻烦，需要笔算。这道题在教学例1以后、教学例2之前使用，也渗透了简便运算的思想。其实，上述的渗透在例1解决实际问题的等式（28+17）+23=28+（17+23）里，在例题提供的等式（45+25）+16=45+（25+16）、（39+18）+22=39+（18+22）里，也在适当进行。教学应该不失时机，引导学生体会简便计算。应用乘法运算律的简便计算，也是先渗透、再实施。练习十第2题渗透乘法结合律的简便运算，第4题应用乘法结合律进行简便计算。第6题渗透乘法分配律的简便运算，第9题应用乘法分配律进行简便计算。第二步是教学简便计算。例2应用加法运算律进行简便计算，包括怎样的算式可以简便计算、怎样应用运算律使一些计算简便，以及应写出简便计算的哪些主要步骤等内容。例题求“三个年级一共有多少人参加跳绳比赛”，根据加法运算律，对列出的算式29+46+54采用不同的运算顺序进行计算，感受先把前两个数相加，再加第三个数的算法，不如先把后两个数相加，再加第一个数的计算简便。教学简便计算，要体会使计算简便的主要原因，在这里是后两个数相加的和刚好100；要写出简便计算的主要步骤，在这里是应用加法结合律，把后两个加数用括号括起来先加。配合例2的“试一试”安排两题，其中65+79+21可以直接应用加法结合律进行简便计算，78+（47+22）既要应用加法结合律改变算式的运算顺序，还要应用加法交换律改变三个加数在算式里的位置。可见，两题的编排是有层次性的。数感对简便计算有影响，对“哪两个数相加的和是100”的敏感性，直接关系到能否及时采用加法运算律进行简便计算。所以，“练一练”第1题安排了“哪两片树叶上数的和是100”的练习。第2题应用加法运算律进行简便计算，有3个数的连加，也有4个数的连加；有时顺向应用运算律，有时逆向应用运算律。包括了加法简便运算的方方面面。应用乘法交换律和结合律的简便计算不编排例题，直接在例4的“试一试”里出现，让学生独立进行简便计算。教材这样安排，是因为学生已经有应用加法交换律和结合律进行简便计算的经验，这种经验可以迁移到应用乘法运算律的简便计算里。其中16×15×2只应用乘法结合律就能使计算简便，25×（37×4）则要应用乘法交换律和结合律才能进行简便计算。例6教学应用乘法分配律的简便计算。算式32×102是两个数相乘，直接应用乘法运算律只能是交换两个乘数的位置，并不能使运算简便些。如果把102看成（100+2），原来的算式就变成32×（100+2），这就成为两个数的和与一个数相乘，具备了应用乘法分配律的条件。可见，例6的特点是改变一个乘数的表示形式，创造应用乘法运算律的条件，使原来的计算变得简便些。教学32×102的简便计算，先要让学生联系已有计算知识和经验，算出得数。他们可能列竖式笔算，也可能口算，这些计算有利于理解简便计算的算理与算法。尤其是口算，先求得买100副中国象棋要3200元（32×100），求得买2副中国象棋要64元（32×2），再把3200元和64元合起来是3264元，这样的过程与方法已经在应用乘法分配律。即使列竖式笔算，也是把2个102和30个102相加，也有使用乘法分配律的意味。例题教学32×102的简便算法有“扶”有“放”，把102看成（100+2），32×102改写成32×（100+2）是扶着学生进行的，用乘法分配律计算32×（100+2）是放手让学生进行的。教学这题的简便计算要引导学生理解两点：一是怎样把不能直接应用乘法分配律的算式，改写成可以应用乘法分配律的算式；二是为什么把102改写成（100+2），而不是改写成其他形式。还要让他们体会，应用乘法分配律的简便计算，使原来很难口算出得数的题，变成能口算出得数的题。逆向应用乘法分配律也能使一些计算简便，如例6的“试一试”用简便方法计算46×12+54×12。要求学生独立思考并完成计算，体会这个算式可以看作46个12加54个12，是100个12，这个算式可以改写成（46+54）×12，改写后的算式比原来算式的计算简便许多。第三步是灵活进行简便计算。学生在例题里只是初步获得了简便计算的思想，知道运算律能使有些计算简便。事实上，简便运算是多种多样的，练习里设计了许多与例题不完全相同的但可以简便计算的算式，进一步培养简便计算的意识和能力。配合例2的“练一练”给出四道算式：295+37+63、86+（14+79）、47+58+42+33、18+（159+82），这些算式都能应用加法运算律简便计算。有些题先把后两个数相加比较简便，有些题先把前两个数相加比较简便，有些题要同时运用加法交换律和结合律才能使计算简便。这些题让学生体会应用运算律进行简便计算，要从算式的特点出发，灵活处理好各种具体情况，不能生搬硬套运算律。练习九第6题里的127+302、238+402等题，都是两个三位数相加，其中有一个加数接近整百数，是几百零几的数。这样的加法在以前一般采用笔算，教学加法运算律以后，如果把接近整百的三位数分解成“几百加几”，原来的两个数相加就变成三个数相加，而且可以利用加法结合律简便运算。为了使学生能够像这样进行简便运算，教材在第5题里作了铺垫：分别计算题组175+201与175+200+1，468+103与468+100+3，体会每组后面一题的计算就是它前面一题的算法。类似的还有两个两位数相乘，如果把其中一个乘数分解成两个一位数相乘，就可以应用乘法结合律使原来不容易口算的题变成容易口算的题。如，练习十第14、15两题，先体会两个两位数相乘可以转化成三个数的连乘，再应用这种转化，使一些两位数乘两位数的计算比较简便。第四步是拓展简便运算。本单元以教学运算律及其应用为主要内容，在练习里还带出减法性质、除法性质，它们也有使某些计算简便的作用。这样，本单元就不局限于加法和乘法的运算律，还涉及其他计算知识，有益于提高学生的计算能力。练习九第10题的两个题组，178-（78+7）与178-78-7、294-36-64与294-（36+64），蕴含着两点内容：一是认识减法性质的内容，即如果一个数减去两个数的和，可以用这个数连续减去两个加数；如果一个数连续减两个数，可以用这个数减两个减数的和。根据减法性质，每组前面的算式可以改写成它后面的算式，后面的算式也能改写成它前面的算式。二是每组题里有一道算式的计算比较简便，这与被减数、减数的特点有关。178-（78+7）与178-78-7里，被减数178的尾数与一个减数78相同，因而采用连减计算比较简便些。294-36-64与294-（36+64）里两个减数36和64的和是100，因而减去两个减数之和比较简便。学生以这两点认识为基础，才有条件进行第11题里的简便计算。单元整理与练习第6、7两题是除法性质及其简便运算，采用与减法性质同样的教学方法与要求。先联系学习减法性质的活动经验，通过两个题组的计算、比较和沟通，体会除法性质的具体内容：一个数连续除以两个除数，可以把这个数除以两个除数的乘积；一个数除以两个数的乘积，可以把这个数连续除以两个相乘的数。然后应用除法性质进行简便运算，充实计算能力。乘法分配律还可以从“两个数的和与一个数相乘”扩展到“两个数的差与一个数相乘”，即（a-b）×c=a×c-b×c，也可以应用于简便运算。练习十第16、17两题，就是引导学生体验这种扩展，并应用于具体的计算中去。另外，教材里的以下设计也应该注意并充分加以利用：练习九第7题是一道实际问题，编排在教学例2以后使用。如果列综合算式344+187+213，就能利用加法运算律简便计算，体现了运算律在解决实际问题时的应用。类似的还有第12题，分别求一、二、三月份的水费、电费、电话费的合计数，也应该应用加法运算律，使计算简便些。第13题渗透和、差的变化规律。一个加数不变，另一个加数增加（或减少）几，它们的和也增加（或减少）几；被减数不变，减数增加（或减少）几，它们的差就减少（或增加）几。教学这道题要把握两点：一是让学生在具体的计算中体会规律，并用自己的语言，联系实例描述规律。二是不要过分强调记忆规律和应用规律，要通过对规律的初步体验，发展数感。练习十第7题用两种方法计算长方形周长，一种是“长×2+宽×2”，另一种是“（长+宽）×2”。两种解法之间可以用乘法分配律沟通，从一种方法转化成另一种方法。这道题配合例5的教学，编排在例6教学之前，着重加强对乘法分配律的体验。一种方法的计算简便，另一种方法需要笔算，也为例6的教学作了铺垫。第8题口算两位数乘一位数以后，反思其算法，能体会乘法分配律的应用。如，计算23×3可以想“60+9”，即把23看成（20+3），想“20×3+3×3”。把23×3转化成20×3+3×3，应用了乘法分配律。第10、11安排在例6以后使用。每道题都有两种解法，一种能够口算，另一种需要笔算，解决实际问题的计算也应该追求简便，要鼓励学生选择能够简便计算的那种解法。（三） 应用解决问题的策略，联系乘法分配律，探索相遇问题的解法例7是相遇问题的一种情形：小明和小芳同时从家出发走向学校，经过4分钟两人在校门口相遇。已知两人的行走速度，求两人行走的路程和。学生解决相遇问题，应该了解相遇问题的运动特点，理解其数量关系。教材在文字叙述实际问题以后，画出小明和小芳同时从家出发走向学校的示意图，并分别给出两人行走的速度，帮助学生直观了解相遇问题的运动方式与特点。要求学生按解决问题的一般步骤，先整理实际问题里的数学信息，准确理解题意；再根据整理的条件与问题，分析数量关系，形成解决问题的思考，并采用两种不同的解法解决问题；然后回顾解决问题的方法与过程，交流体会，认识相遇问题的特点，积累解决问题的经验。整理实际问题里的条件与问题，可以采用画图形式，也可以采用列表形式。在线段图上可以把两家的房屋、学校等简化成端点、小旗等符号，清楚地表示出小明从家到学校走了4个70米，小芳从家到学校走了4个60米。在表格里应该分别列出小明和小芳各人行走的速度与时间。无论采用哪一种形式整理，都应让学生看着自己的线段图或表格复述题意，说出相遇问题的运动特点――两人从两地同时出发，相对而行，在途中相遇；说出相遇问题里的数量――两人的行走速度各是多少，经过多少时间两人相遇；说出相遇问题的所求问题――两人一共行走多少路程。分析数量关系应充分利用线段图和表格。从线段图上可以很清楚地看出：求两家相距多少米就是求两人一共行走多少米，其中小明走了4个70米，他一共走了（70×4）米；小芳走了4个60米，她一共走了（60×4）米；两人一共走了（70×4+60×4）米。在表格里不仅能够看到两家相距4个70米与4个60米的和，还能看出两家相距4个130米（70米+60米）。教材呈现的“番茄”卡通的想法，在线段图上容易形成，需要三步计算才能解决问题。“蘑菇”卡通的想法，在表格里容易想到，只需要两步计算就能解决问题。例题要求学生“先用不同的方法解答，再想一想两种解法有什么联系”。这里用不同方法解答，并不是对相遇问题“一题多解”，而是希望通过两种解答，理解相遇问题里的“路程和”是“两人分别运动的路程之和（一人的路程加另一人的路程）”也是“两人速度和（一人速度加另一人速度）的若干倍”。研究两种解法的联系，发现两种解法的综合算式可以用乘法分配律沟通，一个算式能转化成另一个算式。这种沟通有利于学生理解相遇问题里的数量关系以及相遇问题的两种解法，也有助于学生联系相遇问题进一步体验乘法分配律的内涵。“蘑菇”卡通的解法虽然只要两步，但形成和理解这种解法的思考过程比较难。为此，提出三点教学建议：第一，在示意图上直观形象地展示出两家之间相距4个130（70+60）米。小明和小芳分别从自己家出发走向学校，走1分钟，小明前进70米、小芳前进60米，两人靠近130米；再走1分钟，两人又靠近130米……像这样两人同时走4分钟，相遇时一共走了4个130米。第二，在整理信息的表格里，突出两人一共行走4个（70+60）米。小明70米/分4分小芳60米/分4分第三，用乘法分配律沟通两种解法的综合算式，70×4+60×4=（70+60）×4，从左边算式的两个乘式有相同乘数“4”，体验右边算法的合理性。相遇问题常见的情形有三种：一种求两个物体的路程和；一种求两个物体的相遇时间；一种求某个物体的运动速度。本单元只出现第一种情形的问题，要求学生掌握求“路程和”的方法，另两种情形的问题，在后面教材里会陆续出现。不过，教材里属于相遇问题第一种情形的实际问题仍然有较多的变化。如，由两人的相向运动到两人的相背运动；由直线道路上的相遇到环形跑道上的相遇或相背运动；由两人的相对运动到两人做同一件事情……这些情节和题材的变化都没有改变相遇问题的本质特点和基本解法，都出现在练习里，都应让学生主动适应、主动掌握。（四） 单元《整理与练习》进一步明确知识、技能的教学要求，进一步明晰知识结构，进一步加强运算规律的应用“练习与应用”第1、2两题，再现了运算律知识的教学要求：能举例表示各条运算律，能用字母表示运算律，能根据运算律改写有关算式。第3、8两题，体现了计算能力的两个层次：能正确应用加法或乘法运算律，使一些计算简便；能灵活应用运算律或运算性质，使许多计算简便。第4题编排三个题组，内容各有特点。题组25×（40×4）与25×（40+4），算式里的运算符号不完全相同。前一个算式是三个数的乘法，可以应用乘法交换律和结合律进行简便运算；后一个算式是一个数乘两个数的和，可以应用乘法分配律进行简便运算。这个题组帮助学生进一步弄清什么情况可以使用乘法结合律，什么情况可以使用乘法分配律。题组45×99+45与45×99，算式的构成不同。前一个算式是99个45加1个45，合起来是100个45，可以应用乘法分配律转化成45×（99+1）简便计算。后一个算式是99个45，比100个45少1个45，如果采用简便算法可以是45×（100-1）=45×100-45=5。题组36×101-36与36×101，前一个算式101个36减1个36，是100个36，转化成36×（101-1）计算比较简便。后一个算式求101个36是多少，可以应用乘法分配律转化成36×100+36计算。99与101都是接近100的数，分别能变形为（100-1）和（100+1），一个数乘99或101，都可以应用乘法分配律使计算比较简便。第12题蕴含了“以部分估计整体”的思想方法，从5垄大白菜的平均产量推算47垄大白菜的产量。求5垄大白菜的平均产量，需要先计算这5垄大白菜的总产量，把103、111、100、97、99这五个数相加，应用加法运算律求和比较简便。第13题用运算律解释9×9+19与10×10相等，可以像这样推理：9×9+19=9×9+9+10=9×10+10=10×10。说明99×99+199与100×100相等，999×999+×1000，也可以这样推理。这个推理有些难度，学生独立进行会有困难，需要教师适当帮助。一是把19分解成（9+10），把199分解成（99+100），把1999分解成（999+1000）。二是两次应用乘法分配律，即如9×9+9=9×（9+1），9×10+10=（9+1）×10。
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